GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 12 પરમાણુઓ

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 12 પરમાણુઓ Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 12 પરમાણુઓ

GSEB Class 12 Physics પરમાણુઓ Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
દરેક વિધાનને અંતે આપેલ શબ્દ/શબ્દસમૂહોમાંથી સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો :
(a) થોમસનના મોડલમાં પરમાણુનું પરિમાણ, રધરફર્ડના મોડલમાં પરમાણુના પરિમાણ ………………….. છે.
(કરતાં ઘણું મોટું છે/થી જુદું નથી/કરતાં ઘણું નાનું છે)

(b) …………………. ની ધરા અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોન સ્થાયી સંતુલનમાં છે જ્યારે …………………….. માં ઇલેક્ટ્રોન હંમેશાં ચોખ્ખું (Net) બળ અનુભવે છે.
(થોમસન મૉડલ / રધરર્ડ મૉડલ)

(c) ………………………… પર આધારિત પ્રચલિત પરમાણુનું ભાગ્ય જ પડી ભાંગવાનું છે.
(થોમસન મૉડલ / રધરફર્ડ મૉડલ)

(d) ………………….. માં પરમાણુ લગભગ સતત દળ વિતરણ ધરાવે છે પરંતુ ………………………….. માં પરમાણુ ખૂબ જ અસતત દળ વિતરણ ધરાવે છે.
(થોમસન મૉડલ / રઘરફર્ડ મોડલ)

(e) ………………. માં પરમાણુનો ધન વિધુતભારિત વિભાગ લગભગ બધું દળ ધરાવે છે.
(રધરર્ડ મોડલ / બંને મૉડલ)
ઉત્તર:
(a) થી જુદું નથી.
(b) થોમસન મૉડલ, ૨ધ૨ફર્ડ મૉડલ
(c) ૨ધરફર્ડ મૉડલ
(d) થોમસન મૉડલ, ૨ધ૨ફર્ડ મૉડલ
(e) બંને મૉડલ

પ્રશ્ન 2.
ધારો કે તમને આલ્ફા-કણ પ્રકીર્ણનનો પ્રયોગ સુવર્ણના વરખને સ્થાને ઘન (Solid) હાઇડ્રોજન વાપરીને કરવાની તક આપવામાં આવે છે. (હાઇડ્રોજન 14 Kથી નીચા તાપમાને ઘન હોય છે) તમે કેવાં પરિણામોની અપેક્ષા રાખશો ?
ઉત્તર:

• હાઇડ્રોજન પરમાણુના ન્યુક્લિયસમાં ન્યૂટ્રૉન હોતાં નથી તેથી તેમાં માત્ર એક પ્રોટૉન જ હોય છે.
  અને પ્રોટૉનનું દળ 1.67 × 10^-27 kg છે તેથી હાઇડ્રોજનના ન્યુક્લિયસનું દળ 1.67 × 10^-27 kg છે.
• α-કણનું ન્યુક્લિયસ 2 પ્રોટૉન અને 2 ન્યૂટ્રૉનનું બનેલું હોય છે તેથી α-કણના ન્યુક્લિયસનું દળ = 4 × 1.67 × 10^-27 kg
  = 6.68 × 10^-27 kg
• પ્રકીર્ણન પામતા α-કણનું દળ હાઇડ્રોજન ૫૨માણુના ન્યુક્લિયસના દળ કરતાં વધારે હોવાથી હૅડ-ઑન સંઘાતમાં તે પાછો ફેંકાશે નહીં પણ હાઇડ્રોજન પરમાણુમાંથી તેના માર્ગમાંથી વિચલન થયા સિવાય પસાર થઈ જશે. આ એવી ઘટના છે કે, સ્થિર પડેલા ટેનિસબૉલ સાથે ફૂટબૉલ અથડાય. આથી પ્રકીર્ણન થશે નહીં.

પ્રશ્ન 3.
વર્ણપટ રેખાઓની પાશ્ચન શ્રેણીમાં ટૂંકામાં ટૂંકી કઈ તરંગલંબાઈ હાજર છે ? (માર્ચ 2020)
ઉત્તર:
વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઈ માટેનું સૂત્ર,

∴ λ_min = 8.20419 × 10^-7 m
∴ λ_min ≈ 820 × 10^-9 m
∴ λ_min = 820.4 nm અથવા 820 nm

પ્રશ્ન 4.
એક પરમાણુમાં 2.3 eV તફાવત બે ઊર્જા સ્તરોને જુદા પાડે છે. જ્યારે પરમાણુ ઉચ્ચ સ્તરથી નિમ્નસ્તર પર સંક્રાંતિ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ કેટલી હશે ?
ઉત્તર:
અહીં ΔE = 2.3 eV, 1 eV 1.6 × 10^-19 J,
h = 6.625 × 10^-34 Js
હવે ΔE = hv
∴ v = \(\frac{\Delta \mathrm{E}}{h}=\frac{2.3 \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.625 \times 10^{-34}}\)
∴ v = 0.55547 × 10¹⁵
∴ v ≈ 5.6 × 10¹⁴ Hz

પ્રશ્ન 5.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા અવસ્થાની ઊર્જા −13.6 eV છે. આ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જા કેટલી હશે ? (ઑગષ્ટ 2020)
ઉત્તર:
ધરા અવસ્થામાં (ઇલેક્ટ્રૉનની કુલ ઊર્જા) E = – 13.6 eV
⇒ આપણે જાણીએ છીએ કે,
ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિઊર્જા = – કુલ ઊર્જા
∴ K = – E
∴ K = – (- 13.6) eV
∴ K = 13.6 eV
અને ઇલેક્ટ્રૉનની સ્થિતિઊર્જા, U = – 2 (ગતિઊર્જા)
∴ U = – 2K
∴ U = – 2(13.6) eV
∴ U = – 27.2 eV

પ્રશ્ન 6.
પ્રારંભમાં ધરા સ્થિતિમાં રહેલો હાઇડ્રોજન પરમાણુ એક ફોટોનનું શોષણ કરે છે, જે તેને n = 4 સ્તર સુધી ઉત્તેજિત કરે છે. આ ફોટોનની આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ શોધો.
ઉત્તર:
પરમાણુમાં ‘nમી’ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા,
E_n = –\(\frac{13.6}{n^2}\)eV
⇒ ધરા અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા,
E₁ = –\(\frac{13.6}{(1)^2}\)eV [∵ ધરા અવસ્થા માટે n = 1]
∴ E₁ = – 13.6 eV

⇒ n = 4 કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા,
E₄ = –\(\frac{13.6}{(4)^2}\)eV
= –\(\frac{13.6}{16}\)eV
∴ E₄ = – 0.85 eV

⇒ ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જામાં તફાવત,
ΔE= E₄ – E₁
= – 0.85 eV – (- 13.6 eV)
= 12.75 eV
= 12.75 × 1.6 × 10^-19 J
= 20.4 × 10^-19 J

⇒ હવે, ઉત્સર્જિત ફોટોનની આવૃત્તિ v હોય તો,
ΔE = hv
∴ v = \(\frac{\Delta \mathrm{E}}{h}=\frac{20.4 \times 10^{-19}}{6.625 \times 10^{-34}}\)
∴ v = 3.079 × 10¹⁵ Hz
∴ v ≈ 3.1 × 10¹⁵ Hz

⇒ હવે,
c = λv
∴ λ = \(\frac{c}{v}=\frac{3 \times 10^8}{3.079 \times 10^{15}}\)
∴ λ = 0.9743 × 10^-7m
∴ λ = 97.43 × 10^-9 m = 97.43 nm

પ્રશ્ન 7.
(a) બોહ્ર મૉડલનો ઉપયોગ કરીને n = 1, 2 અને 3 સ્તરોમાં હાઇડ્રોજન પરમાણુમાંના ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપની ગણતરી કરો.
(b) આ દરેક સ્તર માટે કક્ષીય આવર્તકાળ શોધો.
ઉત્તર:
(a) ન્યુક્લિયસની આસપાસ ‘nમી’ કક્ષામાં વર્તુળાકાર ગતિ માટે કેન્દ્રગામી બળ, કુલંબ બળ જેટલું થવું જોઈએ.

= 21.84 × 10⁵
∴ v₁ = 2.184 × 10⁶ m/s ≈ 2.18 × 10⁶ms^-1
⇒ n = 2 કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રૉનની ઝડપ,

⇒ n = 2 કક્ષામાં આવર્તકાળ,
T₂ = (2)³ × 1.524 × 10^-16
∴ T₂ = 1.216 × 10^-15 s ≈ 1.22 × 10^-15 s
⇒ અને n = 3 કક્ષામાં આવર્તકાળ,
T₃ = (3)³ × T₁
= 27 × 1.524 × 10^-16
= 4.114 × 10^-15
≈ 4.11 × 10^-15 s

પ્રશ્ન 8.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની સૌથી અંદરની ઇલેક્ટ્રોન કક્ષાની ત્રિજ્યા 5.3 × 10^-11 m છે. n = 2 અને n = 3 કક્ષાઓની ત્રિજ્યાઓ કેટલી હશે ?
ઉત્તર:

• r₀ = α₀ = 5.3 × 10^-11 m
  ∴ n = 2 માં r₂ = ?
  n = 3 માં r₃ = ?
  ⇒ હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ‘nમી’ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રૉનની ત્રિજ્યા r_n = n²r₀
• n = 2 કક્ષામાં ત્રિજ્યા,
  r₂ = (2)² × 5.3 × 10^-11
  = 4 × 5.3 × 10^-11
  ∴ r₂ = 2.12 × 10^-10 m
• n = 3 કક્ષામાં ત્રિજ્યા,
  r₃ = (3)² × 5.3 × 10^-11
  = 9 × 5.3 × 10^-11
  r₃ = 4.77 × 10^-10 m

