GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
નીચેનાં વિકલ સમીકરણોની કક્ષા અને પરિમાણ (શક્ય હોય, તો) મેળવો :
(i) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 5x\(\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) – 6y = log x
ઉત્તરઃ
અહીં વિકલિતોની ઉચ્ચતમ કક્ષા 2 છે.
∴ વિકલ સમીકરણની કક્ષા 2 છે.
અહીં ઉચ્ચતમ કક્ષા i.e. \(\frac{d^2 y}{d x^2}\)નો ઉચ્ચતમ ઘાતાંક 1 છે.
∴ વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ 1 છે.

(ii) \(\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\) – 4\(\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) + 7y = sin x
ઉત્તરઃ
અહીં વિકલિતોની ઉચ્ચતમ કક્ષા 1 છે.
∴ વિકલ સમીકરણની કક્ષા 1 છે.
\(\frac{d y}{d x}\) નો ઉચ્ચતમ ઘાતાંક 3 છે.
∴ વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ 3 છે.

(iii) \(\frac{d^4 y}{d x^4}\) – sin\(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)\) = 0
ઉત્તરઃ
અહીં વિકલિતોની ઉચ્ચતમ કક્ષા 4 છે.
∴ વિકલ સમીકરણની કક્ષા 4 છે.
અહીં વિકલ સમીકરણ બહુપદીય સમીકરણ નથી.
∴ વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ વ્યાખ્યાયિત નથી.

પ્રશ્ન 2.
નીચે આપેલ દરેક પ્રશ્નમાં ચકાસો કે, આપેલ વિધેય (ગૂઢ અથવા સ્પષ્ટ) એ તેના અનુરૂપ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે :
(i)y = ae^x + be^-x + x²
: x\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 2\(\frac{d y}{d x}\) − xy + x² – 2 = 0
ઉત્તરઃ
xy = ae^x + be^-x + x² …..(1)
સમીકરણનું x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
x\(\frac{d y}{d x}\) = ae^x – be^-x + 2x dx
ફરીથી સમીકરણનું x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
x\(\frac{d y^2}{d x^2}+\frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}\) = ae^x + be^-x + 2
પરંતુ સમીકરણ (1) પરથી, ae^x + be^-x = xy – x²
આ કિંમત (3)માં મૂકતાં,
x\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 2\(\frac{d y}{d x}\) = xy – x² + 2
∴ x\(\frac{d^2 y}{d x^2}+\frac{2 d y}{d x}\) – xy + x² − 2 = 0
∴ આપેલ વિધેય એ તેના અનુરૂપ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(ii) y = e^x (a cos x + b sin x) : \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – 2\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 2y = 0
ઉત્તરઃ
y = e^x (a cos x + b sin x) .. (1)
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

∴ આપેલ વિધેય એ તેનાં અનુરૂપ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(iii) y = x sin 3x : \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 9y – 6 cos 3x = 0
ઉત્તરઃ
y = x sin 3x ….(1)
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d y}{d x}\) = sin 3x + 3x cos 3x
ફરીથી x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d y}{d x}\) = 3 cos 3x + 3 cos 3x – 9x sin 3x
∴ \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 6 cos 3x – 9y (∵ y = x sin 3x)
∴ \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 9y – 6 cos 3x = 0
∴ આપેલ વિધેય એ તેના અનુરૂપ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(iv) x² = 2y² log y : (x² + y²)\(\frac{d y}{d x}\) – xy = 0
ઉત્તરઃ
x² = 2y² log y
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

∴ આપેલ વિધેય એ તેના અનુરૂપ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 3.
વક્રની સંતિ (x – a)² + 2y² = 2 દર્શાવતું વિકલ સમીકરણ શોધો. (a સ્વૈર અચળ)
ઉત્તરઃ
(x − a)² + 2y² = a² ……..(1)
બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 4.
સાબિત કરો કે પ્રચલ c માટે વિકલ સમીકરબ (x³ – 3xy²)dx = (y³ – 3x²y)dy નો व्याપફ ઉફલલ x² – y² = c (x² + y²)² છે.
ઉત્તરઃ
(x³ – 3xy²)dx = (y³ – 3x²y)dy
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{x^3-3 x y^2}{y^3-3 x^2 y}\) ……..(1)
∴ આપેલ વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણા વિકલલ સમીકરણા છે.

