GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 10 તરંગ પ્રકાશશાસ્ત્ર

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 10 તરંગ પ્રકાશશાસ્ત્ર Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 10 તરંગ પ્રકાશશાસ્ત્ર

GSEB Class 12 Physics તરંગ પ્રકાશશાસ્ત્ર Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
589 nm તરંગલંબાઈ ધરાવતો એકરંગી પ્રકાશ હવામાંથી પાણીની સપાટી ઉપર આપાત થાય છે. તો (a) પરાવર્તિત અને (b) વક્રીભૂત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ, આવૃત્તિ અને ઝડપ કેટલી હશે ? પાણીનો વક્રીભવનાંક 1.33 છે.
ઉત્તર:
પ્રકાશની હવામાં તરંગલંબાઈ λ = 589 nm = 589 × 10^-9 m
હવામાં ઝડપ c = 3 × 10⁸ m/s
પાણીનો વક્રીભવનાંક μ_w = 1.33

(a) પરાવર્તિત પ્રકાશ માટે, ઝડપ અને તરંગલંબાઈ, આપાત પ્રકાશની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ જેટલી હોય.
∴ ઝડપ c = 3 × 10⁸ m/s અને
તરંગલંબાઈ λ = 589 × 10^-9 m
તથા આવૃત્તિ v = \(\frac{c}{\lambda}=\frac{3 \times 10^8}{589 \times 10^{-9}}\)
∴ V = 0.00509 × 10¹⁷ Hz
∴ V × 5.09 × 10¹⁴ Hz

(b) વક્રીભૂત પ્રકાશ માટે આવૃત્તિ અચળ રહે અને તરંગલંબાઈ તથા ઝડપ બદલાય.
∴ આવૃત્તિ v = 5.09 × 10¹⁴ Hz

∴ u_w = \(\frac{c}{\mu_{\mathrm{w}}}=\frac{3 \times 10^8}{1.33}\)
= 2.2556 × 10⁸
≈ 2.26 × 10⁸ m/s
અને તરંગલંબાઈ,
λ_w = \(\frac{v_{\mathrm{W}}}{\mathrm{v}}=\frac{2.26 \times 10^8}{5.09 \times 10^{14}}\)
∴ λ_w = 0.444 × 10^-6
∴ λ_w ≈ 444 × 10^-9 m

પ્રશ્ન 2.
નીચેના આપેલા દરેક કિસ્સા માટે તરંગઅગ્રનો આકાર શું હશે ?
(a) બિંદુવત્ત ઉદ્ગમમાંથી ફેલાતો પ્રકાશ.
(b) બહિર્ગોળ લેન્સમાંથી નિર્ગમન પામતો પ્રકાશ કે જ્યારે બિંદુવત્ત ઉદ્ગમ તેના કેન્દ્ર ઉપર મૂકેલ હોય.
(c) દૂર રહેલા તારાના પ્રકાશના તરંગઅગ્રનો પૃથ્વી દ્વારા આંતરાતો ભાગ.
ઉત્તર:
(a) ગોળાકાર તરંગઅગ્ર : કારણ કે ગોળા પર આવેલા બધા બિંદુઓ આપેલાં બિંદુથી સમાન અંતરે આવેલાં છે તેથી સમાન કળામાં છે.

(b) સમતલ તરંગઅગ્ર : કારણ કે, બિંદુવત્ ઉદ્ગમ જ્યારે બહિર્ગોળ લેન્સના કેન્દ્ર પર હોય ત્યારે લેન્સમાંથી નિર્ગમન પામતા કિરણો સમાંતર હોય તેથી સમતલ તરંગઅગ્ર રચે.

(c) સમતલ તરંગઅગ્ર : કારણ કે, ખૂબ જ મોટા અંતરે ગોળાકાર તરંગઅગ્રનો નાનો ભાગ લગભગ સમતલ હોય છે.

પ્રશ્ન 3.
(a) કાચનો વક્રીભવનાંક 1.5 છે. પ્રકાશની કાચમાં ઝડપ કેટલી હશે ?
(શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ 3.0 × 10⁸ ms^-1 છે.)
(b) શું પ્રકાશની કાચમાં ઝડપ પ્રકાશના રંગથી સ્વતંત્ર છે ? જો ના તો બે રાતા અને જાંબલી એ બે રંગોમાંથી કો રંગ કાચના પ્રિઝમમાંથી ધીમે ગતિ કરશે ?
ઉત્તર:
(a) અહીં μ = 1.5, c = 3.0 × 10⁸ ms^-1

(b) ના, માધ્યમમાં વક્રીભવનાંક પ્રકાશની તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખે છે તેથી માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ પણ તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખે છે. કાચમાં પ્રકાશની ઝડપ પ્રકાશના રંગથી સ્વતંત્ર નથી. જાંબલી રંગનો પ્રકાશ કાચના પ્રિઝમમાંથી ધીમેથી ગતિ કરશે. જ્યારે રાતા રંગનો પ્રકાશ ઝડપથી ગતિ કરશે કારણ કે, μ = \(\frac{c}{v}\)
અને μ_V > μ_R અને કાચમાં જાંબલી રંગની ઝડપ, રાતા રંગના પ્રકાશની ઝડપ કરતાં ઓછી હોય છે.
(નોંધ : જ્યારે કોઈ ચોક્કસ તરંગલંબાઈ કે પ્રકાશનો રંગ ન આપેલ હોય તો સરેરાશ પીળા રંગના વક્રીભવનાંકને લઈ શકીએ.)

પ્રશ્ન 4.
યંગના બે-લિટના પ્રયોગમાં, બે સ્લિટો વચ્ચેનું અંતર 0.28 mm અને પડદો 1.4 m દૂર મૂકેલો છે. મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકા અને ચોથી પ્રકાશિત શલાકા વચ્ચેનું અંતર 1.2 cm જેટલું માપવામાં આવે છે. પ્રયોગમાં વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ શોધો.
ઉત્તર:
અહીં બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર d = 0.28 mm 28 × 10^-3 cm સ્વિટો અને પડદા વચ્ચેનું અંતર D = 1.4m = 140 cm મધ્યસ્થ પ્રકાશિત અને ચોથી પ્રકાશિત શલાકા વચ્ચેનું અંતર
x₄ = 1.2 cm
⇒ ‘n’ મી પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન,
x_n = \(\frac{n \lambda \mathrm{D}}{d}\)
∴ x₄ = \(\frac{4 \times \lambda \mathrm{D}}{d}\) [∵ n = 4]
λ = \(\frac{x_4 d}{4 \mathrm{D}}=\frac{1.2 \times 28 \times 10^{-3}}{4 \times 140}\) = 0.06 × 10^-3
∴ λ = 6000 × 10^-8 cm
∴ λ = 6000 Å [∵ 10^-8 cm = 1 Å]

પ્રશ્ન 5.
λ જેટલી એકરંગી તરંગલંબાઈ ધરાવતા પ્રકાશ સાથે કરેલા યંગના બે-સ્વિટના પ્રયોગમાં, પડદા પરના જે બિંદુએ પથ તફાવત λ જેટલો થાય ત્યાં તીવ્રતા K એકમ છે. જ્યાં પથ તફાવત \(\frac{\lambda}{3}\) થાય તે બિંદુ આગળ પ્રકાશની તીવ્રતા કેટલી હશે?
ઉત્તર:

• અહીં જ્યારે પથતફાવત P₁ = λ ⇒ તીવ્રતા I₁ = K
  અને જ્યારે પથતફાવત P₂ = \(\frac{2 \lambda}{3}\) ⇒ તીવ્રતા I₂ = ?
  ⇒ કળાતફાવત = \(\frac{2 \pi}{\lambda}\) × પથતફાવત
  Φ₁ = \(\frac{2 \pi}{\lambda}\) × λ
  Φ₁ = 2π rad
  અને Φ₂ = \(\frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3}\)
  ∴ Φ₂ = \(\frac{2 \pi}{3}\) rad
• I₁ અને I₂ તીવ્રતાવાળા પ્રકાશના સંપાતીકરણના લીધે મળતી તીવ્રતા I હોય તો,
  I = I₁ + I₂ + 2\(\sqrt{\mathrm{I}_1 \mathrm{I}_2}\) cosΦ
  પણ I₁ = I₂ = I₀ ધારો.
  ∴ પ્રથમ કિસ્સામાં,
  K = I₀ + I₀ + 2I₀cosΦ₁
  K = 2I₀ + 2I₀cos2π
  = 2I₀ + 2I₀ [∵ cos2π = 1]
  ∴ K = 4I₀
• બીજા કિસ્સામાં,
  I = I₀ + I₀ + 2I₀cosΦ₂
  ∴ K’ = 2I₀ + 2I₀ cos\(\frac{2 \pi}{3}\)
  = 2I₀ + 2I₀ × (- \(\frac {1}{2}\)) [∵ cos\(\frac{2 \pi}{3}\) = – \(\frac {1}{2}\)]
  = 2I₀ – I₀
  ∴ K’ = I₀
  ∴ \(\frac{\mathrm{K}^{\prime}}{\mathrm{K}}=\frac{\mathrm{I}_0}{4 \mathrm{I}_0}=\frac{1}{4}\)
  ∴ K’ = \(\frac{\mathrm{K}}{4}\)

પ્રશ્ન 6.
d = 2 mm અને D = 120 cm હોય ત્યારે રંગના બે- લિટના પ્રયોગમાં વ્યતિકરણ શલાકાઓ મેળવવા માટે 650 nm અને 520 nm બે તરંગલંબાઈઓ ધરાવતા પ્રકાશ કિરણપૂંજનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
(a) 650 nm તરંગલંબાઈ માટે પડદા પરની ત્રીજી પ્રકાશિત શલાકાનું મધ્યસ્થ અધિક્તમથી અંતર શોધો.
(b) બંને તરંગલંબાઈઓને કારણે મળતી પ્રકાશિત શલાકાઓ એકબીજા પર સંપાત થાય તે માટેનું મધ્યસ્થ અધિકતમથી ઓછામાં ઓછું અંતર શોધો.
ઉત્તર:
અહીં, d = 2 mm = 2 × 10^-3 m
D = 120 cm = 1.2 m
λ₁ = 650 nm = 65 × 10^-8 m
λ₂ = 520 nm = 52 × 10^-8 m

(a) λ₁ તરંગલંબાઈવાળા પ્રકાશ માટે મધ્યસ્થ અધિકતમથી ત્રીજી પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર,
x₃ = \(\frac{3 \lambda_1 \mathrm{D}}{d}=\frac{3 \times 65 \times 10^{-8} \times 1.2}{2 \times 10^{-3}}\)
= 117 × 10^-5 = 1.17 × 10^-3 m
∴ x₃ = 1.17 mm

(b) ધારો કે, λ₁ તરંગલંબાઈવાળા પ્રકાશથી n₁ શલાકા અને λ₂ તરંગલંબાઈવાળા પ્રકાશથી મળતી n₂ મી પ્રકાશિત શલાકાઓ મધ્યસ્થ અધિકતમથી x અંતરે મળે છે.
∴ n₁β₁ = n₂β₂
n₁\(\frac{\lambda_1 \mathrm{D}}{d}\) = n₂\(\frac{\lambda_2 \mathrm{D}}{d}\)
∴ n₁λ₁ = n₂λ₂
∴ n₁ = n₁ અને n₂ = n₁ + 1
∴ n₁λ₁ = (n₁ + 1)λ₂
∴ \(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}=\frac{n_1+1}{n_1}\)
∴ \(\frac{65 \times 10^{-8}}{52 \times 10^{-8}}=\frac{n_1+1}{n_1}\)
∴ 5n₁ = 4n₁ + 4
∴ n₁ = 4
મધ્યસ્થ અધિકતમથી પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર,
x = \(\frac{n_1 \lambda_1 \mathrm{D}}{d}\)
= \(\frac{4 \times 65 \times 10^{-8} \times 1.2}{2 \times 10^{-3}}\)
= 156 × 10^-5 1.56 × 10^-3 m
= 1.56mm

