GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.1

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.1

પ્રશ્ન 1.
શ્રેણિક A = $\left[\begin{array}{cccc} 2 & 5 & 19 & -7 \\ 35 & -2 & \frac{5}{2} & 12 \\ \sqrt{3} & 1 & -5 & 17 \end{array}\right]$
(i) શ્રેણિકની કક્ષા,
(ii) ઘટકોની સંખ્યા,
(iii) ઘટકો a₁₃, a₂₁, a₃₃, a₂₄, a₂₃ લખો.
ઉત્તરઃ
શ્રેણિક

(i) અહીં શ્રેણિક A માં 3 હાર તથા 4 સ્તંભ છે.
∴ શ્રેણિકની કક્ષા 3 × 4 છે.
(ii) શ્રેણિક A માં કુલ ઘટકો 3 × 4 = 12 છે.
(iii) a₁₃ = 19, a₂₁ = 35, a₃₃ = -5, a₂₄ = 12, a₂₃ = $\frac{5}{2}$

પ્રશ્ન 2.
જો કોઈ શ્રેણિકને 24 ઘટકો હોય, તો તેની શક્ય કક્ષાઓ કઈ હોય ? જો તેને 13 ઘટકો હોય, તો તેની શક્ય કક્ષાઓ શું થશે ?
ઉત્તરઃ
એક શ્રેણિકમાં 24 ઘટકો છે.
∴ તેની શક્ય કક્ષા : 1 × 24, 24 × 1, 2 × 12, 12 × 2, 3 × 8, 8 × 3, 4 × 6, 6 × 4.
જો શ્રેણિકમાં 13 ઘટકો હોય તો તેની શક્ય કક્ષા 13 × 1 અને 1 × 13 છે.

પ્રશ્ન 3.
જો કોઈ શ્રેણિકને 18 ઘટકો હોય, તો તેની શક્ય કક્ષાઓ કઈ હોય ? જો તેને 5 ઘટકો હોય, તો તેની શક્ય કક્ષાઓ શું થાય ?
ઉત્તરઃ
એક શ્રેણિકમાં 18 ઘટકો છે.
શક્ય કક્ષાઓ : 1 × 18, 18 × 1, 2 × 9, 9 × 2, 3 × 6, 6 × 3.
જે શ્રેબ્રિકમાં 5 ઘટકો હોય તો તેની કથા 5 × 1 અને 1 × 5 થાય.

પ્રશ્ન 4.
જો કોઈ 2 × 2 શ્રેણિક A = [aij] ના સભ્યો,
(i) a_ij = $\frac{(i+j)^2}{2}$, (ii) a_ij = $\frac{i}{j}$, (iii) a_ij = $\frac{(i+2 j)^2}{2}$ થી મળે, તો શ્રેણિક A ની રચના કરો.
ઉત્તરઃ
(i) a_ij = $\frac{(i+j)^2}{2}$

(ii) a_ij = $\frac{i}{j}$
i = j = 1 ⇒ a₁₁ = 1
i = 1, j = 2 ⇒ a₁₂ = $\frac{1}{2}$
i = 2, j = 1 ⇒ a₂₁ = 2
i = j = 2 ⇒ a₂₂ = $\frac{2}{2}$ = 1
શ્રેણિક A = $\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll} 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & 1 \end{array}\right]$

(iii) a_ij = $\frac{(i+2 j)^2}{2}$

પ્રશ્ન 5.
જો 3 × 4 શ્રેણિકના સભ્યો (i) a_ij = $\frac{1}{2}$|-3i + j|
(ii) a_ij = 2i – j દ્વારા મળે, તો તે શ્રેણિકની રચના કરો.
ઉત્તરઃ
(i) a_ij = $\frac{1}{2}$|-3i + j|
i = j = 1 ⇒ a₁₁ = $\frac{1}{2}$|-3 + 1| = 1
i = 1, j = 2 ⇒ a₁₂ = $\frac{1}{2}$|-3 + 2| = $\frac{1}{2}$
i = 1, j = 3 ⇒ a₁₃ = $\frac{1}{2}$|-3 + 3| = 0
i = 1, j = 4 ⇒ a₁₄ = $\frac{1}{2}$|-3 + 4| = $\frac{1}{2}$
i = 2, j = 1 ⇒ a₂₁ = $\frac{1}{2}$|-6 + 1| = $\frac{5}{2}$
i = 2, j = 2 ⇒ a₂₂ = $\frac{1}{2}$|-6 + 2| = 2
i = 2, j = 3 ⇒ a₂₃ = $\frac{1}{2}$|-6 + 3| = $\frac{3}{2}$
i = 3, j = 4 ⇒ a₂₄ = $\frac{1}{2}$|-6 + 4| = 1
i = 3, j = 1 ⇒ a₃₁ = $\frac{1}{2}$|-9 + 1| = 4
i = 3, j = 2 ⇒ a₃₂ = $\frac{1}{2}$|-9 + 3| = $\frac{7}{2}$
i = 3, j = 3 ⇒ a₃₃ = $\frac{1}{2}$|-9 + 3| = 3
i = 3, j = 4 ⇒ a₃₄ = $\frac{1}{2}$|-9 + 4| = $\frac{5}{2}$

