GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Ex 6.2

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Ex 6.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Ex 6.2

પ્રશ્ન 1.
સાબિત કરો કે f(x) = 3x + 17 એ R પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
ઉત્તરઃ
f(x) = 3x + 17
∴ f'(x) = 3 > 0
Rની કોઈપણ કિંમત માટે f'(x) > 0 થાય છે.
∴ વિધેય f(x) એ Rમાં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

પ્રશ્ન 2.
સાબિત કરો કે f(x) = e^2x, R પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
ઉત્તરઃ
f(x) = e^2x
f'(x) = 2e^2x
∀ x ∈ R માટે e^2x > 0 તથા 2 > 0
∴ f'(x) = 2e^2x > 0
∴ વિધેય f(x) એ Rમાં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

પ્રશ્ન 3.
સાબિત કરો કે f(x) = sin x,
(a) (0, \(\frac{\pi}{2}\)) માં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
(b) (\(\frac{\pi}{2}\), π) માં ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
(c) (0, π) માં વધતું કે ઘટતું વિધેય નથી.
ઉત્તરઃ
f(x) = sin x
∴ f'(x) = cos x

(a) (0, \(\frac{\pi}{2}\)) અંતરાલ એ પ્રથમ ચરણ દર્શાવે છે.
પ્રથમ ચરણમાં cos x > 0
∴ f'(x) > 0
(0, \(\frac{\pi}{2}\)) અંતરાલમાં વિધેય f(x) એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(b) (\(\frac{\pi}{2}\), π) અંતરાલ એ દ્વિતીય ચરણ દર્શાવે છે.
દ્વિતીય ચરણમાં cos x < 0
∴ f'(x) < 0 (\(\frac{\pi}{2}\), π) અંતરાલમાં વિધેય f(x) એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે. (c) (0, π) એ પ્રથમ તથા દ્વિતીય ચરણ દર્શાવે છે. ∀ x ∈ (0, π) માટે cos x ધન કે ઋણ છે. તે નક્કી કરી શકાતું નથી. x ની અમુક કિંમત માટે cos x > 0 છે તથા અમુક કિંમત માટે cos x < 0 છે.
∴ f(x) એ અંતરાલ (0, π)માં વધતું કે ઘટતું વિધેય નથી.

પ્રશ્ન 4.
વિધેય f(x) = 2x² – 3x કયા અંતરાલમાં
(a) ચુસ્ત રીતે વધે
(b) ચુસ્ત રીતે ઘટે તે શોધો.
ઉત્તરઃ
f(x) = 2x² – 3x
∴ f'(x) = 4x – 3
હવે f'(x) = 0 લેતાં x = \(\frac{3}{4}\) મળે.
x = \(\frac{3}{4}\) એ સંખ્યારેખાને બે ભાગમાં વહેંચે છે.

પ્રશ્ન 5.
વિધેય f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 7 કયયા અંતરાલમાં
(a) ચુસ્ત રીતે વધે
(b) ચુસ્ત રીતે ઘટે તે નક્કી કરો.
ઉત્તરઃ
f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 7
∴ f'(x) = 6x² – 6x
= 6(x² – x – 6)
= 6(x – 3)(x + 2)
f'(x) = 0 લેતાં x = –2 તથા 3 મળે છે.
બિંદુઓ x = -2 તથા x = 3 એ સંખ્યારેખાને ત્રણ ભાગમાં વિભાજીત કરે છે.

અંતરાલ	f'(x)ની નિશાની f'(x) = 6(x – 3)(x + 2)	વિધેય fનો સ્વભાવ
(-∞,-2)	f'(x) > 0	ચુસ્ત વધતું
(-2, 3)	f'(x) < 0	ચુસ્ત ઘટતું
(3, ∞)	f'(x) > 0	ચુસ્ત વધતું

(a) અંતરાલ (– ∞, −2) અને (3, ∞)માં વિધેય f(x) એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
(b) અંતરાલ (–2, 3)માં વિધેય f(x) એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.

પ્રશ્ન 6.
નીચેનાં વિધેયો કયા અંતરાલમાં ચુસ્ત રીતે વધે છે અથવા ચુસ્ત રીતે ઘટે છે તે નક્કી કરો :
(a) x² + 2x – 5
(b) 10 – 6x – 2x²
(c) −2x³ – 9x² – 12x + 1
(d) 6 – 9x – x²
(e) (x + 1)³ (x – 3)³
ઉત્તરઃ
(a) f(x) = x² + 2x
f'(x) = 2x + 2
f'(x) = 0 = x = −1
x = −1 એ સંખ્યારેખાને બે ભાગમાં વહેંચે છે.

(−1, ∞) અંતરાલમાં f'(x) > 0 થાય છે.
∴ (−1, ∞) અંતરાલમાં f(x) એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
(−, −1) અંતરાલમાં f'(x) < 0 થાય છે.
∴ (– ∞, −1) અંતરાલમાં f(x) એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.

(b) f(x) = 10 – 6x – 2x²
∴ f'(x) = -6 – 4x
f'(x) = 0 લેતાં, x = –\(\frac{3}{2}\) મળે છે.
x = –\(\frac{3}{2}\) એ સંખ્યારેખાને બે ભાગમાં વહેંચે છે.

(c) f(x) = -2x³ – 9x² – 12x + 1
∴ f'(x) = −6x² – 18x – 12
= −6(x² + 3x + 2)
= −6(x + 2)(x + 1)
f'(x) = 0 ⇒ x = −1, x = -2
∴ x = −1 તથા x = −2 એ સંખ્યારેખાને ત્રણ ભાગમાં વહેંચે છે.

અંતરાલ	f'(x) = -6(x + 2)(x + 1) ની નિશાની	વિધેય fનો સ્વભાવ
(-∞, -2)	f'(x) < 0	ચુસ્ત ઘટતું
(-2, -1)	f'(x) > 0	ચુસ્ત વધતું
(-1, ∞)	f'(x) < 0	ચુસ્ત ઘટતું

(– ∞, −2) તથા (−1, ∞) અંતરાલમાં f'(x) < 0 છે. ∴ (– ∞, −2) તથા (−1, ∞) અંતરાલમાં વિધેય f(x) એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે. (–2, −1) અંતરાલમાં f ‘(x) > 0 છે.
∴ (–2, −1) અંતરાલમાં વિધેય f(x) એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(d) f(x) = 6 – 9x – x²
∴ f'(x) = -9 – 2x
f'(x) = 0 ⇒ x = \(\frac{-9}{2}\)
x = \(\frac{-9}{2}\) એ સંખ્યારેખાને બે ભાગમાં વહેંચે છે.

(e) f(x) = (x + 1)³ (x – 3)³
∴ f'(x) = 3(x + 1)²(x – 3)³ + 3(x + 1)3(x – 3)²
= 3(x + 1)²(x – 3)² [x – 3 + x + 1]
= 3(x + 1)²(x – 3)² [2x – 2]
= 6(x + 1)²(x – 3)² (x – 1)
= 6(x + 1)² (x – 3)² (x – 1)

હવે, f'(x) 0 ⇒ x = −1, 3, 1
∴ બિંદુઓ x = −1, x = 1 તથા x = 3 એ સંખ્યારેખાને 4 ભાગમાં વહેંચે છે.

(i) જો, x ∈ (1, 3) ∪ (3, ∞) તો
f'(x) = 6(x + 1)² (x – 3)² (x – 1) > 0
∴ (1, 3) ∪ (3, ∞) માં f ચુસ્ત વધદતું વિધેય છે.

(ii) જો, x ∈ (-∞, −1) ∪ (−1, 1) તો,
f'(x) = 6 (x + 1)² (x – 3)² (x – 1) < 0 ∴ (−∞, −1) ∪ (−1, 1) માં f ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે. પ્રશ્ન 7. સાબિત કરો કે x પરનું વિધેય y = log(1 + x) – \(\frac{2 x}{2+x}\), x > −1 એ તેના પ્રદેશ પર વધતું વિધેય છે.
ઉત્તરઃ
y = log(1 + x) – \(\frac{2 x}{2+x}\), x > -1
log(1 + x) એ ફક્ત x > −1 માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
y = f(x) = log(1 + x) – \(\frac{2 x}{2+x}\)
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

વિકલ્પ : I જો −1 < x < 0 હોય તો f'(x) > 0 થાય. કારણ કે x + 1 > 0 તથા x² અને (2 + x)² તો ની કોઈપણ કિંમત માટે ધન જ છે.
∴ (−1, 0) અંતરાલમાં f(x) એ વધતું વિધેય છે.

વિકલ્પ : II જો x > 0 હોય તો f'(x) > 0 થાય.
∴ (0, ∞) અંતરાલમાં f(x) એ વધતું વિધેય છે.
આમ, આપેલ વિધેય f(x) એ તેનાં પ્રદેશમાં વધતું વિધેય છે.

પ્રશ્ન 8.
y = [x(x – 2)]² એ ઝ્ની જે કિંમતો માટે વધતું વિધેય હોય તે કિંમતો શોધો.
ઉત્તરઃ
y = [x(x – 2)]²
= [x² – 2x]²
= x⁴ – 4x³ + 4x²
[dy – d [x⁴ – 4x³ + 4x²]
= 4x³ – 12x² + 8x
= 4x(x² – 3x + 2)
= 4x(x – 2)(x − 1)

આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે,
0 < x < 1 હોય ત્યારે 4x(x − 1)(x − 2) > 0 &.
અર્થાત્ \(\frac{d y}{d x}\) > 0

∴ (0, 1) અંતરાલમાં આપેલ વિધેય એ વધતું વિધેય છે.
વળી, x > 2 માટે પણ \(\frac{d y}{d x}\) > 0 છે.

∴ (2, ∞) અંતરાલમાં આપેલ વિધેય એ વધતું વિધેય છે.
આમ, 0 < x < 1 અને x > 2 માટે આપેલ વિધેય એ વધતું વિધેય છે.

પ્રશ્ન 9.
સાબિત કરો કે y = \(\frac{4 \sin \theta}{(2+\cos \theta)}\) – θ એ θ ∈ [0, \(\frac{\pi}{2}\)] વધતું વિધેય છે.
ઉત્તરઃ

હવે f'(θ) = 0 હોય તો cos θ(4 – cos θ) = 0 થાય.
∴ cos θ = 0 અથવા 4 – cos θ = 0
∴ θ = \(\frac{\pi}{2}\) (∵ cose = 4 શક્ય નથી.)
∴ 0 < θ < \(\frac{\pi}{2}\) હોય ત્યારે f'(θ) > 0 થાય છે.
પ્રથમ ચરણમાં cos વિધેય ધન હોય છે. વળી, 0 < cos θ < 1
∴ 0 < θ < \(\frac{\pi}{2}\) માટે આપેલ વિધેય એ વધતું વિધેય છે. ∴ (0, \(\frac{\pi}{2}\)) અંતરાલમાં વિધેય f(0) એ વધતું વિધેય છે. પ્રશ્ન 10. સાબિત કરો કે લઘુગણકીય વિધેય અંતરાલ (0, ∞) પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે. ઉત્તરઃ વિધેય f(x) = log x, x > 0
∴ f'(x) = \(\frac{1}{x}\) ⇒ \(\frac{1}{x}\) > 0
⇒ f'(x) > 0
∴ (0, ∞) અંતરાલમાં લઘુગુણકીય વિધેય એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

પ્રશ્ન 11.
સાબિત કરો કે f(x) = x² − x + 1, અંતરાલ (−1, 1) પર ચુસ્ત વધતું કે ઘટતું વિધેય નથી.
ઉત્તરઃ
f(x) = x² – x + 1
∴ f'(x) = 2x – 1
f'(x) = 0 હોય તો 2x 1 = 0 ⇒ x = \(\frac{1}{2}\)

(1) જો −1 < x < \(\frac{1}{2}\) હોય તો f'(x) < 0 થાય.
∴ (−1, \(\frac{1}{2}\)) અંતરાલમાં વિધેય (x) એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.

(2) જો \(\frac{1}{2}\) < x < 1 હોય તો f'(x) > 0 થાય.
(\(\frac{1}{2}\), 1) અંતરાલમાં વિધેય f(x) એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
∴ (−1, 1) અંતરાલમાં વિધેય f(x) એ ચુસ્ત વધતું કે ચુસ્ત ઘટતું વિધેય નથી.

પ્રશ્નો 12 તથા 13માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 12.
નીચે આપેલાં વિધેયોમાંથી કયું વિધેય અંતરાલ (0, \(\frac{\pi}{2}\)) પર ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે ?
(A) cos x
(B) cos 2x
(C) cos 3x
(D) tan x
ઉત્તરઃ
(A) f(x) = cos x ∴ f'(x) = – sin x
0 < x < \(\frac{\pi}{2}\) હોય ત્યારે sin x > 0 ∴ -sin x < 0
∴ f'(x) < 0
(0, \(\frac{\pi}{2}\)) અંતરાલમાં cos x એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.

(B) f(x) = cos 2x ∴ f'(x) = –2 sin 2x
0 < x < \(\frac{\pi}{2}\) હોય ત્યારે 0 < 2x < π થાય.
0 < 2x < π માટે sin 2x > 0 ∴ -2 sin 2x < 0
∴ f'(x) < 0
∴ (0, \(\frac{\pi}{2}\)) અંતરાલમાં cos 2x એ ચુસ્ત ઘટતું વિષય છે.

(C) f(x) = cos 3x ∴ f'(x) = –3 sin 3x
0 < x < \(\frac{\pi}{2}\) હોય ત્યારે 0 < 3x < \(\frac{3\pi}{2}\)
પરંતુ 0 < 3x < π માટે f'(x) < 0 થાય. તથા
π < 3x < \(\frac{3\pi}{2}\) માટે f'(x) > 0 થાય.
આમ, 0 < x < \(\frac{3\pi}{2}\) માટે વિધેય f(x) એ ચુસ્ત વધતું કે ચુસ્ત ઘટતું વિધેય નથી. (D) f(x) = tan x ∴ f'(x) = sec2 x ∴ (0, \(\frac{\pi}{2}\)) અંતરાલમાં f'(x) > 0
∴ (0, \(\frac{\pi}{2}\)) અંતરાલમાં f(x) એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
(A) અને (B)માં આપેલ વિધેયો એ ઘટતા વિધેયો છે.

પ્રશ્ન 13.
વિધેય f(x) = x¹⁰⁰ + sin x – 1 એ નીચે આપેલાં અંતરાલો પૈકી કયા અંતરાલમાં ચુસ્ત રીતે ઘટે છે ?
(A) (0, 1)
(B) (\(\frac{\pi}{2}\), π)
(C) (0, \(\frac{\pi}{2}\))
(D) આપેલ પૈકી એક પણ નહિં
ઉત્તરઃ
f(x) = x¹⁰⁰ + sin x – 1
∴ f'(x) = 100 x⁹⁹ + cos x

(A) x ∈ (0, 1) ∴ x⁹⁹ > 0
∴ 100 x⁹⁹ > 0
× એ 0 અને 1 રેડિયન વચ્ચે આવેલો છે.
∴ x એ 0° અને 57 વચ્ચે આવેલ છે.
∴ x એ પ્રથમ ચરણમાં છે.
∴ cos x > 0
∴ x ∈ (0, 1)
∴100x⁹⁹ + cos x > 0
∴ f'(x) > 0
∴ f(x) એ (0, 1)માં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(B)

(C) x ∈ (0, \(\frac{\pi}{2}\)) ∴ 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\)
∴ x⁹⁹ > 0 અને cos x > 0
∴ 100 x⁹⁹ + cos x > 0
∴ f'(x) > 0
∴ (0, \(\frac{\pi}{2}\)) અંતરાલમાં f(x) ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
∴ વિકલ્પ (A), (B) તથા (C)માં આપેલ અંતરાલ માટે વિધેય f(x) ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
∴ વિકલ્પ (D) આવે.

પ્રશ્ન 14.
‘a’ની નાનામાં નાની કઈ કિંમત માટે વિધેય f(x) = x² + ax + 1 એ અંતરાલ [1, 2] પર ચુસ્ત રીતે વધે છે ?
ઉત્તરઃ
f(x) = x² + ax + 1
∴ f'(x) = 2x + a
f(x) એ [1, 2] અંતરાલમાં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
ઉત્તરઃ f'(x) > 0 ∴ 2x + a > 0

હવે 1 ≤ x ≤ 2 ∴ 2 < 2x < 4 ∴2 + a ≤ 2x + a ≤ 4 + a 2x + a ≥ 0 ∴ 2 + a ≥ 0 ∴ a ≥ -2 ∴ aની ન્યૂનતમ કિંમત –2 છે.

પ્રશ્ન 15.
જો I કોઈ વિવૃત્ત અંતરાલ હોય અને I ∩ [−1, 1] = Φ હોય, તો સાબિત કરો કે, f(x) = x + \(\frac{1}{x}\) વિધેય છે.
ઉત્તરઃ

∴ f(x) એ ૪x = I માટે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

પ્રશ્ન 16.
સાબિત કરો કે વિધેય f(x) = log sin x એ (0, \(\frac{\pi}{2}\)) પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે તથા (\(\frac{\pi}{2}\), π) પર ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
ઉત્તરઃ
f(x) = log sin x ∴ f'(x) = \(\frac{1}{\sin x}\) × cos x = cot x x ∈ (0, \(\frac{\pi}{2}\))
∴ x એ પ્રથમ ચરણમાં આવેલ છે.
∴ cot x > 0
∴ f'(x) > 0
∴ f(x) એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
x ∈ (\(\frac{\pi}{2}\), π)
∴ x એ દ્વિતીય ચરણમાં આવેલ છે.
∴ cot x < 0
∴ f'(x) < 0
∴ f(x) એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.

પ્રશ્ન 17.
સાબિત કરો કે વિધેય f(x) = log|cos x| એ |0, (૦. \(\frac{\pi}{2}\)) પર ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે તથા (\(\frac{3\pi}{2}\), 2π) પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
ઉત્તરઃ
f(x) = log |cos x| (|cos x| ધન છે.
∴ log|cos x| વ્યાખ્યાયિત છે.)
∴ f'(x) = \(\frac{1}{\cos x}\) (−sin x) = – tan x
∴ x પ્રથમ ચરણમાં આવેલ છે.
∴ tan x>0
∴ tan x < 0
∴ f'(x) < 0
∴ f(x) એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.

x ∈ (\(\frac{3\pi}{2}\), 2π)
∴ x એ ચતુર્થ ચરણમાં છે.
∴ tan x < 0 ∴ -tan x > 0
∴ f'(x) > 0
∴ f(x) એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

પ્રશ્ન 18.
સાબિત કરો કે f(x) = x³ – 3x² + 3x – 100 એ R પર વધતું વિધેય છે.
ઉત્તરઃ
f(x) = x³ – 3x² + 3x – 100
∴ f'(x) = 3x² – 6x + 3
= 3(x² – 2x + 1)
– 3(x – 1)²
∀ x ∈ R માટે (x – 1)² > 0
∴ 3(x – 1)² ≥ 0
∴ f'(x) ≥ 0
∴ f(x) એ માં વધતું વિધેય છે.

પ્રશ્ન 19માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 19.
નીચે આપેલાં અંતરાલો પૈકી કયા અંતરાલમાં y = x² e^-x વધતું વિધેય છે ?
(A) (- ∞, ∞)
(B) (-2, 0)
(C) (2, ∞)
(D) (0, 2)
ઉત્તરઃ
y = x² e^-x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d y}{d x}\) = 2xe^-x – x² e^-x
= xe^-x(2 – x)

વધતાં કે ઘટતાં વિધેયો માટે, \(\frac{d y}{d x}\) = 0
∴ xe^-x (2 – x) = 0
∴ x = 0, e^-x = 0, 2 − x = 0
∴ x = 0 તથા x = 2 (e^-x = 0 શક્ય નથી.)

સંખ્યા રેખા ઉપર x = 0 તથા x = 2 લેતાં આપણને ત્રણ અંતરાલ મળશે. (– ∞, 0), (0, 2) તથા (2, ∞).
x ∈ (- ∞, 0) ∴ xe^-x (2 – x) < 0
∴ \(\frac{d y}{d x}\) < 0
∴ y એ ઘટતું વિધેય છે.
0 < x < 2 ∴ xe^-x (2 – x) > 0
∴ \(\frac{d y}{d x}\) > 0
∴ y એ વધતું વિધેય છે.
2 < x < ∞ ∴ xe^-x (2 – x) < 0
∴ \(\frac{d y}{d x}\) < 0
∴ y એ ઘટતું વિધેય છે.
∴ આપેલ વિકલ્પો પૈકી વિકલ્પ (D) આવે.
∴ x ∈ (0, 2) માટે વિધેય f(x) એ વધતું વિધેય છે.