GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.4

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.4

પ્રશ્નો 1 થી 23 માં આપેલાં વિધેયોના સંકલિત મેળવો :

પ્રશ્ન 1.
$\frac{3 x^2}{x^6+1}$
ઉત્તરઃ
I = ∫$\frac{3 x^2}{x^6+1}$dx
ધારો કે x³ = t ⇒ 3x² dx = dt
∴ I = ∫$\frac{3 x^2}{\left(x^3\right)^2+1}$dx
= ∫$\frac{1}{t^2+1}$dt
= tan^-1(t) + C
= tan^-1(x³) + c (∵ t = x³)

પ્રશ્ન 2.
$\frac{1}{\sqrt{1+4 x^2}}$
ઉત્તરઃ
I = ∫$\frac{1}{\sqrt{1+4 x^2}}$dx
I = ∫$\frac{d x}{\sqrt{1+(2 x)^2}}$
ધારો કે 2x = tan θ ⇒ 2 dx = sec²θ dθ
⇒ dx = $\frac{1}{2}$sec²θ dθ

અથવા
I = ∫$\frac{1}{\sqrt{1+(2 x)^2}}$dx
ધારો કે 2x = t ⇒ 2dx = dt ⇒ dx = $\frac{d t}{2}$

પ્રશ્ન 3.
$\frac{1}{\sqrt{(2-x)^2+1}}$
ઉત્તરઃ
I = ∫$\frac{1}{\sqrt{(2-x)^2+1}}$
ધારો કે 2 – 1 = t ⇒ -dx = dt ⇒ dx = – dt

(નોંધ : આ દાખલો 2 – x = tan θ આદેશ લઈને પણ કરી શકાય.)

પ્રશ્ન 4.
$\frac{1}{\sqrt{9-25 x^2}}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 5.
$\frac{3 x}{1+2 x^4}$
ઉત્તરઃ
I = ∫$\frac{3 x}{1+2 x^4}$dx
= $\frac{3}{2} \int \frac{x d x}{\frac{1}{2}+\left(x^2\right)^2}$
ધારો કે x² = t ⇒ 2x dx = dt ⇒xdx = $\frac{d t}{2}$

પ્રશ્ન 6.
$\frac{x^2}{1-x^6}$
ઉત્તરઃ
I = ∫$\frac{x^2}{1-x^6}$dx
= ∫$\frac{x^2}{1-\left(x^3\right)^2}$dx
ધારો કે x³ = t ⇒ 3x² dx = dt = x²dx = $\frac{d t}{3}$

પ્રશ્ન 7.
$\frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 8.
$\frac{x^2}{\sqrt{x^6+a^6}}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 9.
$\frac{\sec ^2 x}{\sqrt{\tan ^2 x+4}}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 10.
$\frac{1}{\sqrt{x^2+2 x+2}}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 11.
$\frac{1}{9 x^2+6 x+5}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 12.
$\frac{1}{\sqrt{7-6 x-x^2}}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 13.
$\frac{1}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 14.
$\frac{1}{\sqrt{8+3 x-x^2}}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 15.
$\frac{1}{\sqrt{(x-a)(x-b)}}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 16.
$\frac{4 x+1}{\sqrt{2 x^2+x-3}}$
ઉત્તરઃ
I = ∫$\frac{4 x+1}{\sqrt{2 x^2+x-3}}$dx
ધારો કે 2×2 + x – 3 = t ⇒ (4x + 1) dx = dt

પ્રશ્ન 17.
$\frac{x+2}{\sqrt{x^2-1}}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 18.
$\frac{5 x-2}{1+2 x+3 x^2}$
ઉત્તરઃ
I = ∫$\frac{5 x-2}{1+2 x+3 x^2}$dx
ધારો કે 5x – 2 = A$\frac{d}{d x}$ + B
5x – 2 = A(2 + 6x) + B …………(i)
5x – 2 = 6Ax + 2A + B

બંને બાજુ x નો સહગુણક સરખાવતાં,
5 = 6A ⇒ A = $\frac{5}{6}$

બંને બાજું અચળ પદને સરખાવતાં
2A + B = -2 પરંતુ A = $\frac{5}{6}$ હોવાથી
2($\frac{5}{6}$) + B = -2
∴ B = -2 – $\frac{5}{3}$ = –$\frac{11}{3}$

A અને B ની કિંમતો (i) માં મૂકતાં,

પ્રશ્ન 19.
$\frac{6 x+7}{\sqrt{(x-5)(x-4)}}$
ઉત્તરઃ
I = ∫$\frac{6 x+7}{\sqrt{(x-5)(x-4)}}$dx
= ∫$\frac{6 x+7}{\sqrt{x^2-9 x+20}}$dx
ધારો કે 6x + 7 = A.$\frac{d}{d x}$(x² – 9x + 20) + B
∴ 6x + 7 = A(2x − 9) + B ….(i)
= 2Ax – 9A + B
બંને બાજુ x નાં સહગુણકો સરખાવતાં,
2A = 6 ⇒ A = 3

બંને બાજુ અચળ પદોને સરખાવતાં
-9A + B = 7 પરંતુ A = 3 હોવાથી
-27 + B = 7
∴ B = 7+ 27 = 34
A અને B ની કિંમતો (i) માં મૂકતાં
6x + 7 = 3(2x − 9) + 34

(∵ પૂર્ણ વર્ગ બનાવતાં અંતિમ પદ $\frac{81}{4}$ ઉમેરતાં અને બાદ કરતાં)

પ્રશ્ન 20.
$\frac{x+2}{\sqrt{4 x-x^2}}$
ઉત્તરઃ
I = ∫$\frac{x+2}{\sqrt{4 x-x^2}}$dx
x + 2 = A$\frac{d}{d x}$(4x – x²) + B
∴ x + 2 = A(4 – 2x) + B …………(i)
= 4A – 2Ax + B
બંને બાજુ x નાં સહગુણકો સરખાવતાં,
-2A = 1 ⇒ A = –$\frac{1}{2}$
બંને બાજુનાં અચળ પદો સરખાવતાં,
4A + B = 2 પરંતુ A = –$\frac{1}{2}$ હોવાથી
-2 + B = 2 ⇒ B = 4

A અને B ની આ કિંમત (i) માં મૂકતાં,

પ્રશ્ન 21.
$\frac{x+2}{\sqrt{x^2+2 x+3}}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 22.
$\frac{x+3}{x^2-2 x-5}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 23.
$\frac{5 x+3}{\sqrt{x^2+4 x+10}}$
ઉત્તરઃ
I = ∫$\frac{5 x+3}{\sqrt{x^2+4 x+10}}$dx
5x + 3 = A$\frac{d}{d x}$(x2 + 4x + 10) + B ….(i)
∴ 5x + 3 = A(2x+4) + B
∴ 5x + 3 = 2A. x + 4A + B
બંને બાજુનાં x નાં સહગુણકો સરખાવતાં,
2A = 5 ⇒ A = $\frac{5}{2}$
બંને બાજુનાં અચળપદો સરખાવતાં,
4A + B = 3 પરંતુ A = $\frac{5}{2}$ હોવાથી 4($\frac{5}{2}$) + B = 3
∴ B = 3 – 10 = -7
A અને Bની આ કિંમતો સમીકરણ (i) માં મૂકતાં
5x + 3 = $\frac{5}{2}$(2x + 4) – 7

પ્રશ્નો 24 તથા 25 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ lascuìniel uìvu lasey uziɛ sal :

પ્રશ્ન 24.
∫$\frac{d x}{x^2+2 x+2}$ = ………… .
(A) x tan^-1(x + 1) + c
(B) tan^-1(x + 1) + c
(C) (x + 1) tan^-1x + c
(D) tan^-1x + c
$\frac{1}{2}$

∴ વિકલ્પ (B) આવે

પ્રશ્ન 25.
∫$\frac{d x}{\sqrt{9 x-4 x^2}}$ = ……………

ઉત્તરઃ

∴ વિકલ્પ (B) આવે.