GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Miscellaneous Exercise

પ્રશ્નો 1 થી 24 માં આપેલા વિધેયોના સંકલિત મેળવો :

પ્રશ્ન 1.
\(\frac{1}{x-x^3}\)
ઉત્તરઃ
\(\frac{1}{x-x^3}=\frac{1}{x(1+x)(1-x)}\)
= \(=\frac{\mathrm{A}}{x}+\frac{\mathrm{B}}{1+x}+\frac{\mathrm{C}}{1-x}\) ….(i)
અંશ 1 = A(1 + x) (1 − x) + Bx (1 − x) + Cx (1 + x)
1 = x2 (-A2 – B + C) + x (B + C) + A
બંને બાજુ x² તથા x નાં સહગુણકો તથા અચળ પદ સરખાવતાં,
-A2 – B + C = 0….(i)
B + C = 0….(ii)
A = 1 ….(iii)
A = 1. (i) ⇒ −1 − B + C = 0
-B + C = + 1
(ii) ⇒ B + C = 0
સરવાળો: 2C = +1 ⇒ C = +\(\frac{1}{2}\)

હવે B + C = 0 તથા C = +\(\frac{1}{2}\) ⇒ B = +\(\frac{1}{2}\)
A, B તથા C ની કિંમતો (i) માં મૂકતાં,

પ્રશ્ન 2.
\(\frac{1}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 3.
\(\frac{1}{x \sqrt{a x-x^2}}\)(સૂચન: x = \(\frac{a}{t}\) લો.)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 4.
\(\frac{1}{x^2\left(x^4+1\right)^{\frac{3}{4}}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 5.
\(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}}\) (સૂચન: \(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}\left(1+x^{\frac{1}{6}}\right)}\) લો.)
ઉત્તરઃ
2 તથા 3 નો LCM 6 છે. ધારો કે x = t⁶ ⇒ dx = 6t⁵ dt

પ્રશ્ન 6.
\(\frac{5 x}{(x+1)\left(x^2+9\right)}\)
ઉત્તરઃ
\(\frac{5 x}{(x+1)\left(x^2+9\right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B x+C}{x^2+9}\)

અંશ 5x = A(x² + 9) + (Bx + C) (x + 1)
5x = (A + B)x² + (B + C)x + 9A + C
બંને બાજુ x² તથા ૪ નાં સહગુણકો અને અચળ પદ સરખાવતાં,

પ્રશ્ન 7.
\(\frac{\sin x}{\sin (x-a)}\)
ઉત્તરઃ
∫\(\frac{\sin x}{\sin (x-a)}\)dx = ∫\([latex]\)[/latex]dx
= ∫\(\frac{\sin (x-a) \cos a+\cos (x-a) \sin a}{\sin (x-a)}\) dx
= ∫(cos a + cot (x – a) sina) dx
= cos a dx + sin a scot (x − a) dx
= cos a x + sin a log sin (x − a) + c

પ્રશ્ન 8.
\(\frac{e^{5 \log x}-e^{4 \log x}}{e^{3 \log x}-e^{2 \log x}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 9.
\(\frac{\cos x}{\sqrt{4-\sin ^2 x}}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{\cos x}{\sqrt{4-\sin ^2 x}}\)dx
ધારો કે sin x = t ⇒ cos x dx = dt

પ્રશ્ન 10.
\(\frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x}\)
ઉત્તરઃ
sin⁸x – cos⁸x = (sin⁴x – cos⁴x)(sin⁴x + cos⁴x)
= (sin²x + cos²x)(sin²x – cos²x)[(sin²x + cos²x)² – 2sin²xcos²x)
= (1)(-cos 2x)(1 – 2 sin²x cos²x)

પ્રશ્ન 11.
\(\frac{1}{\cos (x+a) \cos (x+b)}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 12.
\(\frac{x^3}{\sqrt{1-x^8}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 13.
\(\frac{e^x}{\left(1+e^x\right)\left(2+e^x\right)}\)
ઉત્તરઃ