(ii) a_ij = 2i – j
i = j = 1 ⇒ a₁₁ = 2 – 1 = 1
i = 1, j = 2 ⇒ a₁₂ = 2 – 2 = 0
i = 1, j = 3 ⇒ a₁₃ = 2 – 3 = -1
i = 1, j = 4 ⇒ a₁₄ = 2 – 4 = -2
i = 1, j = 1 ⇒ a₂₁ = 4 – 1 = 3
i = 1, j = 2 ⇒ a₂₂ = 4 – 2 = 2
i = 1, j = 3 ⇒ a₂₃ = 4 – 3 = 1
i = 1, j = 4 ⇒ a₂₄ = 4 – 4 = 0
i = 3, j = 1 ⇒ a₃₁ = 6 – 1 = 5
i = 3, j = 2 ⇒ a₃₂ = 6 – 2 = 4
i = 3, j = 3 ⇒ a₃₃ = 6 – 3 = 3
i = 3, j = 4 ⇒ a₃₄ = 6 – 4 = 2

પ્રશ્ન 6.
નીચેનાં સમીકરણોમાંથી x, y અને z નાં મૂલ્ય શોધો :

ઉત્તરઃ
(i) $\left[\begin{array}{ll} 4 & 3 \\ x & 5 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll} y & z \\ 1 & 5 \end{array}\right]$
શ્રેબ્રિકની સમાનતાનાં ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતાં,
x = 1, y = 4 તથા z = 3 મળશે.

(ii) $\left[\begin{array}{cc} x+y & 2 \\ 5+z & x y \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll} 6 & 2 \\ 5 & 8 \end{array}\right]$
ઉત્તરઃ
$\left[\begin{array}{cc} x+y & 2 \\ 5+z & x y \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll} 6 & 2 \\ 5 & 8 \end{array}\right]$
શ્રેણિકની સમાનતાનાં ગુાધર્મનો ઉપયોગ કરતાં,
x + y = 6, 5 + z = 5 ⇒ z = 0
xy = 8 ⇒ y = $\frac{8}{x}$
x + $\frac{8}{x}$ = 6
x² – 6x + 8 = 0
(x – 4)(x – 2) = 0
x = 4, x = 2

x = 4 હોય તો y = $\frac{8}{4}$ = 2
x = 2 હોય તો y = $\frac{8}{2}$ = 4
આમ, x = 4, y = 2, z = 0
આમ, x = 2, y = 4, z = 0

(iii) $\left[\begin{array}{c} x+y+z \\ x+z \\ y+z \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{l} 9 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right]$
ઉત્તરઃ
શ્રેષ્ઠિકનાં સમાનતાનાં ગુન્નધર્મોનો ઉપયોગ કરતાં,
x + y + z = 9 ……….(1)
x + z = 5 ……….(2)
y + z = 7 ……….(3)
(1) – (2) ⇒ y + 5 = 9 ⇒ y = 4
(1) – (3) ⇒ x + 7 = 9 ⇒ x = 2
હવે x + y + z = 9 માં x = 2, y = 4 લેતાં,
2 + 4 + z = 9 ⇒ z = 3
આમ, x = 2, y = 4, z = 3

પ્રશ્ન 7.
સમીકરણ $\left[\begin{array}{cc} a-b & 2 a+c \\ 2 a-b & 3 c+d \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} -1 & 5 \\ 0 & 13 \end{array}\right]$ માંથી a, b, c અને d નાં મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
શ્રેણિકનાં સમાનતાનાં ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતાં,
a – b = -1 ………..(1)
2a – b = 0 ………(2)
2a + c = 5 ……….(3)
3c + d = 13 ……..(4)
સમી, (2) ⇒ b = 2a
સમી, (1) ⇒ a – b = -1
∴ a – 2a = -1 ⇒ a = 1
∴ b = 2a = 2
સમી. (3) ⇒ 2a + c = 5
પરંતુ a = 1 હોવાથી c = 5 – 2 = 3
સમી. (4) ⇒ 3c + d = 13
c = 3 હોવાથી d = 13 – 9 = 4
આમ, a = 1, b = 2, c = 3, d = 4

પ્રશ્ન 8, 9 તથા 10 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિક્લ્પોમાંથી યોગ્ય વિક્લ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 8.
A = [a_ij]_{m × n} ચોરસ શ્રેણિક હોય, તો…..
(A) m < n
(B) m > n
(C) m = n
(D) આમાંથી એક પણ નહીં
જવાબ (C) m = n
ઉત્તરઃ
A = [a_ij]_{m × n} એ ચોરસ મેબ્રિક હોય તો, m = n,

પ્રશ્ન 9.
x, y ની જે કિંમતો માટે શ્રેણિક જોડ $\left[\begin{array}{cc} 3 x+7 & 5 \\ y+1 & 2-3 x \end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{cc} 0 & y-2 \\ 8 & 4 \end{array}\right]$ સમાન થાય તેવી આપેલી x અને પુ ની કિંમત….
(A) x = –$\frac{1}{3}$
(B) શોધવું શક્ય નથી.
(C) y = 7, x = –$\frac{2}{3}$
(D) x = –$\frac{1}{3}$, y = –$\frac{2}{3}$
જવાબ (B) શોધવું શક્ય નથી.
ઉત્તરઃ

∴ x અને y ની કિંમતો શોધી શકાય નહિ.

પ્રશ્ન 10.
પ્રત્યેક ઘટક 0 અથવા 1 હોય તેવા 3 × 3 કક્ષાવાળા શ્રેણિકની સંખ્યા…..
(A) 27
(B) 18
(C) 81
(D) 512
જવાબ (D) 12
ઉત્તરઃ
અહીં, શ્રેણિકની કક્ષા 3 × 3 છે.
∴ શ્રેણિકમાં ઘટકોની સંખ્યા 9 થાય.
શ્રેણિકનાં ઘટકો 0 અને 1 લેવાનાં છે.
અર્થાત્ ઘટકોની પસંદગી બે પ્રકારે જ થાય.
∴ શક્ય શ્રેણિકોની સંખ્યા = (2)⁹
= 512