GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.2

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.2

નીચેના વિધેયોનાં સંકલિત મેળવો : (1 થી 37)

પ્રશ્ન 1.
\(\frac{2 x}{1+x^2}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{2 x}{1+x^2}\)dx
ધારો કે 1 + x² = t
બંને બાજુ વિકલન કરતાં, 2x dx = dt
I = ∫\(\frac{2 x}{1+x^2}\) dx
= ∫\(\frac{1}{t}\)dt
= log |t| + c
= log |1 + x²| + c (∵ t = 1 + x²)

પ્રશ્ન 2.
\(\frac{(\log x)^2}{x}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{(\log x)^2}{x}\)dx
ધારો કે log x = t
બંને બાજુ વિકલન કરતાં, \(\frac{1}{x}\)dx = dt

પ્રશ્ન 3.
\(\frac{1}{x+x \log x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 4.
sin x sin(cos x)
ઉત્તરઃ
I = ∫sin x sin (cos x) dx
ધારો કે cos x = t
બંને બાજુ વિકલન કરતાં, -sin x dx = dt
∴ sin x dx = – dt
I = ∫sin x sin (cos x) dx
= ∫- sin t dt
= – (- cos t) + c
= cos t + c
= cos (cos x) + c (∵ t = cos x)

પ્રશ્ન 5.
sin (ax + b) cos (ax + b)
ઉત્તરઃ
I = sin (ax + b) cos (ax + b) dx
= ∫\(\frac{1}{2}\). 2 sin (ax + b) cos(ax + b) dx
= \(\frac{1}{2}\)∫sin 2(ax + b) dx
= \(\frac{1}{2}\)∫sin (2ax + 2b) dx
ધારો કે 2ax + 2b = t ⇒ 2a dx = dt
⇒ dx = \(\frac{d t}{2 a}\)

I = \(\frac{1}{2}\)∫sin (2ax + 2b) dx
= \(\frac{1}{2}\)∫sin t . \(\frac{d t}{2 a}\)
= \(\frac{1}{4 a}\)(-cos t) + c
= –\(\frac{1}{4 a}\)cos (2ax + 2b) + c (∵ t = 2ax + 2b)
= –\(\frac{1}{4 a}\) cos 2(ax + b) + c

પ્રશ્ન 6.
\(\sqrt{a x+b}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\sqrt{a x+b}\) dx
ધારો કે ax + b = t ⇒ adx = dt
⇒ dx = \(\frac{d t}{a}\)
I = ∫\(\sqrt{a x+b}\) dx
= ∫√t. \(\frac{d t}{a}\)
= \(\frac{1}{a} \cdot \frac{2}{3}(t)^{\frac{3}{2}}\) + c
I = \(\frac{2}{3a}\)(ax + b)^{\(\frac{3}{2}\)} + c (∵ t = ax + b)

પ્રશ્ન 7.
x\(\sqrt{x+2}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫x\(\sqrt{x+2}\) dx
ધારો કે x + 2 = t² ⇒ dx = 2t dt
વળી, x = t – 2 તથા t = \(\sqrt{x+2}\) = (x + 2)^{\(\frac{1}{2}\)}
I = ∫x\(\sqrt{x+2}\) dx
= ∫(t² − 2) √t² · 2t dt
= ∫(2t⁴ – 4t²) dt
= ∫2t⁴ dt – ∫4t² dt
= 2\(\frac{t^5}{5}\) – 4\(\frac{t^3}{3}\) + c
= \(\frac{2(x+2)^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{4(x+2)^{\frac{3}{2}}}{3}\) + c

પ્રશ્ન 8.
x\(\sqrt{1+2 x^2}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫x\(\sqrt{1+2 x^2}\) dx
ધારો કે 1 + 2x² = t² ⇒ 4xdx = 2 tdt
⇒ xdx = \(\frac{t}{2}\)dt

પ્રશ્ન 9.
(4x + 2)\(\sqrt{x^2+x+1}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 10.
\(\frac{1}{x-\sqrt{x}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 11.
\(\frac{x}{\sqrt{x+4}}\), x > – 4
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 12.
(x³ – 1)^{\(\frac{1}{3}\)}x⁵
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 13.
\(\frac{x^2}{\left(2+3 x^3\right)^3}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 14.
\(\frac{1}{x(\log x)^m}\), x > 0, m ≠ 1
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 15.
\(\frac{x}{9-4 x^2}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 16.
e^2x+3
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 17.
\(\frac{x}{\mathrm{e}^{x^2}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 18.
\(\frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}\)dx
tan^-1x = t \(\frac{1}{1+x^2}\)dx = dt
I = ∫\(\frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}\)dx
= e^t dt
= e^t + c
= etan^-1x + c (∵ t = e^tan-1x)

