Loading web-font TeX/Main/Regular

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise

પ્રશ્નો 1 થી 24 માં આપેલા વિધેયોના સંકલિત મેળવો :

પ્રશ્ન 1.
\frac{1}{x-x^3}
ઉત્તરઃ
\frac{1}{x-x^3}=\frac{1}{x(1+x)(1-x)}
= =\frac{\mathrm{A}}{x}+\frac{\mathrm{B}}{1+x}+\frac{\mathrm{C}}{1-x} ….(i)
અંશ 1 = A(1 + x) (1 − x) + Bx (1 − x) + Cx (1 + x)
1 = x2 (-A2 – B + C) + x (B + C) + A
બંને બાજુ x2 તથા x નાં સહગુણકો તથા અચળ પદ સરખાવતાં,
-A2 – B + C = 0….(i)
B + C = 0….(ii)
A = 1 ….(iii)
A = 1. (i) ⇒ −1 − B + C = 0
-B + C = + 1
(ii) ⇒ B + C = 0
સરવાળો: 2C = +1 ⇒ C = +\frac{1}{2}

હવે B + C = 0 તથા C = +\frac{1}{2} ⇒ B = +\frac{1}{2}
A, B તથા C ની કિંમતો (i) માં મૂકતાં,
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 1

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 2.
\frac{1}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}}
ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 2

પ્રશ્ન 3.
\frac{1}{x \sqrt{a x-x^2}}(સૂચન: x = \frac{a}{t} લો.)
ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 3

પ્રશ્ન 4.
\frac{1}{x^2\left(x^4+1\right)^{\frac{3}{4}}}
ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 4

પ્રશ્ન 5.
\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}} (સૂચન: \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}\left(1+x^{\frac{1}{6}}\right)} લો.)
ઉત્તરઃ
2 તથા 3 નો LCM 6 છે. ધારો કે x = t6 ⇒ dx = 6t5 dt
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 5

પ્રશ્ન 6.
\frac{5 x}{(x+1)\left(x^2+9\right)}
ઉત્તરઃ
\frac{5 x}{(x+1)\left(x^2+9\right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B x+C}{x^2+9}

અંશ 5x = A(x2 + 9) + (Bx + C) (x + 1)
5x = (A + B)x2 + (B + C)x + 9A + C
બંને બાજુ x2 તથા ૪ નાં સહગુણકો અને અચળ પદ સરખાવતાં,
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 6

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 7.
\frac{\sin x}{\sin (x-a)}
ઉત્તરઃ
\frac{\sin x}{\sin (x-a)}dx = ∫[latex][/latex]dx
= ∫\frac{\sin (x-a) \cos a+\cos (x-a) \sin a}{\sin (x-a)} dx
= ∫(cos a + cot (x – a) sina) dx
= cos a dx + sin a scot (x − a) dx
= cos a x + sin a log sin (x − a) + c

પ્રશ્ન 8.
\frac{e^{5 \log x}-e^{4 \log x}}{e^{3 \log x}-e^{2 \log x}}
ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 7

પ્રશ્ન 9.
\frac{\cos x}{\sqrt{4-\sin ^2 x}}
ઉત્તરઃ
I = ∫\frac{\cos x}{\sqrt{4-\sin ^2 x}}dx
ધારો કે sin x = t ⇒ cos x dx = dt
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 8

પ્રશ્ન 10.
\frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x}
ઉત્તરઃ
sin8x – cos8x = (sin4x – cos4x)(sin4x + cos4x)
= (sin2x + cos2x)(sin2x – cos2x)[(sin2x + cos2x)2 – 2sin2xcos2x)
= (1)(-cos 2x)(1 – 2 sin2x cos2x)
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 9

પ્રશ્ન 11.
\frac{1}{\cos (x+a) \cos (x+b)}
ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 10

પ્રશ્ન 12.
\frac{x^3}{\sqrt{1-x^8}}
ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 11

પ્રશ્ન 13.
\frac{e^x}{\left(1+e^x\right)\left(2+e^x\right)}
ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 12
= log |1 + t| – log |2 + t❘ + c
= log |1 + ex| – log 2 + ex| + c ( t = ex)

પ્રશ્ન 14.
\frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+4\right)}
ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 13

પ્રશ્ન 15.
cos3x elog sin x
་ઉત્તરઃ
I = ∫cos3x elog sin x
= ∫cos3x sin x dx
= cos2 x cos x sinx dx
= ∫(1 – sin2x) sin x cosx dx
ધારો કે sin x = t ⇒ cos x dx = dt
I = ∫(1 – t2)t dt
= ∫(t – t3) dt
= \frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{4} + 2
= \frac{1}{2}sinx – \frac{1}{4}sin4x + c

પ્રશ્ન 16.
e3 logx (x4 + 1)-1
་ઉત્તરઃ
I = ∫e3 logx (x4 + 1)-1
= ∫x3 (x4 + 1)-1 dx
= ∫\frac{x^3}{x^4+1}dx
ધારો કે x4 + 1 = t ⇒ 4x3 dx = dt
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 14