પ્રશ્ન 7.
બે-સ્લિટના પ્રયોગમાં 1 મી દૂર મૂકેલા પડદા પર એક શલાકાની કોણીય પહોળાઈ 0.2° મળે છે. વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ 600 nm છે. જો આખાય પ્રાયોગિક સાધનને પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે તો તે શલાકાની કોણીય પહોળાઈ કેટલી થશે ? પાણીનો વક્રીભવનાંક \(\frac {4}{3}\) લો.
ઉત્તર:
સ્કિટોથી D અંતરે રાખેલા પડદા પર રચાતી શલાકાની પહોળાઈ β હોય તો, કોણીય પહોળાઈ,
θ = \(\frac{\beta}{\mathrm{D}}=\frac{\lambda \mathrm{D}}{d \mathrm{D}}=\frac{\lambda}{d}\) [∵ β = \(\frac{\lambda \mathrm{D}}{d}\)]
∴ d = \(\frac{\lambda}{\theta}\) …………… (1)
⇒ જો પાણીમાં તરંગલંબાઈ λ’ અને કોણીય પહોળાઈ 8′ હોય તો,
∴ d = \(\frac{\lambda^{\prime}}{\theta^{\prime}}\) …………….. (2)
∴ સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
\(\frac{\lambda}{\theta}=\frac{\lambda^{\prime}}{\theta^{\prime}}\)
∴ θ’ = θ × \(\frac{\lambda^{\prime}}{\lambda}\)
પણ વક્રીભવનાંક μ = \(\frac{c}{v}=\frac{\lambda v}{\lambda^{\prime} v}=\frac{\lambda}{\lambda^{\prime}}\)
∴ θ’ = θ × \(\frac{1}{\mu}\)
(નોંધ : જો વિવર્તન ભાતની મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ માંગે તો આ પહોળાઈ = \(\frac{2 \lambda \mathrm{D}}{d}\) જ્યારે બાકીના અધિકતમોની રેખીય પહોળાઈ = \(\frac{\lambda \mathrm{D}}{d}\) છે. જ્યાં d = સ્વિટની પહોળાઈ છે.)
∴ θ’ = \(\frac{0.2^{\circ}}{4 / 3}\) = 0.15°

પ્રશ્ન 8.
હવામાંથી કાચમાં જતા પ્રકાશ માટે બ્રુસ્ટર કોણ કેટલો હશે ? (કાચનો વક્રીભવનાંક 1.5).
ઉત્તર:
બ્રુસ્ટરના નિયમ પરથી,
tani_β = μ
∴ i_β = tan^-1(μ)
∴ i_β = tan^-1(1.5)
∴ i_β = 56.3°
નોંધ : જો વક્રીભૂતકોણ માંગેલ હોત તો,
r = 90° – i_B = 90° – 56.3°, r = 33.7°

પ્રશ્ન 9.
એક સમતલ પરાવર્તક સપાટી ઉપર 5000 Å તરંગલંબાઈનો પ્રકાશ આપાત થાય છે. પરાવર્તિત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ અને આવૃત્તિ કેટલી હશે ? કયા આપાતકોણે, પરાવર્તિત કિરણ એ આપાતકિરણને લંબ હશે ?
ઉત્તર:
આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ અને આવૃત્તિ (ઝડપ) જેટલી જ પરાવર્તિત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ અને આવૃત્તિ (ઝડપ) હોય છે.
∴ પરાવર્તિત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ = 5000 Å

v = \(\frac{c}{\lambda}=\frac{3 \times 10^8}{5 \times 10^{-7}}\)
∴ v = 0.6 × 10¹⁵ Hz
∴ v = 6 × 10¹⁴ Hz
હવે પરાવર્તનના નિયમ પરથી,
આપાતકોણ i પરાવર્તનકોણ r
પણ પરાવર્તિત કિરણ, આપાતિકરણને લંબ છે.
∴ i + r = 90°
∴ i + i = 90° [∵ i = r]
∴ 2i = 90°
∴ i = 45°

પ્રશ્ન 10.
4 mm જેટલી અડચણ અને 400 nm તરંગલંબાઈ માટે અંતરનો અંદાજ માંડો કે જેના માટે કિરણ પ્રકાશવિજ્ઞાન એ સારી સંનિકટતા હોય.
ઉત્તર:

• અહીં દર્પણ મુખ a = 4mm = 4 × 10^-3m
  તરંગલંબાઈ λ = 400 nm = 4 × 10^-7 m
• કિરણ પ્રકાશવિજ્ઞાન એ ફ્રેનલ અંતર Z_f સુધી સારી સંનિકટતા ધરાવે છે.
  ∴ Z_f = \(\frac{a^2}{\lambda}=\frac{\left(4 \times 10^{-3}\right)^2}{4 \times 10^{-7}}\)
  ∴ Z_f = 40 m
  ⇒ આમ, દર્પણ મુખથી 40 m અંતર સુધી કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર માન્ય છે.

પ્રશ્ન 11.
એક તારામાં હાઇડ્રોજન દ્વારા ઉત્સર્જિત 6563 Å ની H_α રેખા 15 Å જેટલી Red-Shift થયેલી જણાય છે. તારાની પૃથ્વીથી દૂર જવાની ઝડપનો અંદાજ શોધો.
ઉત્તર:
અહીં λ = 6563 Å, Δλ = 15 Å
હવે પ્રકાશ માટેની ડૉપ્ટર અસર પરથી,
\(\frac{\Delta \lambda}{\lambda}=-\frac{v}{c}\)
∴ v = –\(\frac{\Delta \lambda}{\lambda}\).c
= × 3 × 10⁸
= – 0.0068566 × 10⁸
∴ v ≈ – 6.86 × 10⁵ m/s^-1
ઋણ ચિહ્ન સૂચવે છે કે તારો પૃથ્વીથી દૂર જાય છે.

પ્રશ્ન 12.
કણવાદ એ પ્રકાશના માધ્યમ, ધારો કે પાણીમાં ઝડપ, શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ કરતા વધારે હોવાનું અનુમાન કેવી રીતે કરે છે ? તે સમજાવો. શું પ્રાયોગિક રીતે પાણીમાં મપાયેલ પ્રકાશની ઝડપ આ અનુમાનની પુષ્ટિ કરે છે ? જો ના, તો પ્રકાશ માટે બીજું કયું માનસચિત્ર એ પ્રયોગ સાથે સુસંગતતા ધરાવે છે ?
ઉત્તર:
પ્રકાશના કણવાદ અનુસાર જ્યારે ઘટ્ટ માધ્યમ અને પાતળા માધ્યમને છૂટી પાડતી સપાટી xy પર પ્રકાશના સૂક્ષ્મ કણો અથડાય ત્યારે પ્રકાશના કણો સપાટીને લંબ આકર્ષણ બળ અનુભવે છે તેથી વેગનો લંબઘટક વધે છે પણ માધ્યમોને છૂટી પાડતી સપાટીની દિશામાં વેગના ઘટકો અચળ રહે છે.

• ધારો કે, આકૃતિમાં બે માધ્યમોને છૂટી પાડતી આંતર સપાટી ×y છે.
• પાતળા માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ v₁ છે.
  ઘટ્ટ માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ v₂ છે.
  આપાતકોણ i અને વક્રીભૂતકોણ r છે.
• વેગ v₁ નો xy દિશામાં ઘટક = v₁sin i
  વેગ v₂ નો xy દિશામાં ઘટક = v₂sin r
  પણ આ ઘટકો સમાન (અચળ) રહે છે.
  ∴ v₁sini = v₂sinr
  ∴ \(\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_2}{v_1}\)
  ∴ µ = \(\frac{v_2}{v_1}\)
  પણ ઘટ્ટ માધ્યમના વક્રીભવનાંકનું મૂલ્ય 1 કરતાં મોટું હોય.
  ∴ µ > 1
  ∴ \(\frac{v_2}{v_1}\) > 1
  ∴ v₂ > v₁
• એટલે કે પાણીમાં પ્રકાશની ઝડપ વધુ હોય જે પ્રાયોગિક અવલોકનો (v₂ < v₁) થી વિરુદ્ધ છે પણ હાઇગેન્સના તરંગવાદ અનુસાર આ સુસંગત છે.

પ્રશ્ન 13.
તમે પુસ્તકમાં ભણી ગયા કે કેવી રીતે હાઈગેન્સનો સિદ્ધાંત પરાવર્તન અને વક્રીભવનના નિયમો તરફ દોરી જાય છે. આ જ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરી એક સમતલ અરીસાની સામે રાખેલ બિંદુવત્ત પદાર્થના આભાસી પ્રતિબિંબનું અરીસાથી અંતર, અરીસાથી વસ્તુ અંતર જેટલું હોય છે તેમ સાબિત કરો.
ઉત્તર:

• ધારો કે, XY-સમતલ અરીસાથી OP લંબઅંતરે સામે બિંદુત્ વસ્તુ O છે.
• O બિંદુ આગળથી ગોળાકાર તરંગો શરૂ થાય છે. તરંગઅગ્રનો RPQ ભાગ સમતલ અરીસાને P બિંદુ આગળ સ્પર્શે છે.
• R અને Q બિંદુ આગળ વિક્ષોભ OR અને OQ ને લંબરૂપે પ્રસરે છે પણ P બિંદુ આગળથી તરંગઅગ્ર પરાવર્તન પામીને B’ પર પહોંચે ત્યારે R અને Q એ સમતલ અરીસાને સ્પર્શે. જે પરાવર્તિત તરંગઅગ્ર AB’C આપે છે.

• ABC એ તરંગઅગ્રની આભાસી સ્થિતિ છે.
• પરાવર્તિત તરંગઅગ્ર AB’C એ I બિંદુ આગળથી શરૂ થાય છે.
• I એ વાસ્તવિક વસ્તુ O નું આભાસી પ્રતિબિંબ છે.
• AN ⊥ XY દોરો તેથી \(\overrightarrow{\mathrm{AN}}\)||\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\)
• ABC તરંગઅગ્રને લંબ \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) આપાતિકરણ અને \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) એ પરાવર્તિત કિરણ છે. જે પરાવર્તિત તરંગઅગ્રને લંબ છે.
  ∴ ∠OAN = ∠DAN = θ
  પણ ∠OAN = ∠AOP (અભિકોણ)
  અને ∠DAN = ∠AIP (અનુકોણો)
  ∴ ∠AOP = ∠AIP
  ∴ ΔAIP અને ΔAOP માં
  ∴ ∠AIP = ∠AOP
  ∠API = ∠APO કાટકોણ
  અને AP = AP
  ∴ બંને ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
  ∴ PI = PO
  ∴ પ્રતિબિંબ અંતર = વસ્તુઅંતર
  આમ, અરીસાની સામે વસ્તુનું આભાસી પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ મળે.

