GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
વિકલનો ઉપયોગ કરીને નીચેનાં વિધેયોનાં આસન્ન મૂલ્યો શોધો :
(a) \(\left(\frac{17}{81}\right)^{\frac{1}{4}}\)
ઉત્તરઃ

(b) (33)^{\(\frac{-1}{5}\)}
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 2.
સાબિત કરો કે વિધેય f(x) = \(\frac{\log x}{x}\) ને x = e આગળ મહત્તમ મૂલ્ય છે.
ઉત્તરઃ

આગળ મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે.

પ્રશ્ન 3.
એક સમક્રિભુજ ત્રિકોણના અચળ આધારનું માપ b છે તથા તેની બે સમાન લંબાઈની બાજુઓનાં માપ 3 સેમી/સે ના દરે ઘટી રહ્યા છે. જ્યારે આ ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓનાં માપ આધારના માપ જેટલાં થાય ત્યારે તે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેટલી ઝડપથી ઘટે ?
ઉત્તરઃ
ΔABC સમઢિબાજુ ત્રિકોણ છે.

AB = AC = x
તથા BC = b
AL ⊥ BC
∴ BL = LC = \(\frac{b}{2}\)
ΔALB કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
∴ AL = \(\sqrt{\mathrm{AB}^2-\mathrm{BL}^2}=\sqrt{x^2-\frac{b^2}{4}}\)

ΔABCનું ક્ષેત્રફળ A = \(\frac{1}{2}\) BC × AL
= \(\frac{1}{2}\)b × \(\sqrt{x^2-\frac{b^2}{4}}\)

આપેલ છે કે \(\frac{d x}{d t}\) = -3 સેમી/સેકન્ડ જ્યાં b = અચળ ઋણ નિશાની દર ઘટે છે તે દર્શાવે છે.

અર્થાત્ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ઘટવાનો દર 3ò સેમી2/સેકન્ડ છે.

પ્રશ્ન 4.
વક્ર x² = 4yના બિંદુ (1, 2)માંથી પસાર થતા અભિલંબનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
વક્રનું સમીકરણ x² = 4y
x પ્રત્યે સમીકરણનું વિકલન કરતાં,
2x = 4\(\frac{d y}{d x}\)
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{2 x}{4}=\frac{x}{2}\)
∴ (x₁, y₁) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ = \(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{\left(x_1 y_1\right)}=\frac{x_1}{2}\)
∴ (x₁, y₁) બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ m = \(\frac{-2}{x_1}\)
∴ (x₁, y₁) બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ,
y – y₁ = \(\frac{-2}{x_1}\)(x – x₁)
આ અભિલંબ (1, 2) બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
∴ x = 1, y = 2 લેતાં,

∴ ((x₁, y₁) = (2, 1)
સમીકરણ (i)માં આ કિંમત મૂકતાં,
y – 1 = \(\frac{-2}{2}\)(x − 2)
∴ y − 1 = −x + 2
∴ x + y – 3 = 0 જે માગેલ અભિલંબનું સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 5.
x = a cose + a θ sin θ, y = a sin θ – aθ cosθ પ્રચલ સમીકરણવાળા વક્રનો θ બિંદુ આગળનો અભિલંબ ઊગમબિંદુથી અચળ અંતરે આવેલો છે તેમ સાબિત કરો.
ઉત્તરઃ
x = a cos θ + a θ sin θ
∴ \(\frac{d x}{d \theta}\) = – a sinθ a sinθ + aθ cosθ = aθ cosθ
y = a sin θ + aθ cos θ
∴ \(\frac{d y}{d \theta}\) = – a cos θ + a cos θ + aθ sinθ = a sinθ
સ્પર્શકનો ઢાળ = \(\frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}}=\frac{a \theta \sin \theta}{a \theta \cos \theta}\) = tan θ
∴ θ બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ = \(-\frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}}=\frac{-1}{\tan \theta}\) = -cot θ