પ્રશ્ન 5.
પ્રથમ ચરણમાં આવેલાં અને બંને અક્ષોને સ્પર્શતાં વર્તુળોની સંહતિનું વિકલ સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તરઃ
પ્રથમ ચરણમાં આવેલ બંને અક્ષોને સ્પર્શતા વર્તુળની ત્રિજ્યા a હોય તો વર્તુળનું કેન્દ્ર c (a, a) થાય.
∴ વર્તુળનું સમીકરણ :
(x − a)² + (y − a)² = a² ……..(1)
સમીકરણ (1)ની બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

∴ [x + xy’ – x – yy’]² + [y + yy’ – x – yy’]² = [x + yy’]²
∴ [xy’ – yy’]² + [y − x]² = [x + yy’]²
∴ y’² (x − y)² + (x − y)² = (x + yy’)²
∴ (x − y)² + (y’² + 1) = (x + yy)²
∴ (x + yy’)² = (x − y)² (1 + y’²) જે પ્રથમ ચરણમાં આવેલાં અને બંને અક્ષોને સ્પર્શતાં વર્તુળોની સંહતિનું વિકલ સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 6.
વિકલ સમીકરણ \(\frac{d y}{d x}+\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}}\) = 0 નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.
ઉત્તરઃ

∴ sin^-1y + sin^-1x = c
જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 7.
વિકલ સમીકરણ \(\frac{d y}{d x}+\frac{y^2+y+1}{x^2+x+1}\) = 0 નો વ્યાપક ઉકેલ (x + y + 1) = A (1 – x – y – 2xy) છે, તેમ દર્શાવો. (જ્યાં A સ્વૈર અચળ છે.)
ઉત્તરઃ

⇒ (x + y + 1) = A (1 – x – y -2xy)
જ્યાં A = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)tan(\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)c) જે સ્વૈર અચળ છે.
જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 8.
જેનું વિકલ સમીકરણ sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0 હોય તેવા (0, \(\frac{\pi}{4}\)) માંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0
∴ \(\frac{\sin x}{\cos x}\)dx + \(\frac{\sin y}{\cos y}\)dy = 0
બંને બાજુ સંકલન કરતાં,
∫tanx dx + ∫tan y dy = 0
∴ log |sec x + log | sec y | = log c
∴ sec x sec y = C
વક્ર (0, \(\frac{\pi}{4}\)) માંથી પસાર થાય છે.
∴ x = 0 તथ y = \(\frac{\pi}{4}\) લેતાં,
sec θ.sec \(\frac{\pi}{4}\) = c ⇒ c = √2
∴ sec x sec y = √2
∴ cos y = \(\frac{\sec x}{\sqrt{2}}\)
જે માંગેલ વક્રનું સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 9.
જ્યારે x = 0 હોય ત્યારે y = 1 માટે વિકલ સમીકરણ (1 + e^2x)dy + (1 + y²) e^x dx = 0 નો વિશિષ્ટ ઉકેલ મેળવો.
ઉત્તરઃ
(1 + e^2x) dy + (1 + y²) e^x dx = 0

∴ tan^-1(y) + tan^-1(e^x) = c
જ્યારે x = 0 ત્યારે y = 1
∴ c = tan^-1(1) + tan ^-1(1)
∴ c = \(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\)
∴ tan^-1 + tan^-1(e^x) = \(\frac{\pi}{2}\)
જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 10.
વિકલ સમીકરણ ye^{\(\frac{x}{y}\)} dx = (xe^{\(\frac{x}{y}\)} + y²) dy નો ઉકેલ શોધો.
ઉત્તરઃ
ye^{\(\frac{x}{y}\)} dx = (xe^{\(\frac{x}{y}\)} + y²) dy

જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 12.
વિકલ સમીકરણ \(\left[\frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}-\frac{y}{\sqrt{x}}\right] \frac{d x}{d y}\) =1 ઉકેલો.
ઉત્તરઃ

જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 13.
જ્યારે x = \(\frac{\pi}{2}\) હોય ત્યારે y = 0 માટે વિકલ સમીકરણ \(\frac{d y}{d x}\) + y cot x = 4x cosec x (x ≠ 0) નો વિશિષ્ટ ઉકેલ મેળવો.
ઉત્તરઃ
\(\frac{d y}{d x}\) + y cot x = 4x cosec x ………..(1)
આપેલ વિકલ સમીકરણનું સ્વરૂપ \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q પ્રકારનું છે.
જ્યાં P = cot x તથા Q = 4x cosec x
∴ સંકલ્પકારક અવયવ (I.E) = e^{∫P dx}
= e^{∫cot xdx}
= e^log|sinx|
= sin x
સમીકરણ (1)ની બંને બાજુ sin x વડે ગુણતાં,

જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 14.
જ્યારે x = 0 હોય ત્યારે y = 0 માટે વિકલ સમીકરણ
(x + 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 2e^-y – 1 નો વિશિષ્ટ ઉકેલ મેળવો.
ઉત્તરઃ