પ્રશ્ન 14.
આપણે પ્રકાશ તરંગના પ્રસરણની ઝડપને શક્યતઃ અસર કરતા હોય તેવા કેટલાક મુદ્દાઓની સૂચિ બનાવીએ.
(i) ઉદ્ગમનો પ્રકાર
(ii) પ્રસરણ દિશા
(iii) ઉદ્ગમની અને / અથવા અવલોકનકારની ગતિ
(iv) તરંગલંબાઈ
(v) તરંગની તીવ્રતા
ઉપરના કયા મુદ્દાઓ પર
(a) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ;
(b) માધ્યમ (ધારો કે કાચ અથવા પાણી)માં પ્રકાશની ઝડપ; આધાર (જો રાખતા હોય તો) રાખે છે ?
ઉત્તર:
(a) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ એ એક સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને તે અત્રે આપેલા બધા જ પરિબળો અને અન્ય કોઈ બાબત પર આધારિત નથી એટલે આ પરિબળોથી સ્વતંત્ર છે.
– આઇન્સ્ટાઇનના વિશિષ્ટ સાપેક્ષતાવાદ પરથી શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ એ ઉદ્ગમ અને અવલોકનકારની સાપેક્ષ ગતિથી પણ સ્વતંત્ર છે.

(b) માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપનો આધાર…

• ઉદ્દ્ગમના પ્રકાર પર આધારિત નથી. કારણ કે, માધ્યમમાં પ્રકાશના તરંગની ઝડપ એ માધ્યમમાં પ્રસરણ પામતા માધ્યમના ગુણધર્મો પરથી નક્કી થાય છે.
  1. પણ ધ્વનિના તરંગો, પાણી પરના તરંગો માટે ધ્વનિની ઝડપ માધ્યમ પર આધાર રાખે છે.
• જ્યારે માધ્યમ સદિધર્મી હોય ત્યારે પ્રકાશની ઝડપ પ્રસરણ દિશા પર આધારિત નથી પણ પ્રસરણ દિશાથી સ્વતંત્ર છે.
• માધ્યમની સાપેક્ષે ઉદ્ગમની ગતિથી સ્વતંત્ર હોય છે. પરંતુ, માધ્યમની સાપેક્ષે અવલોકનકારની ગતિ પર આધાર રાખે છે.
• મોટી કે નાની તરંગલંબાઈ માટે પ્રકાશની ઝડપ અનુક્રમે વધારે અથવા ઓછી હોય છે. આમ, તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખે છે.
• શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ એ પ્રકાશની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.

પ્રશ્ન 15.
ધ્વનિ તરંગો માટે, બે પરિસ્થિતિઓ : (i) સ્થિર ઉદ્ગમ; અવલોકનકાર ગતિમાં અને (ii) ઉદ્ગમ ગતિમાં, અવલોકનકાર સ્થિર, માટે આવૃત્તિના ફેરફાર (Shift)નું સૂત્ર થોડુંક જુદું પડે છે. પરંતુ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશ તરંગો માટે આ બંને પરિસ્થિતિઓમાં ડોપ્લર અસર માટેનાં સૂત્રો એક સમાન જ માલૂમ પડે છે. આવું શા માટે છે તે સમજાવો. પ્રકાશ જ્યારે માધ્યમમાં ગતિ કરતો હોય ત્યારે પણ તમે શું આ સૂત્રો સમાન હશે તેમ અપેક્ષા રાખો છો ?
ઉત્તર:

• ધ્વનિતરંગોના પ્રસરણ માટે માધ્યમની જરૂર પડે છે.
• જો આપેલ સ્થિતિ (i) અને (ii) સમાન હોય પણ ઉદ્ગમ અને અવલોકનકારના માધ્યમો અલગ હોઈ શકે, તેથી તેમના વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ નથી. કારણ કે બંને સ્થિતિઓમાં માધ્યમની સાપેક્ષે અવલોકનકારની અને ઉદ્ગમ વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ જુદી-જુદી હોય.
• તેથી ધ્વનિ માટેની સ્થિતિ (i) અને (ii) માં ડૉપ્ટર અસરના સૂત્રો સમાન ન હોય.
• શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશ તરંગો માટે સ્થિતિ (i) અને (ii) માં ડૉપ્ટર અસરના સૂત્રો સમાન જ માલૂમ પડે છે. કારણ કે, સાપેક્ષવાદ અનુસાર ઉદ્ગમ અને અવલોકનકાર વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ સમાન હોવાથી ડૉપ્ટર સૂત્ર બંને સ્થિતિઓ (i) અને (ii) માં સમાન છે.
• માધ્યમમાં પ્રકાશના પ્રસરણ માટે ફરીથી ધ્વનિ તરંગોની જેમ બંને પરિસ્થિતિઓ સમાન નથી અને આપણે બંને પરિસ્થિતિઓ માટે જુદા-જુદા ડૉપ્ટર સૂત્રો હશે તેમ વિચારી શકીએ.

પ્રશ્ન 16.
600 nm તરંગલંબાઈ ધરાવતા પ્રકાશની મદદથી કરેલ બે-સ્લિટ પ્રયોગમાં, દૂર રાખેલા પડદા પર મળેલ શલાકાની કોણીય પહોળાઈ 0.1° મળે છે. બે લિટો વચ્ચેનું અંતર કેટલું હશે ?
ઉત્તર:
સ્વિટથી D અંતરે રહેલા પડદા પર β પહોળાઈની શલાકા રચાય તો,
θ = \(\frac{\beta}{D}\) પણ β = \(\frac{\lambda \mathrm{D}}{d}\)
∴ θ = \(\frac{\lambda \mathrm{D}}{d \mathrm{D}}\)
∴ θ = \(\frac{\lambda}{d}\)
પણ અહીં λ = 600 nm = 6 × 10^-7 m
θ = 0.1° = \(\frac{0.1}{180}\) × π
∴ \(\frac{0.1 \times \pi}{180}=\frac{\lambda}{d}\)
∴ d = \(\frac{180 \times \lambda}{0.1 \times \pi}=\frac{180 \times 6 \times 10^{-7}}{0.1 \times 3.14}\)
∴ d = 3439.4 × 10^-7 = 3.44 × 10^-4 m

પ્રશ્ન 17.
નીચેના પ્રશ્નોના ઉત્તર આપો.
(a) એક સ્વિટથી થતા વિવર્તન પ્રયોગમાં, સ્લિટની પહોળાઈ મૂળ પહોળાઈ કરતાં બમણી કરવામાં આવે છે. આ કેવી રીતે મધ્યસ્થ વિવર્તન પટ્ટાની જાડાઈ અને તીવ્રતાને અસર કરશે ?
(b) બે-સ્લિટથી કરાતા પ્રયોગમાં કેવી રીતે દરેક લિટથી મળતું વિવર્તન એ વ્યતિકરણ ભાત સાથે સંબંધ ધરાવે છે ?
(c) દૂરના ઉદ્ગમમાંથી આવતા પ્રકાશના પથમાં જ્યારે નાનું વર્તુળાકાર અડચણ મૂકવામાં આવે ત્યારે અડચણના પડછાયાના કેન્દ્ર ભાગ આગળ એક તેજસ્વી ટપકું જોવા મળે છે. સમજાવો શા માટે ?
(d) 10 m ઊંચાઈવાળા રૂમમાં બે વિધાર્થીઓ 7 mના વિભાગ પાડતી (Partition) દીવાલથી અલગ કરેલા છે. જો પ્રકાશ અને ધ્વનિ એ બંને તરંગો અડચણની ધારથી વાંકા વળી શકતા હોય તો શા માટે વિધાર્થીઓ એકબીજા સાથે વાતચીત કરી શકે છે પરંતુ એકબીજાને જોઈ શકતા નથી ?
(e) કિરણ પ્રકાશવિજ્ઞાન એ પૂર્વધારણા પર આધારિત છે કે પ્રકાશ સુરેખામાં ગતિ કરે છે. વિવર્તન અસરો (જ્યારે પ્રકાશ નાના અડચણ / સ્લિટમાંથી પસાર થાય છે અથવા નાના અડચણથી વાંકું વળે છે ત્યારે જોવા મળે છે) આ પૂર્વધારણાનું ખંડન કરે છે. તેમ છતાં કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર પૂર્વધારણા સામાન્ય વપરાશના પ્રકાશીય ઉપકરણોમાં પ્રતિબિંબનું સ્થાન અને બીજા ગુણધર્મો સમજાવવા માટે વપરાય છે. આની પુષ્ટિ કેવી રીતે કરશો ?
ઉત્તર:
(a) મધ્યસ્થ અધિકતમ વિવર્તનની પહોળાઈ = \(\frac{2 \mathrm{D} \lambda}{d}\) તેથી સ્વિટની પહોળાઈ d બમણી કરતાં મધ્યસ્થ વિવર્તન અધિકત્તમની પહોળાઈ અડધી થશે પણ પ્રકાશનો કંપવિસ્તાર બમણો થશે પરિણામે પ્રકાશની તીવ્રતા ∝ (કંપવિસ્તાર)² અનુસાર પ્રકાશની તીવ્રતા ચાર ગણી થશે.

(b) બે સ્વિટની ગોઠવણીમાં વ્યતિકરણ શલાકાઓની તીવ્રતા એ દરેક સ્વિટથી મળતી વિવર્તન ભાતથી મૉડિફાઇડ (સુધારા) થયેલી હોય છે.

(c) વર્તુળાકાર અડચણની ધાર આગળથી વિવર્તન પામતાં તરંગો, પડછાયાના કેન્દ્ર આગળ સહાયક વ્યતિકરણ અનુભવે છે. તેથી, પડછાયાનું કેન્દ્ર પ્રકાશિત દેખાય છે.

(d) વિવર્તનનો આધાર \(\frac{\lambda}{d}\) ના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં છે. દશ્યપ્રકાશની તરંગલંબાઈ લગભગ 5 × 10^-7m છે બે દીવાલો વચ્ચેની પહોળાઈ 3m છે તેથી \(\frac{\lambda}{d}\) નો ગુણોત્તર θ એ ઘણો જ નાનો થાય તેથી પ્રકાશના તરંગોનું વિવર્તન નહીંવત્ થાય તેથી, બંને વિદ્યાર્થીઓ એકબીજાને જોઈ શકતાં નથી.
– ધ્વનિના તરંગોની આવૃત્તિ 1 kHz હોય અને ધ્વનિનો વેગ 300 m/s લઈએ, તો ધ્વનિ તરંગોની તરંગલંબાઈ λ = \(\frac{c}{v}\)
પરથી λ = 0.3 m મળે અને સ્વિટની પહોળાઈ
3m લઈએ તો,
\(\frac{\lambda}{d}\) = θ
∴ \(\frac{0.3}{3}\) = θ = 0.1°
તેથી, ધ્વનિના તરંગોનું વિવર્તન વધારે થાય છે. તેથી, બંને વિદ્યાર્થીઓ એકબીજાનો અવાજ સાંભળી શકે છે.

(e) સામાન્ય વપરાશના પ્રકાશીય ઉપકરણોમાં છિદ્રો (એપર્ચર)ના પિરમાણુ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ કરતાં ઘણાં વધારે હોય છે. તેથી પ્રકાશીય ઉપકરણોમાં પ્રકાશની વિવર્તન અસરો અવગણી શકાય તેટલી હોય છે. તેથી, કિરણ પ્રકાશવિજ્ઞાન એ પ્રકાશ સુરેખામાં ગતિ કરે છે તે પૂર્વધારણા પર આધારિત છે તેથી સામાન્ય વપરાશના પ્રકાશીય ઉપકરણોમાં પ્રતિબિંબનું સ્થાન મેળવવામાં કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્રોનો ઉપયોગ થાય છે.

