GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.4

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.4

પ્રશ્નો 1 થી 23 માં આપેલાં વિધેયોના સંકલિત મેળવો :

પ્રશ્ન 1.
\(\frac{3 x^2}{x^6+1}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{3 x^2}{x^6+1}\)dx
ધારો કે x³ = t ⇒ 3x² dx = dt
∴ I = ∫\(\frac{3 x^2}{\left(x^3\right)^2+1}\)dx
= ∫\(\frac{1}{t^2+1}\)dt
= tan^-1(t) + C
= tan^-1(x³) + c (∵ t = x³)

પ્રશ્ન 2.
\(\frac{1}{\sqrt{1+4 x^2}}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{1}{\sqrt{1+4 x^2}}\)dx
I = ∫\(\frac{d x}{\sqrt{1+(2 x)^2}}\)
ધારો કે 2x = tan θ ⇒ 2 dx = sec²θ dθ
⇒ dx = \(\frac{1}{2}\)sec²θ dθ

અથવા
I = ∫\(\frac{1}{\sqrt{1+(2 x)^2}}\)dx
ધારો કે 2x = t ⇒ 2dx = dt ⇒ dx = \(\frac{d t}{2}\)

પ્રશ્ન 3.
\(\frac{1}{\sqrt{(2-x)^2+1}}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{1}{\sqrt{(2-x)^2+1}}\)
ધારો કે 2 – 1 = t ⇒ -dx = dt ⇒ dx = – dt

(નોંધ : આ દાખલો 2 – x = tan θ આદેશ લઈને પણ કરી શકાય.)

પ્રશ્ન 4.
\(\frac{1}{\sqrt{9-25 x^2}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 5.
\(\frac{3 x}{1+2 x^4}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{3 x}{1+2 x^4}\)dx
= \(\frac{3}{2} \int \frac{x d x}{\frac{1}{2}+\left(x^2\right)^2}\)
ધારો કે x² = t ⇒ 2x dx = dt ⇒xdx = \(\frac{d t}{2}\)

પ્રશ્ન 6.
\(\frac{x^2}{1-x^6}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{x^2}{1-x^6}\)dx
= ∫\(\frac{x^2}{1-\left(x^3\right)^2}\)dx
ધારો કે x³ = t ⇒ 3x² dx = dt = x²dx = \(\frac{d t}{3}\)

પ્રશ્ન 7.
\(\frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 8.
\(\frac{x^2}{\sqrt{x^6+a^6}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 9.
\(\frac{\sec ^2 x}{\sqrt{\tan ^2 x+4}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 10.
\(\frac{1}{\sqrt{x^2+2 x+2}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 11.
\(\frac{1}{9 x^2+6 x+5}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 12.
\(\frac{1}{\sqrt{7-6 x-x^2}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 13.
\(\frac{1}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 14.
\(\frac{1}{\sqrt{8+3 x-x^2}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 15.
\(\frac{1}{\sqrt{(x-a)(x-b)}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 16.
\(\frac{4 x+1}{\sqrt{2 x^2+x-3}}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{4 x+1}{\sqrt{2 x^2+x-3}}\)dx
ધારો કે 2×2 + x – 3 = t ⇒ (4x + 1) dx = dt

પ્રશ્ન 17.
\(\frac{x+2}{\sqrt{x^2-1}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 18.
\(\frac{5 x-2}{1+2 x+3 x^2}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{5 x-2}{1+2 x+3 x^2}\)dx
ધારો કે 5x – 2 = A\(\frac{d}{d x}\) + B
5x – 2 = A(2 + 6x) + B …………(i)
5x – 2 = 6Ax + 2A + B

બંને બાજુ x નો સહગુણક સરખાવતાં,
5 = 6A ⇒ A = \(\frac{5}{6}\)

બંને બાજું અચળ પદને સરખાવતાં
2A + B = -2 પરંતુ A = \(\frac{5}{6}\) હોવાથી
2(\(\frac{5}{6}\)) + B = -2
∴ B = -2 – \(\frac{5}{3}\) = –\(\frac{11}{3}\)

A અને B ની કિંમતો (i) માં મૂકતાં,

પ્રશ્ન 19.
\(\frac{6 x+7}{\sqrt{(x-5)(x-4)}}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{6 x+7}{\sqrt{(x-5)(x-4)}}\)dx
= ∫\(\frac{6 x+7}{\sqrt{x^2-9 x+20}}\)dx
ધારો કે 6x + 7 = A.\(\frac{d}{d x}\)(x² – 9x + 20) + B
∴ 6x + 7 = A(2x − 9) + B ….(i)
= 2Ax – 9A + B
બંને બાજુ x નાં સહગુણકો સરખાવતાં,
2A = 6 ⇒ A = 3

બંને બાજુ અચળ પદોને સરખાવતાં
-9A + B = 7 પરંતુ A = 3 હોવાથી
-27 + B = 7
∴ B = 7+ 27 = 34
A અને B ની કિંમતો (i) માં મૂકતાં
6x + 7 = 3(2x − 9) + 34

(∵ પૂર્ણ વર્ગ બનાવતાં અંતિમ પદ \(\frac{81}{4}\) ઉમેરતાં અને બાદ કરતાં)

પ્રશ્ન 20.
\(\frac{x+2}{\sqrt{4 x-x^2}}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{x+2}{\sqrt{4 x-x^2}}\)dx
x + 2 = A\(\frac{d}{d x}\)(4x – x²) + B
∴ x + 2 = A(4 – 2x) + B …………(i)
= 4A – 2Ax + B
બંને બાજુ x નાં સહગુણકો સરખાવતાં,
-2A = 1 ⇒ A = –\(\frac{1}{2}\)
બંને બાજુનાં અચળ પદો સરખાવતાં,
4A + B = 2 પરંતુ A = –\(\frac{1}{2}\) હોવાથી
-2 + B = 2 ⇒ B = 4

A અને B ની આ કિંમત (i) માં મૂકતાં,

પ્રશ્ન 21.
\(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+2 x+3}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 22.
\(\frac{x+3}{x^2-2 x-5}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 23.
\(\frac{5 x+3}{\sqrt{x^2+4 x+10}}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{5 x+3}{\sqrt{x^2+4 x+10}}\)dx
5x + 3 = A\(\frac{d}{d x}\)(x2 + 4x + 10) + B ….(i)
∴ 5x + 3 = A(2x+4) + B
∴ 5x + 3 = 2A. x + 4A + B
બંને બાજુનાં x નાં સહગુણકો સરખાવતાં,
2A = 5 ⇒ A = \(\frac{5}{2}\)
બંને બાજુનાં અચળપદો સરખાવતાં,
4A + B = 3 પરંતુ A = \(\frac{5}{2}\) હોવાથી 4(\(\frac{5}{2}\)) + B = 3
∴ B = 3 – 10 = -7
A અને Bની આ કિંમતો સમીકરણ (i) માં મૂકતાં
5x + 3 = \(\frac{5}{2}\)(2x + 4) – 7

પ્રશ્નો 24 તથા 25 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ lascuìniel uìvu lasey uziɛ sal :

પ્રશ્ન 24.
∫\(\frac{d x}{x^2+2 x+2}\) = ………… .
(A) x tan^-1(x + 1) + c
(B) tan^-1(x + 1) + c
(C) (x + 1) tan^-1x + c
(D) tan^-1x + c
\(\frac{1}{2}\)

∴ વિકલ્પ (B) આવે

પ્રશ્ન 25.
∫\(\frac{d x}{\sqrt{9 x-4 x^2}}\) = ……………

ઉત્તરઃ

∴ વિકલ્પ (B) આવે.