GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.11

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.11 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.11

નિયત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરી પ્રશ્નો 1 થી 19 માં દર્શાવેલા સંકલિતોની કિંમત શોધો :

પ્રશ્ન 1.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\) cos2x dx
་ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 2.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x+\sqrt{\cos x}}}\)dx
་ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 3.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x d x}{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x}\)
་ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 4.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^5 x}{\sin ^5 x+\cos ^5 x}\)dx
་ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 5.
\(\int_{-5}^5\)|x + 2|dx
་ઉત્તરઃ

= 2 + 25 + 2
= 29

પ્રશ્ન 6.
\(\int_2^8\)|x – 5|dx
་ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 7.
\(\int_0^1\)x(1 – x)ⁿdx
་ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 8.
\(\int_0^{\frac{\pi}{4}}\)log(1 +tan x)dx
་ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 9.
\(\int_0^2 x \sqrt{2-x}\)dx
་ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 10.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\)(2log sin x – log sin 2x) dx
་ઉત્તરઃ
I = \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\)(2log sin x – log sin 2x) dx
= \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\)(2log sinx – log (2sin x cos x) dx
= \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\)[(2 log sin x – log2 – log sinx – log cosx) dx
= \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\)log sinx dx – \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\)logcosx dx – log 2= \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\)dx

પ્રશ્ન 11.
\(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\)sin²dx
་ઉત્તરઃ
અહીં f(x) = sin2x
તથા f(-x) = sin²(-x) = sin²x
∴ f(x) = f(− x) ⇒ f(x) યુગ્મ વિધેય છે

પ્રશ્ન 12.
\(\int_0^\pi \frac{x d x}{1+\sin x}\)
་ઉત્તરઃ

2I = π[(tan x – sec π) – (tan 0 – sec 0)]
= [(0 − (−1) − 0 + 1]
= 2 π
∴ I = π

પ્રશ્ન 13.
\(\frac{\frac{\pi}{2}}{\int_{-\pi}^2}\)sin⁷dx
་ઉત્તરઃ
f(x) = sin⁷x
∴ f(-x) = sin⁷(-x)
= – sin⁷x
= – f(x)
∴ f(x) અયુગ્મ વિધેય છે.
\(\int_{-a}^a\)f(x) = 0, f(x) અયુગ્મ વિધેય હોય.
∴ \(\frac{\frac{\pi}{2}}{\int_{-\pi}^2}\)sin⁷dx = 0

પ્રશ્ન 14.
\(\int_0^{2 \pi}\)cos⁵x dx
་ઉત્તરઃ
અહીં f(x) = cos⁵x
∴ f(2π – x) = cos⁵(2π – x)
= cos⁵x
= f(x)

તથા \(\int_0^{2 a}\)f(x) dx = 2\(\int_0^{2 \pi}\)f(x) dx, f(2a − x) = f(x)
∴ \(\int_0^{2 \pi}\)cos⁵x dx = 2\(\int_0^{\pi}\)cos⁵x dx
f(x) = cos⁵x
∴ f(π – x) = cos⁵(π – x)
= cos⁵x
= – f(x)
∴ \(\int_0^{2 \pi}\)cos⁵ x dx = 2\(\int_0^{\pi}\)cos⁵ x dx = 0

પ્રશ્ન 15.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x \cos x}\)dx
་ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 16.
\(\int_0^\pi\)log(1 + cos x)dx
་ઉત્તરઃ

સમીકરણ (iii) અને (iv) નો સરવાળો કરતાં,

પ્રશ્ન 17.
\(\int_0^a \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{a-x}}\)dx
་ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 18.
\(\int_{\mathbf{0}}^{\mathbf{4}}\)|x – 1|dx
་ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 19.
જો f અને g એ f(x) = f(a − x) અને g(x) + g(a − x) = 4 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયો હોય, તો સાબિત કરો કે \(\int_0^a\)f(x) g(x) dx = 2\(\int_0^a\)f(x) dx
ઉત્તરઃ

પ્રશ્નો 20 તથા 21 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિક્ષોપોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 20.
\(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\)(x³ + x cos x + tan⁵x + 1) dx નું મૂલ્ય
(A) 0
(B) 2
(C) π
(D) 1
ઉત્તરઃ
I = \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\)(x³ + x cos x + tan⁵x + 1) dx
ધારો કે f(x) = x³ + xcos x + tan⁵x
f(− x) = (-x)³ + (−x) cos(-x) + tan⁵ (-x)
= -x³ − x cosx – tan⁵x
= -(x³ + x cos x + tan⁵x)
= − f(x)
∴ f(x) અયુગ્મ વિધેય છે.

∴ I = π
∴ વિકલ્પ (C) આવે.

પ્રશ્ન 21.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\)log\(\left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right)\)dx નું મૂલ્ય …………. .
(A) 2
(B) \(\frac{3}{4}\)
(C) 0
(D) -2
ઉત્તરઃ

∴ વિકલ્પ (C) આવે.