પ્રશ્ન 18.
બે ટેકરીઓ પર રહેલા બે ટાવરો એકબીજાથી 40 km દૂર છે. તેમને જોડતી રેખા, બરાબર વચ્ચે આવેલી ટેકરીની 50 m ઉપરથી પસાર થાય છે. નોંધપાત્ર વિવર્તન અસરો સિવાય બે ટાવરો વચ્ચે મોકલી શકાય તેવા રેડિયોતરંગોની સૌથી વધુ તરંગલંબાઈ કેટલી હશે ?
ઉત્તર:

• અહીં બે ટેકરીઓ વચ્ચેનું અંતર D = 40 km
  બે ટેકરીઓના મધ્યમાંથી કોઈ એક ટેકરીનું અંતર એટલે ફ્રેનલ અંતર Z_f = \(\frac{\mathrm{D}}{2}=\frac{40}{2}\) = 20 km
• બે ટેકરીઓની મધ્યમાં આવેલી ટેકરી (અડચણ)ની સાઇઝ,
  a = 50 m
  હવે,
  Z_f = \(\frac{a^2}{\dot{\lambda}}\)
  λ = \(\frac{a^2}{\mathrm{Z}_f}\)
  = \(\frac{(50)^2}{20000}=\frac{2500}{20000}\)
  ∴ λ = 0.125 m
  ∴ λ = 12.5 cm

પ્રશ્ન 19.
500 nm તરંગલંબાઈ ધરાવતું સમાંતર પ્રકાશ કિરણપૂંજ એક સાંકડી સ્લિટ પર પડે છે અને પરિણામી વિવર્તનભાત 1 m દૂર રાખેલા પડદા ઉપર જોવામાં આવે છે. એવું જોવા મળે છે કે, પ્રથમ ન્યૂનતમ પડદાના કેન્દ્રથી 2.5 mm અંતરે આવેલ છે. લિટની પહોળાઈ શોધો. (ઑગષ્ટ 2020)
ઉત્તર:
અહીં D = 1m, n = 1 (ન્યૂનતમ)
x₁ = 2.5 mm = 2.5 × 10^-3 m
λ = 500 nm = 5 × 10^-7 m
⇒ nમાં ક્રમના ન્યૂનતમ માટેની શરત,
x_n = \(\frac{n \lambda \mathrm{D}}{d}\)
x_n = \(\frac{\lambda \mathrm{D}}{d}\) [∵ n = 1]
∴ d = \(\frac{\lambda \mathrm{D}}{x_1}=\frac{5 \times 10^{-7} \times 1}{2.5 \times 10^{-3}}\)
∴ d = 2 × 10^-4 m = 0.2 × 10^-3 m
∴ d = 0.2 mm

પ્રશ્ન 20.
નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો.
(a) જ્યારે પ્રમાણમાં નીચી ઊંચાઈએ ઊડતું હવાઈ જહાજ માથા પરથી પસાર થાય છે ત્યારે આપણે ઘણી વખત ટીવી પડદા પરના ચિત્રમાં ધ્રુજારી થતી નોંધીએ છીએ. આની શક્ય સમજૂતી જણાવો.
(b) તમે પુસ્તકમાં શીખી ગયાં છો તેમ તરંગના સ્થાનાંતર માટેના રેખીય સંપાતપણાનો સિદ્ધાંત એ વિવર્તન અને વ્યતિકરણ ભાતોના તીવ્રતા વિતરણ માટેનો આધાર છે. આ સિદ્ધાંતનું વ્યાજબીપણું શું છે ?
ઉત્તર:
(a) નીચી ઊંચાઈએ ઊડતું હવાઈ જહાજ (વિમાન) TV. સિગ્નલોનું પરાવર્તન કરે. ટી.વી. પડદા પરના ચિત્રમાં ધ્રુજારી થતી જોવા મળવાનું કારણ સીધા સિગ્નલ અને પરાવર્તિત સિગ્નલો વચ્ચે થતું વ્યતિકરણ છે.

(b) સંપાતપણાનો સિદ્ધાંત એ તરંગગતિને દર્શાવતા (વિકલ) સમીકરણના રેખીયપણાના ગુણધર્મ પરથી મળે છે.

• જો આ તરંગ સમીકરણના બે ઉકેલો y₁ અને y₂ હોય તો, y₁ અને y₂ નું કોઈ પણ રેખીય સંયોજન પણ ઉકેલ બનશે.
• જ્યારે કંપવિસ્તાર મોટો હોય (દા.ત. ઊંચી તીવ્રતા ધરાવતું લેસર કિરણબીમ) અને અ-રેખીય અસરો અગત્યની હોય ત્યારે પરિસ્થિતિ ખૂબ જ જટિલ હોય છે.

પ્રશ્ન 21.
એક લિટ વિવર્તન ભાત મેળવતી વખતે આપણે નોંધ્યું કે n\(\frac{\lambda}{a}\) ખૂણાઓ આગળ તીવ્રતા શૂન્ય થાય છે. લિટને યોગ્ય
ભાગમાં વહેંચીને તીવ્રતાની થતી નાબૂદી દ્વારા આનું વ્યાજબીપણું દર્શાવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, ‘a’ પહોળાઈની સ્લિટને a’ પહોળાઈ ધરાવતી n સ્વિટોમાં વહેંચી દઈએ, તો દરેક નાની સ્લિટની પહોળાઈ,
a’ = \(\frac{a}{n}\) ⇒ a = na’
⇒ હવે જો θ = \(\frac{n \lambda}{a}\) આગળ તીવ્રતા શૂન્ય હોય તો,
θ = \(\frac{n \lambda}{n a^{\prime}}=\frac{\lambda}{a^{\prime}}\) થશે.
આમ, દરેક નાની સ્લિટો શૂન્ય તીવ્રતા આપશે અને તેનું સંયોજન પણ શૂન્ય તીવ્રતા આપશે.

GSEB Class 12 Physics તરંગ પ્રકાશશાસ્ત્ર NCERT Exemplar Questions and Answers

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક જ વિકલ્પ સાચો છે :

પ્રશ્ન 1.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર હવામાંથી કાચ પર બ્રુસ્ટરકોણે આપાત થતા પ્રકાશનું કિરણજૂથ (beam) વિચારો.

નિર્ગમન પામતા કિરણના માર્ગમાં P બિંદુ પાસે એક ધ્રુવક (polaroid) મૂકવામાં આવે છે અને તેને (ધ્રુવકને) તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને પોલેરોઇડના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને પરિભ્રમણ કરાવવામાં આવે છે.
(A) પોલેરોઇડમાંથી જોતાં આપેલી ચોક્કસ દિશામાં અંધકાર હશે.
(B) પોલેરોઇડમાં જોવા મળતી પ્રકાશની તીવ્રતા પરિભ્રમણથી સ્વતંત્ર હશે.
(C) પોલેરોઇડમાંથી જોવા મળતી પ્રકાશની તીવ્રતા પોલેરોઇડની બે દિશાઓ માટે ન્યૂનતમ બનશે પરંતુ શૂન્ય થશે નહીં.
(D) પોલેરોઇડમાંથી જોવા મળતી પ્રકાશની તીવ્રતા પોલેરોઇડની ચાર દિશાઓ માટે ન્યૂનતમ બનશે.
જવાબ
(C) પોલેરોઇડમાંથી જોવા મળતી પ્રકાશની તીવ્રતા પોલેરોઇડની બે દિશાઓ માટે ન્યૂનતમ બનશે પરંતુ શૂન્ય થશે નહીં.
કારણ કે પ્રસ્તુત કિસ્સામાં કાચના સ્લેબ પર પ્રકાશનું કિરણ, ધ્રુવીભવન કોણ જેટલા કોણથી આપાત કરેલું હોવાથી પરાવર્તિતકિરણ ભલે સંપૂર્ણપણે તલવીભૂત બનતું હોય પરંતુ કાચના સ્લેબમાંનું વક્રીભૂત કિરણ અને હવામાં પ્રસરતું નિર્ગમન કિ૨ણ એ બંને અંશતઃ તલધ્રુવીભૂત હોય છે જેમાં મોટાભાગના \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) સદિશો (પ્રકાશ સદિશો) પરસ્પર સમાંતર હોય છે. અને બાકીના \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) સદિશો બીજી બધી દિશામાં સમાન વિતરણ ધરાવે છે. તેથી પોલેરોઇડના એક પૂર્ણ ભ્રમણ દરમિયાન જ્યારે તેની દર્ અક્ષ, બે વખત મોટા ભાગના સમાંતર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) સદિશોને લંબ બને છે ત્યારે પણ થોડા \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) સિંદેશો, પોલેરોઇડની દક્ અક્ષ (સ્ફટિક અક્ષ)ને સમાંતર બને છે તેથી એક પૂર્ણ ભ્રમણમાં નિર્ગમન કિરણની તીવ્રતા બે વખત અશૂન્ય એવી લઘુતમ મળે એ સ્વાભાવિક છે.

પ્રશ્ન 2.
10⁴Å ની પહોળાઈ ધરાવતી સ્લિટ ઉપર સૂર્યપ્રકાશ આપાત થતો વિચારો. સ્લિટમાંથી જોવા મળતું પ્રતિબિંબ…
(A) કેન્દ્ર (મધ્યબિંદુ) પાસે સફેદ રંગની તીક્ષ્ણ સ્લિટ હોય છે.
(B) મધ્યમાંની સફેદ રંગની તેજસ્વી સ્લિટ, ધાર સુધી (પહોંચતાં) શૂન્ય તીવ્રતામાં પરિવર્તિત બને છે.
(C) કેન્દ્રમાંની સફેદ રંગની તેજસ્વી સ્લિટ જુદા-જુદા રંગોના વિસ્તારમાં ફેલાય છે.
(D) માત્ર ફેલાયેલી સ્લિટ સફેદ રંગની હોય છે.
જવાબ
(A) કેન્દ્ર (મધ્યબિંદુ) પાસે સફેદ રંગની તીક્ષ્ણ સ્લિટ હોય છે.

• અત્રે સૂર્યપ્રકાશ અથવા દેશ્ય પ્રકાશની સરેરાશ તરંગલંબાઈ આશરે
  λ = \(\frac{4000+8000}{2}\) = 6000 Å લઈ શકાય અને સ્વિટની પહોળાઈ, d = 10⁴Å = 10000 Å
• \(\frac{\lambda}{d}=\frac{6000}{10000}\) = 0.6
• \(\frac{\lambda}{d}\) < 1 એટલે કે સ્લિટની પહોળાઈ d > > λ
• તેથી વિવર્તન પ્રમાણમાં ઘણું ઓછું થશે. જેથી સ્લિટનું પ્રતિબિંબ પ્રમાણમાં તીક્ષ્ણ દેખાશે. જેમાં કેન્દ્ર સ્થાને આપાત થતા ઘટક રંગો સંમિશ્રિત થવાથી કેન્દ્રીય વિસ્તાર શ્વેત રંગનો દેખાશે. વળી પ્રકાશના આ તરંગો વચ્ચે રચાતા સહાયક વ્યતિકરણ (શૂન્ય કળાતફાવતને કારણે)ને કારણે પ્રકાશની તીવ્રતા મહત્તમ મળશે. અર્થાત્ મધ્યસ્થ અધિકતમ રચાશે.