પ્રશ્ન 19.
\(\frac{e^{2 x}-1}{e^{2 x}+1}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 20.
\(\frac{e^{2 x}-e^{-2 x}}{e^{2 x}+e^{-2 x}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 21.
tan²(2x – 3)
ઉત્તરઃ
I = ∫tan²(2x – 3)dx
ધારો કે 2x – 3 = t ⇒ 2dx = dt
⇒ dx = \(\frac{dt}{2}\)

અથવા

I = ∫tan²(2x – 3)dx
= ∫sec²(2x -3) – 1 dx
= ∫sec²(2x -3)dx – ∫dx
ધારો કે 2x – 3 = t ⇒ 2dx = dt
⇒ dx = \(\frac{dt}{2}\)

I = ∫sec²t\(\frac{dt}{2}\) – x + c
= \(\frac{1}{2}\)tan t – x + c = \(\frac{1}{2}\)tan(2x – 3) – x + c (∵ t = 2x – 3)

પ્રશ્ન 22.
sec²(7 – 4x)
ઉત્તરઃ
I = ∫sec²(7 – 4x)dx
ધારો કે 7 – 4x = t ⇒ -4dx = dt
⇒ dx = –\(\frac{dt}{4}\)

I = ∫sec²(7 – 4x) dx
= ∫sec²t(- \(\frac{dt}{4}\))
= –\(\frac{1}{4}\)∫sec²t dt
= –\(\frac{1}{4}\)tan t + c
= –\(\frac{1}{4}\)tan(7 – 4x) + c (∵ t = 7 – 4x)

પ્રશ્ન 23.
\(\frac{\sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 24.
\(\frac{2 \cos x-3 \sin x}{6 \cos x+4 \sin x}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{2 \cos x-3 \sin x}{6 \cos x+4 \sin x}\) dx
= ∫\(\frac{2 \cos x-3 \sin x}{2(3 \cos x+2 \sin x)}\) dx
ધારો કે 3 cos x + 2sin x = t
∴ 2sin x + 3cos x = t ⇒ (2cos x – 3 sin x) dx = dt

પ્રશ્ન 25.
\(\frac{1}{\cos ^2 x(1-\tan x)^2}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 26.
\(\frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 27.
\(\sqrt{\sin 2 x}\) cos 2x
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\sqrt{\sin 2 x}\) cos 2x
ધારો કે sin 2x = t ⇒ 2cos 2x dx = dt
⇒ cos 2x dx = \(\frac{d t}{2}\)

પ્રશ્ન 28.
\(\frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}\)
ધારો કે 1 + sin x = t ⇒ cos x dx = dt

પ્રશ્ન 29.
cot x log sin x
ઉત્તરઃ
I = ∫cot x log sin x dx

પ્રશ્ન 30.
\(\frac{\sin x}{1+\cos x}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{\sin x}{1+\cos x}\)dx
ધારો કે 1 + cos x = t ⇒ -sin xdx = dt
⇒ sin x dx = -dt

I = ∫\(\frac{\sin x}{1+\cos x}\)dx
= ∫\(\frac{-d t}{t}\)
= – log |t| + c
= -log |1 + cos x| + c (∵ t = 1 + cos x)

પ્રશ્ન 31.
\(\frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}\)dx
ધારો કે 1 + cos x = t ⇒ – sin x dx = dt
⇒ sin x dx = -dt

પ્રશ્ન 32.
\(\frac{1}{1+\cot x}\)
ઉત્તરઃ

ધારો કે sin x + cos x = t ⇒ (cos x – sin x)dx = dt
∴ I = \(\frac{1}{2}\)x – \(\frac{1}{2}\)
I = \(\frac{1}{2}\)x – \(\frac{1}{2}\)log|t| + c
= \(\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\)log|sin x – cos x| + c (∵ t = sin x + cos x)

પ્રશ્ન 33.
\(\frac{1}{1-\tan x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 34.
\(\frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cdot \cos x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 35.
\(\frac{(1+\log x)^2}{x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 36.
\(\frac{(x+1)(x+\log x)^2}{x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 37.
\(\frac{x^3 \sin \left(\tan ^{-1} x^4\right)}{1+x^8}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્નો 38 તથા 39 માં વિધાન સાચું વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 38.
∫\(\frac{\left(10 x^9+10^x \log _{\mathrm{e}}^{10}\right) d x}{x^{10}+10^x}\) = ……
(A) 10^x – x¹⁰ + c
(B) 10^x + x¹⁰ + c
(C) (10^x − x¹⁰)^-1 + c
(D) log (10² + x¹⁰) + c
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 39.
∫\(\frac{d x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}\) = ………
(A) tan x + cot x + c
(B) tan x – cot x + c
(C) tan x cot x + c
(D) tan x – cot 2x + c
ઉત્તરઃ