θ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ,
[y – (a sinθ – aθ cosθ)] = – cot θ [x (a cos θ + aθ sin θ)]
∴ y – a sinθ + aθ cosθ = \(-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)[x – a cos θ – aθ sinθ]
∴ y sinθ – a sin²θ+ aθ sinθ cosθ = -x cosθ + a cos²θ + a θ sin θ cos θ
∴ x cos θ + y sin θ = a(sin²θ + cos²θ)
∴ x cos θ + y sin θ – a (sin²θ + cos²θ = 1)
ઊગમબિંદુ (0, 0)માંથી અભિલંબ ઉપર દોરેલ લંબની લંબાઈ
= \(\frac{|0+0-a|}{\sqrt{\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta}}\)
= |a| = અચળ
∴ θ બિંદુએ વક્રને દોરેલ અભિલંબ એ ઊગમબિંદુથી અચળ અંતરે આવેલો છે.

પ્રશ્ન 6.
કયા અંતરાલમાં વિધેય f(x) = \(\frac{4 \sin x-2 x-x \cos x}{2+\cos x}\) (a) ચુસ્ત રીતે વધે અને કયા અંતરાલમાં તે (b) ચુસ્ત રીતે ઘટે છે તે નક્કી કરો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 7.
કયા અંતરાલમાં વિધેય f(x) : x³ + \(\frac{1}{x^3}\), x ≠ 0 (a) વિધેય અને કયા અંતરાલમાં તે (b) ઘટતું વિધેય છે તે નક્કી કરો.
ઉત્તરઃ

(i) f'(x) > 0 હોય તો f(x) એ વધતું વિધેય છે.

∴ x ∈ (- , −1) ∪ (1, c)
∴ (− ∞, −1) ∪ (1, ∞) અંતરાલમાં f(x) એ વધતું વિધેય છે.

(ii) f'(x) < 0 હોય તો f(x) એ ઘટતું વિધેય છે.
∴ \(\frac{3\left(x^4+x^2+1\right)}{x^4}\) (x − 1)(x + 1) < 0
∴ (x − 1) (x + 1) < 0 ∴ x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) ( x = 0)
∴ (−1, 0) ∪ (0, 1) અંતરાલમાં f(x) એ ઘટતું વિધેય છે.

પ્રશ્ન 8.
જેનું શીર્ષ પ્રધાન અક્ષનું એક અંત્યબિંદુ હોય તેવા ઉપવલય \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 માં અંતર્ગત સમદ્ધિભુજ ત્રિકોણનું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ

ઉપવલય \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 (a > b)
અંતર્ગત સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ APQ આવેલો છે.
A(a, 0), P(a cos θ, b sinθ) તથા Q(a cos θ – b sin θ)
ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ થશે.
ઉપવલયનું પ્રધાન અક્ષ X- અક્ષ છે.
ΔAPQનું ક્ષેત્રફળ,
A = \(\frac{1}{2}\) × PQ × AM
= \(\frac{1}{2}\)(2b sin θ) (a – a cos θ)
= ab sin θ (1- cos θ)
∴ \(\frac{d \mathrm{~A}}{d \theta}\) = ab cos θ (1 − cos θ) + ab sin θ (sin θ)
= ab (cos θ – cos²θ + sin²θ)
= ab (cosθ – cos2θ)
(∴ cos 2θ = cos²θ – sin²θ)
∴ \(\frac{d^2 \mathrm{~A}}{d \theta^2}\) = ab (-sin θ + 2 sin 2θ)
મહત્તમ કે ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ માટે, \(\frac{d \mathrm{~A}}{d \theta}\) = 0
∴ ab (cos θ – cos 2θ) = 0
∴ cos θ = cos 2 θ
∴ θ = 2π – 2θ
∴ θ = \(\frac{2 \pi}{3}\)

∴ θ = \(\frac{2 \pi}{3}\) હોય ત્યારે AAPQનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ મળે છે.
∴ ΔAPQ નું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ

પ્રશ્ન 9.
લંબચોરસ આધાર તથા પૃષ્ઠો ધરાવતી એક ખુલ્લી ટાંકીની ઊંડાઈ 2 મીટર તથા ઘનફળ 8 (મીટર)3 છે. જો આ ટાંકીના આધારના બાંધકામની કિંમત ર્ 70 પ્રતિ(મીટર)2 તથા પૃષ્ઠોના બાંધકામની કિંમત ૬ 45 પ્રતિ(મીટર)2 હોય, તો ટાંકી બનાવવા માટે થતો ન્યૂનતમ ખર્ચ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે ટાંકીની લંબાઈ તથા પહોળાઈ અનુક્રમે x અને y મીટર છે તથા તેની મીટર છે.

ટાંકીનું ઘનફળ,
V = l × b × h
= 2xy m³
∴ 8 = 2xy
∴ xy = 4
ટાંકીના તળિયાનું ક્ષેત્રફળ = xy
ટાંકીની ચારેય બાજુનું ક્ષેત્રફળ = 2(2y) + 2(2x)
= 4(y + x)
∴ ઉપરથી ખુલ્લી ટાંકીની સપાટીનું કુલ ક્ષેત્રફળ,
A = xy + 4(x + y)

∴ ટાંકી બનાવવા માટેનો ખર્ચ,
તળિયા માટે ₹ 70/મીટર2 તથા બાજુ માટે ₹ 45/ મીટર² છે.

∴ કુલ ખર્ચ C = (70 xy + 45 × 4(x + y) ₹
C = ₹ (70 xy + 180 (x + y)
પરંતુ xy = 4 ⇒ y = \(\frac{4}{x}\) લેતાં,

∴ x = 2 હોય ત્યારે ટાંકી બનાવવાનો ખર્ચ ન્યૂનતમ હોય છે.
∴ ન્યૂનતમ ખર્ચ C = 280 + 180(2 + \(\frac{4}{2}\) ) (i) પરથી)
= (280 + 720)
= (1000) ₹
∴ ન્યૂનતમ ખર્ચ ₹ 1000 મળે છે.

પ્રશ્ન 10.
એક ચોરસની પરિમિતિ તથા વર્તુળના પરિઘનો સરવાળો અચળ × છે. સાબિત કરો કે જ્યારે ચોરસની બાજુની લંબાઈ વર્તુળની ત્રિજ્યા કરતાં બમણી હોય ત્યારે તેમના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો ન્યૂનતમ છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા છે તથા ચોરસની બાજુની લંબાઈ ૪ છે.
વર્તુળનો પરીઘ = 2πr
ચોરસની પરિમિતિ = 4x
આપેલ છે કે, વર્તુળનો પરીઘ + ચોરસની પરિમિતિ = K, જ્યાં k અચળ છે.
∴ 2πr + 4x = k
∴ r = \(\frac{k-4 x}{2 \pi}\) ……..(i)
ધારો કે A = વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ + ચોરસનું ક્ષેત્રફળ
∴ A = πr² + x²

ચોરસની બાજુની લંબાઈ વર્તુળની ત્રિજ્યા કરતાં બમણી હોય ત્યારે વર્તુળનાં ક્ષેત્રફળ અને ચોરસનાં ક્ષેત્રફળનો સરવાળો ન્યૂનતમ મળે છે.

પ્રશ્ન 11.
એક બારી લંબચોરસ પર અર્ધવર્તુળ ગોઠવેલ હોય તે આકારની છે બારીની કુલ પરિમિતિ 10 મીટર છે. બારીમાંથી મહત્તમ પ્રકાશ પ્રવેશી શકે તે માટે બારીનાં પરિમાણ શોધો.
ઉત્તરઃ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે બારી છે. જે નીચેથી લંબચોરસ છે તથા ઉપરથી અર્ધવર્તુળાકાર છે. અર્ધવર્તુળાકારની ત્રિજયા ધારો કે r મીટર છે.

∴ બારીની પહોળાઈ = 2r મીટર થશે.
ધારો કે બારીની લંબાઈ x મીટર છે.
બારીની પરિમિતિ P = DA + AB + BC + અર્ધવર્તુળાકાર CD
∴ P = x + 2x + x + πr
∴ P = 2x + r(2 + π)
∴ 10 =2x + r(2 + π) ……………(i)
બારીમાંથી મહત્તમ પ્રકાશ મેળવવા માટે બારીનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોવું જોઈએ.
બારીનું ક્ષેત્રફળ A = લંબચોરસ ABCDનું ક્ષેત્રફળ + અર્ધ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ

∴ r = \(\frac{10}{4+\pi}\) હોય ત્યારે બારીમાંથી પ્રકાશ મહત્તમ મળે છે.

(i) ઉપરથી … 10 = 2x + \(\frac{10}{4+\pi}\)(2 + π)

પ્રશ્ન 12.
કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણ પરના એક બિંદુના કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓથી લંબઅંતર a તથા b છે. (a, b અચળ છે) સાબિત કરો કે, કર્ણની મહત્તમ લંબાઈ (a^{\(\frac{2}{3}\)} + b^{\(\frac{2}{3}\)})^{\(\frac{2}{3}\)} છે.
ઉત્તરઃ
ΔΑΟΒΙ \(\overline{\mathrm{AB}}\) કર્ણ છે. \(\overline{\mathrm{AB}}\) પરનું કોઈ બિંદુ P છે.
\(\overline{\mathrm{PN}} \perp \overline{\mathrm{OA}}\) तथा \(\overline{\mathrm{PM}} \perp \overline{\mathrm{OB}}\)
∴ PN a तथा PM = b
ધારો કે ∠OAB = θ

ΔΑΝΡΙ sin θ = \(\frac{\mathrm{PN}}{\mathrm{AP}}=\frac{a}{\mathrm{AP}}\)
∴ AP = a coseco

ΔPMBH cos θ = \(\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{BP}}=\frac{b}{\mathrm{BP}}\)
∴ BP = b sec θ
કર્ણની લંબાઈ 1 હોય તો,
l = AB = AP + BP
∴ l = a cosec θ + b sec θ
\(\frac{d l}{d \theta}\) = – a cosec θ cot θ + b sec θ tan θ
તથા \(\frac{d l}{d \theta}\) = a cosec³θ + a cosecθ cot²θ + b sec³θ + b secθ tan²θ

મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે, \(\frac{d l}{d \theta}\) = 0
∴ – a cosec θ cot θ + b sec θ tan θ = 0

પ્રશ્ન 13.
જે બિંદુઓ આગળ (અથવા ની જે કિંમતો આગળ) વિધેય f(x) = (x – 2)⁴ (x + 1)³, (a) સ્થાનીય મહત્તમ મૂલ્ય (b) સ્થાનીય ન્યૂનતમ મૂલ્ય (c) નતિબિંદુ ધરાવે તે બિંદુઓ (અથવા ફ્ની કિંમતો) શોધો.
ઉત્તરઃ
f(x) (x − 2)⁴ (x + 1)³
:. f'(x) = (x − 2)⁴ 3(x + 1)² + 4(x − 2)³(x + 1)³
= (x − 2)³(x + 1)² [3(x − 2) + 4(x + 1)]
= (x − 2)³(x + 1)² [7x – 2]

મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે f'(x) :
∴ (x − 2)³(x + 1)² (7x − 2) = 0
∴ x – 2 = 0, x + 1 = 0, 7x – 2 = 0
∴ x = 2, x = −1, x = \(\frac{2}{7}\)

x = 2 આગળ :
જ્યારે x < 2 હોય ત્યારે, f'(x) = (− ve) (+ ve) (+ ve) જ્યારે x > 2 હોય ત્યારે, (-ve)
f'(x) = (+ ve) (+ ve) (+ ve) = (+ve)
આમ, f'(૪) એ (– ve) થી (+ ve) નિશાની બદલે છે.
∴ f(x) એ x = 2 આગળ સ્થાનીય ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.