પ્રશ્ન 3.
d પહોળાઇના કાચના લંબઘન (slab) (વક્રીભવનાંક n) પર હવામાંથી 6 આપાતકોણે આપાત થતું પ્રકાશનું કિરણ વિચારો. કાચની ઉપરની સપાટી અને નીચેની સપાટી પરથી પરાવર્તિત કિરણો

જવાબ


૨કમ પ્રમાણેની પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલી છે. આપાત કિરણ સ્લેબની PQ, સ્લેબની ઉપરની સપાટી AB પરના Q બિંદુએથી ધારો કે t = 0 સમયે પરાવર્તિત થાય છે. પરંતુ વક્રીભૂતકિરણ QS, સ્લેબની નીચેની સપાટી CD પરના S બિંદુએથી અમુક સમય બાદ પરાવર્તિત થશે. જો આ સમય t હોય અને પ્રકાશના કિરણની કાચમાં ઝડપ v હોય તો :

ઉપરોક્ત t સમયને અંતે S બિંદુએથી પરાવર્તિત થતા કિરણ ST ની કળા Φ₁ હોય અને કિરણ QR ની કળા Φ₂ હોય તો તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત, ΔΦ = Φ₂ – Φ₁ = ωt

પરંતુ અત્રે, \(\overrightarrow{\mathrm{QR}}\), પાતળા માધ્યમમાં પ્રસરતી વખતે, ઘટ્ટ માધ્યમની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થતું હોવાથી ચોખ્ખો કળા તફાવત, ΔΦ’ = ΔΦ + π
∴ ΔΦ’ = (kc) t + π

પ્રશ્ન 4.
યંગના બે (double) પ્લિટના પ્રયોગમાં, સફેદ પ્રકાશ ઉદ્ગમ તરીકે છે. એક સ્લિટને લાલ રંગના ફિલ્ટર અને બીજી સ્લિટને વાદળી ફિલ્ટર વડે ઢાંકી દેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં…
(A) ત્યાં એકાંતરે લાલ અને વાદળી રંગની વ્યતીકરણ ભાત હશે.
(B) ત્યાં લાલ રંગની વ્યતીકરણ ભાત વાદળી રંગની ભાત કરતાં અલગ હશે.
(C) ત્યાં વ્યતીકરણ શલાકાઓ હશે નહીં.
(D) ત્યાં લાલ રંગની વ્યતીકરણ ભાત વાદળી રંગની ભાત સાથે ભળી ગયેલી (mix) હશે.
જવાબ
(C) ત્યાં વ્યતીકરણ શલાકાઓ હશે નહીં.
યંગના મૂળ પ્રયોગમાં નિશ્ચિત આવૃત્તિવાળા એકરંગી પ્રકાશનો ઉપયોગ થયો હોવાથી બે સ્લિટો સુસંબદ્ધ ઉદ્ગમો તરીકે વર્તી પડદા પર સ્થિર વ્યતિકરણ ભાત રચે છે. પરંતુ અત્રે બે સ્વિટોમાંથી જુદા જુદા રંગના પ્રકાશના તરંગોનું ઉત્સર્જન થાય છે જેમની આવૃત્તિઓ સમાન નથી, જેથી તેમની વચ્ચેનો કળાતફાવત સમયની સાથે અચળ રહેતો ન હોવાથી તેઓ અસુસંબદ્ધ ઉદ્ગમો missing તરીકે વર્તે છે અને તેથી પડદા પર કોઈ સ્થિર વ્યતિકરણ રચાતું નથી અને તેથી કોઈ વ્યતિકરણ શલાકાઓ મળતી નથી.

પ્રશ્ન 5.
પ્રમાણભૂત બે લિટની ગોઠવણી આકૃતિમાં S₁, S₂ સ્લિટ સાથે દર્શાવેલ છે. P ની બંને બાજુ બે ન્યૂનતમ બિંદુઓ P₁, P₂ છે. (જુઓ આકૃતિ) પડદા પર P₂ બિંદુએ, એક કાણું છે અને P₂ ની પાછળ S₃, S₄ સ્લિટ સાથેની બીજી બે સ્વિટની ગોઠવણી અને તેની પાછળ બીજો એક પડો મૂકેલ છે.

(A) બીજા પડદા પર વ્યતીકરણ ભાત મળશે નહીં પરંતુ તે પ્રકાશિત હશે.
(B) બીજો પડદો સંપૂર્ણપણે અપ્રકાશિત હશે.
(C) બીજા પડદા પર એક પ્રકાશિત બિંદુ હશે.
(D) બીજા પડદા પર નિયમિત બે સ્વિટની ભાત રચાશે.
જવાબ
(D) બીજા પડદા પર નિયમિત બે સ્વિટની ભાત રચાશે.
આકૃતિમાંનું બિંદુ P₂ (જ્યાં છિદ્ર આવેલું છે), એ તરંગ અગ્ર પરનું બિંદુ હોવાથી તે એક ગૌણ ઉદ્ગમ તરીકે વર્તી પ્રકાશના તરંગોનું ઉત્સર્જન કરે છે. ત્યારબાદ આ તરંગો સ્લિટો S₃ અને S₄ પર આપાત થાય છે. અત્રે એકનું એક તરંગ અગ્ર, સ્લિટો S₃ અને S₄ પર એક સાથે આપાત થતું હોવાથી સ્લિટો S₃ અને S₄ પ્રકાશના સુસંબદ્ધ તરંગો તરીકે વર્તે છે અને તેથી તેમની પાછળ રાખેલા બીજા પડદા પર નિયમિત બે સ્વિટની ભાત રચાશે.

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક અથવા એક કરતાં વધુ વિકલ્પ સાચા હોઈ શકે છે :

પ્રશ્ન 1.
I₁ અને I₂ તીવ્રતા ધરાવતાં બે ઉદ્ગમો S₁ અને S₂ ને પડદાની સામે મૂકેલા છે (જુઓ આકૃતિ (a)). મધ્યમાન વિસ્તારમાં તીવ્રતાની વહેંચણીની ભાત (જુઓ આકૃતિ (b))માં આપ્યા મુજબ જોવા મળે છે.
આ કિસ્સામાં નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે :

(A) S₁ અને S₂ સમાન તીવ્રતાઓ ધરાવતા હશે.
(B) S₁ અને S₂ અચળ કળા-તફાવત ધરાવતા હશે.
(C) S₁ અને S₂ સમાન કળા ધરાવતા હશે.
(D) S₁ અને S₂ સમાન તરંગલંબાઈ ધરાવતા હશે.
જવાબ (A, B, D)

• ડબલ સ્વિટના પ્રયોગમાં મળતી લઘુતમ તીવ્રતા,
  I_min = (\(\sqrt{\mathrm{I}_1}-\sqrt{\mathrm{I}_2}\))² જેટલી હોય છે.
  પરંતુ આકૃતિ (b) પ્રમાણે અત્રે ન્યૂનતમો આગળ I_min = 0
  ∴ 0 = (\(\sqrt{\mathrm{I}_1}-\sqrt{\mathrm{I}_2}\) )²
  ∴ \(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}\) = 0
  ∴ \(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}\)
• I₁ = I₂, S₁ અને S₂ સમાન તીવ્રતાઓ ધરાવતા હશે.
• વિકલ્પ (A) સાચો છે.
• અત્રે સ્થિર વ્યતીકરણ ભાત રચાતી હોવાથી S₁ અને S₂ એ સુસંબદ્ધ ઉદ્ગમો હોવા જોઈએ જેમની વચ્ચેનો કળાનો તફાવત અચળ રહે છે. તેથી વિકલ્પ (B) પણ સાચો છે.
• અત્રે S₁ અને S₂ એ સુસંબદ્ધ ઉદ્ગમો હોવાથી તેમાંથી ઉત્સર્જાતા પ્રકાશના તરંગોની આવૃત્તિઓ v₁ અને v₂ સમાન બનશે અને તેથી તેમની તરંગ લંબાઈઓ પણ સમાન હશે.
  (કારણ કે અત્રે c = v λ = અચળ ⇒ v₁λ₁ = v₂λ₂)
• અત્રે v₁ = v₂ હોવાથી λ₁ = λ₂ થાય.) આમ, વિકલ્પ (D) પણ સાચો છે.
• અત્રે S₁ અને S₂ વચ્ચે કળાનો તફાવત અચળ રહે છે. પરંતુ આ કળાતફાવત શૂન્ય જ હોય (એટલે કે બંને ઉદ્ગમોની કળાઓ સમાન જ હોય) એવું જરૂરી નથી. તેથી વિકલ્પ (C) ખોટો છે.

પ્રશ્ન 2.
10³Å પહોળાઈવાળા પિનહોલ પર સૂર્યપ્રકાશ આપાત થતો વિચારો. પડદા પર જોવા મળતું પિનહોલનું પ્રતિબિંબ …………………
(A) સફેદ રંગનું તીક્ષ્ણ વલય હશે.
(B) ભૌમિતિક પ્રતિબિંબ (રચના) કરતાં અલગ હશે.
(C) મધ્યમાન બિંદુ, સફેદ પ્રકાશમાં વિસ્તરેલું હશે.
(D) મધ્યમાન સફેદ તીક્ષ્ણ બિંદુની આસપાસ રંગીન વિસ્તારો વિસ્તરેલા હશે.
જવાબ (B, D)

• અત્રે, સૂર્યપ્રકાશમાંના દૃશ્ય પ્રકાશની સરેરાશ તરંગલંબાઈ λ = 6000 Å, સ્લિટની પહોળાઈ d = 1000 Å
  \(\frac{\lambda}{d}=\frac{6000}{1000}\) = 6 ⇒ \(\frac{\lambda}{d}\) >>>> 1
• વિવર્તન મોટા પ્રમાણમાં થશે તેથી પ્રતિબિંબ, ભૌમિતિક પ્રતિબિંબ કરતાં અલગ દેખાશે.
• વિકલ્પ (B) સાચો છે.
• પ્રસ્તુત કિસ્સામાં પડદા પર કેન્દ્રસ્થાને, શ્વેત પ્રકાશના વિવિધ ઘટકો રંગો સંમિશ્રિત થઈ સહાયક વ્યતીકરણ નીપજાવે છે જેથી કેન્દ્રસ્થાને શ્વેત રંગનું પ્રકાશિત ટપકું મળે છે. પરંતુ, કેન્દ્રથી દૂર જતાં વિવિધ રિંગો ૫૨, વિવિધ રંગોના પ્રકાશ માટે (ભૂરાથી લાલ એ ક્રમમાં) સહાયક વ્યતીકરણ રચાવાથી મુખ્યત્વે તે રંગના વલયો મળે છે (અને બાકીના રંગો ઓછા પ્રમાણમાં દેખાય છે.) આમ, શ્વેત ટપકાંની આસપાસનો વિસ્તાર રંગીન મળે છે એટલે કે મધ્યમાન સફેદ તીક્ષ્ણ બિંદુની આસપાસ રંગીન વિસ્તારો વિસ્તરેલાં હોય છે.
• વિકલ્પ (D) પણ સાચો છે.

પ્રશ્ન 3.
નાના પિનહોલ માટે વિવર્તન ભાત વિચારો. જેમ હોલનું પરિમાણ (size) વધારવામાં આવે તેમ …………………….
(A) પરિમાણ ઘટશે.
(B) તીવ્રતા વધશે.
(C) પરિમાણ વધશે.
(D) તીવ્રતા ઘટશે.
જવાબ (A, B)

• વિવર્તનનું પ્રમાણ ગુણોત્તર (\(\frac{\lambda}{d}\)) વડે નક્કી થાય છે. અત્રે d વધારવાથી વિવર્તનનું પ્રમાણ ઘટે છે અને તેથી વિવર્તન ભાતના પડદા પરના વિસ્તારની પહોળાઈ ઘટે છે.
• વિકલ્પ (A) સાચો છે.
• અત્રે સ્લિટ પર આપાત થતો વિકિરણનો પાવર અચળ છે. હવે જો સ્લિટમાંથી પસાર થયા બાદ આવો પ્રકાશ ઓછા વિસ્તાર પર આપાત થાય તો સ્વાભાવિક રીતે તેમાં તીવ્રતા વધારે
  મળશે. કારણ કે, I = \(\frac{P}{A}\)
  ⇒ P = અચળ હોય ત્યારે I ∝ \(\frac{1}{\mathrm{~A}}\) ⇒ A ઘટે તો I વધે.
• વિકલ્પ (B) પણ સાચો છે.

પ્રશ્ન 4.
બિંદુવત્ ઉદ્ગમમાંથી પ્રકાશનું વિખેરણ (અપસારિત) …………………….
(A) તરંગઅગ્ર ગોળાકાર હશે.
(B) અંતરના વર્ગના પ્રમાણમાં તીવ્રતા ઘટતી જશે.
(C) તરંગઅગ્ર પરવલયાકાર હશે.
(D) તરંગઅગ્ર પાસે તીવ્રતા અંતર પર આધાર રાખતી નથી.
જવાબ (A, B)

• બિંદુવત્ ઉદ્ગમમાંથી ઉદ્ભવીને સમાંગ, સદ્ગિધર્મી અને ત્રિપારિમાણિક માધ્યમમાં આગળ વધતાં તરંગઅગ્રો આકારે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે) ગોળાકાર હોય છે. (કારણ કે, આપેલી ક્ષણે ગોળાકાર પૃષ્ઠ પરના બધા જ બિંદુઓએ, પ્રકાશ સદિશના દોલનોની કળાઓ સમાન હોય છે જેથી વ્યાખ્યાનુસાર આવું ગોળાકાર પૃષ્ઠ, ગોળાકાર તરંગઅગ્ર બને છે.)
  વિકલ્પ (A) સાચો છે.
• અત્રે આપેલા ઉદ્ગમનો પાવર અચળ હોવાથી, સૂત્રાનુસાર,
  P = IA = અચળ
  ∴ I ∝ \(\frac{1}{\mathrm{~A}}\)
  ∴ I ∝ \(\frac{1}{r^2}\) (∵ ગોળાકાર પૃષ્ઠનું ક્ષેત્રફળ A = 4πr²)
• વિકલ્પ (B) પણ સાચો છે.

અતિટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

પ્રશ્ન 1.
સંગત ધ્વનિતરંગો માટે હાઇગેન્સનો સિદ્ધાંત માન્ય છે (વાપરી શકાય) ?
ઉત્તર:
હા, કારણ કે, હાઇગેન્સનો સિદ્ધાંત સંગત (બધા જ પ્રકારના) તરંગો માટે સાચો છે.

પ્રશ્ન 2.
બહિર્ગોળ (અભિસારી) લેન્સના ફોકલ પૉઇન્ટ પર એક બિંદુ વિચારો. બીજી બાજુએ ટૂંકી કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો બીજો બહિર્ગોળ (અભિસારી) લેન્સ મૂકેલ છે. અંતિમ પ્રતિબિંબમાંથી રચાતા તરંગઅગ્રનો પ્રકાર કયો હશે ?
ઉત્તર:

• આકૃતિમાં બહિર્ગોળ લેન્સ L₁ના કારણે તેના મુખ્ય કેન્દ્ર (ફોકલ બિંદુ) પર I₁ પ્રતિબિંબ મળે છે જે L₂ લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે છે અને અંતિમ પ્રતિબિંબ I બિંદુવત્ મળ છે. જેમાંથી ઉદ્ભવતા (રચાતા) તરંગઅગ્રનો આકાર ગોળાકાર હોય છે. (માધ્યમ સદિગ્ધમ્મ હોવું જોઈએ).

પ્રશ્ન 3.
સૂર્યપ્રકાશ માટે પૃથ્વી પર તરંગઅગ્રનો આકાર કેવો હશે ?
ઉત્તર:

સૂર્ય એ બિંદુવત્ પ્રકાશનું ઉદ્ગમ છે. તેથી તેમાંથી મળતાં તરંગઅગ્રો ગોળાકાર હોય છે. જ્યારે આ તરંગઅગ્ર અનંત અંતરે (ખૂબ જ દૂર) એવી પૃથ્વી પર આપાત થાય ત્યારે સીમિત વિસ્તારમાં લગભગ સમતલીય હોય છે તેથી આવા તરંગઅગ્રો આકારે સમતલીય હોય છે.

પ્રશ્ન 4.
રોજબરોજના અનુભવમાં ધ્વનિતરંગોનું વિવર્તન પ્રકાશના તરંગો કરતાં વધારે શા માટે અનુભવાય છે ?
ઉત્તર:

• દશ્ય પ્રકાશના તરંગો માટે સરેરાશ તરંગલંબાઈ
  λ = 6000 Å = 6 × 10^-7 m
• ધ્વનિના તરંગો માટે, શ્રાવ્ય વિસ્તાર 20 Hz થી 20000 Hz માં જો માણસ વડે બોલાયેલ ધ્વનિની આવૃત્તિ આશરે 332 Hz લઈએ, તો v = vλ પરથી આ કિસ્સામાં
  λ = \(\frac{v}{v}=\frac{332}{332}\) = 1m
• જો d જેટલી પહોળાઈની સ્લિટ વડે ઉપરોક્ત તરંગો વિવર્તન પામતા હોય તો,
  (\(\frac{\lambda}{d}\))_{ધ્વનિ} >>>> (\(\frac{\lambda}{d}\))_{દશ્યપ્રકાશ}
• વ્યવહારમાં વિવિધ અંતરાયો (અડચણો) વડે દશ્યપ્રકાશના તરંગોનું વિવર્તન ખૂબ જ ઓછું થશે. તેની સરખામણીમાં ધ્વનિના તરંગોનું વિવર્તન ખૂબ જ મોટા પ્રમાણમાં થશે. (તેથી જ, ખુલ્લા બારણાંની બે બાજુએ ઊભેલી બે વ્યક્તિઓ કદાચ એકબીજાને જોઈ ન શકતી હોય તો પણ એકબીજાનો અવાજ તો સાંભળી જ શકે છે.)

પ્રશ્ન 5.
માનવ-આંખનું લગભગ કોણીય વિભેદન Φ = 5.8 × 10^-4 rad છે અને કોઈ લાક્ષણિક ફોટો પ્રિન્ટર 300 dpi [એક ઈંચમાં ટપકાં (dots per inch), 1 ઇંચ = 2.54 સેમી] સાથે ચિત્રણ (prints) કરે છે. એવા કયા લઘુતમ અંતર z પાસે છાપેલ કાગળને મૂકવો જોઈએ કે જેથી કોઈ (તેના પરનાં) બિંદુઓને અલગ-અલગ જોઈ ના શકે ?
ઉત્તર:

• માનવ આંખનું કોણીય વિભેદન Φ = 5.8 × 10^-4 rad છે. પ્રિન્ટ થયેલા કાગળમાં બે ક્રમિક ટપકાં વચ્ચેનું રેખીય અંતર,

∴ l ≈ 84 × 10^-4 cm

• બે ક્રમિક ટપકાં વચ્ચેના અંતર વડે તેનાથી Z cm અંતરે આંતરેલો કોણ,
  Φ = \(\frac{l}{\mathrm{Z}}\)
  ∴ Z = \(\frac{l}{\phi}=\frac{84 \times 10^{-4}}{5.8 \times 10^{-4}}\) = 14.482 cm
  ∴ Z ≈ 14.5 cm

પ્રશ્ન 6.
એકરંગી પ્રકાશ ઉદ્ગમની સામે એક ધ્રુવક (પોલેરોઇડ) (I) મૂકેલ છે. બીજો પોલેરોઇડ (II) આ પોલેરોઇડ (I) ની સામે મૂકેલ છે અને તેને તેમાંથી પ્રકાશ પસાર ન થાય ત્યાં સુધી ફેરવવામાં આવે છે. હવે ત્રીજો પોલેરોઇડ (III), (I) અને (II) ની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં શું (II) માંથી પ્રકાશ-નિર્ગમન થશે ? સમજાવો.
ઉત્તર:

• પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ પોલેરોઇડ-Iમાંથી નીકળતો પ્રકાશ તલધ્રુવીભૂત હોય.
• જ્યારે પોલેરોઇડ-Iની સામે પોલેરોઇડ-II ને મૂકેલ હોય અને પોલેરોઇડ-II માંથી પ્રકાશ બહાર ન આવે ત્યાં સુધી પોલેરોઇડ-I ને ભ્રમણ આપવામાં આવે તો પોલેરોઇડ-1 અને II એકબીજાને લંબ (ક્રૉસ્ડ) સ્થિતિમાં આવે છે. એટલે તેમની દર્-અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો 90° થાય છે.
• જ્યારે પોલેરોઇડ-I અને II ની વચ્ચે ત્રીજો પોલેરોઇડ-III મૂકવામાં આવે અને જો પોલેરોઇડ-III ની દગ્અક્ષ, પોલેરોઇડ-I અને IIની દગ્ અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે પોલેરોઇડ-II માંથી કોઈ પ્રકાશ બહાર આવશે નહીં. બીજી કોઈ પરિસ્થિતિમાં પોલેરોઇડ-II અને III એકબીજાને ક્રૉસ્ડ ન હોય ત્યારે પોલેરોઇડ-II માંથી પ્રકાશ બહાર આવે છે.

ટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (SA)

પ્રશ્ન 1.
વધારે વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમની આંતરસપાટી પર આપાત થતા પ્રકાશ માટે પરાવર્તન પામતો પ્રકાશ તલધ્રુવીભૂત પ્રકાશમાં પરિણમશે ?
ઉત્તર:

• હા, પ્રસ્તુત કિસ્સામાં આપાત કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમમાં અને વક્રીભૂત કિરણ પાતળા માધ્યમમાં હોવાથી, બ્રુસ્ટરના નિયમ પ્રમાણે,
  tanθ_p = \(\frac{n_2}{n_1}\) ………. (1)
  (જ્યાં θ_p = ધ્રુવીભવન કોણ અથવા બ્રુસ્ટર કોણ)
• અત્રે પાતળા માધ્યમની સાપેક્ષે ઘટ્ટ માધ્યમનો ક્રાંતિકોણ C હોય તો સ્નેલના નિયમાનુસાર,
  n₂sinC = n₁sin90°
  ∴ sinC = \(\frac{n_1}{n_2}\) ………………. (2)
• સમીકરણો (1) અને (2) પરથી,
  tanθ_p > sinC[∵ n₂ > n₁]
  ક્રાંતિકોણ કરતાં મોટા ખૂણા માટે,
  ∴ θ_p > C
• ઉપરોક્ત શરતનું પાલન થાય તેવા ધ્રુવીભવનકોણે આપાત કરેલા પ્રકાશના કિરણ માટે તેનું ધ્રુવીભવન, પરાવર્તન દ્વારા મેળવી શકાય.

પ્રશ્ન 2.
સમાન હેતુ માટે, 5000 Å નો પ્રકાશ ધરાવતા માઇક્રોસ્કોપ અને 100 V થી પ્રવેગિત કરેલ ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રકાશિત પદાર્થ તરીકે ઉપયોગ કરીને બે બિંદુઓને છૂટાં પાડવા માટેના લઘુતમ અંતરનો ગુણોત્તર શોધો.
ઉત્તર:

• માઇક્રોસ્કૉપની વિભેદન સીમા d_m = \(\frac{\lambda}{2 \sin \theta}\)
  λ₁ = 5000 Å માટે જ્યાં θ એ માઇક્રોસ્કૉપના વસ્તુકાચમાં પ્રવેશતા પ્રકાશે આંતરેલો કોણ છે.
  ∴ d_m1 = \(\frac{\lambda_1}{2 \sin \theta}\) ………….. (1)
• 100V ની અસર હેઠળ પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રૉનની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ,
  λ₂ = \(\frac{12.27}{\sqrt{100}}\) = 1.227 Å
• અને વિભેદન સીમા
  d_m2 = \(\frac{\lambda_2}{2 \sin \theta}\) ………….. (2)
  ∴ \(\frac{d_{m_1}}{d_{m_2}}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\) [પરિણામ (1) અને (2) પરથી]
  \(\frac{5000}{1.227}\) = 4074.97
  ≈ 4075

પ્રશ્ન 3.
બે લિટની વ્યતીકરણ ગોઠવણી (જુઓ આકૃતિ) એવી રીતે વિચારો કે જેથી પડદાનું સ્લિટથી અંતર એ બે સ્લિટ વચ્ચેના અંતર કરતાં અડધું હોય. λ ના સ્વરૂપમાં D નું મૂલ્ય એવું મેળવો કે જેથી પડદા પર પ્રથમ ન્યૂનતમ એ મધ્યબિંદુ O થી D જેટલા અંતરે મળે.

ઉત્તર:

• ૨કમ પ્રમાણેની પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલી છે. રકમ પ્રમાણે,
  x = D = \(\frac{d}{2}\) …………. (1)
• હવે P બિંદુએ સંપાત થતાં તરંગો વચ્ચેનો પથતફાવત,
  r₁ – r₂ = S₂P – S₁P
  = \(\sqrt{\left(\mathrm{S}_2 \mathrm{~T}_2\right)^2+\left(\mathrm{T}_2 \mathrm{P}\right)^2}-\sqrt{\left(\mathrm{S}_1 \mathrm{~T}_1\right)^2+\left(\mathrm{T}_1 \mathrm{P}\right)^2}\)
  = \(\sqrt{\mathrm{D}^2+(2 \mathrm{D})^2}-\sqrt{\mathrm{D}^2+(\mathrm{D}-\mathrm{D})^2}\)
  = √5D – D (આકૃતિ અને સમીકરણ (1) પરથી) (∵ T₁P = OP – OT₁)
  = D(√5 – 1) ……………. (2)
• હવે, અપ્રકાશિત શલાકા માટે વિનાશક વ્યતીકરણની શરત (r₂ – r₁) = (2n – 1)\(\) માં પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા માટે
  n = 1 મૂકતાં,
  r₂ – r₁ = \(\frac{\lambda}{2}\)
  ∴ D(√5 – 1) = \(\frac{\lambda}{2}\)
  ∴ D = \(\frac{\lambda}{2(\sqrt{5}-1)}=\frac{\lambda}{2(2.236-1)}=\frac{\lambda}{2 \times 1.236}\)
  ∴ D = \(\frac{\lambda}{2.472}\)
  ∴ D = 0.404 λ

દીર્ઘ જવાબી પ્રશ્નો (LA)

પ્રશ્ન 1.
આકૃતિમાં બે ટિની ગોઠવણી ઉદ્ગમ સહિત દર્શાવલ છે કે જે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે. P એ અક્ષ સાથેનો ધ્રુવક છે કે જેની દિશા આપેલ નથી. જો I એ જ્યારે ધ્રુવક હાજર ન હોય ત્યારે મુખ્ય અધિકતમની તીવ્રતા હોય, તો આ કિસ્સામાં મુખ્ય અધિકતમ તેમજ પ્રથમ અધિકતમની તીવ્રતા ગણો.

ઉત્તર:

• પરિણામી કંપવિસ્તાર એ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ માટે લંબ અને સમાંતર ઘટકોના સરવાળા જેટલો છે.

• પોલેરાઇઝરની ગેરહાજરીમાં પ્રકાશની તીવ્રતા,

• પોલેરાઇઝરની ગેરહાજરીમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની તીવ્રતા,

પ્રશ્ન 2.

AC = CO D, S₁C = S₂C = d < < D
μ = 1.5 હોય તેવું દ્રવ્ય ધરાવતો નાનો પારદર્શક લંબઘન (slab) AS₂ ના માર્ગમાં મૂકવામાં આવે છે. (જુઓ આકૃતિ) O થી મુખ્ય અધિકતમનું અને કાચના લંબઘનની ગેરહાજરીમાં મળતા મુખ્ય અધિકતમની કોઈ એક તરફના પ્રથમ ન્યૂનતમનું અંતર કેટલું હશે ?
ઉત્તર:

• A બિંદુથી P₁ પર પહોંચતા તરંગો વચ્ચે પથતફાવત,
  2dsinθ + (μ – 1)l
  મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકા માટે પથતફાવત શૂન્ય.
  ∴ 2dsinθ + (1.5 – 1)\(\frac{d}{4}\) = 0 [∵ μ = 1.5, l = \(\frac{d}{4}\)]
  ∴ 2dsinθ = -0.5 × \(\frac{d}{4}\)
  ∴ sinθ = –\(\frac{d}{16}\) …………. (1)
  ∴ આકૃતિ પરથી ΔCOP₁ માં tanθ = \(\frac{\mathrm{OP}_1}{\mathrm{CO}}\)
  ∴ OP₁ = COtanθ
  = Dsinθ [∵ CO = D અને θ નાના માટે sinθ = tanθ]
  OP₁ = –\(\frac{D}{16}\) [∵ પરિણામ (1) પરથી]
• θ₁ કોણે પ્રથમ ન્યૂનતમ મળે તો પથતફાવત,
  2dsinθ₁ + (μ – 1)l = (2n + 1)\(\frac{\lambda}{2}\)
  ∴ 2dsinθ₁ + (1.5 – 1)\(\frac{d}{4}\) = ±\(\frac{\lambda}{2}\) [∵ μ = 1.5, l = \(\frac{d}{4}\), n = 0]

• પડદા પર +ve દિશામાં,
  sinθ₁ = \(+\frac{1}{4}-\frac{1}{16}=\frac{3}{16}\) …………… (2)
  અને પડદા પર -ve દિશામાં,
  \(\sin \theta_1^1=-\frac{1}{4}-\frac{1}{16}=-\frac{5}{16}\) …………… (3)
• પડદા પર મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાથી ઉપર અંતર x₁ હોય તો,

• મધ્યસ્થ શલાકાથી પડદા પર નીચે અંતર \(x_1^1\) હોય તો,

પ્રશ્ન 3.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ચાર સમાન એકરંગી ઉદ્ગમો A, B, C, D સમાન તરંગલંબાઈ λ અને સુસંબદ્ધ હોય તેવા તરંગો ઉત્પન્ન કરે છે. બે રિસીવર R₁ અને R₂ ખૂબ દૂર પરંતુ B થી સમાન અંતરે છે.

(i) બેમાંથી કર્યું રિસીવર મોટા સંકેત (signal) ને પકડશે ?
(ii) B ને બંધ કરવામાં આવે ત્યારે બેમાંથી કયું રિસીવર મોટા સિગ્નલને પકડશે ?
(iii) D ને બંધ કરવામાં આવે ત્યારે બેમાંથી કયું રિસીવર મોટા સિગ્નલને પકડશે ?
(iv) બેમાંથી કયું રિસીવર B અને D માંથી કર્યું ઉદ્ગમ બંધ કરવામાં આવ્યું છે તે ઓળખી બતાવશે ?
ઉત્તર:
(i) ચાર સમાન કળાતફાવત ધરાવતા એકરંગી પ્રકાશના A, B, C, D એ λ તરંગલંબાઈના પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે તથા AB = BC = BD = \(\frac{\lambda}{2}\) છે.

• R₁ અને R₂ એવા બે રિસીવરના સ્થાન એવાં છે કે જેથી R₁B = R₂B = d (> > λ)
• સ્રોત A ને કારણે r₁ પાસે પહોંચતા તરંગનું સમીકરણ,
  λ_A = acosωt
  સ્રોત A અને B માં ઉત્પન્ન થતાં અને R પાસે પહોંચતા તરંગો વચ્ચે પથતફાવત \(\frac{\lambda}{2}\) છે.
  ∴ કળાતફાવત = π થાય.
• સ્રોત B ને કારણે R પાસે પહોંચતા તરંગનું સમીકરણ,
  y_B = acos(ωt – π) acosωt
• આવી જ રીતે સ્રોત C અને A ને કારણે R₁ પાસે પહોંચતા તરંગો વચ્ચે પથતફાવત λ છે.
  ∴ કળાતફાવત = 2π
  સ્રોત C ના કારણે R₁ પાસે પહોંચતા તરંગનું સમીકરણ,
  = У_C acos(ωt – 2π) = acosωt
• સ્રોત D અને C માંથી R₁ પાસે પહોંચતા તરંગો વચ્ચે

∴ કળાતફાવત = π મળે.
∴ સ્રોત D ને કારણે R₁ પાસે પહોંચતા તરંગનું સમીકરણ,
y_D = acos(ωt – π) = -acosωt

• આમ A, B, C, D ચારેય સ્રોતમાંથી ઉદ્ભવી R₁પાસે પહોંચતા પરિણામી તરંગો માટે,
  V_R1 = Y_A + Y_B + Y_C + Y_D
  = acosωt – acosωt + acosωt – acosωt
  ∴ Y_R1 = 0 ………… (1)
• સ્રોત B ના કારણે R₂ પાસે પહોંચતા તરંગનું સમીકરણ,
  Y_B = a₁cosωt
  સ્રોત B અને D માંથી ઉદ્ભવતા તરંગોનો R₂ પાસે પથતફાવત \(\frac{\lambda}{2}\) છે.
  ∴ કળાતફાવત = π
  ∴ તરંગનું સમીકરણ,
  Y_D = a₁cos(ωt – π) -a₁cosωt
  હવે સ્રોત B અને A માંથી ઉદ્ભવી R₂ પાસે પહોંચતા

= d + \(\frac{\lambda^2}{8 d}\) – d
= 0
[∵ d >>> λ હોવાથી \(\frac{\lambda^2}{8 d}\) = 0]
∴ કળાતફાવત પણ Φ = 0
તેથી સ્રોત A માંથી R₂ પાસે આવતા તરંગનું સમીકરણ,
Y_A = a₁cos(ot – Φ)
તેવી જ રીતે Y_C = a₁cos(ot + Φ)
તેથી ચારેય સ્રોતમાંથી ઉદ્ભવી R₂ પાસે પહોંચતા પરિણામી તરંગો માટે,
Y_R2 = Y_A + Y_B + Y_C + Y_D
= a₁cos(ωt – Φ) + a₁cosωt + a₁cos(ωt + Φ) – a₁cosωt
= 2a₁cos(ωt – Φ) …………….. (2)
પરિણામ (1) અને (2) પરથી કહી શકાય કે R₂ રિસીવર મોટા સંકેત પકડશે.

