GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
સાબિત કરો કે નિશ્ચાયક \(\left|\begin{array}{ccc}
x & \sin \theta & \cos \theta \\
-\sin \theta & -x & 1 \\
\cos \theta & 1 & x
\end{array}\right|\) નું મૂલ્ય θ થી મુક્ત છે.
ઉત્તરઃ
A = \(\left|\begin{array}{ccc}
x & \sin \theta & \cos \theta \\
-\sin \theta & -x & 1 \\
\cos \theta & 1 & x
\end{array}\right|\)
= x(−x² – 1) – sin θ(−x sin θ – cos θ) + cos θ(-sin θ + x cos θ)
= -x³ – x + x sin²θ sine cosθ – cosθ sinθ + x cos²θ
= -x³ – x + x (sin²θ + cos²θ)
= -x³ – x + x (1)
= -x³ જે θ થી સ્વતંત્ર છે.

પ્રશ્ન 2.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કર્યા સિવાય સાબિત કરો :
\(\left|\begin{array}{ccc}
a & a^2 & b c \\
b & b^2 & c a \\
c & c^2 & a b
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & a^2 & a^3 \\
1 & b^2 & b^3 \\
1 & c^2 & c^3
\end{array}\right|\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 3.
\(\left|\begin{array}{ccc}
\cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \\
-\sin \beta & \cos \beta & 0 \\
\sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha
\end{array}\right|\) નું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
\(\left|\begin{array}{ccc}
\cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \\
-\sin \beta & \cos \beta & 0 \\
\sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha
\end{array}\right|\)
= cos α cos β(cos α cos β – 0) – cos α sin β (-cos α sin β) – sin α(-sin α sin²β – sin α ²)
= cos²αcos²β + cos²α sin²β + sin²α sin²β + sin²α cos²β
= cos²α(cos²β + sin²β) + sin²α(sin²β + cos²β)
= cos²a (1) + sin²a (1)
= cos²a + sin²a
= 1

પ્રશ્ન 4.
જો a, b અને c વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય, અને
Δ = \(\left|\begin{array}{lll}
b+c & c+a & a+b \\
c+a & a+b & b+c \\
a+b & b+c & c+a
\end{array}\right|\) = 0 હોય,
તો સાબિત કરો કે a + b + c = 0 અથવા a = b = c.
ઉત્તરઃ

= 2(a + b + c) [(a − c)(c − d) − (b − a)²]
= 2(a + b + c) (ac – ab – c² + bc – a² – b² + 2ab)
= 2(a + b + c) (−a² – b² – c² + ab + bc + ac)
= −(a + b + c) (2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2bc – 2ac)
= −(a + b + c)[(a + b)² + (b − c)² + (c − a)²]
હવે Δ = 0
∴ −(a + b + c) [(a − b)² + (b − c)² + (c − a)²] = 0
∴ a + b + c = 0 અથવા (a − b)² + (b − c)² + (c − a)² = 0
∴ a + b + c = 0 અથવા a = b, b = c, c = a
∴ a + b + c = 0 અથવા a = b = c

પ્રશ્ન 5.
શૂન્યેતર a માટે સમીકરણ
\(\left|\begin{array}{ccc}
x+a & x & x \\
x & x+a & x \\
x & x & x+a
\end{array}\right|\) = 0 ઉકેલો.
ઉત્તરઃ

∴ (3x + a) [a(x + a – x)] = 0
∴ (3x + a) (a²) = 0
∴ 3x + a = 0 a² = 0
x = \(\frac{-a}{3}\) ∴ a = 0
જે શક્ય નથી. [∵ a ≠ 0]

પ્રશ્ન 6.
સાબિત કરો है \(\left|\begin{array}{ccc}
a^2 & b c & a c+c^2 \\
a^2+a b & b^2 & a c \\
a b & b^2+b c & c^2
\end{array}\right|\) = 4a²b²c²
ઉત્તરઃ

= -2b(abc) {a(b − b − c) – c(a + b − b)}
= -2b(abc) (-ac – ac)
=-2b(abc) (-2ac)
= 4a² b² c²
= ૪.બા.