પ્રશ્ન 9.
ઓરડાના તાપમાને 12.5 eVની ઇલેક્ટ્રોન કિરણાવલિ વાયુરૂપ હાઇડ્રોજન પર મારો ચલાવવા માટે વપરાય છે. તરંગલંબાઈઓની કઈ શ્રેણી(ઓ) ઉત્સર્જિત થશે ?
ઉત્તર:
ઓરડાના તાપમાને હાઇડ્રોજન વાયુની ધરા સ્થિતિમાં ઊર્જા = – 13.6 eV છે.
જ્યારે તેના પર 12.5 eV ના ઇલેક્ટ્રૉન કિરણાવલિનો મારો ચલાવવામાં આવે છે ત્યારે તેની ઊર્જા = – 13.6 + 12.5 eV = – 1.1 eV થાય છે.
હવે ‘nમી’ કક્ષામાં ઊર્જા,
E_n = –\(\frac{13.6}{n^2}\)eV
∴ -1.1eV = –\(\frac{13.6}{n^2}\)eV
∴ n² = \(\frac{13.6}{1.1}\) = 12.36
∴ n = 3.51
પણ શક્ય કક્ષાઓ n ≈ 3

∴ ઉત્સર્જન વર્ણપટ રેખાની સંખ્યા = \(\frac{n(n-1)}{2}\)
= \(\frac{3(3-1)}{2}\)
= 3
આમ, n = 3 થી n = 1 અને n = 2 થી n = 1 માં સંક્રાંતિ થતાં બે લાઇમન શ્રેણીની રેખાઓ અને n = 3 થી n = 2 માં સંક્રાંતિ થતાં એક બામર શ્રેણીની રેખા મળે.
⇒ n = 3 માંથી n = 1 માં સંક્રાંતિ થતાં ઉત્સર્જાતા લાઇમન શ્રેણીની β-રેખાની તરંગલંબાઈ,
λ₃₁ = \(\frac{h c}{\mathrm{E}_1-\mathrm{E}_3}\) = \(\frac{6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{-13.6-(-1.51)}\)
∴ λ₃₁ = \(\frac{19.875 \times 10^{-26}}{12.09 \times 1.6 \times 10^{-19}}\)
= 1.0274 × 10^-7 m
≈ 103 × 10^-9 m = 103 nm
⇒ n = 2 માંથી n = 1 માં સંક્રાંતિ થતાં લાઇમન શ્રેણીની α-રેખાની તરંગલંબાઈ,
λ₂₁ = \(\frac{h c}{\mathrm{E}_1-\mathrm{E}_2}\) = \(\frac{6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{[-13.6-(-3.4)] \mathrm{eV}}\)
= \(\frac{19.875 \times 10^{-26}}{10.2 \times 1.6 \times 10^{-19}}\)
= 1.2178 × 10^-7 m
122 × 10^-9 m = 122 nm
⇒ n = 3 માંથી n = 2 માં સંક્રાંતિ થતાં બામર શ્રેણીની α-રેખાની તરંગલંબાઈ,
λ₃₂ = \(\frac{h c}{\mathrm{E}_2-\mathrm{E}_3}\) = \(\frac{6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{[-3.4-(-1.51)] \mathrm{eV}}\)
∴ λ₃₂ = \(\frac{19.875 \times 10^{-26}}{1.89 \times 1.6 \times 10^{-19}}\)
= 6.5724 × 10^-7 m
≈ 657 × 10^-9 m
= 657 nm

પ્રશ્ન 10.
બોહ્ર મોડલ અનુસાર, સૂર્યની આસપાસ 3 × 10⁴ m/sની ઝડપથી 1.5 × 10¹¹ ની ત્રિજ્યા ધરાવતી કક્ષામાંના પૃથ્વીના ભ્રમણને રજૂ કરતો ક્વોન્ટમ અંક શોધો. (પૃથ્વીનું દળ = 6.0 × 10²⁴ kg) (માર્ચ 2020)
ઉત્તર:
અહીં પૃથ્વીનું દળ m = 6.0 × 10²⁴ kg
પૃથ્વીની કક્ષીય ઝડપ v = 3 × 10⁴ ms^-1
પૃથ્વીની કક્ષાની ત્રિજ્યા r = 1.5 × 10¹¹ m
h = 6.625 × 10^-34 Js
⇒ બોહ્રની પૂર્વધારણા (2) પરથી,

= 25.5939 × 10⁷³
∴ n ≈ 2.6 × 10²⁴

પ્રશ્ન 11.
નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો જે તમને થોમસન મૉડલ અને રધરફર્ડ મોડલ વચ્ચેનો તફાવત સમજવામાં સારી મદદ કરશે.
(a) પાતળા સુવર્ણ વરખ વડે થતા -કણોના વિચલન (આવર્તન)ના સરેરાશ કોણ અંગે થોમસન મોડલનું પૂર્વાનુમાન રધરર્ડ મોડલના પૂર્વાનુમાન કરતાં, ઘણું ઓછું, લગભગ તેટલું જ કે ઘણું વધારે છે ?
(b) પશ્વાર્તી (પાછળ તરફનું, Backward) પ્રકીર્ણન (એટલે કે 90° કરતાં મોટા કોણે -કણોનું પ્રકીર્ણન)ની સંભાવના અંગે થોમસન મોડલનું પૂર્વાનુમાન રધર્ડ મોડલના પૂર્વાનુમાન કરતાં ઘણું ,ઓછું, લગભગ તેટલું જ કે ઘણું વધારે છે ?
(c) પ્રયોગથી એવું જણાય છે કે બીજા પરિબળો અચળ રાખતાં, ઓછી જાડાઈ t માટે, મધ્યમ (Moderate) કોણે પ્રકીર્ણન પામતા α-કણોની સંખ્યા, tના સમપ્રમાણમાં છે. t પરની આ સપ્રમાણતા શું સૂચવે છે ?
(d) પાતળા વરખ દ્વારા -કણોના પ્રકીર્ણનના સરેરાશ કોણની ગણતરીમાં એક કરતાં વધુ (multiple) પ્રકીર્ણન થવાનું અવગણવું કયા મૉડલમાં સંપૂર્ણપણે ખોટું છે ?
ઉત્તર:
(a) પાતળા સુવર્ણ વરખ વડે થતાં α-કણોના વિચલનના સરેરાશ કોણ અંગે થોમસન મૉડલનું પૂર્વાનુમાન ૨ધ૨ફર્ડના મૉડલના પૂર્વાનુમાનના લગભગ જેટલું જ છે.

(b) પશ્ચાદ્ર્તી પ્રકીર્ણનની સંભાવના અંગે થોમસન મૉડલનું પૂર્વાનુમાન ૨ધ૨ફર્ડના મૉડલના પૂર્વાનુમાન કરતાં ઘણું ઓછું છે.

(c) α-કણનો પ્રયોગ સૂચવે છે કે, મોટે ભાગે પ્રકીર્ણન એક અથડામણથી થયેલ છે, કારણ કે એક જ અથડામણની સંભાવના લક્ષ્ય પ૨માણુઓની સંખ્યા સાથે સુરેખ રીતે વધુ છે અને તેથી જાડાઈ સાથે પણ સુરેખ રીતે વધે છે.

(d) થોમસનના મૉડલમાં પરમાણુનો ધન વિદ્યુતભાર, તેના કદમાં સમાન રીતે પથરાયેલો હોય છે. તેથી દરેક ધન વિદ્યુતભાર વડે α-કણનું વખતોવખત પ્રકીર્ણન થાય છે. તેથી α-કણના પ્રકીર્ણનના સરેરાશ પ્રકીર્ણન કોણની ગણતરીમાં એક કરતાં વધારે પ્રકીર્ણન થયાનું અવગણી ન શકાય.

પ્રશ્ન 12.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ, કુલંબ આકર્ષણ કરતાં 10^-40 ગણું નાનું છે. આ હકીકતને જોવાની એક વૈકલ્પિક રીત, ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન ગુરુત્વાકર્ષણથી બંધિત હોત તો હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ બોહ્ર કક્ષાની ત્રિજ્યાનો અંદાજ મેળવવાની છે, તમને તેનો ઉત્તર રસપ્રદ લાગશે.
ઉત્તર:
હાઇડ્રોજન પરમાણુના બોહ્ર મૉડલમાં પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા,
r = \(\frac{n^2 h^2 \in_0}{\pi m_e e^2}\)
પ્રથમ કક્ષા માટે n = 1 લેતાં,

હવે પ્રોટૉન અને ઇલેક્ટ્રૉન વચ્ચે લાગતું કુલંબ બળ,
F_e = \(\frac{k e^2}{r^2}\) ……………… (2)
અને પ્રોટૉન અને ઇલેક્ટ્રૉન વચ્ચે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,
F_G = \(\frac{\mathrm{G} m_p m_e}{r^2}\) ……………… (3)
સમીકરણ (2) અને (3),
ke² = Gm_pm_e મૂકતાં,
r_G = \(\frac{h^2}{4 \pi^2 m_e \times \mathrm{G} m_p m_e}\) (સમી. (1) માં r = = r_G લેતાં)
r_G = \(\frac{\left(6.625 \times 10^{-34}\right)^2}{4 \times(3.14)^2 \times 6.67 \times 10^{-11}}\) × (1.67 × 10^-27) × (9.1 × 10^-31)²
r_G = \(\frac{43.890625}{36378.46}\) × 10³²
= 0.001206 × 10³²
= 1.21 × 10²⁹ m
નોંધ : પ્રથમ બોહ્ર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું 1.21 × 10²⁹ m એ સમગ્ર વિશ્વના અંદાજિત પરિમાણ (ત્રિજ્યા) કરતાં ઘણું મોટું છે.
મોટાભાગનું પ્રકીર્ણન એક જ અથડામણથી મળે છે અને પ્રથમ સંનિકટતા તરીકે ઘણાં પ્રકીર્ણનને અવગણી શકાય છે.