(ii) જો સ્રોત B બંધ કરવામાં આવે તો સમીકરણ (1) પરથી,
Y_R1 = acosωt
∴ <I_R1 > = a² < cos² ωt > = \(\frac{a^2}{2}\)
અને સમીકરણ (2) પરથી,
Y_R2 = a₁cos(ωt – Φ) = a₁cosωt [∵ Φ → 0]
∴ <I_R2 > = \(a_1^2\) < cos²ωt > = \(\frac{a_1^2}{2}=\frac{a^2}{2}\)
તેથી R₁ અને R₂ બંને રિસીવરો સમાન સિગ્નલો મેળવશે.

(iii) જ્યારે સ્રોત D બંધ કરવામાં આવે તો સમીકરણ (1) પરથી,
Y_R1 = acosωt
∴ <I_R1 > = a² < cos² ωt > = \(\frac{a^2}{2}\)
અને સમીકરણ (2) પરથી,
Y_R2 = 3acosωt [∵ Φ → 0]
∴ Y_R2 9a² <cos²ωt > = \(\frac{9}{2}\)a²
તેથી R₁ ની સરખામણીમાં, R₂ મોટું સિગ્નલ પકડશે.

(iv) R₁ રિસીવર વડે પકડાતું સિગ્નલ દર્શાવે છે કે સ્રોત B બંધ કરેલ છે અને R₂ રિસીવર વડે પકડાતું સિગ્નલ દર્શાવે છે કે સ્રોત D બંધછે.

પ્રશ્ન 4.
માધ્યમના પ્રકાશીય ગુણધર્મો સાપેક્ષ પરમિટિવિટી (પરાવૈધૃતાંક-permitivity) (ε_r) અને સાપેક્ષ પરમિએબિલિટી (પારગમ્યતા-permeability) (μ_r) વડે નિયંત્રિત (સંચાલિત) થાય છે. વક્રીભવનાંક n = \(\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}\) વડે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. સામાન્ય દ્રવ્ય માટે ε_r > 0 અને μ_r અને વર્ગમૂળ માટે ધન નિશાની લેવામાં આવેલ છે. 1964માં રશિયન વૈજ્ઞાનિક વી. વેસ્લેગો (V. Veselago) ε_r < 0 અને μ_r < 0 સાથે દ્રવ્યનું અસ્તિત્વ નિયુક્ત (ધારણા) કર્યું. આથી, આવા કહી શકાય તેવા ‘મેટામટીરિયલ’ પ્રયોગશાળામાં બનાવવામાં આવ્યા અને તેમના પ્રકાશીય ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કર્યો. આવાં દ્રવ્યો માટે n = \(-\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}\) આવા વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં જ્યારે પ્રકાશ દાખલ થાય છે ત્યારે તેમની કળાઓ પ્રસરણ દિશાથી દૂર તરફની દિશામાં ગતિ કરે છે.

(i) ઉપરના વર્ણનને આધારે દર્શાવો કે પ્રકાશનું કિરણ જો હવા (વ્રકીભવનાંક = 1)માંથી આવા માધ્યમમાં બીજા ચરણમાં θ કોણે દાખલ થાય, તો તે તેનું પરાવર્તિત કિરણજૂથ ત્રીજા ચરણમાં હશે.
(ii) આવા માધ્યમ માટે સ્નેલનો નિયમ પળાય છે, તેમ સાબિત કરો.
ઉત્તર:
(i) આકૃતિ (1) માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે પ્રકાશનું સમતલ તરંગઅગ્ર AB, metamaterial ની સપાટી MN પર t = 0 સમયે આપાત થાય છે. હવે, રકમમાં આપેલી આગાહી સાચી હોય તો metamaterial ની અંદર t સમયે વક્રીભૂત તરંગઅગ્ર ED, આકૃતિ (1) માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એવી રીતે રચાશે જેથી આપાતકોણ θ_i બીજા ચરણમાં હોય ત્યારે વક્રીભૂતકોણ θ_r ત્રીજા ચરણમાં મળે.

• – અત્રે ED એ તરંગઅગ્ર હોવાથી, તેની પરના બધા જ બિંદુઓએ પ્રકાશ સદિશોના દોલનની કળા સમાન બનવી જોઈએ. આ માટે A અને B માંથી નીકળેલા પ્રકાશના કિરણો જ્યારે t સમયમાં અનુક્રમે બિંદુઓ E અને D આગળ પહોંચે ત્યારે તેમની પ્રકાશીય પથલંબાઈઓ સમાન થવી જોઈએ. જો આ લંબાઈઓ અનુક્રમે r₁ અને r₂ હોય તો સમીકરણ (2) નો ઉપયોગ કરતાં,

• આકૃતિમાં \(\overline{\mathrm{BC}}\) નું માપ ધન હોવાથી ઉપરોક્ત સમીકરણ પરથી CD > AE હોવાનું સાબિત થાય છે. આવું ત્યારે જ થાય કે જ્યારે θ_i બીજા ચરણમાં હોય ત્યારે θ_r ત્રીજા ચરણમાં હોય. આ હકીકત પરથી metamaterial ના અસ્તિત્વની આગાહી સાચી સાબિત થાય છે. કારણ કે, જો અત્રે નીચેનું માધ્યમ metamaterial ને બદલે કોઈ સામાન્ય પારદર્શક ઘટ્ટ માધ્યમ હોય તો તેમાં (આકૃતિ-2) માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે CD AE મળે છે જે દર્શાવે છે કે, n < 0 ધરાવતાં metamaterial નું અસ્તિત્વ હોવું જોઈએ.

(ii) સ્નેલના નિયમની સાબિતી :

• સમીકરણ (3) પરથી,
  BC = – n(CD – FD)
  (∵ n = –\(\sqrt{\epsilon_r \mu_r}\) તથા AE = FD)
  ∴ BC = – n(CF) ……………… (4)
• કાટકોણ ΔABC માં
  sinθ_i = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\)
  ∴ BC = AC(sinθ_i) ……………. (5)
• કાટકોણ ΔAFC માં
  sinθ_r = \(\frac{C F}{A C}\)
  ∴ CF = AC (sinθ_r) ………….. (6)
• સમીકરણો (4), (5), (6) પરથી,
  = (AC) (sinθ_i) = – n(AC) sinθ_r
  ∴ sinθ_i = – nsinθ_r
  ∴ n₁sinθ_i = – n₂sinθ_r
  (∵ અત્રે n₁ = 1)
• ઉપરોક્ત સમીકરણ પ્રસ્તુત કિસ્સામાં સ્નેલના નિયમનું વ્યાપક સ્વરૂપ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 5.
લગભગ 100 ટકા પ્રસારિતતા (transmittivity) સુનિશ્ચિત કરવા માટે ફોટોગ્રાફિક લેન્સને ઘણી વખત ડાઇઇલેક્ટ્રિક દ્રવ્યના પાતળા સ્તર (ફિલ્મ) વડે ઢાંકી દેવામાં આવે છે. આ દ્રવ્યના વક્રીભવનાંક હવા અને કાચના વક્રીભવનાંકોની વચ્ચે હોય છે. (જે લેન્સ માટે પ્રકાશીય દ્રવ્ય બનાવે છે.) સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી ડાઇઇલેક્ટ્રિક ફિલ્મ MgF₂(n = 1.38) છે. આ ફિલ્મ (પાતળા સ્તર)ની જાડાઈ કેટલી રાખવી જોઈએ કે જેથી દૃશ્ય વર્ણપટની મધ્યમાં (5500 Å) મહત્તમ વહન મેળવી શકાય ?
ઉત્તર:

• આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ધારો કે પ્રકાશનું એક કિરણ \(\overrightarrow{P A}\) હવામાંથી આપેલા ડાઇઇલેક્ટ્રિક સ્તરની સપાટી M₁N₁ પર i જેટલા આપાતકોણથી t = 0 સમયે આપાત થાય છે જેનું A બિંદુએથી પરાવર્તન થતાં આપણને પરાવર્તિત કિરણ r₁ મળે છે સાથે સાથે તેનું A બિંદુએથી વક્રીભવન થવાથી આપણને વક્રીભૂત કિરણ \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) મળે છે. જેનું D બિંદુએથી કાચની સપાટી M₂ N₂ પરથી પરાવર્તન થવાથી આપણને વક્રીભૂત કિરણ \(\overrightarrow{\mathrm{DC}}\) મળે છે, જે C બિંદુએથી નિર્ગમન પામે છે. જેમાંથી આપણને કિરણ r₂ મળે છે. અત્રે આપાત કિરણ \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}\) નું ક્રમશઃ પરાવર્તન 12 અને નિર્ગમન થતું રહેતું હોવાથી ક્રમશઃ તેનો કંપવિસ્તાર ઘટતો જ જાય છે. તેથી A બિંદુએ પ્રકાશની પરિણામી તીવ્રતા મદંશે કિરણો r₁ અને r₂ વડે નક્કી થાય છે.
• કિરણો r₁ અને r₂ વચ્ચેનો પ્રકાશીય પથતફાવત,
  r₂ – r₁ = n(AD) + n(DC) – AB ………. (1)
• હવે, કાટકોણ ΔAED માં cosr = \(\frac{d}{\mathrm{AD}}\) ⇒ AD = \(\frac{d}{\cos r}\)
  હવે કાટકોણ ΔDECમાં cosr = \(\frac{d}{\mathrm{DC}}\) ⇒ DC = \(\frac{d}{\cos r}\)
  હવે કાટકોણ ΔABC માં cos(90° – i) = sini = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\) ⇒ AB = (AC)sini ……………… (1)
  વળી, કાટકોણ ΔAED માં tanr = \(\frac{\left(\frac{\mathrm{AC}}{2}\right)}{d}=\frac{\mathrm{AC}}{2 d}\)
  ∴ AC = 2dtanr
  ∴ AB = (2dtanr)sini
  [∵ સમીકરણ (1) માં AC ની કિંમત મૂકતાં]
• ઉપરોક્ત કિંમતો સમીકરણ (1)માં મૂકતાં, પ્રકાશીય પથતફાવત,

• અત્રે બંને કિરણો, ઘટ્ટ માધ્યમની સપાટી પરથી પરાવર્તન પામે છે તેથી પરાવર્તન પામતી વખતે તેમની વચ્ચે કોઈ વધારાનો કળાતફાવત રહેતો નથી.
• હવે, MgF₂ ના સ્તરમાંથી મહત્તમ નિર્ગમન થાય તે માટે તેની ઉપરની સપાટી M₁N₁ પરથી પરાવર્તન ન થવું જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં પરાવર્તિત કિરણો r₁ અને r₂ વચ્ચે વિનાશક વ્યતીકરણ રચાવું જોઈએ. આ માટે ઉપરોક્ત પથતફાવત
  (સ્તરની લઘુતમ જાડાઈ માટે) \(\frac{\lambda}{2}\) જેટલો થવો જોઈએ. તેથી, 2ndcosr = \(\frac{\lambda}{2}\)
• અત્રે લેન્સ પર પ્રકાશના કિરણો લંબરૂપે આપાત થતા હોવાથી, i = r = 0° ⇒ cosr = 1 અને તેથી,
  ∴ 2nd = \(\frac{\lambda}{2}\)
  ∴ d = \(\frac{\lambda}{4 n}\)
  ∴ d = \(\frac{5500}{4 \times 1.38}\)
  = 996.4 Å
  ∴ d = 1000 Å