= log |1 + t| – log |2 + t❘ + c
= log |1 + e^x| – log 2 + e^x| + c ( t = e^x)

પ્રશ્ન 14.
\(\frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+4\right)}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 15.
cos³x e^{log sin x}
་ઉત્તરઃ
I = ∫cos³x e^{log sin x}
= ∫cos³x sin x dx
= cos² x cos x sinx dx
= ∫(1 – sin²x) sin x cosx dx
ધારો કે sin x = t ⇒ cos x dx = dt
I = ∫(1 – t²)t dt
= ∫(t – t³) dt
= \(\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{4}\) + 2
= \(\frac{1}{2}\)sinx – \(\frac{1}{4}\)sin⁴x + c

પ્રશ્ન 16.
e^{3 logx} (x⁴ + 1)^-1
་ઉત્તરઃ
I = ∫e^{3 logx} (x⁴ + 1)^-1
= ∫x³ (x⁴ + 1)^-1 dx
= ∫\(\frac{x^3}{x^4+1}\)dx
ધારો કે x⁴ + 1 = t ⇒ 4x³ dx = dt

પ્રશ્ન 17.
f'(ax + b) [f(ax + b)]ⁿ
་ઉત્તરઃ
I = ∫f'(ax + b) [f (ax + b)]ⁿ dx
ધારો કે f(ax + b) = t
∴ f'(ax + b) . a dx = dt

પ્રશ્ન 18.
\(\frac{1}{\sqrt{\sin ^3 x \sin (x+\alpha)}}\)
་ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 19.
\(\frac{\sin ^{-1} \sqrt{x}-\cos ^{-1} \sqrt{x}}{\sin ^{-1} \sqrt{x}+\cos ^{-1} \sqrt{x}}\), x ∈ [0, 1]
་ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 20.
\(\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}\)
་ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 21.
\(\frac{2+\sin 2 x}{1+\cos 2 x}\)e^x
་ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{2+\sin 2 x}{1+\cos 2 x}\)e^x dx
= ∫\(\left(\frac{2+2 \sin x \cos x}{2 \cos ^2 x}\right)\)e^x dx
= ∫(sec²x + tan x)e^x dx
હવે f(x) = tan x હોય f'(x) = sec²x થાય.
∫(f(x) + ƒ'(x)) e^x · dx = f(x) · e^x + c
I = tan x. e^x + c

પ્રશ્ન 22.
\(\frac{x^2+x+1}{(x+1)^2(x+2)}\)
་ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{x^2+x+1}{(x+1)^2(x+2)}\)dx
\(\frac{x^2+x+1}{(x+1)^2(x+2)}=\frac{\mathrm{A}}{x+1}+\frac{\mathrm{B}}{(x+1)^2}+\frac{\mathrm{C}}{x+2}\)
∴ x² + x + 1 = A(x + 1) (x + 2) + B(x + 2) + C(x + 1)²
x = −1 લેતાં, 1 – 1 + 1 = B (-1 + 2) ⇒ B = 1
x = −2 લેતાં, 4 – 2 + 1 = C(−2 + 1)² ⇒ C = 3
અચળ પદ 1 = 2A + 2B + C
∴ 1 = 2A + 2 + 3 (∵ B = 1, C = 3)
∴ 2A = -4
∴ A = -2

પ્રશ્ન 23.
tan^-1\(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\)
་ઉત્તરઃ

હવે ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,

પ્રશ્ન 24.
\(\frac{\sqrt{x^2+1}\left[\log \left(x^2+1\right)-2 \log x\right]}{x^4}\)
་ઉત્તરઃ

પ્રશ્નો 25 થી 33 માં આપેલ નિયત સંકલિતોની કિંમત મેળવો :

પ્રશ્ન 25.
\(\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi e^x\left(\frac{1-\sin x}{1-\cos x}\right)\)dx
་ઉત્તરઃ
I = \(\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi e^x\left(\frac{1-\sin x}{1-\cos x}\right)\)dx

પ્રશ્ન 26.
\(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{\cos ^4 x+\sin ^4 x}\)dx
་ઉત્તરઃ
I = \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{\cos ^4 x+\sin ^4 x}\)dx
અંશ તથા છંદને cos⁴x વડે ભાગતાં,
I = \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x \cdot \sec ^2 x}{1+\tan ^4 x}\)dx
ધારો કે tan²x = t ⇒ 2tan x sec²x dx = dt જયારે
x = 0 ત્યારે t = 0 તથા x = \(\frac{\pi}{4}\) ત્યારે t = 1

પ્રશ્ન 27.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^2 x d x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x}\)
་ઉત્તરઃ

જ્યાં I₁ = \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4-3 \cos ^2 x}\)dx
અંશ તથા છેદને cos²x વડે ભાગતાં,

ધારો કે tan x = t ⇒ sec²x dx = dt

પ્રશ્ન 28.
\(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2 x}}\)dx
་ઉત્તરઃ

ધારે કે sin x – cos x = t ⇒ (cos x + sin x)dx = dt

પ્રશ્ન 29.
\(\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}\)
་ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 30.
\(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x+\cos x}{9+16 \sin 2 x}\)dx
་ઉત્તરઃ
I = \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x+\cos x}{9+16 \sin 2 x}\)dx
ધારે કે sin x – cos x = t ⇒ (cos x + sin x)dx = dt
x = 0 હોય ત્યારે t = sin 0 – cos 0 = -1
x = \(\frac{\pi}{4}\) હોય ત્યારે t = sin \(\frac{\pi}{4}\) – cos \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\) = 0
વળી sin x – cos x = t
∴ (sin x – cos x)² = t²
∴ sin²x + cos²x – 2 sin cos x = t²
∴ sin 2x = 1 – t²

પ્રશ્ન 31.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\)sin 2x tan^-1(sin x)dx
་ઉત્તરઃ
I = \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\)sin 2x tan^-1(sin x)dx

પ્રશ્ન 32.
\(\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x}\)dx
་ઉત્તરઃ
I = \(\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x}\)dx

પ્રશ્ન 33.
\(\int_1^4\)[|x – 1| + |x – 2| + |x – 3|]dx
་ઉત્તરઃ

પ્રશ્નો 34 થી 39 સાબિત કરો :

પ્રશ્ન 34.
\(\int_1^3 \frac{d x}{x^2(x+1)}=\frac{2}{3}\) + log\(\frac{2}{3}\)
་ઉત્તરઃ
ડા.બા = \(\int_1^3 \frac{d x}{x^2(x+1)}\)
\(\frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{\mathrm{A}}{x}+\frac{\mathrm{B}}{x^2}+\frac{\mathrm{C}}{x+1}\)
અંશ: 1 = Ax (x + 1) + B (x + 1) + Cx²
1 = x²(A + C) + x(A + B) + B

બંને બાજુનાં x² તથા x નાં સહગુણકો તથા અચળ પદ સરખાવતાં,
A+ C = 0….(i)
A + B = 0….(ii)
B = 1
A + B = 0 તથા В = 1 ⇒ A = −1
A+ C = 0 તથા A = −1 ⇒ C = 1

પ્રશ્ન 35.
\(\int_0^1\)x e^xdx = 1
་ઉત્તરઃ
ખંડશઃ સંક્લનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
∫xe^x dx = x∫e^x dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)x∫e^x dx) dx
= xe^x – ∫e^x dx
= xe^x – e^x

\(\int_0^1\)x e^xdx = [xe^x – e^x]¹₀
= [(e – e) (0 – 1)]
= 1

પ્રશ્ન 36.
\(\int_{-1}^1\)x¹⁷cos⁴xdx = 0
་ઉત્તરઃ
\(\int_{-1}^1\)x¹⁷cos⁴xdx
અહીં f(x) = x¹⁷ cos⁴x
∴ f(−x) = (-x)¹⁷ cos1 (-x)
= -(x)¹⁷ cos1x
= − f(x)

∴ f(x) એ અયુગ્મ વિધેય છે.
f (x) અયુગ્મ વિષેય હોય તો \(\int_{-a}^a\)f(x) ax = 0
\(\int_{-1}^1\)x¹⁷cos⁴xdx = 0

પ્રશ્ન 37.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\)sin³x dx = \(\frac{2}{3}\)
་ઉત્તરઃ
sin3 x = 3sin x – 4sin³x
∴ sin³ x = \(\frac{1}{4}\)[3sin x – sin 3x]

પ્રશ્ન 38.
\(\int_0^{\frac{\pi}{4}}\)2tan³x dx = 1 – log 2
་ઉત્તરઃ

= [1 – 0] − 2 [log √2 – log 1]
= 1 – 2log √2
= 1 – 2\(\frac{1}{2}\)log 2
= 1 – log 2 = જે.બા

પ્રશ્ન 39.
\(\int_0^1\)sin 1x dx = \(\frac{\pi}{2}\) – 1
་ઉત્તરઃ
ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,

પ્રશ્ન 40.
\(\int_1^0\)e^2-3xdx ને સરવાળાના લક્ષ તરીકે મેળવો.
་ઉત્તરઃ
અહીં a = 0, b = 1 તથા f(x) = e^2-3x = e². e^-3x
nh = b – a ⇒ nh = 1
f(a + h) = f(0 + h) = f(h) = e²· e^-3h
f(a + 2h) = f(0 + 2h) = f(2h) = e²· e^-6h
f(a + 3h) = f(0 + 3h) = f(3h) = e². e^-9h
………………………………………………………..
………………………………………………………..
f(a + (n – 1)h) = f (0 + (n − 1)h) = e²· e^-3(n-1)h
f(a) + f(a + h) + f(a + 2h) + f(a + 3h) + …. + f (a + (n − 1) h)
= e² + e². e^-3h + e²· e^-6h + e².e^-9h + …… + e². e^-3(n-1)h
= e² [1 + e^-3h + e‍^-6h + e^-9h + ………. + e².e^-3(n-1)h]

પ્રશ્નો 41 થી 44 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિક્્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો:

પ્રશ્ન 41.
∫\(\frac{d x}{e^x+e^{-x}}\) = …………… .
(A) tan^-1(e^x) + c
(B) tan^-1(e^-x) + c
(C) log(e^x – e^-x) + c
(D) log(e^x + e^-x) + c
་ઉત્તરઃ

∴ વિકલ્પ (A) આવે.

પ્રશ્ન 42.
∫\(\frac{\cos 2 x}{(\sin x+\cos x)^2}\)dx = …………..
(A) \(\frac{-1}{\sin x+\cos x}\) + c
(B) log |sin x + cos x | + c
(C) log |sin x – cos x| + c
(D) \(\frac{1}{(\sin x+\cos x)^2}\) + c
་ઉત્તરઃ

= log|sin x + cos x|+ c
∴ વિકલ્પ (B) આવે.

પ્રશ્ન 43.
જો f(a + b − x) = f (x), તો \(\int_a^b\)x. f(x) dx
(A) \(\frac{a+b}{2} \int_a^b\)f(b − x) dx
(B) \(\frac{a+b}{2} \int_a^b\) f(b + x) dx
(C) \(\frac{b-a}{2} \int_a^b\)f(x) dx
(D) \(\frac{a+b}{2} \int_a^b\)f(x) dx
་ઉત્તરઃ
f(a + b – x) = f(x)
ધારો કે a + b – x = t
∴ -dx = dt ⇒ dx = -dt
x = a હોય ત્યારે t = b તથા ૪ = b હોય ત્યારે t = a

∴ વિકલ્પ (D) આવે.

પ્રશ્ન 44.
\(\int_0^1\)tan^-1\(\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^2}\right)\)dx નું મૂલ્ય
(A) 1
(B) 0
(C) -1
(D) \(\frac{\pi}{4}\)
་ઉત્તરઃ

∴ વિકલ્પ (B) આવે.