પ્રશ્ન 13.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ સ્તર nથી (n – 1) સ્તર પર સંક્રાંતિ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ માટેનું સૂત્ર મેળવો. nના મોટા મૂલ્ય માટે, દર્શાવો કે આ આવૃત્તિ, કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રૉનના ભ્રમણની પ્રચલિત આવૃત્તિ બરાબર છે.
ઉત્તર:
બોહ્રના અધિતર્ક-2 અનુસાર ઇલેક્ટ્રૉનનું કોણીય વેગમાન ક્વૉન્ટાઇઝ્ડ હોય છે. એટલે કે,’


⇒ જ્યારે ઇલેક્ટ્રૉન n + 1 કક્ષામાંથી ‘n’ મી કક્ષામાં સંક્રાંતિ કરે ત્યારે ઉત્સર્જાતા વિકિરણની તરંગલંબાઈનું સૂત્ર,

પરંતુ n મોટો હોવાથી \(\frac{1}{n}\) << 1 થશે તેથી દ્વિપદી વિસ્તરણના પ્રથમ બે પદો રાખતાં,

સમીકરણ (2) અને (3) સમાન છે.
∴ બોર વાદ અનુસાર મળતી આવૃત્તિ, ઇલેક્ટ્રૉનના સંક્રાંતિના કારણે ઉત્સર્જાતા વિકિરણની આવૃત્તિ જેટલી હોય છે.

પ્રશ્ન 14.
પ્રચલિત સિદ્ધાંતો મુજબ, ન્યુક્લિયસની ફરતે ઇલેક્ટ્રોન કોઈ પણ કક્ષામાં હોઈ શકે છે. તો પછી પરમાણુનું લાક્ષણિક પરિમાણ શાના પરથી નક્કી થાય છે ? પરમાણુ તેના લાક્ષણિક પરિમાણ કરતાં હજાર ગણો મોટો કેમ નથી ? આ પુસ્તકમાં તમે શીખ્યા તે પ્રખ્યાત મોડલ પર પહોંચતાં અગાઉ બોહ્રને આ પ્રશ્નએ ખૂબ મૂંઝવી દીધો હતો, તેણે શોધ અગાઉ શું કર્યું હશે ? તેને મૂર્તિમંત (Simulate) કરવા માટે, કુદરતના મૂળભૂત અચળાંકોની મદદથી, આપણે નીચેની રમત કરીએ અને જોઈએ કે આપણને પરમાણુના જાણીતા પરિમાણ (~ 10^-10 m)ના લગભગ જેટલી લંબાઈનું પરિમાણ ધરાવતી રાશિ મળે છે કે કેમ ?

(a) મૂળભૂત અચળાંકો e, m અને c પરથી લંબાઈના પરિમાણ ધરાવતી રાશિ રચો. તેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય શોધો.

(b) તમે જોશો કે (a)માં મેળવેલી લંબાઈ, પરમાણુના પરિમાણ કરતાં માનના (મૂલ્યના) ઘણાં ક્રમોથી નાની છે. ઉપરાંત તેમાં c રહેલ છે. પરંતુ પરમાણુઓની ઊર્જાઓ મહદ્અંશે બિન-સાપેક્ષવાદીય વિસ્તારોમાં હોય છે જ્યાં c કોઈ મહત્ત્વનો ભાગ ભજવે છે તે અપેક્ષિત નથી. કદાચ આ બાબતે બોહ્રને એમ સૂચવ્યું હશે કે c ને દૂર કરવો અને પરમાણુનું સાચું પરિમાણ મેળવવા માટે કંઈક બીજું’ શોધવું. હવે, તે ગાળામાં પ્લાન્કના અચળાંક h એ અન્ય સ્થળે દેખા દીધેલી જ હતી. h, m અને e પરમાણુનું સાચું પરિમાણ આપશે એવું ઓળખવામાં (સમજવામાં), બોહ્રનું મહાન અંતર્દર્શન (Insight) રહેલું છે. h, m અને e પરથી લંબાઈનાં પરિમાણ ધરાવતી રાશિ રચો અને તેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય માનનો સાચો ક્રમ ધરાવે છે તેમ ચકાસીને પુષ્ટિ કરો.
ઉત્તર:
(a) હાઇડ્રોજનના ન્યુક્લિયસ અને ઇલેક્ટ્રૉન વચ્ચે લાગતું કુલંબ બળ,


e = 1.6 × 10^-19 C
m = 9.1 × 10^-31 kg, c = 3 × 10⁸ ms^-1
∴ r = \(\frac{9 \times 10^9 \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^2}{9.1 \times 10^{-31} \times\left(3 \times 10^8\right)^2}\)
∴ r = 2.82 × 10^-15 m જે લાક્ષણિક પરમાણુના પરિમાણ કરતાં ઘણું નાનું છે.

(b) બોહ્રના સૂત્ર પરથી ‘n’ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રૉનની કક્ષીય ત્રિજ્યા,

= 0.53 × 10^-10 m
∴ r ≈ 0.53 Å જે પરમાણુના પરિમાણના ક્રમનું છે.
નોંધ : પરિમાણોની દલીલો આપણને એમ કહી શકે નહીં કે સાચું પરિણામ મેળવવા માટે આપણે h ના સ્થાને 2h વાપરવા જોઈએ.

પ્રશ્ન 15.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા લગભગ −3.4 eV છે.
(a) આ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિઊર્જા કેટલી હશે ?
(b) આ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિઊર્જા કેટલી હશે ?
(c) સ્થિતિઊર્જાનું મૂલ્ય શૂન્ય લેવાની પસંદગી બદલવામાં આવે તો ઉપરનામાંથી કયો જવાબ બદલાઈ જશે ?
ઉત્તર:
બોહ્ર મૉડલની પૂર્વધારણા અનુસાર,

અને સ્થિતિઊર્જા,

અને E = K + U
= K + (- 2K)
∴ E = – K ……………….. (4)

(a) E = – 3.4 eV રૂઢિગત પસંદગી પર આધારિત છે.
જેમાં અનંત અંતરે સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય લેતાં,
E = -K
∴ -(3.4) = – K
∴ K = 3.4 eV

(b) સમીકરણ (3) પરથી,
U = – 2K
∴ U = – 2(3.4 eV)
∴ U = – 6.8 eV

(c) જો બીજી રીતે સ્થિતિઊર્જાનું મૂલ્ય શૂન્ય પસંદ કરીએ તો, ગતિઊર્જા બદલાતી નથી. તેથી ગતિઊર્જાનું મૂલ્ય + 3.4 eVછે જે સ્થિતિઊર્જાના શૂન્યથી સ્વતંત્ર છે. જો સ્થિતિઊર્જાનું મૂલ્ય બીજે શૂન્ય લેવામાં આવે, તો તે અવસ્થાની સ્થિતિઊર્જા અને કુલ ઊર્જા બદલાશે.

પ્રશ્ન 16.
જો બોહ્રની ક્વૉન્ટમીકરણ (કોણીય વેગમાન = \(\frac{n h}{2 \pi}\) )ની સ્વીકૃતિ, કુદરતનો મૂળભૂત નિયમ હોય તો તે ગ્રહોની ગતિના કિસ્સા માટે પણ સમાનરૂપે માન્ય રહેવો જોઈએ. તો પછી આપણે સૂર્યની આસપાસ ગ્રહોની કક્ષાઓના ક્વૉન્ટમીકરણ અંગે કદી કહેતા કેમ નથી ?
ઉત્તર:

• ગ્રહોની ગતિ સાથે સંકળાયેલ કોણીય વેગમાન, ની સાપેક્ષે સરખામણી ન કરી શકાય તેટલો મોટો હોય છે.
• દાખલા તરીકે પૃથ્વીનું કોણીય વેગમાન લગભગ 10⁷⁰ h ના ક્રમનું હોય છે.
• બોહ્રની ક્વૉન્ટમીકરણની સ્વીકૃતિના આધારે આ પદ, n ના ખૂબ મોટા મૂલ્યને અનુરૂપ છે. (10⁷⁰ ના ક્રમનું).
• nનાં આવા મોટા મૂલ્યો માટે બોહ્ર મૉડલની ક્રમિક ક્વૉન્ટમીકૃત સ્તરોની ઊર્જાઓ અને કોણીય વેગમાનના તફાવતો તે સ્તરોની ઊર્જાઓ અને કોણીય વેગમાનના મૂલ્યોની સરખામણીએ એટલા નાનાં હોય છે કે, બધા વ્યવહારિક હેતુઓ માટે આપણે સ્તરોને સતત (સળંગ) ગણી શકીએ છીએ.

પ્રશ્ન 17.
મ્યુઓનિક (Muonic) હાઇડ્રોજન પરમાણુ (એટલે કે એવો પરમાણુ કે જેમાં પ્રોટોનની આસપાસ લગભગ 207 m_e દળનો ઋણ વિધુતભાર ધરાવતો મ્યુઓન (Muon – μ^–) કક્ષીય ભ્રમણ કરે છે.) માટે પ્રથમ બોહ્ર ત્રિજ્યા અને ધરા અવસ્થાની ઊર્જા મેળવો.
ઉત્તર:
– બોહ્ર મૉડલ અનુસાર r ત્રિજ્યાની કક્ષામાં ભ્રમણ કરે તો
r = \(\frac{n^2 h^2 \in_0}{\pi m e^2}\)
∴ r ∝ \(\frac{1}{m}\) …………… (1) [∵ બાકીના પદો અચળ]
અને r ત્રિજ્યાવાળી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા,
E = –\(\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2 n^2}\)
∴ E ∝ – m ……….. (2) [∵ બાકીના પદો અચળ]
સમીકરણ (1) પરથી,
∴ \(\frac{r_\mu}{r_e}=\frac{m_e}{m_\mu}\) જ્યાં r_μ = મ્યુઓનિક કક્ષાની ત્રિજ્યા
r_e = ઇલેક્ટ્રૉનની કક્ષાની ત્રિજ્યા
m_e = ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ
m_μ = મ્યુઓનનું દળ
∴ r_μ = r_e × \(\frac{m_e}{m_\mu}\)
= 0.53 × 10^-10 × \(\frac{m_e}{207 m_e}\)
= \(\frac{0.53 \times 10^{-10}}{207}\)
= 2.56 × 10^-13 m
સમીકરણ (2) પરથી,
\(\frac{\mathrm{E}_\mu}{\mathrm{E}_e}=\frac{m_\mu}{m_e}\) જ્યાં E_μ = મ્યુઓનની ધરા અવસ્થામાં ઊર્જા
E_e = ઇલેક્ટ્રૉનની ધરા અવસ્થામાં ઊર્જા,
E_μ = E_e × \(\frac{m_\mu}{m_e}\)
∴ E_μ = – 13.6 × \(\frac{207 m_e}{m_e}\)eV
∴ E_μ = 13.6 × 207 eV
∴ E_μ = – 2.8152 × 10³ eV
∴ E_μ = – 2.8 keV

