Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 13 સંભાવના Ex 13.1 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 13 સંભાવના Ex 13.1
પ્રશ્ન 1.
ઘટનાઓ E અને F માટે P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 અને P(E ∩ F) = 0.2 આપેલ છે. P(E | F) અને P(F | E) શોધો.
ઉત્તરઃ
આપેલ છે કે ઘટનાઓ E અને F માટે,
P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 અને P(E ∩ F) = 0.2
પ્રશ્ન 2.
જો P[B] = 0.5 અને P(A ∩ B) = 0.32 હોય, તો P(A | B) શોધો.
ઉત્તરઃ
P(B) = 0.5 અને P(A ∩ B) = 0.32
પ્રશ્ન 3.
જો P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 અને P(B | A) = 0.4 હોય, તો (i) P(A ∩ B) (ii) P(A | B) (iii) P(A ∪ B) શોધો.
ઉત્તરઃ
P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 અને P(B | A) = 0.4
(iii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.8 + 0.5 – 0.32
= 1.3 – 0.32
= 0.98
પ્રશ્ન 4.
2P(A) = P(B) = \(\frac{5}{13}\) અને P(A | B) = \(\frac{2}{5}\) હોય, તો P(A ∪ B)ની કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
2P(A) = P(B) = \(\frac{5}{13}\) ⇒ P(A) = \(\frac{5}{26}\), P(B) = \(\frac{5}{13}\)
P(A | B) = \(\frac{2}{5}\)
\(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) = \(\frac{2}{5}\)
P(A ∩ B) = \(\frac{2}{5}\) P(B) = \(\frac{2}{5} \times \frac{5}{13}=\frac{2}{13}\)
હવે, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= \(\frac{5}{26}+\frac{5}{13}-\frac{2}{13}\)
= \(\frac{5}{26}+\frac{3}{13}\)
= \(\frac{11}{26}\)
પ્રશ્ન 5.
જો P(A) = \(\frac{6}{11}\), P(B) = \(\frac{5}{11}\) અને P(A ∪ B) = \(\frac{7}{11}\) હોય, તો (i) P(A ∩ B), (ii) P(A | B) , (iii) P(B | A) શોધો.
ઉત્તરઃ
P(A) = \(\frac{6}{11}\), P(B) = \(\frac{5}{11}\), P(A ∪ B) = \(\frac{7}{11}\)
(i) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= \(\frac{6}{11}+\frac{5}{11}-\frac{7}{11}\)
= \(\frac{4}{11}\)
પ્રશ્નો 6 થી 9 માં P(E | F) શોધો :
પ્રશ્ન 6.
એક સિક્કાને ત્રણ વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
(i) E : ત્રીજી વખત ઉછાળનાં છાપ મળે.
F: પ્રથમ બે વખત ઉછાળતાં છાપ મળે.
(ii) E : ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળશે.
F : વધુમાં વધુ બે છાપ મળે.
(iii) E : વધુમાં વધુ બે કાંટા મળે.
F : ઓછામાં ઓછો એક કાંટો મળે,
ઉત્તરઃ
એક સિક્કાને ત્રણ વખત બળવાનાં પ્રયોગમાં નિદર્શાવકાશ 5 હોય તો,
S = {TTT, HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH}
∴ n(S) = 8
(i) ઘટના E = ત્રીજી વખત ઉછાળતાં છાપ મળે,
= {TTH, HTH, THH, HHH}
∴ n(E) = 4
ઘટના F = પ્રથમ બે વખત ઉછાળતાં છાપ મળે,
= {HHT, HHH}
∴ n(F) = 2
E ∩ F = {HHH} ⇒ n {E ∩ F} = 1
(ii) ઘટના E = ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળે.
= {HHT HTH, THI, HHH}
∴ n(E) = 4
ઘટના F = વધુમાં વધુ બે છાપ મળે,
= {TTT, HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH}
∴ n(F) = 7
E ∩ F = {HHT, HTH, THH}
∴ n {E ∩ F} = 3
(iii) ઘટના E = વધુમાં વધુ બે કાંટા મળે.
= {HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH}
∴ n(E) = 7
ઘટના F = ઓછામાં ઓછો એક કાંટો મળે,
= {TTT, HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH}
∴ n(F) = 7
E ∩ F = {HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH}
∴ n(E ∩ F) = 6
પ્રશ્ન 7.
બે સિક્કાઓ એક વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
(i) E : એક સિક્કા પર કાંટો મળે,
F : એક સિક્કા પર છાપ મળે.
(ii) E : એક પણ કાંટો ન મળે,
F : એક પણ છાપ ન મળે.
ઉત્તરઃ
બે સિક્કાઓ એક વખત ઉછાળવામાં આવે છે. આ ઘટનાનો નિદર્શાવકાશ
S = {HH, HT, TH, TT} = n(S) = 4
(i) ઘટના E = એક સિક્કા પર કાર્ય મળે.
= {TH, HT}
∴ n(F) = 2
ઘટના F = એક સિક્કા પર છાપ મળે.
= {TH, HT}
∴ n(F) = 2
E ∩ F = {TH, HT} ⇒ n(E ∩ F) = 2
(ii) ઘટના E = એક પણ કાંટી ન મળે.
= {HH}
∴ n(F) = 1
ઘટના F = એક પણ છાપ ન મળે.
= {TT}
∴ n(F) = 1
E ∩ F = Φ ⇒ (E ∩ F) = 0
પ્રશ્ન 8.
પાસાને ત્રણ વખત ફેંકવામાં આવે છે.
E : ત્રીજી વખત ફેંકતા 4 મળે છે.
F: પ્રથમ બે વખત ફેંકતા અનુક્રમે 6 અને 5 મળે છે.
ઉત્તરઃ
એક પાસાને ત્રણ વખત ફેંકવામાં આવે છે.
∴ નિદર્શાવકાશ S = (1, 2, 3, 4, 5, 6) × (1, 2, 3, 4, 5, 6) × (1, 2, 3, 4, 5, 6)
∴ n(S) = 6 × 6 × 6 = 216
ઘટના E = ત્રીજી વખત ફેંકતા 4 મળે છે.
= (1, 2, 3, 4, 5, 6) × (1, 2, 3, 4, 5, 6) × (4)
∴ n(E) = 6 × 6 × 1 = 36
ઘટના F = પ્રથમ બે વખત ફેંકતા અનુક્રમે 6 અને 5 મળે.
= (6) × (5) × (1, 2, 3, 4, 5, 6)
∴ n(F) = 1 × 1 × 6 = 6
E ∩ F = (6) × (5) × (4)
∴ n(E ∩ F) = 1 × 1 × 1 = 1
પ્રશ્ન 9.
કુટુંબના ફોટા માટે માતા-પિતા અને પુત્ર યાદૈચ્છિક રીતે એકસાથે હારમાં ઊભા રહે છે.
E : પુત્ર એક છેડા પર છે. F : પિતા મધ્યમાં છે.
ઉત્તરઃ
કુટુંબના ફોટા માટે માતા-પિતા અને પુત્ર યાદચ્છિક રીતે એકસાથે હારમાં ઊભા રહે છે. માતા માટે M, પિતા માટે F અને પુત્ર માટે 5 લખતાં, આ પ્રયોગ માટેનો નિદર્શાવકાશ S હોય, તો
S = {M F S, S F M, S M F, M S F, F M S, F S M}
ઘટના E= પુત્ર એક છેડા પર હોય.
= {M F S, S F M, S M F, F M S}
∴ n(E) = 4
ઘટના F = પિતા મધ્યમાં છે.
= {M F S, S F M}
n(F) = 2
E ∩ F = {M F S, S F M}
∴ n(E ∩ F ) = 2
પ્રશ્ન 10.
એક કાળા રંગના અને એક લાલ રંગના પાસાને ફેંકવામાં આવે છે.
(a) જો કાળા રંગના પાસા પર સંખ્યા 5 મળે છે તેમ આપેલ હોય, તો બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો 9 કરતાં વધુ હોય તેની શરતી સંભાવના શોધો.
(b) જો લાલ રંગના પાસા પર 4 કરતાં નાની સંખ્યા મળે છે તેમ આપેલ હોય, તો બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો 8 મળે તેની શરતી સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
એક કાળા રંગના અને એક લાલ રંગના પાસાને ફેંક્વામાં આવે છે. આ ઘટનાનો નિદર્શાવકાશ 5 હોય તો ડમાં ઘટકોની સંખ્યા n(S) = 6 × 6 = 36.
(a) ધટના B = કાળા રંગના પાસા પર સંખ્યા 5 મળે,
= (51, 52, 53, 54, 55, 56)
∴ n(B) = 6
બંને પાસા પર મળતા અંકોનો સરવાળો 9 કરતાં વધુ હોય તે ઘટનાને A વડે દર્શાવીએ તો
ઘટના A = [46, 64, 53, 65, 56, 66]
n(A) = 6
A ∩ B = {55, 56} ⇒ n(A ∩ B) = 2
જો કાળા રંગના પાસા પર સંખ્યા 5 મળે છે તેમ આપેલ હોય, તો બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો 9 કરતાં વધુ હોય તે ઘટના A | B છે.
(b) ઘટના B = લાલ રંગના પાસા પર 4 કરતાં નાની સંખ્યા મળે.
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}
n(B) = 18
ઘટના A= બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો 8 મળે.
= {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)}
∴ n(A) = 5
A ∩ B = {{2, 6) (3, 5)}
n(A ∩ B) = 2
જો લાલ રંગના પાસા પર તે કરતાં નાની સંખ્યા મળે છે તેમ આપેલ હોય તો બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો 8 મળે તે ઘટના A | B છે.
પ્રશ્ન 11.
એક સમતોલ પાસાને ફેંકવામાં આવે છે. ઘટનાઓ E = {1, 3, 5}, F = {2, 3} અને G = {2, 3, 4, 5} નો વિચાર કરો.
(i) P(E | F) અને P(F | E) શોધો.
(ii) P(E | G) અને P(G | E) શોધો.
(iii) P((E ∪ F | G) અને P((E ∩ F) | G) શોધો.
ઉત્તરઃ
એક સમતોલ પાસાને ફેંકવામાં આવે છે.
∴ મળતો નિદર્શાવકાશ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ઘટના E = {1, 3, 5} ⇒ n(E) = 3
ઘટના F = {2, 3} ⇒ n(F) = 2
ઘટના G = {2, 3, 4, 5} ⇒ n(G) = 4
(E ∩ F) = {3} ⇒ n(E ∩ F) = 1
(E ∩ F) = {3, 5} ⇒ n(E ∩ G) = 2
= \(\frac{n[(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}) \cap \mathrm{G}]}{n(\mathrm{G})}\)
= \(\frac{1}{4}\)
પ્રશ્ન 12.
ધારો કે પ્રત્યેક જન્મેલું બાળક છોકરો અથવા છોકરી હોય તે સમસઁભાવી છે. એક કુટુંબમાં બે બાળકો છે.
(i) સૌથી નાનું બાળક છોકરી છે, (ii) ઓછામાં ઓછી એક છોકરી છે, તેમ આપેલ હોય, તો બંને છોકરીઓ હોય તેની શરતી સંભાવના કેટલી થાય ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે પ્રથમ અને દ્વિતીય બાળક છોકરી હોય તેને ઉ અને G1 વડે G2 વડે દર્શાવીએ તથા પ્રથમ અને દ્વિતીય બાળક છોકરો હોય તેને B1 અને B2 વડે દર્શાવીએ. એક કુટુંબમાં બે બાળકો છે.
∴ નિદર્શાવકાશ S = {G1 G2, G1 B2, B1 G2, B1 B2}
ઘટના A = બંને બાળ છોકરી હોય.
= {G1 G2}
∴ n(A) = 1
ઘટના B = સૌથી નાનું બાળક છોકરી છે,
= {G1 G2, B1 G2}
∴ n(B) = 2
ઘટના C = ઓછામાં ઓછી એક છોકરી હોય.
= {G1 G2, B1 G2, G1 B2}
∴ n(C) = 3
A ∩ B = {G1 G2} ⇒ n(A ∩ B) = 1
A ∩ C = {G1 G2} ⇒ n(A ∩ C) = 1
(i) સૌથી નાનું બાળક છોકરી છે તેમ આપેલ હોય તો બંને છોકરીઓ હોય તે ઘટના A | B છે.
(ii) ઓછામાં ઓછી એક છોકરી હોય તેમ આપેલ હોય તો બંને છોકરીઓ હોય તે ઘટના A | C છે.
પ્રશ્ન 13.
એક માર્ગદર્શક પાસે પ્રશ્નબૅન્ક છે, તેમાં સત્યઅસત્ય પ્રકારના 300 સરળ તથા 200 કઠિન પ્રશ્નો છે. તદુપરાંત, બહુવિકલ્પી પ્રકારના 500 સરળ તથા 400 કઠિન પ્રશ્નો છે. આ પ્રશ્નબૅન્કમાંથી એક પ્રશ્ન યાદૈચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. જો આ પ્રશ્ન બહુવિકલ્પી પ્રકારનો છે તેમ આપેલ હોય, તો તે સરળ પ્રશ્ન હોય તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
એક પ્રશ્નબેન્કમાં,
∴ નિદર્શાવકાશના ઘટકોની સંખ્યા n(S) = 1400
ઘટના A = યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ પ્રશ્ન સરળ હોય.
ઘટના B = યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ પ્રશ્ન બહુવિક્લ્પ પ્રકારનો હોય.
∴ n(A) = 300 + 500 = 800
n(B) = 500 + 400 = 900
A ∩ B = યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ પ્રશ્ન બહુવિકલ્પ પ્રકારનો અને સરળ હોય.
∴ n(A ∩ B) = 500
∴ P(A ∩ B) = \(\frac{n(\mathrm{~A} \cap \mathrm{B})}{n(\mathrm{~S})}\) = \(\frac{500}{1400}=\frac{5}{14}\)
P(B) = \(\frac{n(\mathrm{~B})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{900}{1400}=\frac{9}{14}\)
યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ પ્રશ્ન બહુવિકલ્પી પ્રકારનો છે તેમ આપેલ હોય તો તે પ્રશ્ન સરળ હોય તે ઘટના A | B છે.
∴ P(A | B) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
= \(\frac{\frac{5}{14}}{\frac{9}{14}}\)
= \(\frac{5}{9}\)
પ્રશ્ન 14.
બે પાસા ફેંકવાથી મળતી સંખ્યાઓ ભિન્ન છે તેમ આપેલ હોય, તો ‘બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો 4 હોય’ તે ઘટનાની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
બે પાસાં ફેંકવામાં આવે છે. તો મળતો નિદર્શાવકાશ S હોય તો,
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
∴ n(S) = 36
ઘટના A= પાસા પર મળતી સંખ્યાઓનો સરવાળો 4 હોય.
= {(1, 3), (3, 1), (2, 2)}
∴ n(A) = 3
ઘટના B = પાસા પર મળતી સંખ્યાઓ ભિન્ન હોય.
= {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1) (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2) (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3) (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3) (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3) (6, 4), (6, 5)}
∴ n(B) = 30
A ∩ B = {(1, 3) (3, 1)} ⇒ n(A ∩ B) = 2
બે પાસા ફેંકવાથી મળની સંખ્યાઓ ભિન્ન છે તેમ આપેલ હોય તો બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો 4 હોય તે ઘટના A | B છે.
પ્રશ્ન 15.
પાસાને ફેંકવાના પ્રયોગનો વિચાર કરો, પાસા પર મળતો પૂર્ણાંક ૩ નો ગુણિત હોય, તો તે પાસાને ફરીથી ફેંકો અને જો પાસા પર અન્ય કોઈ પૂર્ણાંક મળે તો એક સિક્કાને ઉછાળો. પાસા પર ઓછામાં ઓછી એક વખત પૂર્ણાંક 3 મળે તેમ આપેલ હોય, તો સિક્કા પર કાંટો મળે તે ઘટનાની શરતી સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
પાસો ફેંકવાના પ્રયોગમાં, પાસા પર મળતો પૂર્ણાંક ૩નો ગુણિત હોય તો તે પાસાને ફરીથી ફેંકવામાં આવે છે. અન્યથા એક સિક્કાને છાળવામાં આવે છે. આ પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ S હોય તો.
S = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (6, 1) (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (1, H), (1, T) (2, H), (2, T), (4, H), (4, T), (5, H), (5, T)}
∴ n(S) = 20
ઘટના A = સિક્કા પર કાંટો મળે.
= {{1, T), (2, T), (4, T), (5, T)
ઘટના B= પાસા પર ઓછામાં ઓછી એક વખત પૂર્ણાંક ૩ મળે.
= {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}
અહીં A ∩ B = Φ
∴ n(A ∩ B) = 0
માંગેલ સંભાવના
પ્રશ્નો 16 તથા 17માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :
પ્રશ્ન 16.
જો P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = 0 હોય, તો P (A | B) = …………
(A) 0
(B) \(\frac{1}{2}\)
(C) અવ્યાખ્યાયિત
(D) 1
ઉત્તરઃ
P(A | B) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{P(A \cap B)}{0}\)
∴ P(A | B) = અવ્યાખ્યાયિત છે.
∴ વિકલ્પ (C) આવે.
પ્રશ્ન 17.
જો ઘટનાઓ A અને B માટે P(A | B) = P(B | A) હોય, તો
(A) A ⊂ B પરંતુ A ≠ B
(B) A = B
(C) A ∩ B = Φ
(D) P(A) = P(B)
ઉત્તરઃ
P(A | B) = P(B | A)
∴ \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
∴ P(B) = P(A)
∴ P(A) = P(B)
∴ વિક્લ્પ (D) આવે.