GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 12 સુરેખ આયોજન Ex 12.1

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 12 સુરેખ આયોજન Ex 12.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 12 સુરેખ આયોજન Ex 12.1

નીચે આપેલ સુરેખ આયોજનના પ્રશ્નો આલેખની રીતે ઉકેલો :

પ્રશ્ન 1.
x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 શરતોને આધીન Z = 3x + 4y નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ x અને ની કિંમતો પ્રથમ ચરણમાં છે.
x + y ≤ 4
x + y = 4 ⇒ \(\frac{x}{4}+\frac{y}{4}\) = 1
⇒ રેખા X- અક્ષને A(4, 0) તથા
Y- અશ્વને B(0, 4) માં છેદે છે.
બિંદુઓ A અને B જોડવાથી રેખા x + y = 4 મળે છે.
(0, 0) બિંદુ માટે 0 + 0 ≤ 4 જે સત્ય છે.
∴ (0, 0) ને સમાવતું અર્થતલ એ અસમતા x + y ≤ 4 નો ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે.
આપેલ સુરેખ આયોજનનો ઉકેલ પ્રદેશ OAB છે. જે રેખાંતિ ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. અહીં ઉકેલ પ્રદેશ સીમિત છે. જેનાં શિરોબિંદુઓ O(0, 0), A(4, 0) તથા B(0, 4) છે.
ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ Z = 3x + 4yનું સંગત મૂલ્ય
O(0, 0)
A(1, 0)
B(0, 4)

Z = 0
z = 12
Z = 16
Z = 3x + 4y નું મહત્તમ મૂલ્ય 16 છે. જે બિંદુ B(0, 4) આગળ મળે છે.

પ્રશ્ન 2.
x + 2y ≤ 8, 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 શરતોને આધીન Z = – 3x + 4y નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ x અને y પુની કિંમતો પ્રથમ ચરણમાં છે.
x + 2y ≤ 8
x + 2y = 8 ⇒ \(\frac{x}{8}+\frac{y}{4}\) = 1
⇒ રેખા X- અને A(8, 10) તથા
Y- અક્ષને B(0, 4) માં છેરે છે.
(0, 0) બિંદુ માટે 0 + 0 ≤ 8 જે સત્ય છે,
∴ x + 2y ≤ B એ (0, 0) બિંદુને સમાવતું અર્ધતલ દર્શાવે છે.
3x + 2y ≤ 12
3x + 2y = 12 ⇒ \(\frac{x}{4}+\frac{y}{6}\) = 1
કરેખા X અને A'(4, 0) તથા
Y- અન્નને B'(0, 6) માં છેદે છે.
(0, 0) બિંદુ માટે 0 + 0 ≤ 12 જે સત્ય છે.
∴ 3x + 2y ≤ 12 એ (0, 0) બિંદુને સમાવતું અર્થતલ દર્શાવે છે. આલેખ પરથી શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ OA’PB છે. જે સીમિત છે. આકૃતિમાં તે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ O(0, 0), A'(4, 0), P(2, 3) તથા B(0, 4) છે.
ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ

O(0, 0)
A(4, 0)
P(2, 3)
B(0, 4)

Z = – 3x + 4y નું સંગત મૂલ્ય

0
– 12
6
16

આમ બિંદુ (4, 0) આગળ Z = – 3x + y નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય – 12 મળે છે.

પ્રશ્ન 3.
3x + 5y ≤ 15, 5x + 2y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0 શરતોને આધીન Z = 5x + 3y નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ x અને yની કિંમતો પ્રથમ ચરણમાં છે,
3x + 5y ≤ 15
3x + 5y = 15 ⇒ \(\frac{x}{5}+\frac{y}{3}\) = 1
⇒ રેખા X- અને A(5, 0) તથા
Y- અક્ષને B(0, 3) માં છેદે છે.
બિંદુ A(5, 0) ને B(0, 3) ને જોડતા રેખા 3x + 5y = 15 મળે છે. (0, 0) બિંદુ માટે, 0 + 0 ≤ 15 જે સત્ય છે.
∴ (0, 0) બિંદુને સમાવતું અર્ધનલ એ અસમતા 3x + 5y ≤ 15 નો ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે.
5x + 2y ≤ 10
5x + 2y = 10 ⇒ \(\frac{x}{2}+\frac{y}{5}\) = 1
⇒ રેખા X- અને A'(2, 0) તથા
Y- અક્ષને B'(0, 5) માં છેદે છે.
બિંદુઓ A'(2, 0) અને B'(0, 5) ને જોડતાં રેખા 5x + 2y = 10
મળે છે. (0, 0) બિંદુ માટે 0 + 0 ≤ 10 જે સત્ય છે.
∴ (0, 0) બિંદુને સમાવતું અર્ધતલ એ અસમતા 5x + 2y ≤ 10નો ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે,
આપેલ સુરૈખ આયોજનનો શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ OA’PB છે, જે આલેખમાં રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
બિંદુ P નાં ધામ સમીકરણો 3x + 5y = 15 તથા 5x + 2y = 10 ને ઉકેલતાં મળશે.