∴ -log|2 – e^y| = log |x + 1| + c
જ્યારે x = 0 હોય ત્યારે y = 0 ⇒ c = 0
∴ -log |2 – e^y| = log |x + 1|
∴ (2 – e^y)^-1 = x + 1
∴ (x + 1) = \(\frac{1}{2-e^y}\)
∴ 2 (x + 1) – e^y (x + 1) = 1
∴ 2x + 2 – 1 = e^y (x + 1)
∴ \(\frac{2 x+1}{x+1}\) = e^y
∴ y = log\(\left|\frac{2 x+1}{x+1}\right|\)
જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 15.
એક ગામની વસ્તીનો સતત વૃદ્ધિ-દર કોઈ પણ સમયે હાજર રહેવાસીઓની સંખ્યાના પ્રમાણમાં છે. જો 1999માં ગામની વસ્તી 20,000 હોય અને 2004માં 25,000 હોય, તો 2009 માં તે ગામની વસ્તી કેટલી હશે ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે t સમયે ગામની વસ્તી ૪ છે. આપેલ છે કે વસ્તીનો વૃદ્ધિદર અર્થાત્ \(\frac{d x}{d t}\) એ કોઈ પણ સમયે હાજર રહેવાસીઓની સંખ્યાના પ્રમાણમાં છે.
∴ \(\frac{d x}{d t}\) ∝ x
∴ \(\frac{d x}{d t}\) = kx
∴ \(\frac{d x}{x}\) = k dt
બંને બાજુ સંકલન કરતાં,
∫\(\frac{d x}{x}\) = k∫dt
∴ log |x| = kt + c ……..(1)
1999 માં ગામની વસ્તી 20,000 છે.
1999 ને t = 0 સમય માનીએ તો t = 0 હોય ત્યારે
x = 20,000
∴ log 20,000 = c
આ કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
log |x| = kt + log 20, ……..(2)
2004માં વસ્તી 25,000 છે.
∴ 2004-1999 = 5 વર્ષમાં અર્થાત્ t = 5 વર્ષ હોય ત્યારે
x = 25,000 છે, તેમ કહેવાય.
∴ (2) ⇒ log 25000 5k + log 20,000
⇒ log\(\left(\frac{25,000}{20,000}\right)\) = 5k
⇒ log\(\left(\frac{5}{4}\right)\) = 5k
⇒ k = \(\frac{1}{5}\)log\(\left(\frac{5}{4}\right)\)
આ કિંમત સમીકરણ (2)માં મૂકતાં,
log |x| = \(\frac{1}{5}\)log\(\left(\frac{5}{4}\right)\)t + log 20,000
2009 માં ગામની વસ્તી કેટલી છે તે શોધવાનું છે.
2009-1999 = 10
∴ t = 10 વર્ષ હોય ત્યારે ગામની વસ્તી x = ?

∴ 2009 માં ગામની વસ્તી 31,250 છે.

પ્રશ્નો 16 થી 18માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 16.
વિકલ સમીકરણ \(\frac{y d x-x d y}{y}\) = 0નો વ્યાપક ઉકેલ …………
(A) xy = c
(B) x = cy²
(C) y = cx
(D) y = cx²
ઉત્તરઃ
\(\frac{y d x-x d y}{y}\) = 0
∴ ydx – x dy = 0
∴ ydx = x dy
∴ \(\frac{d x}{x}=\frac{d y}{y}\)
∴ ∫\(\frac{d x}{x}\) = ∫\(\frac{d y}{y}\)
∴ log x + log c = log y
∴ cx = y
∴ વિકલ્પ (C) આવે.

પ્રશ્ન 17.
\(\frac{d x}{d y}\) + P₁x = Q₁ પ્રકારના વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ
(A) y · e^∫P₁dy = ∫(Q₁e^∫P₁dy) dy + c
(B) y · e^∫P₁dx = ∫(Q₁e^∫P₁dx) dx + c
(C) x · e^∫P₁dy = ∫(Q₁e^∫P₁dy) dy + c
(D) x · e^∫P₁dx = ∫(Q₁e^∫P₁dx) dx + c
ઉત્તરઃ
\(\frac{d x}{d y}\) + P₁x = Q₁
સંકલ્પકારક અવયવ (I.E) = e∫P₁dy

પ્રશ્ન 18.
વિકલ સમીકરણ e^x dy + (ye^x + 2x) dx = 0નો व्याપક ઉકેલ …..
(A) xe^y + x² = C
(B) xe^y + y² = c
(C) ye^x + x² = c
(D) ye^y + x² = C
ઉત્તરઃ
e^x dy + (ye^x + 2x) dx = 0
\(\frac{d y}{d x}+\frac{\left(y e^x+2 x\right)}{e^x}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = -2xe^-x ……..(1)
જે \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q સ્વરૂપનું વિકલ સમીકરણ છે.
જ્યા P = 1 તथ Q = -2x e^-x

સંકલ્પકારક અવયવ (I.E) = e^∫Pdy
= e^∫1dy
= e^x
સમીકરણ (1)ની બંને બાજુ e વડે ગુણતાં,
e^x\(\frac{d y}{d x}\) + y.e^x = -2x.e^-x.e^x
∴ \(\frac{d}{d x}\)(y.e^x) = -2x

સંકલન કરતાં,
y.e^x = ∫- 2x dx
∴ y. ex = -x² + c
∴ y · e + x² = c જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.
∴ વિકલ્પ (C) આવે.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Miscellaneous Exercise

Leave a Comment Cancel Reply