GSEB Class 12 Physics પરમાણુઓ NCERT Exemplar Questions and Answers

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક જ વિકલ્પ સાચો છે :

પ્રશ્ન 1.
બોહ્ર ત્રિજ્યા α₀ = 53 pm લેતાં, બોહ્ર મોડલના આધારે Li⁺⁺ આયનની ધરા સ્થિતિમાં ત્રિજ્યા આશરે ………………….
(A) 53 pm
(B) 27 pm
(C) 18 pm
(D) 13 pm
જવાબ
(C) 18 pm

• H જેવા ૫૨માણુઓ માટે તેના ઇલેક્ટ્રૉનની n મી કક્ષામાં ત્રિજ્યા,
  r_n = α₀\(\frac{n^2}{Z}\)
• અત્રે Li⁺⁺ આયન માટે Z = 3 તથા ધરા અવસ્થા માટે n = 1 લેતાં,
  r₁ = (53) × \(\frac{(1)^2}{3}\)
  ∴ r₁ = 17.67 pm
  18 pm (પીકોમીટર)

પ્રશ્ન 2.
નિયત ન્યુક્લિયસ (પ્રોટોન)ને ફરતે ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રૉન, એટલે કે H-પરમાણુની બંધનઊર્જા B = – \(\frac{m e^4}{8 n^2 \varepsilon_0^2 h^2}\) વડે અપાય છે. (જ્યાં, m = ઇલેક્ટ્રોનનું દ્રવ્યમાન). જો કોઈ એવી નિર્દેશ ફ્રેમમાં કામ કરવાનું નક્કી કરે કે જેમાં ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર સ્થિતિમાં હોય અને પ્રોટોન તેની આસપાસ ફરશે. સમાન દલીલો મુજબ તેની બંધનઊર્જા B = – \(\frac{M e^4}{8 n^2 \varepsilon_0^2 h^2}\) છે.
(જ્યાં M = પ્રોટોનનું દ્રવ્યમાન.) આ છેલ્લી પદાવલિ (expression) સાચી નથી. કારણ કે,
(A) n પૂર્ણાંક નહીં હોય.
(B) બોહ્રનું ક્વૉન્ટમીકરણ (quantisation) ફક્ત ઇલેક્ટ્રૉનને જ લાગુ પડે છે.
(C) જે ફ્રેમમાં ઇલેક્ટ્રૉન સ્થિર છે, તે જડત્વીય નથી.
(D) પ્રોટોનની ગતિ વર્તુળાકાર પથ પર નહીં હોય (આશરે પણ નહીં.)
જવાબ
(C) જે ફ્રેમમાં ઇલેક્ટ્રૉન સ્થિર છે, તે જડત્વીય નથી.

•  હાઇડ્રોજનના સ્થિર ન્યુક્લિયસ (પ્રોટોન)ની આસપાસ ભ્રમણ કરતો ઇલેક્ટ્રૉન કંઈક કેન્દ્રગામી પ્રવેગ ધરાવે છે. તેથી નિર્દેશ ફ્રેમ એ જડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમ નથી.
• ઇલેક્ટ્રૉન સ્થિર હોય અને પ્રોટોન તેની આસપાસ ફરતો હોય તેવી નિર્દેશ ફ્રેમમાં આપેલ બંધનઊર્જાનું સૂત્ર સાચું નથી. કારણ કે, જે નિર્દેશ ફ્રેમમાં ઇલેક્ટ્રૉન સ્થિર હોય તેવી નિર્દેશ ફ્રેમ જડત્વીય હોતી નથી. તેથી વિકલ્પ (C) સાચો છે.

પ્રશ્ન 3.
વધુ ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતા પરમાણુની ઊર્જાસ્તરોની ગણતરી કરવા માટે બોહ્રનું સાદું મોડલ સીધેસીધું લાગુ પાડી ન શકાય. કારણ કે,
(A) ઇલેક્ટ્રૉન પર કેન્દ્રીય બળ લાગતું નથી.
(B) ઇલેક્ટ્રૉન એકબીજા સાથે સંઘાત પામે છે.
(C) સ્ક્રિનિંગ અસરો જોવા મળે છે.
(D) ન્યુક્લિયસ અને ઇલેક્ટ્રૉન વચ્ચે બળ, કુલંબના નિયમ પ્રમાણે દર્શાવી શકાતું નથી.
જવાબ
(A) ઇલેક્ટ્રૉન પર કેન્દ્રીય બળ લાગતું નથી.
વધારે ઇલેક્ટ્રૉન્સ ધરાવતા પરમાણુના ઊર્જાસ્તરોની ગણતરી કરવા સાદું બોહ્ર મૉડલ લાગુ પાડી શકાય નહીં. કારણ કે પરમાણુમાંના બધા ઇલેક્ટ્રૉન્સ પર માત્ર એક જ કેન્દ્રીય બળ લાગતું હોતું નથી. તેથી વિકલ્પ (A) સાચો છે.

પ્રશ્ન 4.
ધરા સ્થિતિ માટે, બોહ્રના સાદા મોડલ પ્રમાણે, H-પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉનનું કોણીય વેગમાન = h, કોણીય વેગમાન એ સદિશ છે અને તેથી શક્ય બધી જ દિશાઓ તરફ નિર્દેશ
કરતા સદિશવાળી અનંત કક્ષાઓ મળશે. હકીકતમાં આ સાચું નથી.
(A) કારણ કે બોહ્ર મૉડલ કોણીય વેગમાનનાં ખોટાં મૂલ્યો આપે છે.
(B) કારણ કે આ બધામાંથી કોઈ એક જ માટે લઘુતમ ઊર્જા હશે.
(C) કોણીય વેગમાન ઇલેક્ટ્રૉનની સ્પિનની દિશામાં હોવું જોઈએ.
(D) કારણ કે ઇલેક્ટ્રૉન ફક્ત સમક્ષિતિજ કક્ષાઓમાં જ ગતિ કરતા હોય છે.
જવાબ
(A) કારણ કે બોહ્ર મૉડલ કોણીય વેગમાનનાં ખોટાં મૂલ્યો આપે છે.
ખરેખર, સાદા બોહ્ર મૉડલમાં ભ્રમણ કરતો ઇલેક્ટ્રૉન કોણીય વેગમાનનું સાચું મૂલ્ય આપતું નથી. પણ તે માત્ર કોણીય વેગમાનનું પરિમાણ જ આપે છે. જે સદિશ છે. તેથી પ્રશ્નમાં આપેલ વિધાન સાચું નથી તેથી વિકલ્પ (A) સાચો છે.

પ્રશ્ન 5.
O₂ અણુ, ઓક્સિજનના બે પરમાણુ ધરાવે છે. અણુમાં, બે પરમાણુના ન્યુક્લિયસ વચ્ચે લાગતું ન્યુક્લિયર બળ,
(A) મહત્ત્વનું નથી કારણ કે, ન્યુક્લિયર બળ લઘુઅંતરીય હોય છે.
(B) બે પરમાણુને બાંધતા વિદ્યુત બળ જેટલું જ મહત્ત્વ ધરાવે છે.
(C) ન્યુક્લિયસો વચ્ચે લાગતા અપાકર્ષી સ્થિત વિદ્યુત બળને નાબૂદ કરે છે.
(D) મહત્ત્વનું નથી કારણ કે ઑક્સિજનના ન્યુક્લિયસમાં ન્યૂટ્રૉન અને પ્રોટોનની સંખ્યા સમાન હોય છે.
જવાબ
(A) મહત્ત્વનું નથી કારણ કે, ન્યુક્લિયર બળ લઘુઅંતરીય હોય છે.
કારણ કે ન્યુક્લિયર બળ, લઘુઅંતરીય છે અને તે માત્ર એક જ ન્યુક્લિયસ પૂરતું મર્યાદિત છે. જ્યારે બે ન્યુક્લિયસો વચ્ચેનું અંતર પણ વધુ હોઈ શકે એટલે કે, આપેલા ઑક્સિજન અણુના બે પરમાણુના ન્યુક્લિયસો વચ્ચેનું ન્યુક્લિયર બળ અગત્યનું નથી.