આમ, શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ O(0, 0), A'(2, 0), P(\(\frac{20}{19}\), \(\frac{45}{19}\)) તથા B(0, 3) છે.

શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ Z = 5x + 3y નું સંગત મૂલ્ય
O(0, 0)
A'(2, 0)
P(\(\frac{20}{19}\), \(\frac{45}{19}\))
B(0, 3)

Z = 0
Z = 10
Z = \(\frac{235}{19}\)
Z = 9
∴ Z = 5x + 3y નું મહત્તમ મૂલ્ય \(\frac{235}{19}\) છે. જે બિંદુ P(\(\frac{20}{19}\), \(\frac{45}{19}\)) આગળ મળે છે.

પ્રશ્ન 4 .
x + 3y ≥ 3, x + y ≥ 2, x, y ≥ 0 શરતોને આધીન Z = 3x + 5y નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
x, y ≥ 0 ⇒ x અને y ની કિંમતો પ્રથમ ચરણમાં છે.
x + 3y ≥ 3
x + 3y = 3 ⇒ \(\frac{x}{3}+\frac{y}{1}\) = 1
⇒ રેખા A(3, 0) તથા B(0, 1) બિંદુમાં અનુક્રમે X- અક્ષ અને Y- અક્ષને છેદે છે.
બિંદુ A(3, 0) અને B(0, 1) ને જોડવાથી રેખા x + 3y = 3 મળે. (0, 0) બિંદુ માટે 0 + 0 ≥ 3 જે સત્ય નથી.
∴ બિંદુ (0, 0) ને ન સમાવતું હોય તેવું અર્ધદલ એ અસમતા x + 3y ≥ 3 નો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
x + y ≥ 2
x + y = 2 ⇒ \(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\) = 1
⇒ રેખા X અમને A'(2, 0)માં તથા
Y- અલને B'(0, 2) માં છેદે છે.
બિંદુઓ A'(2, 10) તથા B'(0, 2) ને જોડવાથી રેખા x + y = 2 મળે. (0, 0) બિંદુ માટે 0 + 0 ≥ 2 જે સત્ય નથી.
∴ બિંદુ (0, 0) ને સમાવતાં ન હોય તેવું અર્પતલ એ અસમતા x + y ≥ 2 નો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
આપેલ સુરેખ આયોજન દ્વારા રચાતો શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ APB’ બિંદુ Pનાં ધામ સમીકરણ x + 3y = 3 અને x + y = 2 ને ઉકેલવાથી મળે છે. B નાં યામ (\(\frac{3}{2}\), \(\frac{1}{2}\)) મળશે. આકૃતિમાં ઉકેલ પ્રદેશ APB’ સીમિત નથી, શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુ A(3, 0), P(\(\frac{3}{2}\), \(\frac{1}{2}\)) તથા B'(0, 2) છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ Z = 3x + 5y નું સંગત મૂલ્ય
A(3, 0)
P(\(\frac{3}{2}\), \(\frac{1}{2}\))
B'(0, 2)

Z = 9
Z = 7
Z = 10

Z = 3x + 5y નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય 7 છે. પરંતુ અહીં શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ સીમિત નથી. તેથી Zનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય 7 હોય પણ ખરૂં અને ન પણ હોય. તે માટે Z = 3x + 5y < 7 અસમતાનો આલેખ દોરવામાં આવે છે. 3x + 5y = 7 રેખા તૂટક (- – -) રૈખા તરીકે દર્શાવેલ છે. (0, 0) ને સમાવતું હોય તે અર્થતલ 3x + 5y < 7 નો ઉકેલ પ્રદેશ છે. સ્પષ્ટ છે કે 3x + 5y < 7 ને શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ સાથે કોઈ સામાન્ય બિંદુ મળતા નથી.
∴ Z = 3x + 5y નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય 7 છે. જે P(\(\frac{3}{2}\), \(\frac{1}{2}\)) આગળ મળે છે.

