GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.1

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.1

પ્રશ્ન 1.
શ્રેણિક A = \(\left[\begin{array}{cccc}
2 & 5 & 19 & -7 \\
35 & -2 & \frac{5}{2} & 12 \\
\sqrt{3} & 1 & -5 & 17
\end{array}\right]\)
(i) શ્રેણિકની કક્ષા,
(ii) ઘટકોની સંખ્યા,
(iii) ઘટકો a₁₃, a₂₁, a₃₃, a₂₄, a₂₃ લખો.
ઉત્તરઃ
શ્રેણિક

(i) અહીં શ્રેણિક A માં 3 હાર તથા 4 સ્તંભ છે.
∴ શ્રેણિકની કક્ષા 3 × 4 છે.
(ii) શ્રેણિક A માં કુલ ઘટકો 3 × 4 = 12 છે.
(iii) a₁₃ = 19, a₂₁ = 35, a₃₃ = -5, a₂₄ = 12, a₂₃ = \(\frac{5}{2}\)

પ્રશ્ન 2.
જો કોઈ શ્રેણિકને 24 ઘટકો હોય, તો તેની શક્ય કક્ષાઓ કઈ હોય ? જો તેને 13 ઘટકો હોય, તો તેની શક્ય કક્ષાઓ શું થશે ?
ઉત્તરઃ
એક શ્રેણિકમાં 24 ઘટકો છે.
∴ તેની શક્ય કક્ષા : 1 × 24, 24 × 1, 2 × 12, 12 × 2, 3 × 8, 8 × 3, 4 × 6, 6 × 4.
જો શ્રેણિકમાં 13 ઘટકો હોય તો તેની શક્ય કક્ષા 13 × 1 અને 1 × 13 છે.

પ્રશ્ન 3.
જો કોઈ શ્રેણિકને 18 ઘટકો હોય, તો તેની શક્ય કક્ષાઓ કઈ હોય ? જો તેને 5 ઘટકો હોય, તો તેની શક્ય કક્ષાઓ શું થાય ?
ઉત્તરઃ
એક શ્રેણિકમાં 18 ઘટકો છે.
શક્ય કક્ષાઓ : 1 × 18, 18 × 1, 2 × 9, 9 × 2, 3 × 6, 6 × 3.
જે શ્રેબ્રિકમાં 5 ઘટકો હોય તો તેની કથા 5 × 1 અને 1 × 5 થાય.

પ્રશ્ન 4.
જો કોઈ 2 × 2 શ્રેણિક A = [aij] ના સભ્યો,
(i) a_ij = \(\frac{(i+j)^2}{2}\), (ii) a_ij = \(\frac{i}{j}\), (iii) a_ij = \(\frac{(i+2 j)^2}{2}\) થી મળે, તો શ્રેણિક A ની રચના કરો.
ઉત્તરઃ
(i) a_ij = \(\frac{(i+j)^2}{2}\)

(ii) a_ij = \(\frac{i}{j}\)
i = j = 1 ⇒ a₁₁ = 1
i = 1, j = 2 ⇒ a₁₂ = \(\frac{1}{2}\)
i = 2, j = 1 ⇒ a₂₁ = 2
i = j = 2 ⇒ a₂₂ = \(\frac{2}{2}\) = 1
શ્રેણિક A = \(\left[\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & \frac{1}{2} \\
2 & 1
\end{array}\right]\)

(iii) a_ij = \(\frac{(i+2 j)^2}{2}\)

પ્રશ્ન 5.
જો 3 × 4 શ્રેણિકના સભ્યો (i) a_ij = \(\frac{1}{2}\)|-3i + j|
(ii) a_ij = 2i – j દ્વારા મળે, તો તે શ્રેણિકની રચના કરો.
ઉત્તરઃ
(i) a_ij = \(\frac{1}{2}\)|-3i + j|
i = j = 1 ⇒ a₁₁ = \(\frac{1}{2}\)|-3 + 1| = 1
i = 1, j = 2 ⇒ a₁₂ = \(\frac{1}{2}\)|-3 + 2| = \(\frac{1}{2}\)
i = 1, j = 3 ⇒ a₁₃ = \(\frac{1}{2}\)|-3 + 3| = 0
i = 1, j = 4 ⇒ a₁₄ = \(\frac{1}{2}\)|-3 + 4| = \(\frac{1}{2}\)
i = 2, j = 1 ⇒ a₂₁ = \(\frac{1}{2}\)|-6 + 1| = \(\frac{5}{2}\)
i = 2, j = 2 ⇒ a₂₂ = \(\frac{1}{2}\)|-6 + 2| = 2
i = 2, j = 3 ⇒ a₂₃ = \(\frac{1}{2}\)|-6 + 3| = \(\frac{3}{2}\)
i = 3, j = 4 ⇒ a₂₄ = \(\frac{1}{2}\)|-6 + 4| = 1
i = 3, j = 1 ⇒ a₃₁ = \(\frac{1}{2}\)|-9 + 1| = 4
i = 3, j = 2 ⇒ a₃₂ = \(\frac{1}{2}\)|-9 + 3| = \(\frac{7}{2}\)
i = 3, j = 3 ⇒ a₃₃ = \(\frac{1}{2}\)|-9 + 3| = 3
i = 3, j = 4 ⇒ a₃₄ = \(\frac{1}{2}\)|-9 + 4| = \(\frac{5}{2}\)

(ii) a_ij = 2i – j
i = j = 1 ⇒ a₁₁ = 2 – 1 = 1
i = 1, j = 2 ⇒ a₁₂ = 2 – 2 = 0
i = 1, j = 3 ⇒ a₁₃ = 2 – 3 = -1
i = 1, j = 4 ⇒ a₁₄ = 2 – 4 = -2
i = 1, j = 1 ⇒ a₂₁ = 4 – 1 = 3
i = 1, j = 2 ⇒ a₂₂ = 4 – 2 = 2
i = 1, j = 3 ⇒ a₂₃ = 4 – 3 = 1
i = 1, j = 4 ⇒ a₂₄ = 4 – 4 = 0
i = 3, j = 1 ⇒ a₃₁ = 6 – 1 = 5
i = 3, j = 2 ⇒ a₃₂ = 6 – 2 = 4
i = 3, j = 3 ⇒ a₃₃ = 6 – 3 = 3
i = 3, j = 4 ⇒ a₃₄ = 6 – 4 = 2

પ્રશ્ન 6.
નીચેનાં સમીકરણોમાંથી x, y અને z નાં મૂલ્ય શોધો :

ઉત્તરઃ
(i) \(\left[\begin{array}{ll}
4 & 3 \\
x & 5
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{ll}
y & z \\
1 & 5
\end{array}\right]\)
શ્રેબ્રિકની સમાનતાનાં ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતાં,
x = 1, y = 4 તથા z = 3 મળશે.

(ii) \(\left[\begin{array}{cc}
x+y & 2 \\
5+z & x y
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{ll}
6 & 2 \\
5 & 8
\end{array}\right]\)
ઉત્તરઃ
\(\left[\begin{array}{cc}
x+y & 2 \\
5+z & x y
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{ll}
6 & 2 \\
5 & 8
\end{array}\right]\)
શ્રેણિકની સમાનતાનાં ગુાધર્મનો ઉપયોગ કરતાં,
x + y = 6, 5 + z = 5 ⇒ z = 0
xy = 8 ⇒ y = \(\frac{8}{x}\)
x + \(\frac{8}{x}\) = 6
x² – 6x + 8 = 0
(x – 4)(x – 2) = 0
x = 4, x = 2

x = 4 હોય તો y = \(\frac{8}{4}\) = 2
x = 2 હોય તો y = \(\frac{8}{2}\) = 4
આમ, x = 4, y = 2, z = 0
આમ, x = 2, y = 4, z = 0

(iii) \(\left[\begin{array}{c}
x+y+z \\
x+z \\
y+z
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{l}
9 \\
5 \\
7
\end{array}\right]\)
ઉત્તરઃ
શ્રેષ્ઠિકનાં સમાનતાનાં ગુન્નધર્મોનો ઉપયોગ કરતાં,
x + y + z = 9 ……….(1)
x + z = 5 ……….(2)
y + z = 7 ……….(3)
(1) – (2) ⇒ y + 5 = 9 ⇒ y = 4
(1) – (3) ⇒ x + 7 = 9 ⇒ x = 2
હવે x + y + z = 9 માં x = 2, y = 4 લેતાં,
2 + 4 + z = 9 ⇒ z = 3
આમ, x = 2, y = 4, z = 3

પ્રશ્ન 7.
સમીકરણ \(\left[\begin{array}{cc}
a-b & 2 a+c \\
2 a-b & 3 c+d
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{cc}
-1 & 5 \\
0 & 13
\end{array}\right]\) માંથી a, b, c અને d નાં મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
શ્રેણિકનાં સમાનતાનાં ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતાં,
a – b = -1 ………..(1)
2a – b = 0 ………(2)
2a + c = 5 ……….(3)
3c + d = 13 ……..(4)
સમી, (2) ⇒ b = 2a
સમી, (1) ⇒ a – b = -1
∴ a – 2a = -1 ⇒ a = 1
∴ b = 2a = 2
સમી. (3) ⇒ 2a + c = 5
પરંતુ a = 1 હોવાથી c = 5 – 2 = 3
સમી. (4) ⇒ 3c + d = 13
c = 3 હોવાથી d = 13 – 9 = 4
આમ, a = 1, b = 2, c = 3, d = 4

પ્રશ્ન 8, 9 તથા 10 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિક્લ્પોમાંથી યોગ્ય વિક્લ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 8.
A = [a_ij]_{m × n} ચોરસ શ્રેણિક હોય, તો…..
(A) m < n
(B) m > n
(C) m = n
(D) આમાંથી એક પણ નહીં
જવાબ (C) m = n
ઉત્તરઃ
A = [a_ij]_{m × n} એ ચોરસ મેબ્રિક હોય તો, m = n,

પ્રશ્ન 9.
x, y ની જે કિંમતો માટે શ્રેણિક જોડ \(\left[\begin{array}{cc}
3 x+7 & 5 \\
y+1 & 2-3 x
\end{array}\right]\), \(\left[\begin{array}{cc}
0 & y-2 \\
8 & 4
\end{array}\right]\) સમાન થાય તેવી આપેલી x અને પુ ની કિંમત….
(A) x = –\(\frac{1}{3}\)
(B) શોધવું શક્ય નથી.
(C) y = 7, x = –\(\frac{2}{3}\)
(D) x = –\(\frac{1}{3}\), y = –\(\frac{2}{3}\)
જવાબ (B) શોધવું શક્ય નથી.
ઉત્તરઃ

∴ x અને y ની કિંમતો શોધી શકાય નહિ.

પ્રશ્ન 10.
પ્રત્યેક ઘટક 0 અથવા 1 હોય તેવા 3 × 3 કક્ષાવાળા શ્રેણિકની સંખ્યા…..
(A) 27
(B) 18
(C) 81
(D) 512
જવાબ (D) 12
ઉત્તરઃ
અહીં, શ્રેણિકની કક્ષા 3 × 3 છે.
∴ શ્રેણિકમાં ઘટકોની સંખ્યા 9 થાય.
શ્રેણિકનાં ઘટકો 0 અને 1 લેવાનાં છે.
અર્થાત્ ઘટકોની પસંદગી બે પ્રકારે જ થાય.
∴ શક્ય શ્રેણિકોની સંખ્યા = (2)⁹
= 512