GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.2

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.2

પ્રશ્ન 1 થી 8 માં આપેલ વિધેયોના x ને સાપેક્ષ વિકલિત શોધો :

પ્રશ્ન 1.
sin(x² + 5)
ઉત્તરઃ
y = sin(x² + 5)
ધારો કે u = x² + 5
∴ y = sin u તથા u = x² + 5
∴ $\frac{d y}{d u}=\frac{d}{d u}$(sin u)
$\frac{d u}{d x}=\frac{d}{d x}$(x² + 5)

= cos u
= $\frac{d}{d x}$(x²) + $\frac{d}{d x}$(5)
= 2x + 0
= 2x

હવે Chain-rule પ્રમાણે,
= $\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$
= cos u. 2x
= cos(x² + 5) (∵ u = x² + 5)
= 2x. cos(x² + 5)

પ્રશ્ન 2.
cos(sin x)
ઉત્તરઃ
y = cos(sin x)
ધારો કે u = sin x
∴ y = cos u તથા u = sin x
હવે $\frac{d y}{d u}=\frac{d}{d u}$(cos u)
= sin u

$\frac{d u}{d x}=\frac{d}{d x}$(sin x)

હવે Chain-rule પ્રમાણે,
$\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$
= -sin u cos x
= cos x sin(ax + b)
= -sin(sin x) · cos x (∵ u = sin x)
= -cos x .sin(sin x)

પ્રશ્ન 3.
sin(ax + b)
ઉત્તરઃ
y = sin(ax + b)
ધારો કે y = sin u તથા u = ax + b
હવે $\frac{d y}{d u}=\frac{d}{d u}$(sin u)

∴ $\frac{d u}{d u}=\frac{d}{d x}$(ax + b)
= $\frac{d}{d x}$(ax) + $\frac{d}{d x}$(b)
= a$\frac{d}{d x}$(x) + 0
= a

હવે Chain-rule પ્રમાણે,
$\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$
= cos u . a
= a cos (ax + b) (∵ u = ax + b)

પ્રશ્ન 4.
sec(tan(√x))
ઉત્તરઃ
y = sec(tan √x)
ધારો કે u = √x તથા v = tan√x = tan u
આમાં y = sec v, v = tan u તથા u = √x થશે.
∴ $\frac{d y}{d v}$ = secv. tanv, $\frac{d v}{d u}$ = sec²u, $\frac{d u}{d x}=\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1}$ = $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

હવે Chain-rule પ્રમાણે,
$\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d v} \cdot \frac{d v}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$
= sec v × tan v × sec²u. $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
= sec(tan√x) tan(tan √x)· sec²(√x)$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
(∵ v તથા ૫ ની કિંમત મૂકતાં)

પ્રશ્ન 5.
$\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}$
ઉત્તરઃ
y = $\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}$
ધારો કે u = sin(ax + b) તથા v = cos(cx + d)
∴ $\frac{d u}{d x}=\frac{d}{d x}$sin(ax + b)
= cos(ax + b). $\frac{d}{d x}$(ax + b)
= cos(ax + b)[$\frac{d}{d x}$(ax) + $\frac{d}{d x}$(b)]
= cos(ax + b) [a. 1 + 0]
= a x cos(ax + b) ……….(i)

v = cos(cx + d)
∴ $\frac{d v}{d x}=\frac{d}{d x}$ cos(cx + d)
= -sin(cx + d). $\frac{d}{d x}$(cx + d)
= -sin(cx + d) [$\frac{d}{d x}$(cx) + $\frac{d}{d x}$(d)]
=-sin(cx + d) [c(1) + 0]
= -c sin(cx + d) …………..(ii)

હવે y = $\frac{u}{v}$
ભાગાકારનાં નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
$\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\frac{u}{v}\right)$
= $\frac{v \cdot \frac{d u}{d x}-u \cdot \frac{d v}{d x}}{v^2}$

પરિણામ (i), (ii) નો ઉપયોગ કરતાં તથા u અને ની કિંમત મૂકતાં,

પ્રશ્ન 6.
cos x³. sin²(x⁵)
ઉત્તરઃ
y = cos x³ sin²(x⁵)

ગુણાકારનાં નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
$\frac{d y}{d x}$ = cos x³· $\frac{d}{d x}$ (sin² (x⁵)) + sin² (x⁵). $\frac{d}{d x}$(cos(x³))
= x⁵cosx³ – 2sin(x⁵) $\frac{d}{d x}$(sin(x⁵)) + sin² (x⁵) ·$\frac{d}{d x}$(sinx³) (x³)
= 2cos x³ sin(x⁵) · cos(x⁵)· $\frac{d}{d x}$(x⁵) – sin²(x⁵). sin x³. 3x²
= 2cosx³· sin(x⁵) · cos(x⁵) · 5x⁴ – 3x² sin²(x⁵) sin(x³). 3x²
= 10x⁴ sin(x⁵) cos(x⁵) · cos(x³) – 3x² sin²(x⁵) sin(x³)

પ્રશ્ન 7.
2$\sqrt{\cot \left(x^2\right)}$
ઉત્તરઃ
y = 2$\sqrt{\cot \left(x^2\right)}$

પ્રશ્ન 8.
cos(√x)
ઉત્તરઃ
y = cos(√x)

પ્રશ્ન 9.
સાબિત કરો કે f(x) = |x – 1|, x ∈ R દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય x = 1 આગળ વિકલનીય નથી.
ઉત્તરઃ
f(x) = |x −1|
∴ f(1) = |1 1| = 0
આપણે જાણીએ છીએ કે,

∴ Lf'(1) ≠ Rf'(1)
∴ f એ x = 1 આગળ વિલનીય નથી.

પ્રશ્ન 10.
સાબિત કરો કે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય,
f(x) = [x], < x < 3
x = 1 અને x = 2 આગળ વિકલનીય નથી.
ઉત્તરઃ
f(x) = [x]

∴ Rf'(2) ≠ Lf'(x)
∴ વિધેય f(x) એ x = 2 આગળ વિકલનીય નથી.