Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.5 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.5
પદ્મ 1 અને 2 પૈકીના પ્રત્યેક શ્રેણિકના સાવજ એકિ શોધો.
પ્રશ્ન 1.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right]\)
ઉત્તરઃ
A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right]\)
સહઅવયવો માટે :
A11 = (-1)1+1 (4) = 4
A12 = (-1)1+2 (3) = -3
A21 = (-1)2+1 (2) = -2
A22 = (-1)2+2 (1) = 1
Adj A = \(\left[\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{array}\right]^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{21} \\
A_{12} & A_{22}
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{cc}
4 & -2 \\
-3 & 1
\end{array}\right]\)
નોંધ : \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right]\) નો સહઅવયવજ શ્રેબ્રિક મેળવવા માટે અગ્ન વિર્ણનાં ઘટકો 14 ની અદલાબદલી કરવી તથા પ્રતિવિક 32 નાં ઘટકોની નિશાની બદલવી.
પ્રશ્ન 2.
\(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 2 \\
2 & 3 & 5 \\
-2 & 0 & 1
\end{array}\right]\)
ઉત્તરઃ
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 2 \\
2 & 3 & 5 \\
-2 & 0 & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]\)
સહઅવયવો માટે :
A11 = (-1)1+1 (3) = 3
A12 = (-1)1+2 (12) = -12
A13 = (-1)1+3 (6) = 6
A21 = (-1)2+1 (-1) = 1
A22 = (-1)2+2 (5) = 5
A23 = (-1)2+3 (-2) = 2
A31 = (-1)3+1 (-11) = -11
A32 = (-1)3+2 (1) = -1
A33 = (-1)3+3 (5) = 5
Adj = \(\left[\begin{array}{lll}
A_{11} & A_{21} & A_{31} \\
A_{12} & A_{22} & A_{32} \\
A_{13} & A_{23} & A_{33}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
3 & 1 & -11 \\
-12 & 5 & -1 \\
6 & 2 & 5
\end{array}\right]\)
પ્રશ્ન 3 અને 4 પૈકી પ્રત્યેકમાં ચકાસો કે,
A(adj A) = (adj A)A = |A| I.
પ્રશ્ન 3.
\(\left[\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
-4 & -6
\end{array}\right]\)
ઉત્તરઃ
A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
-4 & -6
\end{array}\right]\)
∴ |A| = -12 + 12 = 0
આમ, A(adj A) = (adj A) A = |A| I.
પ્રશ્ન 4.
\(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 2 \\
3 & 0 & -2 \\
1 & 0 & 3
\end{array}\right]\)
ઉત્તરઃ
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 2 \\
3 & 0 & -2 \\
1 & 0 & 3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]\)
|A| = 1(0) + 1(9 + 2) + 2(0) = 11
A11 = (-1)1+1 0 = 0
A12 = (-1)1+2 (11) = -11
A13 = (-1)1+3 0 = 0
A21 = (-1)2+1 (-3) = 3
A22 = (-1)2+2 (1) = 1
A23 = (-1)2+3 (1) = -1
A31 = (-1)3+1 (2) = 2
A32 = (-1)3+2 (-8) = 8
A33 = (-1)3+3 (3) = 3
= 11 I
= |A| I ………..(2)
(1) (2) ઉપરથી A(adj A) = (adj A)A = |A| I.
પ્રશ્ન 5 થી 11 ના પ્રત્યેક શ્રેણિકના રાસ્તનું અસ્તિત્વ હોય, તો તે શોધો.
પ્રશ્ન 5.
\(\left[\begin{array}{cc}
2 & -2 \\
4 & 3
\end{array}\right]\)
ઉત્તરઃ
A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & -2 \\
4 & 3
\end{array}\right]\)
|A| = 6 + 8 = 14 ≠ 0
∴ A-1 નું અસ્તિત્વ છે.
A11 = (-1)1+1 3 = 3
A21 = (-1)2+1 (-2) = 2
A12 = (-1)1+2 4 = -4
A22 = (-1)2+2 (2) = 2
પ્રશ્ન 6.
\(\left[\begin{array}{ll}
-1 & 5 \\
-3 & 2
\end{array}\right]\)
ઉત્તરઃ
A = \(\left[\begin{array}{ll}
-1 & 5 \\
-3 & 2
\end{array}\right]\)
∴ |A| = -2 + 15 = 13 ≠ 0
∴ A-1 નું અસ્તિત્વ છે.