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 17.
f'(ax + b) [f(ax + b)]n
་ઉત્તરઃ
I = ∫f'(ax + b) [f (ax + b)]n dx
ધારો કે f(ax + b) = t
∴ f'(ax + b) . a dx = dt
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 15

પ્રશ્ન 18.
\frac{1}{\sqrt{\sin ^3 x \sin (x+\alpha)}}
་ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 16

પ્રશ્ન 19.
\frac{\sin ^{-1} \sqrt{x}-\cos ^{-1} \sqrt{x}}{\sin ^{-1} \sqrt{x}+\cos ^{-1} \sqrt{x}}, x ∈ [0, 1]
་ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 17

પ્રશ્ન 20.
\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}
་ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 18

પ્રશ્ન 21.
\frac{2+\sin 2 x}{1+\cos 2 x}ex
་ઉત્તરઃ
I = ∫\frac{2+\sin 2 x}{1+\cos 2 x}ex dx
= ∫\left(\frac{2+2 \sin x \cos x}{2 \cos ^2 x}\right)ex dx
= ∫(sec2x + tan x)ex dx
હવે f(x) = tan x હોય f'(x) = sec2x થાય.
∫(f(x) + ƒ'(x)) ex · dx = f(x) · ex + c
I = tan x. ex + c

પ્રશ્ન 22.
\frac{x^2+x+1}{(x+1)^2(x+2)}
་ઉત્તરઃ
I = ∫\frac{x^2+x+1}{(x+1)^2(x+2)}dx
\frac{x^2+x+1}{(x+1)^2(x+2)}=\frac{\mathrm{A}}{x+1}+\frac{\mathrm{B}}{(x+1)^2}+\frac{\mathrm{C}}{x+2}
∴ x2 + x + 1 = A(x + 1) (x + 2) + B(x + 2) + C(x + 1)2
x = −1 લેતાં, 1 – 1 + 1 = B (-1 + 2) ⇒ B = 1
x = −2 લેતાં, 4 – 2 + 1 = C(−2 + 1)2 ⇒ C = 3
અચળ પદ 1 = 2A + 2B + C
∴ 1 = 2A + 2 + 3 (∵ B = 1, C = 3)
∴ 2A = -4
∴ A = -2
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 19

પ્રશ્ન 23.
tan-1\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}
་ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 20
હવે ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 21

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 24.
\frac{\sqrt{x^2+1}\left[\log \left(x^2+1\right)-2 \log x\right]}{x^4}
་ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 22

પ્રશ્નો 25 થી 33 માં આપેલ નિયત સંકલિતોની કિંમત મેળવો :

પ્રશ્ન 25.
\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi e^x\left(\frac{1-\sin x}{1-\cos x}\right)dx
་ઉત્તરઃ
I = \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi e^x\left(\frac{1-\sin x}{1-\cos x}\right)dx
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 23

પ્રશ્ન 26.
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{\cos ^4 x+\sin ^4 x}dx
་ઉત્તરઃ
I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{\cos ^4 x+\sin ^4 x}dx
અંશ તથા છંદને cos4x વડે ભાગતાં,
I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x \cdot \sec ^2 x}{1+\tan ^4 x}dx
ધારો કે tan2x = t ⇒ 2tan x sec2x dx = dt જયારે
x = 0 ત્યારે t = 0 તથા x = \frac{\pi}{4} ત્યારે t = 1
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 24

પ્રશ્ન 27.
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^2 x d x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x}
་ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 25
જ્યાં I1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4-3 \cos ^2 x}dx
અંશ તથા છેદને cos2x વડે ભાગતાં,
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 26
ધારો કે tan x = t ⇒ sec2x dx = dt
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 27

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 28.
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2 x}}dx
་ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 28
ધારે કે sin x – cos x = t ⇒ (cos x + sin x)dx = dt
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 29

પ્રશ્ન 29.
\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}
་ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 30

પ્રશ્ન 30.
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x+\cos x}{9+16 \sin 2 x}dx
་ઉત્તરઃ
I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x+\cos x}{9+16 \sin 2 x}dx
ધારે કે sin x – cos x = t ⇒ (cos x + sin x)dx = dt
x = 0 હોય ત્યારે t = sin 0 – cos 0 = -1
x = \frac{\pi}{4} હોય ત્યારે t = sin \frac{\pi}{4} – cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}} = 0
વળી sin x – cos x = t
∴ (sin x – cos x)2 = t2
∴ sin2x + cos2x – 2 sin cos x = t2
∴ sin 2x = 1 – t2
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 31

પ્રશ્ન 31.
\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin 2x tan-1(sin x)dx
་ઉત્તરઃ
I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}sin 2x tan-1(sin x)dx
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 32

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 32.
\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x}dx
་ઉત્તરઃ
I = \int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x}dx
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 33

પ્રશ્ન 33.
\int_1^4[|x – 1| + |x – 2| + |x – 3|]dx
་ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 34

પ્રશ્નો 34 થી 39 સાબિત કરો :