પ્રશ્ન 7.
જો A^-1 = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & -1 & 1 \\
-15 & 6 & -5 \\
5 & -2 & 2
\end{array}\right]\) અને B = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & -1 & 1 \\
-15 & 6 & -5 \\
5 & -2 & 2
\end{array}\right]\) તો (AB)^-1 શોધો.
ઉત્તરઃ
B = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & -1 & 1 \\
-15 & 6 & -5 \\
5 & -2 & 2
\end{array}\right]\)
|B| = 1(3 – 0) – 2(-1 – 0) – 2(2 – 0)
= 3 + 2 – 4
= 1 ≠ 0
B^-1 નું અસ્તિત્વ છે.

B₁₁ = (−1)¹⁺¹ 3 = 3
B₁₂ = (−1)¹⁺²(−1) = 1
B₁₃ = (-1)¹⁺³ (2)
B₃₁ = (−1)³⁺¹
B₃₂ = (-1)³⁺² (−2)
B₃₃ = (−1)³⁺³ 5 = 5

B₂₁ = (-1)²⁺¹ (-2) = 2
B₂₂ = (-1)²⁺² (1) = 1
B₂₃ = (-1)²⁺³(-2) = 2

પ્રશ્ન 8.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1 \\
-2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 5
\end{array}\right]\) માટે ચકાસો કે
(i) [adj A]^-1 = adj (A^-1)
(ii) (A^-1)^-1 = A.
ઉત્તરઃ
(i) A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1 \\
-2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 5
\end{array}\right]\)
|A| = 1(151) + 2(-10 − 1) + 1(-2 – 3)
= 14 – 22 – 5
= -13 ≠ 0
∴ A^-1 નું અસ્તિત્વ છે.
A₁₁ = (−1)¹⁺¹ 14 = 14
A₁₂ = (−1)¹⁺²(-11) = 11|
A₁₃ = (-1)¹⁺³(-5) = -5

A₂₁ = (−1)²⁺¹(−11) = 11
A₂₂ = (−1)²⁺² (4) = 4
A₂₃ = (-1)²⁺³(3) = -3

A₃₁ = (-1)³⁺¹(-5) = -5
A₃₂ = (-1)³⁺²(3) = -3
A₃₃ = (-1)³⁺³(-1) = -1

|B| = 14(-4 – 9) – 11(−11 – 15) – 5(-33 +20)
=-182 + 286 + 65
= 169 ≠ 0
B₁₁ = (−1)¹⁺¹(−13) = −13
B₁₂ = (-1)¹⁺²(−26) = 26
B₁₃ = (−1)¹⁺²(−13) = −13

B₂₁ = (−1)²⁺¹(−26) = 26
B₂₂ = (-1)²⁺²(−39) = −39
B₂₃ = (−1)²⁺³(13) = −13

B₃₁ = (−1)³⁺¹(−13) =-13
B₃₂ = (−1)³⁺²(13) = −13
B₃₃ = (-1)³⁺³(-65) = -65

પરિણામ (1) અને (2) પરથી,
(adj A)^-1 = adj (A^-1)

(ii) ધારો ક ક B=A^-1 = –\(\frac{1}{13}\left[\begin{array}{ccc}
14 & 11 & -5 \\
11 & 4 & -3 \\
-5 & -3 & -1
\end{array}\right]\)

અમ, (A^-1)^-1 = A

પ્રશ્ન 9.
\(\left|\begin{array}{ccc}
x & y & x+y \\
y & x+y & x \\
x+y & x & y
\end{array}\right|\) નું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ

R₂ → R₂ – R₁, R₃ → R₃ – R₁
= 2(x + y) [x(−x) − (−y)(x − y)]
= 2(x + y)[−x² + xy − y²]
= −2(x + y) (x² − xy + y²)
= −2(x³ + y³)