પ્રશ્ન 6.
ધરા સ્થિતિમાં આવેલા બે H-પરમાણુ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત પામે છે. તેમની સંયુક્ત ગતિઊર્જાના ઘટાડાનું મહત્તમ મૂલ્ય,
(A) 10.20 eV
(B) 20.40 eV
(C) 13.6 eV
(D) 27.2 eV
જવાબ
(A) 10.20 eV

• શરૂઆતમાં બેમાંના દરેક હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા અવસ્થામાં ઊર્જા = 13.6 eV.
  હાઇડ્રોજનના બે પરમાણુની અથડામણ પહેલાની ગતિઊર્જા = 2 × 13.6 = 27.2 eV
• અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી પણ વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
• જો એક હાઇડ્રોજનનો પરમાણુ શરૂઆતમાં ઉત્તેજિત અવસ્થામાં જાય અને બીજો પરમાણુ ધરા અવસ્થામાં રહેતો હોય તો અથડામણ બાદ તેમની ગતિઊર્જા,
  = \(\frac{13.6}{n_f^2}+\frac{13.6}{n_i^2}\)
  = \(\frac{13.6}{(2)^2}+\frac{13.6}{(1)^2}=\frac{13.6}{4}\) + 13.6
  = 3.4 + 13 – 6 = 17.0eV
  તેથી તેમની સંયુક્ત ઊર્જામાં ઘટાડો = 27.2 – 17.0 = 10.2 eV

પ્રશ્ન 7.
કોઈ એક ઉત્તેજિત અવસ્થામાં આવેલ પરમાણુઓનો સમૂહ ક્ષય પામે છે,
(A) સામાન્ય રીતે નીચી ઊર્જાવાળી કોઈ પણ અવસ્થામાં જશે.
(B) ફક્ત બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રથી ઉત્તેજિત કરાયો હોય, તો જ નીચી અવસ્થામાં જશે.
(C) બધા જ એક સાથે નીચી અવસ્થામાં જશે.
(D) ફક્ત જ્યારે સંઘાત પામે ત્યારે જ ફોટોન ઉત્સર્જિત કરે છે.
જવાબ
(A) સામાન્ય રીતે નીચી ઊર્જાવાળી કોઈ પણ અવસ્થામાં જશે.
જ્યારે કોઈ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં આવેલ પરમાણુઓનો સમૂહ ક્ષય પામે ત્યારે સામાન્ય રીતે નીચી ઊર્જાવાળી કોઈ પણ અવસ્થામાં જશે. તેથી વિકલ્પ (A) સાચો.

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક અથવા એક કરતાં વધુ વિકલ્પ સાચા હોઈ શકે છે :

પ્રશ્ન 1.
એક આયોનાઇઝ્ડ H-અણુ બે પ્રોટોન અને એક ઇલેક્ટ્રોન ધરાવે છે. પ્રોટોન એકબીજાથી એન્ગસ્ટ્રોમ (angstrom) ના ક્રમના અંતરે છે. ધરા સ્થિતિમાં,
(A) ઇલેક્ટ્રૉન વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ નહીં કરે.
(B) તેની ઊર્જા, H-પરમાણુની ઊર્જા કરતાં (2)⁴ ગણી હશે.
(C) ઇલેક્ટ્રૉનની કક્ષા પ્રોટોનને ફરતે હોય છે.
(D) અણુ એ તરત જ પ્રોટોન અને H-પરમાણુમાં ક્ષય પામશે.
જવાબ
(A, C)

આયોનાઇઝ્ડ હાઇડ્રોજન અણુમાં બે પ્રોટોન્સ અને એક ઇલેક્ટ્રૉન હોય છે તેથી નાના અંતરે રહેલા બે પ્રોટોન્સની આસપાસ ઉપવલયાકાર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રૉન પરિભ્રમણ કરે છે. આ કક્ષા બે પ્રોટૉન્સની આસપાસ હોય છે. જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. જે વર્તુળાકાર કક્ષા હોતી નથી.
આથી વિકલ્પો (A) અને (C) સાચાં છે.

પ્રશ્ન 2.
મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનના કિરણપુંજનો મુક્ત પ્રોટોન તરફ મારો ચલાવવામાં આવે છે તેવું વિચારીએ. જ્યારે તે પ્રકીર્ણન પામે ત્યારે H-પરમાણુ બનાવવા માટે એક ઇલેક્ટ્રૉન અને એક પ્રોટોન સંયોજાઈ ન શકે.
(A) ઊર્જા-સંરક્ષણના કારણે.
(B) સાથોસાથ વિકિરણના સ્વરૂપમાં ઊર્જાને મુક્ત કર્યા વગર.
(C) વેગમાન સંરક્ષણના કારણે.
(D) કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના કારણે.
જવાબ
(A, B)

• જ્યારે ઇલેક્ટ્રૉનના કિરણપૂંજનો મુક્ત ઇલેક્ટ્રૉન તરફ મારો ચલાવવામાં આવે છે ત્યારે ઊર્જા સંરક્ષણના કારણે ઇલેક્ટ્રૉન્સનું પ્રકીર્ણન થાય છે. તેથી વિકલ્પ (A) સાચો છે.
• જો ઇલેક્ટ્રૉન અને પ્રોટોન સાથો-સાથ વિકિરણના સ્વરૂપે ઊર્જા મુક્ત કરે તો જ તેઓ ભેગા મળીને હાઇડ્રોજન પરમાણુ બનાવી શકે. તેથી વિકલ્પ (B) સાચો છે.

પ્રશ્ન 3.
એક H-પરમાણુના વર્ણપટ માટે બોહ્ર મૉડલ …………………
(A) હાઇડ્રૉજનના અણુ સ્વરૂપ પર લાગુ પડ્યું
(B) He ના પરમાણુ માટે હોવાથી લાગુ પડતું નથી.
(C) ફક્ત ઓરડાના તાપમાને જ માન્ય છે.
(D) સતત અને અસતત (discrete) વર્ણપટ રેખાઓની આગાહી કરે છે.
જવાબ (A, B)
બોહ્ર પરમાણુ મૉડલ, તેની કેટલીક મર્યાદાઓને કારણે H₂ અણુ ને લાગુ પાડી શકાતું નથી. વળી, તે H-૫૨માણુ માટે જ સૂચિત કરવામાં આવેલું છે. જે He-પરમાણુને લાગુ પડતું નથી.
⇒ વિકલ્પો (A) અને (B) સાચાં છે.

પ્રશ્ન 4.
……………………. H-પરમાણુ માટે બામર શ્રેણીનું અવલોકન કરી શકાય.
(A) જ્યારે કોઈ ઉત્તેજિત પરમાણુ ધરા સ્થિતિમાં આવે ત્યારે જો ઉત્સર્જિત પ્રકાશની આવૃત્તિઓનું આપણે માપન કરીએ તો,
(B) ઉત્તેજિત-અવસ્થાઓથી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં સંક્રાંતિઓ પામે તેના કારણે ઉત્સર્જિત પ્રકાશની આવૃત્તિઓનું આપણે માપન કરીએ તો,
(C) એક H-પરમાણુની કોઈ પણ સંક્રાંતિમાં
(D) આવૃત્તિઓની શ્રેણી તરીકે ઊંચી આવૃત્તિઓ સાથે પાસપાસે ગોઠવાય.
જવાબ
(B, D)
H-પરમાણુ માટે બામર શ્રેણીનું સૂત્ર \(\frac{1}{\lambda}\) = R (\(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}\))
(જ્યાં R = 1.097 × 10⁷m^-1 = રીડબર્ગનો અચળાંક)
અનુસાર n = 3, 4, 5, 6, ………………, ∞ (ઊંચી ઉત્તેજિત અવસ્થાઓ)માંથી n = 2 (પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા) માં થતી સંક્રાંતિઓમાં ઉત્સર્જાતા વિકિરણોને અનુરૂપ વર્ણપટ રેખાઓ H-પરમાણુ માટેની બામર શ્રેણીની રચના કરે છે. અત્રે વર્ણપટ રેખાઓ ક્રમશઃ નજીક ને નજીક ગોઠવાતી જાય છે.
⇒ વિકલ્પો (B) અને (D) સાચાં છે.

પ્રશ્ન 5.
H-પરમાણુની n મી કક્ષાની ઊર્જા E_n = \(\frac{-1 m e^4}{8 \varepsilon_0^2 n^2 h^2}\) લો. જો H ના બધા જ પરમાણુઓ ધરા-અવસ્થામાં હોય અને
આવૃત્તિ \(\frac{E_2-E_1}{h}\) ધરાવતું વિકિરણ તેના પર આપાત થાય તો
(A) તે સહેજ પણ શોષાશે નહીં.
(B) અમુક પરમાણુઓ પ્રથમ ઉત્તેજિત-અવસ્થા પર જશે.
(C) બધા જ પરમાણુઓ ઉત્તેજિત થઈ n = 2 અવસ્થા ૫૨ જશે.
(D) n = ૩ અવસ્થા પર કોઈ પણ પરમાણુ જશે નહીં.
જવાબ (B, D)

• n = 1 સ્થિતિમાં રહેલાં બધાં જ H-૫૨માણુઓમાંના ઇલેક્ટ્રૉન્સ સાથે તેમની કક્ષીય ગતિને કારણે તેમની પર આપાત થતાં \(\frac{\mathrm{E}_2-\mathrm{E}_1}{h}\) જેટલી આવૃત્તિઓવાળા બધા જ ફોટોનની અથડામણો થતી નથી. જે કોઈ ઇલેક્ટ્રૉન્સ સાથે ફોટોન્સની અથડામણો થાય છે તેમની અંતિમ ઊર્જા E’₂ = E₁ + hv
  ∴ E’₂ = E₁ + h(\(\frac{\mathrm{E}_2-\mathrm{E}_1}{h}\)) = E₂ બનતા તેઓ n = 2
  અવસ્થામાં એટલે કે પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં જશે.
  ⇒ વિકલ્પ (B) સાચો છે.
• અત્રે આપાત વિકિરણ દ્વારા મળતી ઊર્જા = E₂ – E₁ = – 3.4 – (- 13.6) = 10.2 eV છે. જે ધરાસ્થિતિમાંના ઇલેક્ટ્રૉનને n = 3 ઊર્જા સ્તરમાં લઈ જવા માટે પૂરતી નથી. તેથી એક પણ H-૫૨માણુ n = 3 ઊર્જાસ્તરમાં નહીં જાય.
  ⇒ વિકલ્પ (D) પણ સાચો છે.