પ્રશ્ન 34.
\int_1^3 \frac{d x}{x^2(x+1)}=\frac{2}{3} + log\frac{2}{3}
་ઉત્તરઃ
ડા.બા = \int_1^3 \frac{d x}{x^2(x+1)}
\frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{\mathrm{A}}{x}+\frac{\mathrm{B}}{x^2}+\frac{\mathrm{C}}{x+1}
અંશ: 1 = Ax (x + 1) + B (x + 1) + Cx2
1 = x2(A + C) + x(A + B) + B

બંને બાજુનાં x2 તથા x નાં સહગુણકો તથા અચળ પદ સરખાવતાં,
A+ C = 0….(i)
A + B = 0….(ii)
B = 1
A + B = 0 તથા В = 1 ⇒ A = −1
A+ C = 0 તથા A = −1 ⇒ C = 1
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 35

પ્રશ્ન 35.
\int_0^1x exdx = 1
་ઉત્તરઃ
ખંડશઃ સંક્લનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
∫xex dx = x∫ex dx – ∫(\frac{d}{d x}x∫ex dx) dx
= xex – ∫ex dx
= xex – ex

\int_0^1x exdx = [xex – ex]10
= [(e – e) (0 – 1)]
= 1

પ્રશ્ન 36.
\int_{-1}^1x17cos4xdx = 0
་ઉત્તરઃ
\int_{-1}^1x17cos4xdx
અહીં f(x) = x17 cos4x
∴ f(−x) = (-x)17 cos1 (-x)
= -(x)17 cos1x
= − f(x)

∴ f(x) એ અયુગ્મ વિધેય છે.
f (x) અયુગ્મ વિષેય હોય તો \int_{-a}^af(x) ax = 0
\int_{-1}^1x17cos4xdx = 0

પ્રશ્ન 37.
\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin3x dx = \frac{2}{3}
་ઉત્તરઃ
sin3 x = 3sin x – 4sin3x
∴ sin3 x = \frac{1}{4}[3sin x – sin 3x]
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 36

પ્રશ્ન 38.
\int_0^{\frac{\pi}{4}}2tan3x dx = 1 – log 2
་ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 37
= [1 – 0] − 2 [log √2 – log 1]
= 1 – 2log √2
= 1 – 2\frac{1}{2}log 2
= 1 – log 2 = જે.બા

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 39.
\int_0^1sin 1x dx = \frac{\pi}{2} – 1
་ઉત્તરઃ
ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 38

પ્રશ્ન 40.
\int_1^0e2-3xdx ને સરવાળાના લક્ષ તરીકે મેળવો.
་ઉત્તરઃ
અહીં a = 0, b = 1 તથા f(x) = e2-3x = e2. e-3x
nh = b – a ⇒ nh = 1
f(a + h) = f(0 + h) = f(h) = e2· e-3h
f(a + 2h) = f(0 + 2h) = f(2h) = e2· e-6h
f(a + 3h) = f(0 + 3h) = f(3h) = e2. e-9h
………………………………………………………..
………………………………………………………..
f(a + (n – 1)h) = f (0 + (n − 1)h) = e2· e-3(n-1)h
f(a) + f(a + h) + f(a + 2h) + f(a + 3h) + …. + f (a + (n − 1) h)
= e2 + e2. e-3h + e2· e-6h + e2.e-9h + …… + e2. e-3(n-1)h
= e2 [1 + e-3h + e‍-6h + e-9h + ………. + e2.e-3(n-1)h]
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 39

પ્રશ્નો 41 થી 44 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિક્્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો:

પ્રશ્ન 41.
\frac{d x}{e^x+e^{-x}} = …………… .
(A) tan-1(ex) + c
(B) tan-1(e-x) + c
(C) log(ex – e-x) + c
(D) log(ex + e-x) + c
་ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 40
∴ વિકલ્પ (A) આવે.

પ્રશ્ન 42.
\frac{\cos 2 x}{(\sin x+\cos x)^2}dx = …………..
(A) \frac{-1}{\sin x+\cos x} + c
(B) log |sin x + cos x | + c
(C) log |sin x – cos x| + c
(D) \frac{1}{(\sin x+\cos x)^2} + c
་ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 41
= log|sin x + cos x|+ c
∴ વિકલ્પ (B) આવે.

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 43.
જો f(a + b − x) = f (x), તો \int_a^bx. f(x) dx
(A) \frac{a+b}{2} \int_a^bf(b − x) dx
(B) \frac{a+b}{2} \int_a^b f(b + x) dx
(C) \frac{b-a}{2} \int_a^bf(x) dx
(D) \frac{a+b}{2} \int_a^bf(x) dx
་ઉત્તરઃ
f(a + b – x) = f(x)
ધારો કે a + b – x = t
∴ -dx = dt ⇒ dx = -dt
x = a હોય ત્યારે t = b તથા ૪ = b હોય ત્યારે t = a
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 42
∴ વિકલ્પ (D) આવે.

પ્રશ્ન 44.
\int_0^1tan-1\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^2}\right)dx નું મૂલ્ય
(A) 1
(B) 0
(C) -1
(D) \frac{\pi}{4}
་ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise 43
∴ વિકલ્પ (B) આવે.

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *