GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.8

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.8 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.8

નીચે આપેલા નિયત સંકલિતોનું મૂલ્ય સરવાળાના લક્ષ સ્વરૂપે મેળવો :

પ્રશ્ન 1.
\(\int_a^b\)xdx
ઉત્તરઃ
વ્યાખ્યા પ્રમાણે

[f(x) dx = lim h [f(a) + f(a + h) + f(a + 2h) + … +

પ્રશ્ન 2.
\(\int_0^5\)(x + 1)dx
ઉત્તરઃ
અહીં a = 0, b = 5 તથા f(x) = x + 1
h = \(\frac{b-a}{n}=\frac{5-0}{n}=\frac{5}{n}\) ⇒ nh = 5
f(a) = f(0) = 0 + 1 = 1
f(a + h) = f(0 + h) = f(h) = h + 1
f(a + 2h) = f(0 + 2h) = f(2h) = 2h + 1
f(a + (n − 1)h) = f(0 + (n − 1) h) = f ((n − 1) h)
………………………….
f(a + (n – 1)h) = f(0 + (n – 1)h) = f((n – 1) h) = (n – 1) h + 1
વ્યાખ્યા પ્રમાણે

પ્રશ્ન 3.
\(\int_2^3\)x² dx
ઉત્તરઃ
અહીં a = 2, b = 3 તથા f(x) = x²
h = \(\frac{b-a}{n}\) ⇒ h = \(\frac{3-2}{n}=\frac{1}{n}\) ⇒ nh = 1
f(a) = f(2) = 4
f(a + h) = f(2 + h) = (2 + h)²
f(a + 2h) = f(2 + 2h) = (2 + 2h)²
……………………………………..
……………………………………..
f(a + (n – 1)h) = f(2 + (n – 1)h) = (2 + (n – 1)h)²
વ્યાખ્યા પ્રમાણે

પ્રશ્ન 4.
\(\int_1^4\)(x² – x)dx
ઉત્તરઃ
અહીં a = 1, b = 4 તથા f(x) = x² – x
h = \(\frac{b-a}{n}\) ⇒ h = \(\frac{4-1}{n}\) ⇒ nh = 3
f(a) = f(1) = (1)² – 1 = 0
f(a + h) = f(1 + h) = (1 + h)² – (1 + h) = h + h²
f(a + 2h) = f(1 + 2h) = (1 + 2h)² – (1 + 2h) = 2h + 4h²
f(a + 3h) = f(1 + 3h) = (1 + 3h)² – (1 + 3h) = 3h + 9h²
…………………………………………………
f(a + (n − 1)h) = f(1 + (n − 1)h) = (1 + (n − 1)h)² – (1 + (n – 1)h) = (n – 1)h + (n – 1)²h²
વ્યાખ્યા પ્રમાણે

પ્રશ્ન 5.
\(\int_{-1}^1\)e^x dx
ઉત્તરઃ
અહીં a = -1, b = 1 તથા f(x) = e^x
h = \(\frac{b-a}{n}\) ⇒ h = \(\frac{1-(-1)}{n}\) ⇒ nh = 2
f(a) = f(-1) = e^-1
f(a + h) = f(-1 + h) = e^-1+h
f(a + 2h) = f(-1 + 2h) = e^-1+2h
f(a + 3h) = f(-1 + 3h) = e^-1+3h
……………………………………………
f(a + (n – 1)h) = f(-1 + (n – 1)h) = e^{-1+(n – 1)h}
વ્યાખ્યા પ્રમાણે

(∵ સમાંતર શ્રેણીનાં n પદોનો સરવાળો a\(\frac{\left(r^n-1\right)}{r-1}\)
જ્યાં a = પ્રથમ પદ r = સામાન્ય ગુણોત્ત૨)

પ્રશ્ન 6.
\(\int_0^4\)(x + e^2x)dx
ઉત્તરઃ
અહીં a = 0, b = 4 તથા f(x) = x + e^2x
h = \(\frac{b-a}{n}\) ⇒ h = \(\frac{4-0}{n}\) ⇒ nh = 4
f(a) = f(0) = 0 + e⁰ = 1
f(a + h) = f(0 + h) = f(h) = h + e^2h
f(a + 2h) = f(0 + 2h) = f(2h) = 2h + e^4h
f(a + 3h) = f(0 + 3h) = f(3h) = 3h + eh^6h
……………………………………………………….
f(a + (n − 1)h) = f(0 + (n − 1)h) = f(n − 1)h)
= (n − 1)h + e^{2(n − 1)h}

વ્યાખ્યા પ્રમાણે

(∵ સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં n પદોનો સરવાળો \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\)
તથા Σn નાં સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં)

મિત્રો નીચે દર્શાવેલ ત્રિકોણમિતીય વિધેયોને નિયત સંકલન વ્યાખ્યાની મદદથી મેળવી શકાય છે.

પ્રશ્ન 1.
\(\int_0^\pi\)sin x dx
ઉત્તરઃ
અહીં a = 0, = π તથા f(x) = sin x
nh = b – a ⇒ nh = a
f(a) = f(0) = sin 0 = 0
f(a + h) = f(0 + h) = sin h
f(a + 2h) = f(0 + 2h) = sin 2h
f(a + 3h) = f(0 + 3h) = sin 3h
…………………………………….
…………………………………….
f(a + (n − 1)h) = f(0 + (n −1)h) = sin (n − 1) h
હવે f(a) + f(a + h) + f(a + 2h) + f(a + 3h) + … + f(a + (n – 1)h)
= 0 + sin h + sin 2h + sin 3h +…+ sin(n − 1) h

આજ પ્રમાણે \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\) cos x dx પણ મેળવી શકાય.