પ્રશ્ન 6.
He⁴ પરમાણુ માટે સાદું બોહ્ર મોડલ લાગુ ન પડે, કારણ કે
(A) He⁴ એ નિષ્ક્રિય (Inert) વાયુ છે.
(B) He⁴ના ન્યુક્લિયસમાં ન્યૂટ્રૉન હોય છે.
(C) He⁴ પાસે એક વધુ ઇલેક્ટ્રૉન હોય છે.
(D) ઇલેક્ટ્રૉન પર કેન્દ્રીય બળો લાગુ પડતા નથી.
જવાબ (C, D)

• બોનું સાદું પરમાણુ મૉડલ, એક જ ઇલેક્ટ્રૉન ધરાવતા પરમાણુ માટે છે. જ્યારે ₂He⁴ પરમાણુને બે ઇલેક્ટ્રૉન્સ હોય છે.
  ⇒ વિકલ્પ (C) સાચો છે.
• He પરમાણુના ન્યુક્લિયસમાંના બે પ્રોટૉન્સ એક જ કેન્દ્રસ્થાને હોતા નથી અને તેથી ઇલેક્ટ્રૉન પરનું સ્થિત વિદ્યુતીય આકર્ષણ બળ, એક જ કેન્દ્ર તરફ એટલે કે કેન્દ્રીય રહેતું નથી. ⇒ વિકલ્પ (D) સાચો છે.

અતિટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

પ્રશ્ન 1.
H-પરમાણુનું દ્રવ્યમાન ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોનનાં દ્રવ્યમાનોના સરવાળા કરતાં ઓછું હોય છે. શા માટે આવું બને ?
ઉત્તર:
આઇન્સ્ટાઇનના વિશિષ્ટ સાપેક્ષવાદ મુજબ ઊર્જા એ દળના સમપ્રમાણમાં છે.
∴ E = mc² જ્યાં m દળનો નાશ થતાં ઉત્પન્ન થતી ઊર્જા E છે અને c એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ છે તથા દળક્ષય Δm = (m_p + m_e) – M જ્યાં M એ H પરમાણુનું દળ પણ બંધન ઊર્જા,
B . E = Δmc²
∴ \(\frac{\mathrm{B} \cdot \mathrm{E}}{c^2}\) = Δm ∴ \(\frac{\mathrm{B} \cdot \mathrm{E}}{c^2}\) = m_p + m_e – M
∴ M = m_p + m_e – \(\frac{\mathrm{B} \cdot \mathrm{E}}{c^2}\)
∴ M < m_p + m_e

પ્રશ્ન 2.
કલ્પના કરો કે He⁴ અને He³ માંથી એક ઇલેક્ટ્રોન દૂર કરીએ. બોહ્રના મૉડલના આધારથી તેમની ઊર્જાકક્ષાઓ એકદમ નજીક હશે. સમજાવો કે આવું કેમ થાય ?
ઉત્તર:
અત્રે ₂He³ અને ₂He⁴ એ હિલિયમના આઇસોટોપ્સ છે. તેમનામાંથી એક-એક ઇલેક્ટ્રૉન દૂર કર્યા બાદ બંને એક જ ઇલેક્ટ્રૉન ધરાવતા H-પરમાણુની જેમ જ વર્તે છે. તેમાંના ઇલેક્ટ્રૉનની પરિભ્રમણ કક્ષાની ત્રિજ્યા સૂત્ર r_n = \(\frac{\varepsilon_0 n^2 h^2}{\pi m Z e^2}\)
પ્રમાણે મળતા તેમના ઊર્જા સ્તરો પણ એકબીજાની ખૂબ નજીક નજીક મળે છે.

પ્રશ્ન 3.
જ્યારે કોઈ ઇલેક્ટ્રોન ઊંચી ઊર્જાકક્ષાથી નીચેની ઊર્જા કક્ષા પર સંક્રાંતિ પામે, ઊર્જાનો ફેરફાર વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણના સ્વરૂપે દેખાય છે. શા માટે ઊર્જાના બીજા સ્વરૂપે આ ફેરફાર ના ઉત્સર્જાય ?
ઉત્તર:
કારણ કે ઇલેક્ટ્રૉન, ન્યુક્લિયસની નજીકની કક્ષામાં આવતો જતો હોવાથી તેની ઝડપ વધી જાય છે એટલે કે તેનામાં પ્રવેગ ઉદ્ભવે છે. અત્રે ઇલેક્ટ્રૉન (જે વિદ્યુતભારિત કણ છે) પ્રવેગી ગતિ કરે તે દરમિયાન ઇલેક્ટ્રૉન બદલાતા જતાં વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધરાવતા ગાળાઓનું ઉત્સર્જન કરે છે જે વિકિરણ સ્વરૂપે જ હોય છે.

પ્રશ્ન 4.
જો પ્રોટૉનનો વિદ્યુતભાર (+\(\frac {4}{3}\))e અને ઇલેક્ટ્રોનનો વિધુતભાર (-\(\frac {3}{4}\)) e હોત. જ્યાં, e = 1.6 × 10^-19 C, તો શું બોહ્રનું સૂત્ર યથાવત્ રહે ? તમારા જવાબ માટેનાં કારણો આપો.
ઉત્તર:
હા, આ કિસ્સામાં બોહ્રનું સૂત્ર H-પરમાણુ માટે એનું એ જ રહ્યું હોત કારણ કે આ કિસ્સામાં પણ પ્રોટૉન અને ઇલેક્ટ્રૉન વચ્ચેનું કેન્દ્રગામી બળ (જે સ્થિત વિદ્યુતીય આકર્ષણ બળના સ્વરૂપે પૂરું પડે છે) એનું એ જ રહે છે. કારણ કે બંને કિસ્સામાં બળના માન સરખા મળે છે.

પ્રશ્ન 5.
બે જુદા-જુદા હાઇડ્રોજનના પરમાણુઓ ધ્યાનમાં લો. દરેક પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થામાં છે. શું ઇલેક્ટ્રૉન માટે શક્ય છે કે, બોહ્ર મોડલ પ્રમાણે, તેમના કોણીય વેગમાન સમાન હોવા છતાં તેમની ઊર્જાઓ અસમાન હોય ?
ઉત્તર:
ના, એવું ન બની શકે કારણ કે, H-પરમાણુમાં n મા ઊર્જા સ્તરમાં ઇલેક્ટ્રૉનની કુલ ઊર્જા E_n = – \(\frac{13.6}{n^2}\)eV
⇒ જો E_n નું મૂલ્ય જુદું-જુદું હોય તો n નું મૂલ્ય જુદું-જુદું હોય.
હવે l_n = \(\frac{n h}{2 \pi}\)
⇒ જો n નું મૂલ્ય જુદું-જુદું હોય તો કક્ષીય કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય l_n પણ જુદું-જુદું હોય.

ટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (SA)

પ્રશ્ન 1.
પોઝિટ્રોનિયમ (positronium) એ H-પરમાણુ જેવું જ છે કે જેમાં પ્રોટોનની જગ્યાએ ધન વિદ્યુતભારિત, ઇલેક્ટ્રોનનો વિરોધી કણ (anti-particle) (જેને પૉઝિટ્રૉન કહેવાય અને જે ઇલેક્ટ્રોન જેટલો જ ભારે હોય છે) લેવામાં આવે છે. પૉઝિટ્રોનિયમની ધરા-અવસ્થા ઊર્જા કેટલી હોય ?
ઉત્તર:

• અત્રે પૉઝિટ્રૉનિયમ પરમાણુમાં પૉઝિટ્રૉન અને ઇલેક્ટ્રૉનની જોડ, બાયનરી તંત્ર રચે છે જેમાં બંને કણ, તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ પરિભ્રમણ કરતા હોય છે. જો આ બે કણોને બદલે બાયનરી તંત્રને સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ પરિભ્રમણ કરતા એક જ કણ તરીકે લેવું હોય તો આપણે તે એક કણનું દળ, બાયનરી તંત્રના સમાનિત દળ (Reduced mass) તરીકે લેવું પડે છે. આ કિસ્સામાં તેનું મૂલ્ય,

• હવે H-૫૨માણુમાંના ઇલેક્ટ્રૉનની ધરાસ્થિતિમાંની ઊર્જા, (જ્યાં m_e = n = ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ)
  E₁ = – \(\frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2}\) = – 13.6 eV
• હવે, પૉઝિટ્રોનિયમ પરમાણુમાંના ઇલેક્ટ્રૉનની ધરાસ્થિતિમાંની ઊર્જા,

પ્રશ્ન 2.
ધારો કે એક પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચે અપાકર્ષી બળ ન હોય પણ ધન અને ઋણ વિધુતભાસે વચ્ચે બળ હંમેશની જેમ કુટંબના નિયમ વડે આપી શકાય. આવી પરિસ્થિતિ હેઠળ, He પરમાણુની ધરા અવસ્થા ઊર્જાની ગણતરી કરો.
ઉત્તર:

• રકમમાં કરેલી ધારણાને સાચી માનતા, He-પરમાણુ, H-પરમાણુની જેમ જ વર્તે છે અને તેથી તેને આ સંજોગોમાં બોહ્રનું પરમાણુ મૉડલ લાગુ પાડી શકાય છે. જે અનુસાર,

• અત્રે He-પરમાણુ માટે Z = 2 તથા તેની ધરાસ્થિતિ માટે n = 1 લેતાં,
  E₁ = 13.6 × \(\frac{(2)^2}{(1)^2}\)
  ∴ E₁ = – 54.4 eV

પ્રશ્ન 3.
જ્યારે H-પરમાણુ ધરા-અવસ્થામાં હોય ત્યારે બોહ્ર મોડલનો ઉપયોગ કરી ઇલેક્ટ્રોન વડે રચાતા વિદ્યુતપ્રવાહની ગણતરી કરો.
ઉત્તર:
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ધરા અવસ્થામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રૉનની કક્ષીય ત્રિજ્યા α₀ અને વેગ છે. v₀
પણ v₀ = α₀ω
v₀ = α₀ × \(\frac{2 \pi}{T}\) [∵ ω = \(\frac{2 \pi}{T}\)]
∴ T = \(\frac{2 \pi a_0}{v_0}\) …………….. (1)
અને રચાતો પ્રવાહ I = \(\frac{e}{\mathrm{~T}}\)
∴ I = \(\frac{e v_0}{2 \pi a_0}\)
જે માગેલો પ્રવાહ છે.