x = −1 આગળ :
જ્યારે x < −1 હોય ત્યારે, f'(x) = (−ve) (+ ve) (− ve) = (+ ve) જ્યારે x > −1 હોય ત્યારે,
f'(x) = (−ve) (+ ve) (− ve) = (+ ve)
∴ x = −1 આગળ f'(x)નું ચિહ્ન બદલાતું નથી.
∴ x = -1 આગળ f(x)ને મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળતું નથી.

x = \(\frac{2}{7}\) = 0.28 આગળ :
જ્યારે x < 0.28 હોય ત્યારે, f'(x) = (-ve) (+ ve) (ve) = + ve જ્યારે x > 0.28 હોય ત્યારે,
f'(x) = (− ve) (+ ve) (+ ve) = – ve
આમ, x = \(\frac{2}{7}\) આગળ f'(x) + ve થી – ve બને છે.
x = \(\frac{2}{7}\) આગળ વિધેય f(x) સ્થાનીય મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.

f(x) એ x = \(\frac{2}{7}\) આગળ સ્થાનીય મહત્તમ x = 2 આગળ સ્થાનીય ન્યૂનતમ તથા x = −1 આગળ નતિબિંદુ ધરાવે છે.

પ્રશ્ન 14.
વિધેય f(x) = cos²x + sin x, x = [0, π] નાં વૈશ્धિક મહત્તમ તથા વૈશ્વિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
f(x) = cos²x + sin x, x = [0, л]
f'(x) = -2cos x sin x + cos x
= cos x [1 – 2sin x]
મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે, f'(x) = 0
∴ cos x [1 – 2sin x] = 0
cos x = 0, sin x = \(\frac{1}{2}\)
x = \(\frac{\pi}{2}\), x = \(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\)
હવે f(x) = cos²x + sin²x
f(0) = cos²0 + sin 0 = 1

∴ વિધેયનું નિરપેક્ષ મહત્તમ મૂલ્ય = \(\frac{5}{4}\)
તથા નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ મૂલ્ય = 1

પ્રશ્ન 15.
r ત્રિજ્યાવાળા ગોલકમાં અંતર્ગત મહત્તમ ઘનફળવાળા લંબવૃત્તીય શંકુની ઊંચાઈ \(\frac{4r}{3}\) છે તેમ સાબિત કરો.
ઉત્તરઃ
r ત્રિજ્યાવાળા ગોલકની અંતર્ગત એક શંકુ આવેલો છે. ધારો કે ગોલક નું કેન્દ્ર 0 છે.

\(\overline{\mathrm{BC}}\) એ શંકુનાં પાયાનો વ્યાસ છે.
\(\overline{\mathrm{AM}}\) એ શંકુની ઊંચાઈ છે.
OA = OB = r
ધારો કે BM = R = શંકુની ત્રિજ્યા
AM = H
ધારો કે, ∠BOM = θ
R = r sin θ तथा AM = H = AO + OM
= r + r cos θ
= r(1 + cos θ)

∴ cos θ = \(\frac{1}{3}\) હોય ત્યારે શંકુનું ઘનફળ મહત્તમ મળે છે.
શંકુની ઊંચાઈ H = r(1 + cos θ) = r(1 + \(\frac{1}{3}\)) = \(\frac{4r}{3}\)
આમ, r ત્રિજ્યાવાળા ગોલકની અંતર્ગત રહેલ શંકુની ઊંચાઈ \(\frac{4r}{3}\) હોય ત્યારે શંકુનું ઘનફળ મહત્તમ મળે છે.

પ્રશ્ન 16.
ધારો કે f એ [a, b] પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. પ્રત્યેક x ∈(a, b) માટે f'(x) > 0 હોય, તો સાબિત કરો કે વિધેય એ (a, b) પર વધતું વિધેય છે.
ઉત્તરઃ
વિધેય f(x) એ [a, b] ઉપર વ્યાખ્યાયિત છે.
∀ x = [a, b] માટે f'(x) > 0
ધારો કે x₁, x₂ ∈ [a, b] તથા x₁ < x₂
[x₁, x₂] એ [a, b]નો ઉપઅંતરાલ થશે.
f(x) એ (a, b)માં વિકલનીય છે.
તથા [x₁, x₂] ⊂ (a, b)
∴ f(x) એ [x₁, x₂]માં સતત તથા (x₁, x₂)માં વિકલનીય વિધેય છે.
∴ C ∈ (x₁, x₂) મળે કે જેથી
f'(C) = \(\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}\) ..(i)
પરંતુ ∀ x ∈ [a, b] માટે f'(x) > 0 છે.
∴ f'(C) > 0 થશે.
∴ \(\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}\) > 0
∴f(x₂) – f(x₁) > 0
∴ f(x₂) > f(x₁)
(∵ x₂ – x₁ > 0)
આમ, x₁ < x₂ = f(x₁) < f(x₂)
∴ f(x) એ વધતું વિધેય છે.
x₁, x₂ એ (a, b)નાં સ્વૈર બિંદુઓ છે.
∴ f(x) એ (a, b)માં વધતું વિધેય છે.

પ્રશ્ન 17.
R ત્રિજ્યાવાળા ગોલકમાં અંતર્ગત મહત્તમ ઘનફળવાળા નળાકારની ઊંચાઈ \(\frac{2 R}{\sqrt{3}}\) છે તેમ સાબિત કરો. આ નળાકારનું મહત્તમ ઘનફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
R ત્રિજયાવાળા ગોલકમાં અંતર્ગત નળાકાર આવેલો છે. સ્પષ્ટ છે કે નળાકારનું ઘનફળ મહત્તમ બને તે માટે નળાકારની અક્ષ એ ગોલકનો વ્યાસ હોવો જોઈએ.

ધારો કે ગોલકનું કેન્દ્ર 0 છે.
OA = R ધારો કે OL = x
જ્યાં ML એ ABCD નળાકારની અક્ષ છે.
ML = 20L = 2x
ΔOLA કાટકોણ ત્રિકોણ થશે.
∴ OA² = AL² + OL²
∴ R² = AL² + x²
∴ AL = \(\sqrt{\mathrm{R}^2-x^2}\)
નળાકાર ABCDની ઊંચાઈ h = ML = 2x થશે.
પાયાની ત્રિજ્યા r = AL = \(\sqrt{\mathrm{R}^2-x^2}\) થશે.
જયા R = ગોલકની ત્રિજ્યા = અચળ
નળાકારનું ઘનફળ V = πr²h
∴ V = π(R² − x²) 2x
∴ V = 2π (R²x – x³)
∴ \(\frac{d \mathrm{~V}}{d x}\) = 2π (R²x – x³)
તથા \(\frac{d^2 \mathrm{~V}}{d x^2}\) = 2π(0 – 6x) = -12 πx

હવે મહત્તમ કે ન્યૂનતમ ઘનફળ માટે, \(\frac{d \mathrm{~V}}{d x}\) = 0

આમ, R ત્રિજ્યાવાળા ગોલકમાં અંતર્ગત નળાકારની ઊંચાઈ \(\frac{2 R}{\sqrt{3}}\) હોય ત્યારે નળાકારનું મહત્તમ ઘનફળ \(\frac{4 \pi \mathrm{R}^3}{3 \sqrt{3}}\) મળે છે.

પ્રશ્ન 18.
h ઊંચાઈવાળા અને અર્ધશિરઃકોણ ત હોય, તેવા લંબવૃત્તીય શંકુમાં અંતર્ગત મહત્તમ ઘનફળવાળા નળાકારની ઊંચાઈ એ શંકુની ઊંચાઈ કરતાં ત્રીજા ભાગની છે તેમ સાબિત કરો અને સાબિત કરો કે નળાકારનું મહત્તમ ઘનફળ \(\frac{4 \pi}{27}\)h³tan²α છે.
ઉત્તરઃ
VAB શંકુની અંતર્ગત નળાકાર A’B’CD આવેલો છે. શંકુની ઊંચાઈ VO h આપેલ છે. શંકુનો અર્ધ શીર્ષકોણ ∠AVO = α છે.

ધારો કે નળાકારની ત્રિજ્યા x છે.
∴ A’O’ = OD = x
\(\overline{\mathrm{AB}} \| \overline{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}\)
∴ ∠AVO = ∠A’VO’ = d
ΔA’O’V કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
∴ tan α = \(\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{O}^{\prime}}{\mathrm{VO}^{\prime}}=\frac{x}{\mathrm{VO}^{\prime}}\)
∴ VO’ = \(\frac{x}{\tan \alpha}\) = x cot α
હવે નળાકારની ઊંચાઈ OO’ = VO – VO’
= h – x cot α
નળાકારનું ઘનફળ V = (OD)² (OO’)
= πx² (h − x cot π)
= πhx² – πx³ cot π
\(\frac{d \mathrm{~V}}{d x}\) = 2π hx – 3πx²cot α
તથા \(\frac{d^2 \mathrm{~V}}{d x^2}\) = 2πh – 6πx cot α
હવે મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્યો માટે \(\frac{d \mathrm{~V}}{d x}\) = 0
∴ 2π hx – 3πx² cot α = 0
∴ πx(2h – 3x cot α) = 0

પરંતુ x ≠ 0 ∴ 2 – 3x cot α = 0

∴ x = \(\frac{2 h \tan \alpha}{3}\) હોય ત્યારે શંકુનાં અંતર્ગત નળાકારનું ઘનફળ મહત્તમ મળે છે.

પ્રશ્નો 19 થી 24માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરોઃ

પ્રશ્ન 19.
10 મીટર ત્રિજ્યાવાળી એક નળાકાર પીપમાં 314 (મીટર)3/ કલાકના દરે ઘઉં ભરવામાં આવે છે. તો ઘઉંની ઊંચાઈના વધવાનો દર …………….. હોય.
(A) 1 મીટર/કલાક
(B) 0.1 મીટર/કલાક
(C) 1.1 મીટર/કલાક
(D) 0.5 મીટર/કલાક
ઉત્તરઃ
(A) 1 મીટર/કલાક
નળાકાર ટાંકીની ત્રિજ્યા r = 10 મીટર
\(\frac{d \mathrm{~V}}{d t}\) = 314 (મીટર)3/કલાક \(\frac{d h}{d t}\) = ?
ધારો કે નળાકારની ઊંચાઈ h મીટર છે.
∴ નળાકારનું ઘનફળ V = rπh
∴ V = π(10)² h (∵ r = 10 m)
∴ V = 100π h

∴ વિકલ્પ (A) સત્ય છે.

પ્રશ્ન 20.
x = t² + 3t – 8, y = 2t² – 2t – 5 પ્રચલ સમીકરણાાળ વક્રના (2, −1) બિંદુ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ ……………. છે.
(A) \(\frac{22}{7}\)
(B) \(\frac{6}{7}\)
(C) \(\frac{7}{6}\)
(D) \(\frac{-6}{7}\)
ઉત્તરઃ
(B) \(\frac{6}{7}\)

વક્ર પરનું બિંદુ P(2, −1) છે.
∴ x = 2 = t² + 3t – 8 ∴ t² + 3t – 10 = 0
∴ (t + 5)(t – 2) = 0
∴ t = -5, 2 ……..(i)

∴ y = -1 = 2t² – 2t – 5 ∴2t² – 2t – 4 = 0
∴t² – t – 2 = 0
∴ (t – 2) (t + 1) = 0
∴ t = 2, – 1 ………….(ii)

પરિણામ (i) અને (ii) ઉપરથી t = 2 મળે છે.
હવે t = 2 બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ,
\(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=2}=\frac{4(2)-2}{2(2)+3}=\frac{6}{7}\)
∴ વિકલ્પ (B) સત્ય છે.

પ્રશ્ન 21.
રેખા y = mx + 1 એ વક્ર y² = 4નો સ્પર્શક હોય, તો m = …….(ii)
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(d) \(\frac{1}{2}\)
ઉત્તરઃ
(A) 1

રેખા y = mx + 1 એ વક્ર y² = 4નો સ્પર્શક છે.
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં, 2y\(\frac{d y}{d x}\) = 4
\(\frac{d y}{d x}=\frac{2}{y}\)
∴ વક્રનાં સ્પર્શકનો ઢાળ m = \(\frac{2}{y}\)
∴ (x₁, y₁) जिદुએ ઢાથ m = \(\frac{2}{y_1}\)
વક્ર પરનાં (x₁, y₁) બિંદુએ વક્રનાં સ્પર્શકનું સમીકરણ
y – y₁ = m(x − x₁)
∴ y = mx + y₁ – mx₁

પરંતુ વક્રનાં સ્પર્શકનું સમીકરણ y = mx + 1 છે.
∴ y₁ – mx₁ = 1

∴ વિકલ્પ (A) સત્ય છે.

પ્રશ્ન 22.
વક્ર 2y + x² = 3ના બિંદુ (1, 1) આગળના અભિલંબનું સમીકરણ …………….. છે.
(A) x + y = 0
(B) x – y = 0
(D) ૪ – y = 1
(C) x + y + 1 = 0
ઉત્તરઃ
(B) x – y = 0
વક્રનું સમીકરણ 2y + x² = 3
(1, 1) બિંદુ વક્રનાં સમીકરણનું સમાધાન કરતું હોવાથી વક્ર પરનું બિંદુ છે.
2y + x² = 3

x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
∴ (1, 1) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ = 1
∴ (1, 1) બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ = – 1
∴ (1, 1) બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ :
y – 1 = 1 (x – 1)
y = 0
∴ વિકલ્પ (B) સત્ય છે.

પ્રશ્ન 23.
વક્ર x² = 4y ના બિંદુ (1, 2)માંથી પસાર થતાં અભિલંબનું સમીકરણ ……………… છે.
(A) x + y = 3
(B) x – y = 3
(C) x + y = 1
(D) x – y = 1
ઉત્તરઃ
(A) x + y = 3
વક્રનું સમીકરણ x² = 4y
(1, 2) બિંદુએ વક્રનાં સમીકરણનું સમાધાન કરતું નથી.
∴ (1, 2) એ વક્રનું બિંદુ નથી. x² = 4y
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
2x = 4 \(\frac{d y}{d x} \therefore \frac{d y}{d x}=\frac{x}{2}\)
. સ્પર્શકનો ઢાળ = \(\frac{x}{2}\)
. અભિલંબનો ઢાળ = –\(\frac{2}{x}\)
ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ (x₁, y₁) છે. ∴ x₁² = 4y₁
(x, y) બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ = \(-\frac{2}{x_1}\)
∴ (x₁, y₁) બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ :

∴ x + y = 3 જે માંગેલ અભિલંબનું સમીકરણ છે.
∴ વિકલ્પ (A) સત્ય છે.

પ્રશ્ન 24.
વક્ર 9y² = 3 પરનાં ……………… બિંદુઓ આગળ દોરેલ અભિલંબ યામાક્ષો સાથે સમાન અંતઃખંડ બનાવે.
(A) (4, ±\(\frac{8}{3}\))
(B) 4, \(\frac{-8}{3}\)
(C) (4, ±\(\frac{3}{8}\))
(D) (±4, \(\frac{3}{8}\))
ઉત્તરઃ
(A) (4, ±\(\frac{8}{3}\))
વક્રનું સમીકરણ : 9y² = x³
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

અભિલંબ વક્ર સાથે સમાન લંબાઈનાં અંતઃખંડો બનાવે છે.
∴ અભિલંબનો ઢાળ = + 1 થશે.

∴ વિકલ્પ (A) સત્ય છે.