GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.2

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.2

નીચેના વિધેયોનાં સંકલિત મેળવો : (1 થી 37)

પ્રશ્ન 1.
$\frac{2 x}{1+x^2}$
ઉત્તરઃ
I = ∫$\frac{2 x}{1+x^2}$dx
ધારો કે 1 + x² = t
બંને બાજુ વિકલન કરતાં, 2x dx = dt
I = ∫$\frac{2 x}{1+x^2}$ dx
= ∫$\frac{1}{t}$dt
= log |t| + c
= log |1 + x²| + c (∵ t = 1 + x²)

પ્રશ્ન 2.
$\frac{(\log x)^2}{x}$
ઉત્તરઃ
I = ∫$\frac{(\log x)^2}{x}$dx
ધારો કે log x = t
બંને બાજુ વિકલન કરતાં, $\frac{1}{x}$dx = dt

પ્રશ્ન 3.
$\frac{1}{x+x \log x}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 4.
sin x sin(cos x)
ઉત્તરઃ
I = ∫sin x sin (cos x) dx
ધારો કે cos x = t
બંને બાજુ વિકલન કરતાં, -sin x dx = dt
∴ sin x dx = – dt
I = ∫sin x sin (cos x) dx
= ∫- sin t dt
= – (- cos t) + c
= cos t + c
= cos (cos x) + c (∵ t = cos x)

પ્રશ્ન 5.
sin (ax + b) cos (ax + b)
ઉત્તરઃ
I = sin (ax + b) cos (ax + b) dx
= ∫$\frac{1}{2}$. 2 sin (ax + b) cos(ax + b) dx
= $\frac{1}{2}$∫sin 2(ax + b) dx
= $\frac{1}{2}$∫sin (2ax + 2b) dx
ધારો કે 2ax + 2b = t ⇒ 2a dx = dt
⇒ dx = $\frac{d t}{2 a}$

I = $\frac{1}{2}$∫sin (2ax + 2b) dx
= $\frac{1}{2}$∫sin t . $\frac{d t}{2 a}$
= $\frac{1}{4 a}$(-cos t) + c
= –$\frac{1}{4 a}$cos (2ax + 2b) + c (∵ t = 2ax + 2b)
= –$\frac{1}{4 a}$ cos 2(ax + b) + c

પ્રશ્ન 6.
$\sqrt{a x+b}$
ઉત્તરઃ
I = ∫$\sqrt{a x+b}$ dx
ધારો કે ax + b = t ⇒ adx = dt
⇒ dx = $\frac{d t}{a}$
I = ∫$\sqrt{a x+b}$ dx
= ∫√t. $\frac{d t}{a}$
= $\frac{1}{a} \cdot \frac{2}{3}(t)^{\frac{3}{2}}$ + c
I = $\frac{2}{3a}$(ax + b)^{$\frac{3}{2}$} + c (∵ t = ax + b)

પ્રશ્ન 7.
x$\sqrt{x+2}$
ઉત્તરઃ
I = ∫x$\sqrt{x+2}$ dx
ધારો કે x + 2 = t² ⇒ dx = 2t dt
વળી, x = t – 2 તથા t = $\sqrt{x+2}$ = (x + 2)^{$\frac{1}{2}$}
I = ∫x$\sqrt{x+2}$ dx
= ∫(t² − 2) √t² · 2t dt
= ∫(2t⁴ – 4t²) dt
= ∫2t⁴ dt – ∫4t² dt
= 2$\frac{t^5}{5}$ – 4$\frac{t^3}{3}$ + c
= $\frac{2(x+2)^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{4(x+2)^{\frac{3}{2}}}{3}$ + c

પ્રશ્ન 8.
x$\sqrt{1+2 x^2}$
ઉત્તરઃ
I = ∫x$\sqrt{1+2 x^2}$ dx
ધારો કે 1 + 2x² = t² ⇒ 4xdx = 2 tdt
⇒ xdx = $\frac{t}{2}$dt

પ્રશ્ન 9.
(4x + 2)$\sqrt{x^2+x+1}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 10.
$\frac{1}{x-\sqrt{x}}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 11.
$\frac{x}{\sqrt{x+4}}$, x > – 4
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 12.
(x³ – 1)^{$\frac{1}{3}$}x⁵
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 13.
$\frac{x^2}{\left(2+3 x^3\right)^3}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 14.
$\frac{1}{x(\log x)^m}$, x > 0, m ≠ 1
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 15.
$\frac{x}{9-4 x^2}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 16.
e^2x+3
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 17.
$\frac{x}{\mathrm{e}^{x^2}}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 18.
$\frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}$
ઉત્તરઃ
I = ∫$\frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}$dx
tan^-1x = t $\frac{1}{1+x^2}$dx = dt
I = ∫$\frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}$dx
= e^t dt
= e^t + c
= etan^-1x + c (∵ t = e^tan-1x)

પ્રશ્ન 19.
$\frac{e^{2 x}-1}{e^{2 x}+1}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 20.
$\frac{e^{2 x}-e^{-2 x}}{e^{2 x}+e^{-2 x}}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 21.
tan²(2x – 3)
ઉત્તરઃ
I = ∫tan²(2x – 3)dx
ધારો કે 2x – 3 = t ⇒ 2dx = dt
⇒ dx = $\frac{dt}{2}$

અથવા

I = ∫tan²(2x – 3)dx
= ∫sec²(2x -3) – 1 dx
= ∫sec²(2x -3)dx – ∫dx
ધારો કે 2x – 3 = t ⇒ 2dx = dt
⇒ dx = $\frac{dt}{2}$

I = ∫sec²t$\frac{dt}{2}$ – x + c
= $\frac{1}{2}$tan t – x + c = $\frac{1}{2}$tan(2x – 3) – x + c (∵ t = 2x – 3)

પ્રશ્ન 22.
sec²(7 – 4x)
ઉત્તરઃ
I = ∫sec²(7 – 4x)dx
ધારો કે 7 – 4x = t ⇒ -4dx = dt
⇒ dx = –$\frac{dt}{4}$

I = ∫sec²(7 – 4x) dx
= ∫sec²t(- $\frac{dt}{4}$)
= –$\frac{1}{4}$∫sec²t dt
= –$\frac{1}{4}$tan t + c
= –$\frac{1}{4}$tan(7 – 4x) + c (∵ t = 7 – 4x)

પ્રશ્ન 23.
$\frac{\sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 24.
$\frac{2 \cos x-3 \sin x}{6 \cos x+4 \sin x}$
ઉત્તરઃ
I = ∫$\frac{2 \cos x-3 \sin x}{6 \cos x+4 \sin x}$ dx
= ∫$\frac{2 \cos x-3 \sin x}{2(3 \cos x+2 \sin x)}$ dx
ધારો કે 3 cos x + 2sin x = t
∴ 2sin x + 3cos x = t ⇒ (2cos x – 3 sin x) dx = dt

પ્રશ્ન 25.
$\frac{1}{\cos ^2 x(1-\tan x)^2}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 26.
$\frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 27.
$\sqrt{\sin 2 x}$ cos 2x
ઉત્તરઃ
I = ∫$\sqrt{\sin 2 x}$ cos 2x
ધારો કે sin 2x = t ⇒ 2cos 2x dx = dt
⇒ cos 2x dx = $\frac{d t}{2}$

પ્રશ્ન 28.
$\frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}$
ઉત્તરઃ
I = ∫$\frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}$
ધારો કે 1 + sin x = t ⇒ cos x dx = dt

પ્રશ્ન 29.
cot x log sin x
ઉત્તરઃ
I = ∫cot x log sin x dx

પ્રશ્ન 30.
$\frac{\sin x}{1+\cos x}$
ઉત્તરઃ
I = ∫$\frac{\sin x}{1+\cos x}$dx
ધારો કે 1 + cos x = t ⇒ -sin xdx = dt
⇒ sin x dx = -dt

I = ∫$\frac{\sin x}{1+\cos x}$dx
= ∫$\frac{-d t}{t}$
= – log |t| + c
= -log |1 + cos x| + c (∵ t = 1 + cos x)

પ્રશ્ન 31.
$\frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}$
ઉત્તરઃ
I = ∫$\frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}$dx
ધારો કે 1 + cos x = t ⇒ – sin x dx = dt
⇒ sin x dx = -dt

પ્રશ્ન 32.
$\frac{1}{1+\cot x}$
ઉત્તરઃ

ધારો કે sin x + cos x = t ⇒ (cos x – sin x)dx = dt
∴ I = $\frac{1}{2}$x – $\frac{1}{2}$
I = $\frac{1}{2}$x – $\frac{1}{2}$log|t| + c
= $\frac{x}{2}-\frac{1}{2}$log|sin x – cos x| + c (∵ t = sin x + cos x)

પ્રશ્ન 33.
$\frac{1}{1-\tan x}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 34.
$\frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cdot \cos x}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 35.
$\frac{(1+\log x)^2}{x}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 36.
$\frac{(x+1)(x+\log x)^2}{x}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 37.
$\frac{x^3 \sin \left(\tan ^{-1} x^4\right)}{1+x^8}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્નો 38 તથા 39 માં વિધાન સાચું વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 38.
∫$\frac{\left(10 x^9+10^x \log _{\mathrm{e}}^{10}\right) d x}{x^{10}+10^x}$ = ……
(A) 10^x – x¹⁰ + c
(B) 10^x + x¹⁰ + c
(C) (10^x − x¹⁰)^-1 + c
(D) log (10² + x¹⁰) + c
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 39.
∫$\frac{d x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}$ = ………
(A) tan x + cot x + c
(B) tan x – cot x + c
(C) tan x cot x + c
(D) tan x – cot 2x + c
ઉત્તરઃ