પ્રશ્ન 5.
x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x, y ≥ 0 શરતોને આધીન Z = 3x + 2y નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
x, y ≥ 0 ⇒ x અને પુ ની કિંમતો પ્રથમ ચરણમાં છે.
x + 2y ≤ 10
x + 2y = 10 ⇒ \(\frac{x}{10}+\frac{y}{5}\) = 1
⇒ રેખા X- અને A(10, 0) તથા
Y- અથને B(0, 5) માં છેદે છે.
∴ રેખા x + 2y = 10 એ હિંદુઓ A અને B ને જોડવાથી મળે છે. (0, 0) બિંદુ માટે 0 + 0 ≤ 10 જે સત્ય છે.
∴ (0, 0) બિંદુને સમાવતું અર્ધતલ એ અસમતા x + 2y ≤ 10નો ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે.
3x + y ≤ 15
3x + y = 15 ⇒ \(\frac{x}{5}+\frac{y}{15}\) = 1
⇒ રેખા X- અને A'(5, 0) તથા
Y- અક્ષને B'(0, 15) માં છેડે છે.
∴ રેખા 3x + y = 15 એ બિંદુઓ A’ અને B’ જોડવાથી મળે છે. (0, 0) બિંદુ માટે 0 + 0 ≤ 15 જે સત્ય છે.
∴ (0, 0) બિંદુને સમાવતું અર્ધતલ એ અસમતા 3x + y ≤ 15 નો ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે.

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે OA’PB શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ છે. જે રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. આ પ્રદેશ સીમિત છે. તેનાં શિરોબિંદુઓ O(0, 0), A'(5, 0), P(4, 3), B(0, 5) મળે છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ Z = 3x + 2y નું સંગત મૂલ્ય
O(0, 0)
A'(5, 0)
P(4, 3)
B(0, 5)

z = 0
z = 15
Z = 18
z = 10
Z = 3x + 2y નું મહત્તમ મૂલ્ય 18 એ x = 4 અને y = 3 હોય ત્યારે મળે છે.

પ્રશ્ન 6.
2x + y ≥ 3, x + 2y ≥ 6, x, y ≥ 0 શરતોને આધીન Z = x + 2y નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધો. Zનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય બે કરતાં વધુ બિંદુઓએ મળે છે, તેમ બતાવો.
ઉત્તરઃ
x, y ≥ 0 ⇒ x અને y ની કિંમતો પ્રથમ ચરણમાં છે.
2x + y ≥ 3
2x + y = 3 ⇒ \(\frac{x}{\frac{3}{2}}+\frac{y}{3}\) = 1
⇒ રેખા X- અક્ષને A(\(\frac{3}{2}\), 0) તથા
Y- અને B(0, 3) માં છેદે છે.
∴ બિંદુઓ A અને B જોડવાથી રેખા 2x + y = 3 મળે છે,
બિંદુ (0, 0) માટે 0 + 0 ≥ 3 જે સત્ય નથી.
∴ (0, 0) બિંદુ સમાવતું ન હોય તે અર્થતલ એ અસમતા 2x + y ≥ 3 નો ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે.
x + 2y ≥ 6
x + 2y = 6 ⇒ \(\frac{x}{6}+\frac{y}{3}\) =1
⇒ રેખા X- અન્નને A'(6, 0) માં તથા
Y- અને B'(0, 3) માં છેદે છે.
∴ બિંદુઓ A’ અને B’ જોડવાથી રેખા x + 2y = 6 મળે છે.
બિંદુ (0, 0) માટે 0 + 0 ≥ 6 જે સત્ય નથી.
∴ (0, 0) બિંદુ સમાવતું ન હોય તે અર્પતલ એ અસમ
તા x + 2y ≥ 6 નો ઉકેલ પ્રદેશ છે.
આપેલ સુરેખ આયોજનનો શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ XA’BY છે. જે અસીમિત છે. તેનાં શિરોબિંદુઓ A'(6, 0) તથા B(0, 3) છે. A'(6, 0) આગળ 2 = x + 2y = 6 મળે છે,
B(0, 3) આગળ Z = x + ?y = 6 મળે છે. Z = x + 2y < 6 ને આલેખો, A (6, 0) અને B(0, 3) સામાન્ય બિંદુઓ મળશે.
∴ Zનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય 6 ઐ A'(6, 0) બિંદુઓ તથા B(0, 3) બિંદુએ મળે છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે Zનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય બે કરતાં વધુ બિંદુઓએ મળે છે.

