GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.3

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.3

પ્રશ્ન 1.
નીચે આપેલાં શિરોબિંદુવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો :
(i) (1, 0), (6, 0), (4, 3)
ઉત્તરઃ
ધારો કે A(1, 0), B(6, 0) તથા C(4, 3) એ ΔABC નાં શિરોબિંદુઓ છે.
∴ ΔABC નું ક્ષેત્રફળ = \(\frac{1}{2}\)|D|.
જયાં D = \(\left|\begin{array}{lll}
1 & 0 & 1 \\
6 & 0 & 1 \\
4 & 3 & 1
\end{array}\right|\)
= 1(0 – 3) + 1(18 – 0)
= -3 + 18
= 15
∴ ΔABC નું ક્ષેત્રફળ \(\frac{1}{2}\)|15| = \(\frac{15}{2}\) ચો.એકમ.

(ii) (2, 7), (1, 1), (10, 8)
ઉત્તરઃ
ધારો કે A(2, 7), B(1, 1) તથા C(10, 8) એ ΔABC નાં શિરોબિંદુઓ છે.
∴ ΔABC નું ક્ષેત્રફળ = \(\frac{1}{2}\)|D|,
જયાં D = \(\left|\begin{array}{ccc}
2 & 7 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
10 & 8 & 1
\end{array}\right|\)
= 2(1 – 8) – 7(1 – 10) + 1(8 – 10)
= 2(-7) – 7(-9) + 1(-2)
= -14 + 63 – 2
= 47
∴ ΔABC નું ક્ષેત્રફળ \(\frac{1}{2}\)|47| = \(\frac{47}{2}\) ચો.એકમ.

(iii) (-2,-3), (3, 2), (-1, -8)
ઉત્તરઃ
ધારો કે A(-2, -3), B(3, 2) C(-1, -8) ΔABC નાં શિરોબિંદુઓ છે.
∴ ΔABC નું ક્ષેત્રફળ = \(\frac{1}{2}\)|D|,
જયાં D = \(\left|\begin{array}{ccc}
-2 & -3 & 1 \\
3 & 2 & 1 \\
-1 & -8 & 1
\end{array}\right|\)
= -2(2 + 8) + 3(3 + 1) + 1(-24 + 2)
= -20 + 12 – 22
= -30
∴ ΔABC નું ક્ષેત્રફળ \(\frac{1}{2}\)|-30| = \(\frac{30}{2}\) = 15 ચો.એકમ.

પ્રશ્ન 2.
સાબિત કરો કે બિંદુઓ
A(a, b + c), B(b, c + a) du C(c, a + b) સમરેખ છે.
ઉત્તરઃ

= (a + b + c) (0) (∵ c₁ = c₃)
= 0
∴ બિંદુઓ સમરેખ બિંદુઓ છે,

પ્રશ્ન 3.
જો (i) (k, 0) (4, 0), (0, 2), (ii) (-2, 0) (0, 4), (0, k) શિરોબિંદુવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ 4 ચોરસ એકમ હોય, તો k નું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
(i) (k, 0) (4, 0), (0, 2),
D = \(\left|\begin{array}{ccc}
k & 0 & 1 \\
4 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 1
\end{array}\right|\)
= k(0 – 2) + 1(8)
= -2k + 8
હવે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = \(\frac{1}{2}\)|D|
∴ 4 = \(\frac{1}{2}\)|2k +8|
∴ 4 = |-k + 4|
∴ -k + 4 = 4 અથવા -k + 4 = -4
∴ k = 0, અથવા k = 8
∴ k ની કિંમત 0 અથવા 8 છે.

(ii) (-2, 0) (0, 4), (0, k)
D = \(\left|\begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 1 \\
0 & 4 & 1 \\
0 & k & 1
\end{array}\right|\)
= -2(4 – k) + 1(0)
= -8 + 2k
હવે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = \(\frac{1}{2}\)|D|
∴ 4 = \(\frac{1}{2}\)|2k – 8|
∴ 4 = |k – 4|
∴ k – 4 = 4 અથવા k – 4 = -4
∴ k = 8 અથવા k = 0
∴ kની કિંમત B અથવા 0 છે.

પ્રશ્ન 4.
(i) નિશ્ચાયકનો ઉપયોગ કરી (1, 2) અને (3, 6) ને જોડતી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
A(1, 2) અને B(3, 6) બિંદુઓને જોતી રેખા \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) નું સમીકરણ
\(\left|\begin{array}{lll}
x & y & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
3 & 6 & 1
\end{array}\right|\) = 0
∴ x(2 – 6) – y(1 – 3) + 1(6 – 6) = 0
∴ -4x + 2y = 0
∴ 2x – y = 0
∴ y = 2x

(ii) નિશ્ચાયકનો ઉપયોગ કરી (3, 1) અને (9, 3) ને જોડતી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
A(3, 1) અને B(9, 3) બિંદુઓને જોડતી રેખા \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) નું સમીકરણ :
\(\left|\begin{array}{lll}
x & y & 1 \\
3 & 1 & 1 \\
9 & 3 & 1
\end{array}\right|\) = 0
∴ x(1 – 3) – y(3 – 9) + 1(9 – 9) = 0
∴ -2x + 6y = 0
∴ x – 3y = 0

પ્રશ્ન 5 માં વિધાન સારું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી સોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 5.
જો (2, -6), (5, 4) અને (k, 4) શિરોબિંદુવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ 35 ચોરસ એકમ હોય, તો k નું મૂલ્ય ——..
(A) 12
(B) -2
(C) -12, -2
(D) 12, -2
ઉત્તરઃ
D = \(\left|\begin{array}{ccc}
2 & -6 & 1 \\
5 & 4 & 1 \\
k & 4 & 1
\end{array}\right|\)
= 2(4 – 4) + 6(5 – k) + 1(20 – 4k)
= 30 – 6k + 20 – 4k
= 50 – 10k
હવે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = \(\frac{1}{2}\)|D|
∴ 35 = \(\frac{1}{2}\)|50 – 10k|
∴ 35 = |25 – 5k|
∴ 25 – 5k = 35 અથવા 25 – 5k = -35
∴ 5k = -10,
∴ k = -2,
∴ 25 + 35 = 5k
∴ 60 = 5k
∴ k = 12
∴ k = 12, -2
∴ (D) 12, -2