પ્રશ્ન 4.
દર્શાવો કે જ્યારે ઇલેક્ટ્રૉન n કરતાં ઊંચી કક્ષાઓથી n મી કક્ષા (જ્યાં, n > > 1) પર સંક્રાંતિ પામે ત્યારે ઉત્સર્જાતા પ્રકાશની પ્રથમ થોડીક આવૃત્તિઓ, આશરે હાર્મોનિક્સ (એટલે કે 1 : 2 : 3……… ના ગુણોત્તરમાં) હોય છે.
ઉત્તર:
Z-પરમાણુક્રમાંક ધરાવતા તત્ત્વના પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉન જ્યારે (n + x) મી કક્ષામાંથી (જ્યાં x = 1, 2, 3, …,) સંક્રાંતિ કરીને n મી કક્ષામાં જાય ત્યારે ઉત્સર્જાતા વિકિરણની આવૃત્તિ v અને તરંગલંબાઈ λ હોય તો સૂત્રાનુસાર,

અત્રે n >> 1 હોવાથી તથા x = 1, 2, 3, ………, હોવાથી n + x ≈ n (∵ x << n) તથા x² ને સરવાળામાંથી અવગણી શકાય છે તેથી,
v ≈ RcZ²(\(\frac{2 n x}{n^4}\))
∴ v ≈ (\(\frac{2 \mathrm{R} c \mathrm{Z}^2}{n^3}\))x
∴ v ∝ x
∴ v₁ : v₂ : v₃ = x₁ : x₂ : x₃
= 1 : 2 : 3

પ્રશ્ન 5.
ધરા-અવસ્થામાં આવેલ H-પરમાણુને કેટલી લઘુતમ ઊર્જા આપવી પડે કે જેથી તે બામર શ્રેણીની H_γ રેખાનું ઉત્સર્જન કરી શકે. જો તંત્રનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત હોય, તો H_γ ફોટોનનું કોણીય વેગમાન કેટલું હશે ?
ઉત્તર:

• બામર શ્રેણી માટે \(\frac{1}{\lambda}\) = R(\(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}\))
  જયાં n = 3, 4, 5, 6, અનુક્રમે H_α, H_β, H_γ, H_δ, ……. રેખાઓ માટે)
• અત્રે H_γ રેખા માટે n = 5 હોવાથી, પ્રસ્તુત કિસ્સામાં n = 1 સ્થિતિમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રૉનને આપવી પડતી લઘુતમ ઊર્જા, (ઇલેક્ટ્રૉન વોલ્ટમાં)
  E₅ – E₁ = – \(\frac{13.6}{n^2}\)-(-13.6)
  13.6 – \(\frac{13.6}{n^2}\)
  = 13.6 – \(\frac{13.6}{(5)^2}\) (∵ n = 5)
  13.6 (1 – \(\frac{1}{25}\)) = \(\frac{13.6 \times 24}{25}\)
  = 13.056 eV
• અત્રે ઉત્સર્જાતા H_γ ફોટોનનું કોણીય વેગમાન
  = ઇલેક્ટ્રૉનના કોણીય વેગમાનમાં થતો ઘટાડો
  = l₂ – l₂
  = \(\frac{5 h}{2 \pi}-\frac{2 h}{2 \pi}\)
  = \(\frac{5 h}{2 \pi}-\frac{2 h}{2 \pi}\)
  = \(\frac{3 \times 6.625 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14}\) = 3.165 × 10^-34 Js

દીર્ઘ જવાબી પ્રશ્નો (LA)

પ્રશ્ન 1.
H-પરમાણુની લાઇમન શ્રેણીની પ્રથમ ચાર વર્ણપટ રેખાઓ λ = 1218 Å, 1028 Å, 974.3 Å અને 951.4 Å છે. જો હાઇડ્રોજનના બદલે ડ્યુટેરિયમ (Deuterium) ધ્યાનમાં લઈએ, તો આ રેખાઓની તરંગલંબાઈમાં થતા ફેરફાર (shift) ની ગણતરી કરો.
ઉત્તર:

• રીડબર્ગના અચળાંકનું સૂત્ર R = \(\frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c}\) છે.
• ઉપરોક્ત સૂત્રની તારવણીમાં ન્યુક્લિયસને સૈદ્ધાંતિક રીતે લગભગ અનંત દળવાળું ધાર્યું હતું પરંતુ વ્યવહારમાં તો ન્યુક્લિયસના દળ પરિમિત હોય છે. તેથી રીડબર્ગનો અચળાંક, અચળાંક ન રહેતા જુદા-જુદા પરમાણુઓ માટે સહેજ સહેજ જુદો-જુદો મળે છે. આ સંજોગોમાં રીડબર્ગનો અચળાંક નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
  R = \(\frac{\mu e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c}\) ………….. (1)
  જ્યાં μ = ઇલેક્ટ્રૉનનું સમાનિત દળ (Reduced Mass)
  μ = \(\frac{\mathrm{M} m_e}{\mathrm{M}+m_e}\) ………….. (2) (જ્યાં m_e = ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ M = આપેલા પરમાણુમાંના ન્યુક્લિયસનું દળ)
• નોંધ : અત્રે ન્યુક્લિયસ અને ઇલેક્ટ્રૉન સંયુક્તપણે તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને પરિભ્રમણ કરતું એક બાયનરી તંત્ર બને છે. આવા તંત્રને બે કણોને બદલે ન્યુક્લિયસથી ઇલેક્ટ્રૉન જેટલા અંતરે આવેલો હોય તેટલા અંતરે \(\frac{\mathrm{M} m_e}{\mathrm{M}+m_e}\) દળવાળા એક જ કણ તરીકે લઈ શકાય છે આવા દળને ઇલેક્ટ્રૉનનું સમાનિત દળ કહે છે, અંગ્રેજીમાં તેને “Reduced Mass” કહે છે. તેની સંજ્ઞા μ છે (તેનો SI એકમ kg છે.)
• હવે સૂત્ર \(\frac{1}{\lambda}\) = R(\(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\)) માં લાઇમન શ્રેણી માટે શ્રેણી પદ m = 1 તથા તેની પ્રથમ ચાર વર્ણપટ રેખાઓ માટે અનુક્રમે રેખા પદ n = 2, 3, 4, 5 લેતાં આપેલી શ્રેણીની આપેલી રેખા માટે (\([\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}/latex]) પદ અચળ બનશે.
  તેથી [latex]\frac{1}{\lambda}\) ∝ R અથવા R ∝ \(\frac{1}{\lambda}\)
  પરંતુ R ∝ μ (સમીકરણ (1) પરથી)
  ∴ μ ∝ \(\frac{1}{\lambda}\)
  ∴ \(\frac{\mu_h}{\mu_d}=\frac{\lambda_d}{\lambda_h}\) (જ્યાં h = હાઇડ્રોજન d = ડ્યુટેરિયમ)
  ∴ λ_d = (\(\frac{\mu_h}{\mu_d}\))λ_d …………… (3)
• H-પરમાણુમાંના ઇલેક્ટ્રૉનનું સમાનિત દળ, (સમીકરણ (2) પરથી)
  μ_h = \(\frac{\mathrm{M} m_e}{\mathrm{M}+m_e}\) (જ્યાં M = H-પરમાણુના ન્યુક્લિયસનું દળ = એક પ્રોટૉનનું દળ = 1.67 × 10^-17 kg)

• સમીકરણ (3), (4), (5) પરથી,
  λ_d = (1 – \(\frac{m_e}{\mathrm{M}}\)) (1 + \(\frac{m_e}{2 \mathrm{M}}\))λ_h ………….. (6)
• હવે ઉપરોક્ત સમીકરણમાં,

= (1 – 0.0005449) (1 + 0.0002724)
= (0.9994551) (1.0002724)
= 0.9997274 (7)

• સમીકરણો (6), (7) પરથી,
  λ_d = 0.9997274 λ_h = ………….. (8)
  સમીકરણ (8) માં λ_h ના ૨કમમાં આપેલા ચાર મૂલ્યો મૂકતાં λ_d ના અનુરૂપ મૂલ્યો નીચે મુજબ મળે છે.

પ્રશ્ન 2.
¹H અને ²H ના એક ખાસ સંક્રાંતિ માટે તરંગલંબાઈમાં ફેરફારના માપન પરથી 1932 માં હેરોલ્ડ ઉરે (Harold Urey) એ ડ્યુટેરિયમ (Deuterium) ની શોધ કરી. આવું શક્ય છે કારણ કે સંક્રાંતિની તરંગલંબાઈ ન્યુક્લિયસના દ્રવ્યમાન પર અમુક હદ સુધી આધારિત છે. જો ન્યુક્લિયસની ગતિને ધ્યાનમાં લઈએ તો ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યુક્લિયસ તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને ફરતે પરિભ્રમણ કરે છે. આ તંત્ર, રિડ્યુસ્ડ દ્રવ્યમાન (reduced mass) u ધરાવતા અને ઇલેક્ટ્રોન-ન્યુક્લિયસ વચ્ચેના અંતર જેટલા અંતરે ન્યુક્લિયસની આસપાસ પરિભ્રમણ કરતા એક કણની સમકક્ષ છે. અહીં, μ = \(\) જ્યાં M એ ન્યુક્લિયર દ્રવ્યમાન અને m_e એ ઇલેક્ટ્રોનનું દ્રવ્યમાન છે. ¹H અને ²H માં લાઇમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખાની તરંગલંબાઈમાં પ્રતિશત ફેરફાર (percentage difference)નો અંદાજ કાઢો. (¹H ન્યુક્લિયસનું દ્રવ્યમાન = 1.6725 × 10^-27kg,
²H ન્યુક્લિયસનું દ્રવ્યમાન = 3.3374 × 10^-27 kg, ઇલેક્ટ્રોનનું દ્રવ્યમાન = 9.109 × 10^-31 kg).
ઉત્તર:
સૂત્રાનુસાર હાઇડ્રોજન અને ફ્રુટેરિયમ પરમાણુઓ માટે, (ઉપરોક્ત દાખલાના સમીકરણ (6) અનુસાર)
λ_d = (1 – \(\frac{m_e}{\mathrm{M}}\)) (1 + \(\frac{m_e}{2 \mathrm{M}}\))λ_h ………….. (6)
λ_d = (1 – \(\frac{9.109 \times 10^{-31}}{1.6725 \times 10^{-27}}\))(1 + \(\frac{9.109 \times 10^{-31}}{3.3374 \times 10^{-27}}\)) (1218)
∴ λ_d = (1 – 5.446 × 10^-4) (1 + 2.7294 × 10^-4)(1218)
∴ λ_d = (1 – 0.0005446) (1 + 0.0002729) (1218)
∴ λ_d = (0.9994554) (1.0002729) (1218)
∴ λ_d = 1217.6688 Å
ડ્યુટેરિયમ પરમાણુ માટે લાઇમન શ્રેણીની પ્રથમ વર્ણપટ રેખા માટે તેની તરંગલંબાઈમાં (હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટેની અનુરૂપ તરંગલંબાઈની સાપેક્ષે) થતો પ્રતિશત ઘટાડો,
= \(\frac{\Delta \lambda}{\lambda_h}\) × 100 %
= \(\frac{\lambda_h-\lambda_d}{\lambda_h}\) × 100 %
= \(\frac{1218-1217.6688}{1218}\) × 100 %
= \(\frac{0.3312}{1218}\) × 100 %
= 2.719 × 10^-2%
= 0.02719 %