અહીં ઉકેલગણ અસીમિત છે. તેથી x + 2y < 6 નો આલેખ દોરવામાં આવે છે. સ્પષ્ટ છે કે x + 2y < 6 નાં પ્રદેશને આપેલ ઉકેલનાં શક્ય પ્રદેશ સાથે કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી.
∴ Zનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય 6 છે. જે A’ તથા B ને જોડતી રેખાખંડનાં પ્રત્યેક બિંદુ આગળ મળે છે.

પ્રશ્ન 7.
x + 2y ≤ 120, x + y ≥ 60, x – 2y ≥ 0, x, y ≥ 0 શરતોને આધીન Z = 5x + 10yનું મહત્તમ મૂલ્ય તેમજ ન્યૂનતમ મૂલ્ય મેળવો.
ઉત્તરઃ
x, y ≥ 0 ⇒ x અને yની કિંમતો પ્રથમ ચરણમાં છે.
x + 2y ≤ 120
x + 2y = 120 ⇒ \(\frac{x}{120}+\frac{y}{60}\) = 1
⇒ રૈખા X- અક્ષને A₁(120, 0) તથા
Y- અક્ષને B(0, 6) માં છેદે છે.
∴ બિંદુઓ A₁ અને B₁ ને જોડવાથી રેખા x + 2y = 120 મળે છે. (0, 0) બિંદુ માટે 0 + 0 ≤ 120 જે સત્ય છે.
∴ (0, 0) ને સમાવતું હોય તેવું અર્ધનલ એ અસમતા x + 2y ≤ 120 નો ઉકેલ પ્રદેશ છે.
x + y ≥ 60
x + y = 60 ⇒ \(\frac{x}{60}+\frac{y}{60}\) = 1
⇒ રેખા X- અને A₂(120, 0) અને
Y- અક્ષને B₁ (0, 60) માં મળે છે,
બિંદુઓ A₂ અને B₁ ને જોડવાથી રેખા x + y = 60 મળે છે. (0, 0) બિંદુ માટે 0 + 0 ≥ 60 જે સત્ય નથી.
∴ (0, 0) ને સમાવતું ન હોય તેવું અર્પતા એ અસમતા x + y ≥ 60 નો ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે.
x – 2y ≥ 0
x – 2y = 0 ⇒ x = 2y
⇒ રેખા O(0, 0) તથા A₃ (30, 15) માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુઓ O(0, 0) તથા A₃ (30, 15) ને જોડવાથી રેખા x – 2y = 0 મળે.
ધારો કે બિંદુ (30, 0) છે. 30 – 0 ≥ 0 જે સત્ય છે,
∴ (30, 0) બિંદુને સમાવતું અર્ધતલ એ અસમતા x – 2y ≥ 0 નો ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશગણ A₁, A₂, PQ, A₁ છે. જે આકૃતિમાં રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. અહીં શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ સીમિત છે, જેનાં શિરોબિંદુઓ A₁ (120, 0) , A₂ (60, 0), P(40, 20) તથા Q(60, 30) છે.

શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ Z = 5x + 10yનું સંગત મૂલ્ય
A₁(120, 0)
A₂ (60, (0)
P(40, 20)
Q(60, 30)

Z = 600
Z = 500
Z = 400
Z = 600

Z = 5x + 10y નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય A₂(60, 0) આગળ મળે છે. જે 300 છે.
Z = 5x + 10y નું મહત્તમ મૂલ્ય 600 છે. જે A₁(120, 0) અને Q(60, 30) ને જોડતી રેખાખંડનાં દરેક બિંદુ આગળ મળે છે.

