GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Ex 6.3

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Ex 6.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Ex 6.3

પ્રશ્ન 1.
વક્ર y = 3x⁴ – 4x ને x = 4 આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો.
ઉત્તરઃ
વક્રનું સમીકરણ
y = 3x⁴ – 4x
વક્રનાં સ્પર્શકનો (x, y) બિંદુએ ઢાળ = \(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\)(3x⁴ – 4x)
= 12x³ – 4
\(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=4}\) = 12(4)³ – 4
= 764
∴ આપેલ વક્રનાં x = 4 બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ 764 છે.

પ્રશ્ન 2.
વક્ર y = \(\frac{x-1}{x-2}\), x ≠ 2 ને x = 10 આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો.
ઉત્તરઃ
વક્રનું સમીકરણ : y = \(\frac{x-1}{x-2}\), (x ≠ 2)
વક્રનાં સ્પર્શકનો (x, y) બિંદુએ ઢાળ = \(\frac{d y}{d x}\)

∴ આપેલ વક્રનો x = 10 બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ –\(\frac{1}{64}\) છે.

પ્રશ્ન 3.
વક્ર y = x³ – x + 1 ના જે બિંદુનો x- યામ 2 હોય તે બિંદુ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો.
ઉત્તરઃ
વક્રનું સમીકરણ : y = x³ − x + 1
વક્રનાં સ્પર્શકનો (x, y) બિંદુએ ઢાળ = \(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\)(x³ – x + 1)
= 3² – 1

\(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=2}\) = 3(2)² – 1
= 11
∴ આપેલ વક્રનાં x = 2 બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ 11 છે.

પ્રશ્ન 4.
વક્ર y = x³ – 3x + 2 ના જે બિંદુનો ૪- યામ 3 હોય તે બિંદુ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો.
ઉત્તરઃ
વક્રનું સમીકરણ : y = x³ – 3x + 2
વક્રનાં સ્પર્શકનો (x, y) બિંદુએ ઢાળ = \(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\)(x³ – 3x + 2)
= 3x² – 3

\(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=3}\) = 3(3)² – 3
= 24
∴ આપેલ વક્રનાં ૪ = 3 બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ 24 છે.

પ્રશ્ન 5.
x = a cos³θ, y = a sin³θ પ્રચલ સમીકરણવાળા વક્રને θ = \(\frac{\pi}{4}\) આગળના અભિલંબનો ઢાળ શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 6.
x = 1 – a sinθ, y = b cos2θ પ્રચલ સમીકરણવાળા વફ્કને આગળના અભિલંબનો ઢાળ શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 7.
વક્ર y = x³ – 3x² – 9x + 7 ને જે બિંદુઓ આગળના સ્પર્શકો X- અક્ષને સમાંતર હોય તે બિંદુઓ શોધો.
ઉત્તરઃ
વકનું સમીકરણા: y = x³ – 3x² – 9x + 7
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\)(x³ – 3x² – 9x + 7)
= 3x² – 6x – 9
= 3(x² – 2x – 3)
= 3(x − 3)(x + 1)
વક્રનાં સ્પર્શકનો (x, y) બિંદુએ ઢાળ = \(\frac{d y}{d x}\)
આપેલ છે કે વક્રનો સ્પર્શક X- અક્ષને સમાંતર છે.
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 0
∴ 3(x − 3)(x + 1) = 0
∴ x = 3, x -1
y = x³ – 3x² – 9x + 7
x = 3 ∴ y = (3)³ – 3(3)² − 9(3) + 7 = −20 x = -1
x = -1 ∴ y = (-1)³ – 3(−1)² – 9(−1) + 7 = 12
∴ બિંદુઓ (3, −20) અને (−1, 12) બિંદુએ દોરેલ સ્પર્શક X- અક્ષને સમાંતર છે.

પ્રશ્ન 8.
વક્ર y = (x – 2)² નો એક સ્પર્શક વક્ર પરનાં બિંદુઓ (2, 0) અને (4, 4)ને જોડતી જીવાને સમાંતર હોય, તો તે સ્પર્શકનું સ્પર્શબિંદુ શોધો.
ઉત્તરઃ
વક્રનું સમીકરણ : y = (x – 2)²
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\)(x – 2)²
= 2(x – 2)
બિંદુઓ A(2, 0) તથા B(4, 4) ને જોડતી જીવાનો ઢાળ
= \(\frac{4-0}{4-2}\)
= 2
∴ વક્રનો સ્પર્શક એ જીવા \(\overline{\mathrm{AB}}\)ને સમાંતર છે.
∴ વક્રનાં સ્પર્શકનો ઢાળ
∴ 2(x – 2) = 2
∴ x – 2 = 1
∴ x = 3
y = (x – 2)²
x = 3 મૂકતાં,
∴ y = (3 – 2)²
∴ (3, 1) બિંદુએ દોરેલ વક્ર y = (x – 2)² નો સ્પર્શક એ બિંદુઓ (2, 0) અને (4, 4) બિંદુઓને જોડતી જીવાને સમાંતર છે.

પ્રશ્ન 9.
વક્ર y = x³ – 11x + 5ના કોઈ બિંદુ આગળનો સ્પર્શક y = x – 11 હોય, તો વક્ર પરનું તે બિંદુ શોધો.
ઉત્તરઃ
વક્રનું સમીકરણ : y = x³ – 11x + 5
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\) (x³ – 11x + 5)
= 3x² – 11 = 1
વક્રનો સ્પર્શક y = x – 11 છે. જેનો ઢાળ 1 છે.
∴ (x, y) બિંદુએ વક્રને દોરેલ સ્પર્શકનો ઢાળ
∴ 3x² – 11 = 1
∴ x² = 4 ⇒ x = +2
y = x³ – 11x + 5
x = 2
∴ y = (2)³ – 11(2) + 5 = -9
x = —2 ∴ y = (−2)³ – 11(−2) + 5 = 19
∴ માંગેલ બિંદુઓ (2, −9) તથા (−2, 19) છે.

પ્રશ્ન 10.
વક્ર y = \(\frac{1}{x-1}\), x ≠ 1 ને -1 ઢાળવાળા તમામ સ્પર્શકોનાં સમીકરણો શોધો.
ઉત્તરઃ
વનું સમીકરણ y = \(\frac{1}{x-1}\), x ≠ 1
આપેલ વક્રનાં (x, y) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ

x = 0 ⇒ y = −1 અને x = 2 ⇒ y = 1
∴ (0, −1) તથા (2, 1) બિંદુઓમાંથી પસાર થતાં તથા −1 ઢાળવાળા સ્પર્શકોનાં સમીકરણો :
(0, −1)માંથી પસાર થતાં સ્પર્શકનું સમીકરણ
y + 1 = −1 (x – 0)
∴ x + y + 1 = 0

(2, 1) માંથી પસાર થતાં સ્પર્શકનું સમીકરણ
y – 1 = −1 (x – 2)
∴ x + y – 3 = 0
∴ માંગેલ સ્પર્શક રેખાઓનાં સમીકરણો :
x + y + 1 = 0 અને x + y – 3 = 0.

પ્રશ્ન 11.
વક્ર y = \(\frac{1}{x-3}\), x ≠ 3 ને 2 ઢાળવાળા તમામ સ્પર્શકોનાં સમીકરણો શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 12.
વક્રન y = \(\frac{1}{x^2-2 x+3}\) ને 0 ઢાળવાળા તમામ સ્પર્શકોનાં સમીકરણો શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 13.
વક્ર \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}\) = 1ના જે બિંદુ આગળના સ્પર્શકો
(i) X- અક્ષને સમાંતર હોય,
(ii) Y- અક્ષને સમાંતર હોય તે બિંદુઓ શોધો.
ઉત્તરઃ

(i) વક્રનો સ્પર્શક X- અક્ષને સમાંતર હોય.
∴ સ્પર્શકનો ઢાળ \(\frac{d y}{d x}\) = 0
\(\frac{-16 x}{9 y}\) = 0 ⇒ x = 0
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}\) = 1
x = 0 ∴ y² = 16 ⇒ y = ± 4
∴ (0, 4) તથા (0, −4) બિંદુએ દોરેલ સ્પર્શક X- અક્ષને સમાંતર છે.

(ii) વક્રનો સ્પર્શક Y- અક્ષને સમાંતર હોય.

∴ (3, 0) અને (−3, 0) બિંદુએ દોરેલ સ્પર્શક એ Y- અક્ષને સમાંતર છે.

પ્રશ્ન 14.
નીચે આપેલ વક્રોને દર્શાવેલ બિંદુ આગળ સ્પર્શક તથા અભિલંબનાં સમીકરણો શોધો :
(i) y = x⁴ – 6x³ + 13x² – 10x + 5ને (0, 5) બિંદુ આગળ
(ii) y = x⁴ – 6x³ + 13x – 10x + 5ને (1, 3) બિંદુ આગળ
(iii) y = 3 પરના (1, 1) બિંદુ આગળ
(iv) y = x² પરના (0, 0) બિંદુ આગળ
(v) x = cos t, y = sin t પરના t = \(\frac{\pi}{4}\) ને સંગત બિંદુ પર
ઉત્તરઃ
(i)y = x⁴ – 6x³ + 13x² – 10x + 5, (0, 5) બિંદુએ
y = x⁴ – 6x³ + 13x² – 10x + 5, (0, 5)
∴ \(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{(0,5)}\) = 4x³ – 18x² + 26x – 10
∴ (0, 5) બિંદુએ વક્રનાં સ્પર્શકનું સમીકરણ,
\(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{(0,5)}\) = 4(0)³ – 18(0)² + 26(0) – 10 = −10

∴ (0, 5) બિંદુએ વક્રનાં સ્પર્શકનો ઢાળ
y – 5 = \(\frac{1}{10}\) (x – 0)
∴ 10x + y – 5 = 0

(0, 5) બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ

∴ (0, 5) બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ :
y – 5 = \(\frac{1}{10}\)(x – 0)
∴ x – 10y + 50 = 0

(ii) y = x⁴ – 6x³ + 13x² – 10x + 5; (1, 3) બિંદુએ
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 4x³ – 18x² + 26x – 10
∴ (1, 3) બિંદુએ વક્રનાં સ્પર્શકનો ઢાળ
\(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{(1,3)}\) = 4(1)³ – 18(1)² + 26(1) – 10 = 2
∴ (1, 3) બિંદુએ વક્રનાં સ્પર્શકનું સમીકરણ,
y – y₁ = m(x − x₁)
∴ y – 3 = 2(x − 1)
∴ y = 2x + 1
(1, 3) બિંદુએ વક્રનાં અભિલંબનો ઢાળ

∴ (1, 3) બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ :
y – 3 = \(\frac{-1}{2}\)(x – 1)
∴ x + 2y – 7 = 0

(iii) y = x³; (1, 1) બિંદુએ
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 3x²
∴ (1, 1) બિંદુએ વક્રનાં સ્પર્શકનો ઢાળ
\(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{(1,1)}\) = 3(1)2 = 3
∴ (1, 1) બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ,
y – 1 = 3(x 1)
∴ 3x – y – 2 = 0
y = 3x – 2

(1, 1) બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ

∴ (1, 1) બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ :
y – 1 = \(\frac{-1}{3}\)(x – 1)
∴ x + 3y – 4 = 0

(iv) y = x² (0, 0) બિંદુએ
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 2x
∴ (0, 0) બિંદુએ વક્રનાં સ્પર્શકનો ઢાળ,
\(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{(0,0)}\) = 2(0) = 0
∴ (0, 0) બિંદુએ વક્રનાં સ્પર્શકનું સમીકરણ,
y – y₁ = m(x – x₁)
∴ y – 0 = 0 (x – 0)
∴ y = 0
(0, 0) બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ

સ્પર્શકનો ઢાળ
∴ અભિલંબનો ઢાળ વ્યાખ્યાયિત નથી.
∴ અભિલંબ શિરોલંબ રેખા છે.
∴ (0, 0) બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ : x = 0

(v) x = cos t, y = sin t, t = \(\frac{\pi}{4}\)

પ્રશ્ન 15.
વક્ર y = x² − 2x + 7 ના (a) રેખા 2x – y + 9 = 0ને સમાંતર તથા (b) રેખા 5y – 15x = 13ને લંબ સ્પર્શકોનાં સમીકરણો શોધો.
ઉત્તરઃ
વક્રનું સમીકરણ : y = x² – 2x + 7
\(\frac{d y}{d x}\) = 2x – 2
(a) વક્રનો સ્પર્શક રેખા 2x – y + 9 = 0ને સમાંતર છે.
રેખા 2x – y + 9 = 0નો ઢાળ = 2
∴ સ્પર્શકનો ઢાળ = 2
∴ 2x – 2 = 2 ⇒ x = 2
y = x² – 2x + 7
x = 2 ∴ y = (2)² − 2(2) + 7 = 7
∴ રેખા 2x – y + 9 = 0ને સમાંતર વક્રનાં સ્પર્શકનું સમીકરણ અર્થાત્ (2, 7) બિંદુએ 2 ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ,
y – y₁ = m(x − x₁)
∴ y – 7 = 2 (x − 2)
∴ 2x – y + 3 = 0

(b) વક્રો સ्पशर्ई રેખા 5y – 15x = 13ને લંબ હોય.
5у – 15x = 13
∴ y = 3x + \(\frac{13}{5}\)
∴ રેખાનો ઢાળ = 3
(સમીકરણને y = mx + c સાથે સરખાવતાં)
સ્પર્શક રેખા એ રેખાને લંબ છે.

∴ 36y – 217 = 2(-6x + 5)
∴ 36y – 217 = -12x + 10
∴ 12x + 36y – 227 = 0
∴ માગેલ સ્પર્શકનું સમીકરણ : 12x + 36y – 227 = 0

પ્રશ્ન 16.
વક્ર y = 7x³ + 11 x = 2 તથા x = −2 આગળના સ્પર્શકો પરસ્પર સમાંતર છે તેમ સાબિત કરો.
ઉત્તરઃ
વનું સમીકરણ : y = 7x³ + 11
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 21x²
x = 2 બિંદુએ વક્રનાં સ્પર્શકનો ઢાળ,
= \(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=2}\) = 21(2)² = 84
x = −2 બિંદુએ વક્રનાં સ્પર્શકનો ઢાળ,
\(=\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=-2}\) = 21(-2)² = 84
∴ (x = 2 બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ) =
(x = −2 બિંદુએ વક્રનાં સ્પર્શકનો ઢાળ)
∴ x = 2 અને x = −2 બિંદુએ વક્ર y = 7x³ + 11ને દોરેલ સ્પર્શકો સમાંતર છે.

પ્રશ્ન 17.
વક્ર y = x³ના જે બિંદુ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ તે બિંદુના y- યામ જેટલો હોય, તે બિંદુઓ શોધો.
ઉત્તરઃ
y = x³
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 3x²
વક્રનાં સ્પર્શકનો (x, y) બિંદુએ ઢાળ = \(\frac{d y}{d x}\)

આપેલ છે કે \(\frac{d y}{d x}\) = y
∴ 3x² = y પરંતુ y = x²
∴ 3x² = x³ x = 0, 3
x = 0 હોય ત્યારે y = (0)³ = 0
x = 3 હોય ત્યારે y = (3)³ = 27
∴ માગેલ બિંદુઓ (0, 0) અને (3, 27) છે.

પ્રશ્ન 18.
વજ્ર y = 4x³ – 2x⁵ માટે, ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતા સ્પર્શકોનાં સ્પર્શબિંદુઓ શોધો.
ઉત્તરઃ
વક્રનું સમીકરણ : y = 4x³ – 2x⁵
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 12x² – 10x⁴
ધારો કે બિંદુ (a, b)માંથી વક્રને દોરેલ સ્પર્શક ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
(a, b) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ \(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{(a, b)}\) = 12a² – 10a⁴
(a, b) બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ,
y – b = (12a² – 10a⁴) (x – a)
પરંતુ આ સ્પર્શક ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
∴ x = y = 0 લેતાં,
0 – b = (12a² – 10a⁴) (0 – a)
∴ b = 2a³(6 − 5a²) …………(i)
પરંતુ બિંદુ (a, b) એ વક્ર ૫૨નું બિંદુ છે.
∴ b = 4a³ – 2a⁵ ………….(ii)
(i) અને (ii) ઉપરથી,
4a³ – 2a⁵ = 2a³(6 – 5a²)
∴ 2a³ (2 – a²) = 2a³ (6 – 5a²) (a # 0)
∴ 2 – a² = 6 – 5a²
4a² = 4
∴ a² = = 1
∴ a = ± 1
(ii) ⇒ b = 4a³ – 2a⁵
a = 1 હોય ત્યારે b = 4 – 2 = 2
a = −1 હોય ત્યારે b = 4 – 2 = 2
જો a = 0 તો b = 0
∴ માગેલ બિંદુઓ (1, 2), (-1, -2) તથા (0, 0) છે.

પ્રશ્ન 19.
વક્ર x² + y² – 2x – 3 = 0નાં જે બિંદુ આગળના સ્પર્શકો X- અક્ષને સમાંતર હોય, તે બિંદુઓ મેળવો.
ઉત્તરઃ
વક્રનું સમીકરણ: x² + y² – 2x – 3 = 0
xને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,
2x + 2y\(\frac{d y}{d x}\) – 2 = 0
\(\frac{d y}{d x}=\frac{1-x}{y}\)
વક્રનો સ્પર્શક X- અક્ષને સમાંતર છે.
∴ સ્પર્શકનો ઢાળ \(\frac{d y}{d x}\) = 0
\(\frac{1-x}{y}\) = 0
∴ x = 1
વક્રનાં સમીકરણ x² + y² – 2x – 3 = 0 માં x = 1 મૂકતાં, 1 + y² – 2 – 3 = 0
y² = 4 ⇒ y = ±2
∴ માગેલ બિંદુઓ (1, 2) તથા (1, —2) છે.

પ્રશ્ન 20.
વક્ર ay² = x³ ના (am², am³) બિંદુ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તરઃ
વક્રનું સમીકરણ : ay² = x³
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
2ay\(\frac{d y}{d x}\) = 3x²
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{3 x^2}{2 a y}\)
(am², am³) બિંદુએ વક્રનાં સ્પર્શકનો ઢાળ,
\(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{\left(a m^2, a m^3\right)}=\frac{3\left(a m^2\right)^2}{2 a\left(a m^3\right)}=\frac{3 m}{2}\)
∴ (am², am³) બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ = \(\frac{-2}{3 m}\)
(am², am³) બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ,
y – am³ = \(\frac{-2}{3 m}\)(x – am²)
∴ 3my – 3am⁴ = -2x + 2am²
∴ 2x + 3my – am²(3m² + 2) = 0

પ્રશ્ન 21.
y = x³ + 2x + 6 ના રેખા x + 14y + 4 = 0 ને સમાંતર અભિલંબનાં સમીકરણો શોધો.
ઉત્તરઃ
વક્રનું સમીકરણ : y = x³ + 2x + 6
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 3x² + 2
∴ (x, y) બિંદુએ વક્રનાં સ્પર્શકનો ઢાળ \(\frac{d y}{d x}\) = 3x² + 2
∴ (x, y) બિંદુએ વક્રનાં અભિલંબનો ઢાળ = \(\frac{-1}{3 x^2+2}\)
વક્રનો અભિલંબ એ રેખા x + 14y + 4 = 0ને સમાંતર છે
રેખા x + 14y = 4 = 0નો ઢાળ = \(-\frac{1}{14}\) છે.
∴ અભિલંબનો ઢાળ = \(-\frac{1}{14}\)
∴ \(\frac{-1}{3 x^2+2}=\frac{-1}{14}\)
∴ 3x² + 2 = 14
x² = 4 ⇒ x = ±2
y = x³ + 2x + 6
∴ y = (2)³ + 2(2) + 6 = 18
∴ y = (−2)³ + 2(-2) + 6 = – – 6
∴ (2, 18) બિંદુએ વક્રનાં અભિલંબનું સમીકરણ :
y – 18 = \(-\frac{1}{14}\)(x – 2)
∴ 14y – 252 = − x + 2
∴ x + 14y – 254 = 0
∴ (–2, 6) બિંદુએ વક્રનાં અભિલંબનું સમીકરણ :
y – (−6) = \(-\frac{1}{14}\)(x – (– 2))
∴ 14y + 84 = -X – 2
∴x + 14y + 86 = 0
∴ માંગેલ અભિલંબનાં સમીકરણો :
x + 14y – 254 = 0 તથા x + 14y + 86 = 0.

પ્રશ્ન 22.
પરવલય y² = 4axના (at², 2at) બિંદુ આગળ સ્પર્શક તથા અભિલંબનાં સમીકરણો મેળવો.
ઉત્તરઃ
પરવલયનું સમીકરણ y² = 4ax
2y\(\frac{d y}{d x}\) = 4a
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{4 a}{2 y}=\frac{2 a}{y}\)
(at, 2at) બિંદુએ વક્રનાં સ્પર્શકનો ઢાળ,
\(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{\left(a t^2, 2 a t\right)}=\frac{2 a}{2 a t}=\frac{1}{t}\)
(at², 2at) બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ,
y – 2at = \(\frac{1}{t}\)(x –at²)
∴ ty – 2at = x – at²
∴ ty = x + at²
(at², 2at) બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ

∴ (at, 2at²) બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ,
y – 2at = -t (x – at²)
∴ y – 2at = – tx + at³
∴ y = = tx + 2at + at³

પ્રશ્ન 23.
જો બે વક્રોના છેદબિંદુ આગળના સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોય, તો તે બે વક્રો લંબઅેદી છે તેમ કહેવાય.
જો 8k² = 1 હોય, તો વક્રો y² = x તથા xy = k લંબચ્છેદી છે, તેમ સાબિત કરો.
ઉત્તરઃ
વક્રનાં સમીકરણો :

પ્રશ્ન 24.
અતિવલય \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1 ના (x₀, y₀) બિંદુ આગળના સ્પર્શક તથા અભિલંબનાં સમીકરણો મેળવો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 25.
વક્ર y = \(\sqrt{3 x-2}\) ના રેખા 4x – 2y + 5 = 0 ને સમાંતર સ્પર્શકોનાં સમીકરણો શોધો.
ઉત્તરઃ

∴ 24y – 18 = 48x
∴ 48x – 24y = 23
∴ માગેલ સ્પર્શકનું સમીકરણ 48x – 24y = 23 છે.

પ્રશ્નો 26 તથા 27માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 26.
વક્ર y = 2x² + 3sin x ને x = 0 આગળ દોરેલ અભિલંબનો ઢાળ ………… છે.
(A) 3
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) -3
(D) –\(\frac{1}{3}\)
ઉત્તરઃ
વક્રનું સમીકરણ : y = 2x² + 3sin x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 27.
વક્ર y2 = 4xના …….. બિંદુ આગળનો સ્પર્શક y = x + 1 છે.
(A) (1, 2)
(B) (2, 1)
(C) (1, -2)
(D) (−1, 2)
ઉત્તરઃ
વક્રનું સમીકરણ y² = 4x
2y\(\frac{d y}{d x}\) = 4
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{2}{y}\)
∴ (x, y) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ \(\frac{d y}{d x}=\frac{2}{y}\)
પરંતુ રેખા y = x + 1 એ વક્રનો સ્પર્શક છે. જેનો ઢાળ 1 છે.
\(\frac{2}{y}\) = 1 ⇒ y = 2
હવે y² = 4x માં y = 2 લેતાં,
4 = 4x ∴ x = 1
∴ સ્પર્શ બિંદુના યામ = (1, 2)
∴ વિકલ્પ (A) આવે.