પ્રશ્ન 10.
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & x & y \\
1 & x+y & y \\
1 & x & x+y
\end{array}\right|\) નું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & x & y \\
1 & x+y & y \\
1 & x & x+y
\end{array}\right|\)
R₂ → R₂ – R₁
R₃ → R₃ – R₁
= \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & x & y \\
1 & x+y & y \\
1 & x & x+y
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & x & y \\
0 & y & 0 \\
0 & 0 & x
\end{array}\right|\)
= 1 (xy – 0)
= xy

પ્રશ્ન 11 થી 15 માં નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી સાબિત કરો કે,

પ્રશ્ન 11.
\(\left|\begin{array}{lll}
\alpha & \alpha^2 & \beta+\gamma \\
\beta & \beta^2 & \gamma+\alpha \\
\gamma & \gamma^2 & \alpha+\beta
\end{array}\right|\) = (β – γ) (γ – α) (α – β) (α + β + γ)
ઉત્તરઃ

(α + β + γ) (α − β) (β − γ) [(β + γ) − (α + β)]
= (α + β + γ) (α – β)(β − γ)(γ – α)
= (β − γ) (γ – α) (α − β) (α + β + γ) = ૪.બા.

પ્રશ્ન 12.
\(\left|\begin{array}{ccc}
x & x^2 & 1+p x^3 \\
y & y^2 & 1+p y^3 \\
z & z^2 & 1+p z^3
\end{array}\right|\) = (1 + pxyz) (x − y)(y − z) (z − x)
ઉત્તરઃ

= (1 + pxyz) (x − y)(y − z) – (x + y)
= (1 + pxyz) (x − y)(y − z)(z − x)

પ્રશ્ન 13.
\(\left|\begin{array}{ccc}
3 a & -a+b & -a+c \\
-b+a & 3 b & -b+c \\
-c+a & -c+b & 3 c
\end{array}\right|\) = 3(a + b + c)(ab + bc + ca)
ઉત્તરઃ

= (a + b + c) [(2b + a) (a + 2c) − (a – b) (a – c)
= (a + b + c)[2ab + 4bc + a² + 2ac – a² + ac + ab – bc]
= (a + b + c) (3ab + 3bc + 3ac)
= 3(a + b + c) (ab + bc + ac)
= ૪.બા.

પ્રશ્ન 14.
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1+p & 1+p+q \\
2 & 3+2 p & 4+3 p+2 q \\
3 & 6+3 p & 10+6 p+3 q
\end{array}\right|\) = 1
ઉત્તરઃ
ડા.બા. = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1+p & 1+p+q \\
2 & 3+2 p & 4+3 p+2 q \\
3 & 6+3 p & 10+6 p+3 q
\end{array}\right|\)
= \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1+p & 1+p+q \\
0 & 1 & 2+p \\
0 & 3 & 7+3 p
\end{array}\right|\)
R₂ → R₂ – 2R₁
R₃ → R₃ – 3R₁
= 1[(7 + 3p) – 3(2 + p)
= 7 + 3p – 6 – 3p
= 1 = જ.બા.

પ્રશ્ન 15.
\(\left|\begin{array}{lll}
\sin \alpha & \cos \alpha & \cos (\alpha+\delta) \\
\sin \beta & \cos \beta & \cos (\beta+\delta) \\
\sin \gamma & \cos \gamma & \cos (\gamma+\delta)
\end{array}\right|\) = 0
ઉત્તરઃ

= 0 [∵ C₂ = C₃]
= જ.બા.