A11 = (-1)1+1 2 = 2
A12 = (-1)1+2 (-3) = 3
A21 = (-1)2+1 5 = -5
A22 = (-1)2+2 (-1) = -1
∴ adj A = \(\left[\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{21} \\
A_{12} & A_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
2 & -5 \\
3 & -1
\end{array}\right]\)
A-1 = \(\frac{1}{|A|}\) adj A
= \(\frac{1}{13}\left[\begin{array}{ll}
2 & -5 \\
3 & -1
\end{array}\right]\)
પ્રશ્ન 7.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 5
\end{array}\right]\)
ઉત્તરઃ
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 5
\end{array}\right]\)
∴ |A| = 1(10 – 0) = 10 ≠ 0
∴ A-1 નું અસ્તિત્વ છે.
A11 = (-1)1+1 10 = 10
A12 = (-1)1+2 0 = 0
A13 = (-1)1+3 0 = 0
A21 = (-1)2+1 10 = -10
A22 = (-1)2+2 5 = 5
A23 =(-1)2+3 0 = 0
A31 = (-1)3+1 2 = 2
A32 = (-1)3+2 4 = -4
A33 = (-1)3+3 2 = 2
પ્રશ્ન 8.
\(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
3 & 3 & 0 \\
5 & 2 & -1
\end{array}\right]\)
ઉત્તરઃ
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
3 & 3 & 0 \\
5 & 2 & -1
\end{array}\right]\)
∴ |A| = 1(-3 – 0) = -3 ≠ 0
∴ A-1 નું અસ્તિત્વ છે.
A11 = (-1)1+1 (-3) = -3
A21 = (-1)2+1 0 = 0
A12 = (-1)1+2 (-3) = 3
A22 = (-1)2+2 (-1) = -1
A13 = (-1)1+3 (-9) = -9
A23 = (-1)2+3 (2) = -2
A31 = (-1)3+1 0 = 0
A32 = (-1)3+2 0 = 0
A33 = (-1)3+3 (3) = 3
પ્રશ્ન 9.
\(\left[\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 3 \\
4 & -1 & 0 \\
-7 & 2 & 1
\end{array}\right]\)
ઉત્તરઃ
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 3 \\
4 & -1 & 0 \\
-7 & 2 & 1
\end{array}\right]\)
∴ |A| = 2(-1 – 0) – 1(4 – 0) + 3(8 – 7)
= – 2 – 4 + 3
= -3 ≠ 0
∴ A-1 નું અસ્તિત્વ છે.
A11 = (-1)1+1 (-1) = -1
A21 = (-1)2+1 (-5) = 5
A12 = (-1)1+1 4 = 4
A22 = (-1)2+2 (23) = 23
A23 = (-1)2+3 (11) = -11
A13 = (-1)1+3 1 = 1
A31 = (-1)3+1 (3) = 3
A32 = (-1)3+2 (-12) = 12
A33 = (-1)3+3 (-6) = -6
પ્રશ્ન 10.
\(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 2 \\
0 & 2 & -3 \\
3 & -2 & 4
\end{array}\right]\)
ઉત્તરઃ
\(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 2 \\
0 & 2 & -3 \\
3 & -2 & 4
\end{array}\right]\)
∴ |A| = 1(8 – 6) + 1(0 + 9) + 2(0 – 6)
= 2 + 9 – 12
= -1 ≠ 0
∴ A-1 નું અસ્તિત્વ છે.
A11 = (-1)1+1 (2) = 2
A21 = (-1)2+1 0 = 0
A12 = (-1)1+2 (9) = -9
A22 = (-1)2+2 (-2) = -2
A13 = (-1)1+3 (-6) = -6
A23 = (-1)2+3 (1) = -1
A31 = (-1)3+1 (-1) = -1
A32 = (-1)3+2 (-3) = 3
A33 = (-1)3+3 (2) = 2
પ્રશ્ન 11.
\(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \alpha & \sin \alpha \\
0 & \sin \alpha & -\cos \alpha
\end{array}\right]\)
ઉત્તરઃ
\(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \alpha & \sin \alpha \\
0 & \sin \alpha & -\cos \alpha
\end{array}\right]\)
∴ |A| = 1 – (-cos2 α – sin2 α)
= -1
|A| ≠ 0 ∴ A-1 નું અસ્તિત્વ છે.
A11 = (-1)1+1 (-1) = -1
A12 = (-1)1+2 0 = 0
A13 = (-1)1+3 0 = 0
A21 = (-1)2+1 0 = 0
A22 = (-1)2+2 (-cos α) = cos α
A23 = (-1)2+3 sin α = – sin α
A31 = (-1)3+1 0 = 0
A32 = (-1)3+2 sinα = – sin α
A33 = (-1)3+3 cos α = cos α
પ્રશ્ન 12.
જો A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 7 \\
2 & 5
\end{array}\right]\) અને B = \(\left[\begin{array}{ll}
6 & 8 \\
7 & 9
\end{array}\right]\) હોય, તો ચકાસો કે (AB)-1 = B-1 A-1.
ઉત્તરઃ
પરિણામ (1) અને (2) પરથી, (AB)-1 = B-1 A-1.
અન્ય રીત :
|AB| = |A| |B| = (1) (-2) = -2 ≠ 0.
adj (AB) = adj (B) adj (A)
પરિણામ (1) અને (2) પરથી, (AB)-1 = B-1 A-1.
પ્રશ્ન 13.
જો A = \(\left[\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
-1 & 2
\end{array}\right]\) હોય, તો સાબિત કરો કે
A2 – 5A + 7I = 0 તે પરથી A-1 શોધો.
ઉત્તરઃ
હવે A2 – 5A + 7I = 0
સમીકરાને બંને બાજુ A-1 વડે ગુજ્ઞતાં,
A-1 A2 – A-1 5A + A-1 7I = A-1 O
∴ (A-1 A)A – 5(A-1 A) + 7(A-1 I) = O
∴ IA – 5I + 7A-1 = 0 (∵ AA-1 = I)
∴ A – 5I + 7A-1 = 0 (∵ IA = A)
∴ 7A-1 = 5I – A
પ્રશ્ન 14.
શ્રેબ્રિક A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 2 \\
1 & 1
\end{array}\right]\) માટે સંખ્યાઓ હૂ અને શોધો કે જેથી, A2 + aA + bI = 0.
ઉત્તરઃ
∴ 4 + a = 0 ⇒ a = -4
∴ 3 + a + b = 0 તથા a = -4
∴ 3 – 4 + b = 0 ⇒ b = 1
પ્રશ્ન 15.
શ્રેબ્રિક A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & -3 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right]\) માટે સાબિત કરો કે, A3 – 6A2 + 5A + 11I = 0 અને તે પરથી A-1 શોધો.
ઉત્તરઃ
હવે A3 – 6A2 + 5A + 11I = 0
સમીકરણની બંને બાજુ A-1 વડે ગુલતાં,
(A-1 A)A2 – 6(A-1A)A + 5(A-1A) + 11(A-1I) = 0
∴ A2 – 6A + 5I + 11A-1 = 0
∵ A-1A = I, A-1I = A-1
∴ 11A-1 = -A2 + 6A + 5I
પ્રશ્ન 16.
જો A = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & -1 \\
1 & -1 & 2
\end{array}\right]\) હોય, તો સાબિત કરો કે A3 – 6A2 + 9A – 4I = 0 અને તે પરથી A-1 શોધો.
ઉત્તરઃ
હવે A3 – 6A2 + 9A – 4I = 0
સમીકરણની બંને બાજુ A-1 વડે ગુલતાં,
(A-1 A)A2 – 6(AA-1)A + 9(A-1A) + 4(A-1I) = 0
∴ A2 – 6A + 9I – 4A-1 = 0
(∵ A-1A = I, A-1I = A-1)
∴ 4A-1 = A2 – 6A + 9I
પ્રશ્નો 17 તથા 18 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિક્લ્પ પસંદ કરો :
પ્રશ્ન 17.
જો A એ 3 × 3 કક્ષાવાળો સામાન્ય ચોરસ ચેબ્રિક હોય, તો |adj A| = …………….
(A) |A|
(B) |A|2
(C) |A|3
(D) 3|A|
ઉત્તરઃ
A (adj A) = |A|I
|A · (adj A)| = \(\left[\begin{array}{ccc}
|\mathrm{A}| & 0 & 0 \\
0 & |\mathrm{~A}| & 0 \\
0 & 0 & |\mathrm{~A}|
\end{array}\right]\) (∵ A એ 3 × 3 શ્રેણિક છે.)
∴ |A| |adj A| = |A|3 \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\)
∴ |A| |adj A| = |A|3 (I)
∴ |adj A| = |A|2
યાદ રાખો : A એ n × n કલાનો સામાન્ય શ્રેણિક હોય તો
|adj A| = |A|n-1.
પ્રશ્ન 18.
જો A એ 2 કલાવાળો સામાન્ય શ્રેણિક હોય, તો A-1 નો નિશ્ચાયક ……………. છે.
(A) det(A)
(C) 1
(D) 0
ઉત્તરઃ
∴ વિકલ્પ (B) સત્ય છે.