GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Ex 6.4

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Ex 6.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Ex 6.4

પ્રશ્ન 1.
વિકલના ઉપયોગથી, નીચેના આસન્ન મૂલ્યો 3 દશાંશસ્થળ સુધી મેળવો :
(i) \(\sqrt{25.3}\)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = √x = x^{\(\frac{1}{2}\)} ધારો કે,
x = 25 તથા Δx = 0.3 લેતાં,
Δy = (x + Δx)^{\(\frac{1}{2}\)} – x^{\(\frac{1}{2}\)}
= (25 +0.3)^{\(\frac{1}{2}\)} – (25)^{\(\frac{1}{2}\)}
= (25.3)^{\(\frac{1}{2}\)} – 5
∴ (25.3)^{\(\frac{1}{2}\)} = Δy + 5
હવે dy = Δy
∴ dy = \(\frac{d y}{d x}\) × Δx

∴ \(\sqrt{25.3}\) નું આસન્ન મૂલ્ય,
(25.3)^{\(\frac{1}{2}\)} = Δy + 5
= 0.03 + 5
= 5.03

અન્ય રીત :
ધારો કે f(x) = √x
∴ f'(x) =
x + Δx = 25.3 = 25 + 0.3
∴ x = 25
Δx = 0.3
∴ f(25) = 25 = 5
∴ f'(25) = \(\frac{1}{2 \sqrt{25}}=\frac{1}{2 \times 5}=\frac{1}{10}\)
∴ f(x + Δx) = f(x) + f'(x) · Δx
√25.3 = f(25) + ƒ'(25) · Δx
= 5 + \(\frac{1}{10}\) × 0.3
= 5 +\(\frac{3}{10}\)
= 5.03

(ii) \(\sqrt{49.5}\)
ઉત્તરઃ

અન્ય રીત :
wel, x + Δx = 49.5 = 49+ 0.5
∴ x = 49, Δx = 0.5

(iii) \(\sqrt{0.6}\)
ઉત્તરઃ

અન્ય રીત :
અહી, x + Δx = 0.60 = 0.64 – 0.04
∴ x = 0.64, Δx = -0.04

હવે, f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x). Δx
\(\sqrt{0.6}\) = f(0.64) + f'(0.64). Δx
= 0.8 + (0.625)(-0.04)
= 0.8 + (-0.025)
= 0.775
≈ 0.8

(iv) (0.009)^{\(\frac{1}{3}\)}
ઉત્તરઃ

(v) (0.999)^{\(\frac{1}{10}\)}
ઉત્તરઃ

(vi) (15)^{\(\frac{1}{4}\)}
ઉત્તરઃ

(vii) (26)^{\(\frac{1}{3}\)}
ઉત્તરઃ

(viii) (255)^{\(\frac{1}{4}\)}
ઉત્તરઃ

(ix) (82)^{\(\frac{1}{4}\)}
ઉત્તરઃ

(x) (401)^{\(\frac{1}{2}\)}
ઉત્તરઃ

(xi) (0.0037)^{\(\frac{1}{2}\)}
ઉત્તરઃ

(xii) (26.57)^{\(\frac{1}{3}\)}
ઉત્તરઃ

(xiii) (81.5)^{\(\frac{1}{4}\)}
ઉત્તરઃ

(xiv) (3.968)^{\(\frac{3}{2}\)}
ઉત્તરઃ

(xv) (32.15)^{\(\frac{1}{5}\)}
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 2.
જો f(x) = 4x² + 5x + 2 હોય, તો f(2.01)નું આસન્ન મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
f(x) = 4x² + 5x + 2
∴ f'(x) = 8x + 5
હવે Δy = f(x + Δx) − f(x)
∴ f(x + Δx) = f(x) + Ay
= f(x) + f'(x) Δx (∵ dx = Δx)
x = 2 તથા Δx = 0.01 લેતાં,
f(2 + 0.01) = f(2) + f'(2) (0.01)
∴ f(2.01) = [4(2)² + 5(2) + 2] + (8(2) + 5) (0.01)
= 28+ (21) (0.01)
= 28 + 0.21
= 28.21

પ્રશ્ન 3.
જો f(x) = x³ – 7x² + 15 હોય, તો f(5.001)નું આસન્ન મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
f(x) = x³ – 7x² + 15
∴ f'(x) = 3x² – 14x
હવે Δy = f(x + Δx) – f(x)
∴ f(x + Δx) = f(x) + Δy
= f(x) + f'(x) Δx (∵ dx = Δx)
x = 5 તથા Δx = 0.001 લેતાં,
f(5 + 0.001) = f(5) + f'(5) (0.001)
∴ f(5.001) [(5)37(5)² + 15] + [3(5)² – 14(5)] (0.001)
= [125 175 + 15] + [75 – 70] (0.001)
= -35+0.005
= -34.995

પ્રશ્ન 4.
એક સમઘનની બાજુની લંબાઈ x મીટર છે. જો સમઘનની બાજુની લંબાઈમાં 1%નો વધારો થતો હોય, તો તેના ઘનફળમાં થતા વધારાનું આસન્ન મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
ઘનની બાજુની લંબાઈ = x મીટર
∴ તેનું ઘનફળ V = x³ (મીટર)³

∴ જો સમઘનની બાજુની લંબાઈમાં 1%નો વધારો થાય તો તેનાં ઘનફળમાં થતો વધારો 0.03x³ (મીટર)³ છે.

પ્રશ્ન 5.
એક સમઘનની બાજુની લંબાઈ x મીટર છે, જો સમઘનની બાજુની લંબાઈમાં 1%નો ઘટાડો થતો હોય, તો તેના પૃષ્ઠફળમાં આશરે કેટલો ઘટાડો થાય તે શોધો.
ઉત્તરઃ
ઘનની બાજુની લંબાઈ = x મીટર
તેનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ S = 6x² (મીટર)²
આપેલ છે કે, બાજુની લંબાઈમાં 1% જેટલો ઘટાડો કરવામાં આવે છે.
Δx = − xનાં 1% = \(-\frac{x}{100}\)
ઘનની સપાટીનાં ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર,
ΔS = \(\frac{d \mathrm{~S}}{d x}\)Δx

(ઋણ નિશાની ઘટાડો દર્શાવે છે.)
આમ, ઘનની બાજુની લંબાઈમાં 1% જેટલો ઘટાડો કરવામાં આવે તો તેની સપાટીનાં ક્ષેત્રફળમાં 0.12x² (મીટર)² ઘટાડો થાય છે.

પ્રશ્ન 6.
એક ગોલકની ત્રિજ્યાના માપનમાં 0.02 મીટર ત્રુટિ રહી ગયેલ છે. જો ગોલકની ત્રિજ્યા 7 મીટર માપવામાં આવી હોય, તો તેના ઘનફળમાં પ્રવેશતી ત્રુટિનું આસન મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા = r
∴ તેનું ઘનફળ V = \(\frac{4}{3}\)πr³
∴ \(\frac{d \mathrm{~V}}{d r}=\frac{d}{d r}\)(\(\frac{4}{3}\)πr³) = 4πr²
ગોલકની ત્રિજ્યા માપવામાં 0.02 મીટર જેટલી ભૂલ થાય છે.
∴ Δr = 0.02 મીટર તથા ગોલકની ત્રિજ્યા r = 7 મીટર
∴ ગોલકનાં ઘનફળમાં મળતી ભૂલ,
ΔV = \(\frac{d \mathrm{~V}}{d r}\)Δr = 4πr² Δr
= 4π(7)².(0.02)
= 3 . 92(મીટર)³

પ્રશ્ન 7.
એક ગોલકની ત્રિજ્યાના માપનમાં 0.03 મીટર ત્રુટિ રહી ગયેલ છે. જો ગોલકની ત્રિજ્યા 9 મીટર માપવામાં આવી હોય, તો તેના પૃષ્ઠફળમાં પ્રવેશતી ત્રુટિનું આસન્ન મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા = x મીટર
∴ ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ S = 4πr² (મીટર)²
∴ \(\frac{d \mathrm{~S}}{d r}=\frac{d}{d r}\)(4πr²) = 8πr
ગોલકની ત્રિજ્યા માપવામાં થતી ભૂલ Δr = ગોલકની ત્રિજ્યા r = 9 મીટર
∴ ગોલકની સપાટીનાં ક્ષેત્રફળમાં મળતી ભૂલ, = 0.03 મીટર
ΔS = \(\frac{d \mathrm{~S}}{d r}\) × Δr
= 8πr × (0.03)
= 8 × 9 × (0.03)
= 2 · 16 (મીટર)2

પ્રશ્નો 8 તથા 9માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 8.
જો f(x) = 3x² + 15x + 5 હોય, તો f(3.02)નું આસન્ન મૂલ્ય ………. હોય.
(A) 47.66
(B) 57.66
(C) 67.66
(D) 77.66
ઉત્તરઃ
f(x) = 3x² + 15x + 5
∴ f'(x) = 6x +15
હવે Δy = f(x + Δx) – f(x)
f(x + Δx) = f(x) + Δy
= f(x) + f'(x) Δx (∵ dx = Δx)
x = 3 તથા Δx = 0.02 લેતાં,
f(3 + 0.02) = f(3) + f'(3) . (0.02)
∴ f(3.02) = [3(3)² + 15(3) + 5] + [6(3) + 15] (0.02)
= 77 + 33(0.02)
= 77 + 0.66
= 77.66
∴ વિકલ્પ (D) આવે.

પ્રશ્ન 9.
એક સમઘનની બાજુની લંબાઈ ૪ મીટર છે, જો તેની બાજુની લંબાઈમાં 3%નો વધારો થતો હોય, તો તેના ઘનફળમાં થતા વધારાનું આસન્ન મૂલ્ય …………. છે.
(A) 0.06 x³ (મીટર)³
(B) 0.6 x³ (મીટર)³
(C) 0.09 x³ (મીટર)³
(D) 0.9 x³ (મીટર)³
ઉત્તરઃ
સમઘનની બાજુની લંબાઈ = x મીટર
∴ તેનું ઘનફળ V = x³ (મીટર)³
∴ \(\frac{d \mathrm{~V}}{d x}=\frac{d}{d x}\)(x³) = 3x²
બાજુની લંબાઈમાં 3%નો વધારો કરવામાં આવે છે.
∴ Δx = \(\frac{3 x}{100}\)
∴ સમઘનનાં ઘનફળમાં થતો વધારો,
ΔV = \(\frac{d \mathrm{~V}}{d x}\)Δx
= 3x² × \(\frac{3 x}{100}\)
= \(\frac{9}{100}\)x³
= 0 · 09x³ (મીટર)³
∴ વિકલ્પ (C) આવે.