પ્રશ્ન 16.
નીચેની સમીકરણ સંહતિનો ઉકેલ મેળવો :
\(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{10}{z}\) = 4
\(\frac{4}{x}-\frac{6}{y}+\frac{5}{z}\) = 1
\(\frac{6}{x}+\frac{9}{y}-\frac{20}{z}\) = 2
ઉત્તરઃ
આપેલ સમીકરણ સંહતિને શ્રેણિક સ્વરૂપે દર્શાવતાં, AX = B
જ્યાં A = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 10 \\
4 & -6 & 5 \\
6 & 9 & -20
\end{array}\right]\) X = \(\left[\begin{array}{l}
\frac{1}{x} \\
\frac{1}{y} \\
\frac{1}{z}
\end{array}\right]\) તથા B = \(\left[\begin{array}{l}
4 \\
1 \\
2
\end{array}\right]\)
|A|= 2(120 – 45) – 3(-80 – 30) + 10(36 + 36)
= 150 + 330 + 720
= 1200 ≠ 0
∴ A^-1 નું અસ્તિત્વ છે.
A₁₁ = (−1)¹⁺¹ 75 = 75
A₁₂ = (−1)¹⁺²(-110) = 110
A₁₃ = (-1)¹⁺³72 = 72

A₂₁ = (−1)²⁺¹(-150) = 150
A₂₂ = (-1)²⁺²(-100) = -100
A₂₃ = (-1)²⁺³0 = 0

A₃₁ = (−1)³⁺¹ 75 = 75
A₃₂ = (-1)³⁺² (−30) = 30
A₃₃ = (−1)³⁺³ (−24) = −24

∴ x = 2, y = 3, z = 5.

પ્રશ્ન 17 થી 19 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્યોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 17.
જો a, b, c સમાંતર શ્રેણીમાં હોય, તો નિશ્ચાયક
\(\left|\begin{array}{lll}
x+2 & x+3 & x+2 a \\
x+3 & x+4 & x+2 b \\
x+4 & x+5 & x+2 c
\end{array}\right|\) = _____________
(A) 0
(B) 1
(C) x
(D) 2x
ઉત્તરઃ

(-1) [2c – 2a – 4b + 4a]
= (-1) [2a + 2c – 4b]
= (-1) [2(a + c) – 4b] a, b, c સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
∴ a + c = 2b
= (-1) [4b – 4b]
= 0

પ્રશ્ન 18.
જો x, y, z શૂન્યેતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય, તો
A = \(\left[\begin{array}{lll}
\boldsymbol{x} & 0 & 0 \\
0 & y & 0 \\
0 & 0 & z
\end{array}\right]\) નો વ્યસ્ત શ્રેણિક _____________

ઉત્તરઃ
A = \(\left[\begin{array}{lll}
x & 0 & 0 \\
0 & y & 0 \\
0 & 0 & z
\end{array}\right]\)
|A| = xyz
A₁₁ = (−1)¹⁺¹ yz = yz
A₁₂ = (−1)¹⁺² = 0
A₁₃ = (−1)¹⁺³ = 0

A₂₁ = (-1)²⁺¹ 0 = 0
A₂₂ = (-1)²⁺²xz = xz
A₂₃ = (-1)²⁺³0 = 0

A₃₁ = (−1)³⁺¹
A₃₂ = (-1)³⁺² 0 = 0
A₃₃ = (−1)³⁺³ xy = xy

પ્રશ્ન 19.
જો 0 ≤ θ ≤ 2 માટે A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & \sin \theta & 1 \\
-\sin \theta & 1 & \sin \theta \\
-1 & -\sin \theta & 1
\end{array}\right]\) હોય, તો
(A) det(A) = 0
(B) det(A) ∈ (2, ∞)
(C) det(A) ∈ (2, 4)
(D) det(A) ∈ [2, 4]
ઉત્તરઃ
det(A) = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & \sin \theta & 1 \\
-\sin \theta & 1 & \sin \theta \\
-1 & -\sin \theta & 1
\end{array}\right|\)
= 1(1 + sin²θ) – sinθ (-sinθ + sinθ) + 1(sin²θ + 1)
= 2(1 + sin²θ)
હवे −1 < sinθ ≤ 1
∴ 0 ≤ sin²θ ≤ 1
∴ 1 ≤ 1 + sin²θ ≤ 2
∴ 2 ≤ 2(1 + sin²θ) ≤ 4
∴ 2 ≤ det(A) ≤ 4
∴ det(A) ∈ [2, 4]