પ્રશ્ન 3.
જો પ્રોટોનની ત્રિજ્યા હોય અને તેના પર વિધુતભાર સમાન રીતે વહેંચાયેલો હોય, તો બોહ્રવાદ મુજબ H પરમાણુની ધરા-અવસ્થા ઊર્જા શોધો. જ્યારે, (i) R = 0.1 Å અને (ii) R = 10Å હોય.
ઉત્તર:
હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા અવસ્થામાં mvr_B = h
∴ v = [lat]\frac{\hbar}{m r_{\mathrm{B}}}[/latex]
અને કેન્દ્રગામી બળ

∴ r_B = 0.51 Å ………….. (1)

R ત્રિજ્યા/sub ધરાવતા ગોળાકાર ન્યુક્લિયસ માટે,
જો R < r_B હોય, તો ધરા અવસ્થાની ઊર્જા ઉપ૨ મુજબ સમાન રહે.
જો R >> r_B હોય, તો નવી બોહ્ર ત્રિજ્યા અનુસાર ઇલેક્ટ્રૉન r’_Bત્રિજ્યાના ગોળાની અંદર ગતિ કરે. જ્યાં વિદ્યુતભાર e’
હોય તો,

∴ r’_B = (0.51 × 10^-10)^1/7 × (R)^6/7
હવે જો R = 0.1 Å ⇒
r’_B = (0.51 Å)^1/7 × (0.1)^6/7 Å ≈ 0.126 Å > R
અને R = 10 Å ⇒
r’_B = (0.51 Å)^1/7 × (10)^6/7 ≈ 7.19 Å <R
હવે ગતિઊર્જા,

= -3.44 eV

પ્રશ્ન 4.
ઑગર (Auger) પ્રક્રિયા (સારણી-પ્રક્રિયા)માં, ફોટોનનું ઉત્સર્જન કર્યા વગર પરમાણુ નીચલી અવસ્થામાં સંક્રાંતિ કરે છે. વધારાની ઊર્જા એક બાહ્ય ઇલેક્ટ્રોનને આપવામાં આવે છે કે જેને પરમાણુમાંથી બહાર પણ કાઢી શકાય (આને ઑગર (Auger)) ઇલેક્ટ્રૉન કહે છે.) ન્યુક્લિયસને ભારે ધારીને, n = 2 થી n = 1 ની સંક્રાંતિ દરમિયાન ઉત્સર્જાતી ઊર્જાને શોષીને ક્રોમિયમ દ્વારા ઉત્સર્જાતા n = 4 ઑગર ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જાની ગણતરી કરો.
ઉત્તર:
સૂત્રાનુસાર,
E_n = – 13.6\(\frac{Z^2}{n^2}\)
∴ E₂ = – 13.6 × \(\frac{(24)^2}{(2)^2}\) (∵ ક્રોમિયમ પ૨માણુ માટે Z = 24 તથા અત્રે n = 2)
∴ E₂ = – 1958.4 eV
હવે, E₁ = -13.6 × \(\frac{(24)^2}{(1)^2}\)
∴ E₁ = – 7833.6 eV
⇒ E₂ > E₁
⇒ મળતી ઊર્જા,
ΔE = E₂ – E₁
∴ ΔΕ = – 1958.4 (-7833.6)
= 7833.6 – 1958.4
∴ ΔΕ = 5875.2 eV ……………. (1)
હવે, ક્રોમિયમ પરમાણુમાં n = 4 સ્થિતિમાં ઇલેક્ટ્રૉનની કુલ ઊર્જા,
E₄ = – 13.6 × \(\frac{(24)^2}{(4)^2}\)
∴ E₄ = – 489.6 eV
⇒ ઉપરોક્ત ઇલેક્ટ્રૉનને ΔE = 5875.2 eV ઊર્જા આપવામાં આવે ત્યારે તે આ ઊર્જામાંથી 489.6 eV ઊર્જા પોતાના ઉત્સર્જન માટે વાપરશે અને બાકીની ઊર્જા ગતિઊર્જા સ્વરૂપે ધારણ કરશે. તેનું મૂલ્ય,
K = 5875.2 – 489.6
∴ K = 5385.6 eV
નોંધ : અત્રે ઉપરોક્ત ઇલેક્ટ્રૉન – 489.6 eV જેટલી કુલ ઊર્જા ધરાવે છે તેથી તેને પરમાણુના બંધનમાંથી મુક્ત કરવા માટે આપવી પડતી લઘુતમ ઊર્જા, 489.6 eV થાય. આટલી ઊર્જા મળવાથી તે ઇલેક્ટ્રૉનની કુલ ઊર્જા – 489.6 + 489.6 = 0 થતાં તે પરમાણુના બંધનમાંથી મુક્ત થાય છે અને આ રીતે આપણને ક્રોમિયમ પરમાણુમાંથી આપણને “n 4 ઑગર ઇલેક્ટ્રૉન” મળે છે જે ઉપરોક્ત ગતિઊર્જા સાથે ઉત્સર્જન પામે છે.

પ્રશ્ન 5.
ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચે લાગતા બળ માટેનો સ્થિત વિદ્યુતશાસ્ત્રનો વ્યસ્ત વર્ગનો નિયમ \(|\vec{F}|=\frac{e^2}{\left(4 \pi \varepsilon_0\right) \cdot r^2}\) છે. \(|\overrightarrow{\mathbf{F}}|\) નો (\(\frac{1}{r}\)) પરનો આધાર ક્વૉન્ટમવાદ દ્વારા એવી રીતે સમજી શકાય કે, પ્રકાશનો કણ (ફોટોન) દ્રવ્યમાનરહિત છે તે હકીકતના કારણે છે. જો ફોટોનનું દ્રવ્યમાન m_p હોત તો બળને સુધારીને \(|\overrightarrow{\mathrm{F}}|=\frac{e^2}{\left(4 \pi \varepsilon_0\right) r^2}\left[\frac{1}{r^2}+\frac{\lambda}{r}\right]\).exp(- λr)
જયં λ = \(\frac{m_p c}{\hbar}\) , h = \(\frac{h}{2 \pi}\)
જો m_p એ ઇલેક્ટ્રૉનના દ્રવ્યમાનનું 10^-6 ગણું હોય, તો H-પરમાણુની ધરા-અવસ્થા ઊર્જામાં ફેરફારનો અંદાજ મેળવો.
ઉત્તર:

∴ λ = 2.588 × 10⁶ m^-1 ………….. (1)
નોંધ : અત્રે λ = \(\frac{m_p c}{\hbar}\) એ માત્ર અચળાંક છે, તે કોઈ તરંગલંબાઈ નથી (કારણ કે તેનો એકમ m^-1 મળે છે.)
હવે બોહ્ર ત્રિજ્યા
R_B = 0.53 Å = 5.3 × 10^-11 m
∴ λ >> R_B …………… (2)




સમીકરણ (6) અને (12) પરથી,


સમીકરણો (13) અને (16) નો સરવાળો કરતાં અંતિમ સ્થિતિમાં કુલ ઊર્જા E_f = 13.6(1 + 2λr_B) – 27.2 eV
પરંતુ E_i = – 13.6 eV
– કુલ ઊર્જાનો માંગેલો ફેરફાર,
ΔE = = E_f – E_i
= 13.6 (1 + 2λr_B) – 27.2 (-13.6)
= 13.6 (1 + 2λr_B) – 27.2 + 13.6
= 13.6 (1 + 2λr_B) – 13.6
= 13.6 +27.2λr_B – 13.6
∴ ΔE = 27.2λr_B eV

પ્રશ્ન 6.
H-પરમાણુ માટેનો બોહ્ર મોડલ એ સ્થિત વિદ્યુતશાસ્ત્રના કુલંબના નિયમ પર આધાર રાખે છે. એન્ગેસ્ટ્રોમ (Angstrom) ના ક્રમનાં અતિ લઘુઅંતરો માટે કુલંબના નિયમને સીધું ચકાસાયેલ નથી. તે અસમાન વિધુતભાર +q₁ અને -q₂ વચ્ચે લાગતા કુલંબના નિયમને સુધારેલું ધારતાં,
\(|\vec{F}|=\frac{q_1 q_2}{\left(4 \pi \varepsilon_0\right)} \frac{1}{r^2}\), r ≥ R₀
= \(\frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{\mathbf{R}_0^2}\left(\frac{\mathbf{R}_0}{r}\right)^{\varepsilon}\), r ≥ R₀
જો ε = 0.1, R₀ = 1 Å હોય, તો આ કિસ્સામાં H-પરમાણુની ધરા-અવસ્થા ઊર્જાની ગણતરી કરો.
ઉત્તર: