GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.2

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.2

પ્રશ્ન 1 થી 8 માં આપેલ વિધેયોના x ને સાપેક્ષ વિકલિત શોધો :

પ્રશ્ન 1.
sin(x² + 5)
ઉત્તરઃ
y = sin(x² + 5)
ધારો કે u = x² + 5
∴ y = sin u તથા u = x² + 5
∴ \(\frac{d y}{d u}=\frac{d}{d u}\)(sin u)
\(\frac{d u}{d x}=\frac{d}{d x}\)(x² + 5)

= cos u
= \(\frac{d}{d x}\)(x²) + \(\frac{d}{d x}\)(5)
= 2x + 0
= 2x

હવે Chain-rule પ્રમાણે,
= \(\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}\)
= cos u. 2x
= cos(x² + 5) (∵ u = x² + 5)
= 2x. cos(x² + 5)

પ્રશ્ન 2.
cos(sin x)
ઉત્તરઃ
y = cos(sin x)
ધારો કે u = sin x
∴ y = cos u તથા u = sin x
હવે \(\frac{d y}{d u}=\frac{d}{d u}\)(cos u)
= sin u

\(\frac{d u}{d x}=\frac{d}{d x}\)(sin x)

હવે Chain-rule પ્રમાણે,
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}\)
= -sin u cos x
= cos x sin(ax + b)
= -sin(sin x) · cos x (∵ u = sin x)
= -cos x .sin(sin x)

પ્રશ્ન 3.
sin(ax + b)
ઉત્તરઃ
y = sin(ax + b)
ધારો કે y = sin u તથા u = ax + b
હવે \(\frac{d y}{d u}=\frac{d}{d u}\)(sin u)

∴ \(\frac{d u}{d u}=\frac{d}{d x}\)(ax + b)
= \(\frac{d}{d x}\)(ax) + \(\frac{d}{d x}\)(b)
= a\(\frac{d}{d x}\)(x) + 0
= a

હવે Chain-rule પ્રમાણે,
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}\)
= cos u . a
= a cos (ax + b) (∵ u = ax + b)

પ્રશ્ન 4.
sec(tan(√x))
ઉત્તરઃ
y = sec(tan √x)
ધારો કે u = √x તથા v = tan√x = tan u
આમાં y = sec v, v = tan u તથા u = √x થશે.
∴ \(\frac{d y}{d v}\) = secv. tanv, \(\frac{d v}{d u}\) = sec²u, \(\frac{d u}{d x}=\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1}\) = \(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\)

હવે Chain-rule પ્રમાણે,
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d v} \cdot \frac{d v}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}\)
= sec v × tan v × sec²u. \(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\)
= sec(tan√x) tan(tan √x)· sec²(√x)\(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\)
(∵ v તથા ૫ ની કિંમત મૂકતાં)

પ્રશ્ન 5.
\(\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}\)
ઉત્તરઃ
y = \(\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}\)
ધારો કે u = sin(ax + b) તથા v = cos(cx + d)
∴ \(\frac{d u}{d x}=\frac{d}{d x}\)sin(ax + b)
= cos(ax + b). \(\frac{d}{d x}\)(ax + b)
= cos(ax + b)[\(\frac{d}{d x}\)(ax) + \(\frac{d}{d x}\)(b)]
= cos(ax + b) [a. 1 + 0]
= a x cos(ax + b) ……….(i)

v = cos(cx + d)
∴ \(\frac{d v}{d x}=\frac{d}{d x}\) cos(cx + d)
= -sin(cx + d). \(\frac{d}{d x}\)(cx + d)
= -sin(cx + d) [\(\frac{d}{d x}\)(cx) + \(\frac{d}{d x}\)(d)]
=-sin(cx + d) [c(1) + 0]
= -c sin(cx + d) …………..(ii)

હવે y = \(\frac{u}{v}\)
ભાગાકારનાં નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\frac{u}{v}\right)\)
= \(\frac{v \cdot \frac{d u}{d x}-u \cdot \frac{d v}{d x}}{v^2}\)

પરિણામ (i), (ii) નો ઉપયોગ કરતાં તથા u અને ની કિંમત મૂકતાં,

પ્રશ્ન 6.
cos x³. sin²(x⁵)
ઉત્તરઃ
y = cos x³ sin²(x⁵)

ગુણાકારનાં નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
\(\frac{d y}{d x}\) = cos x³· \(\frac{d}{d x}\) (sin² (x⁵)) + sin² (x⁵). \(\frac{d}{d x}\)(cos(x³))
= x⁵cosx³ – 2sin(x⁵) \(\frac{d}{d x}\)(sin(x⁵)) + sin² (x⁵) ·\(\frac{d}{d x}\)(sinx³) (x³)
= 2cos x³ sin(x⁵) · cos(x⁵)· \(\frac{d}{d x}\)(x⁵) – sin²(x⁵). sin x³. 3x²
= 2cosx³· sin(x⁵) · cos(x⁵) · 5x⁴ – 3x² sin²(x⁵) sin(x³). 3x²
= 10x⁴ sin(x⁵) cos(x⁵) · cos(x³) – 3x² sin²(x⁵) sin(x³)

પ્રશ્ન 7.
2\(\sqrt{\cot \left(x^2\right)}\)
ઉત્તરઃ
y = 2\(\sqrt{\cot \left(x^2\right)}\)

પ્રશ્ન 8.
cos(√x)
ઉત્તરઃ
y = cos(√x)

પ્રશ્ન 9.
સાબિત કરો કે f(x) = |x – 1|, x ∈ R દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય x = 1 આગળ વિકલનીય નથી.
ઉત્તરઃ
f(x) = |x −1|
∴ f(1) = |1 1| = 0
આપણે જાણીએ છીએ કે,

∴ Lf'(1) ≠ Rf'(1)
∴ f એ x = 1 આગળ વિલનીય નથી.

પ્રશ્ન 10.
સાબિત કરો કે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય,
f(x) = [x], < x < 3
x = 1 અને x = 2 આગળ વિકલનીય નથી.
ઉત્તરઃ
f(x) = [x]

∴ Rf'(2) ≠ Lf'(x)
∴ વિધેય f(x) એ x = 2 આગળ વિકલનીય નથી.