પ્રશ્ન 8.
x + 2y ≥ 100, 2x – y ≤ 0, 2x + y ≤ 200, x, y ≥ 0 શરતોને આધીન Z = x + 2yનું મહત્તમ તેમજ ન્યૂનતમ મૂલ્ય મેળવો.
ઉત્તરઃ
x, y ≥ 100 ⇒ x અને y નું મૂલ્ય પ્રથમ ચરણમાં છે.
x + 2y ≥ 100
x + 2y = 100 ⇒ \(\frac{x}{100}+\frac{y}{50}\) = 1
⇒ રેખા X- અને A(100, 0) તથા
Y- અક્ષને B(0, 50) માં છેકે છે.
∴ બિંદુઓ A અને B ને જોડવાથી રેખા x + 2y = 100 મળે છે. (0, 0) બિંદુ માટે 0 + 0 ≥ 100 જે સત્ય નથી.
∴ (0, 0) ને સમાવતું ન હોય તે અર્ધતલ એ અસમતા x + 2y ≥ 100 નો ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે.
2x – y ≤ 0
2x – y = 0 ⇒ 2x = y
⇒ રેખા O(0, 0) તથા C(50, 100)માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુ (10, 0) લો, 20 – 0 > 0 જે સત્ય નથી.
∴ (10, 0) બિંદુને સમાવતું ન હોય તે અર્પતલ એ અસમના 2x – y ≤ 0 નો ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે.
2x + y ≤ 200
2x + y = 200 ⇒ \(\frac{x}{100}+\frac{y}{200}\) = 1
⇒ રેખા A(100, 0) તથા E(0, 200) માંથી પસાર થાય છે.
∴ બિંદુ D અને E ને જોડતી રેખા 2x + y = 200 દર્શાવે છે. (0, 0) બિંદુ માટે 0 + 0 ≤ 200 જે સત્ય છે.
∴ (0, 0) ને સમાવતું અધૃતલ એ અસમતા 2x + y ≤ 200 નો ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે,
આલેખ પરથી શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ BDCEB છે, જે રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. અહીં ઉકેલ પ્રદેશ સીમિત છે.
શિરોબિંદુઓ B(0, 50), D(20, 40), C(50, 100) તથા E(0, 200) છે.

શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ
B(0, 50)
D(20, 40)
C(50, 100)
E(0, 200)

Z = x + 2yનું સંગત મૂલ્ય
z = 100
z = 100
z = 250
z = 400

Z = x + 2y નું મહત્તમ મૂલ્ય 400 છે. જે E(0, 200) આગળ મળે છે.
Z = x + 2y નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય 100 છે. જે B(0, 50) અને D(20, 40) હિંદુઓને જોડવાથી મળતાં રેખાખંડનાં પ્રત્યેક બિંદુ આગળ મળે છે.

પ્રશ્ન 9.
x ≥ 3, x + y ≥ 5, x + 2y ≥ 6, y ≥ 0 શરતોને આધીન Z = – x + 2yનું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
x ≥ 3 x = 3 એ Y- અક્ષને સમાંતર (3, 0) માંથી પસાર થતી રેખા છે. x ≥ 3 એ (0, 0)ને સમાવતું ન હોય તે અર્થતલ દર્શાવે છે.
x + y ≥ 5
x + y = 5 ⇒ \(\frac{x}{5}+\frac{y}{5}\) = 0
⇒ રેખા X- અક્ષને A(5, 0) તથા Y- અક્ષને B(0, 5) માં છેદે છે.
∴ બિંદુઓ A અને B ને જોડવાથી રેખા x + y = 5 મળે છે.
(0, 0) બિંદુ માટે 0 + 0 ≥ 5 જે સત્ય નથી.
∴ (0, 0) ને સમાવતું ન હોય તેવું અર્પતલ એ અસમતા x + y ≥ 5 નો ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે.
x + 2y ≥ 6
x + 2y = 6 ⇒ \(\frac{x}{6}+\frac{y}{3}\) = 1
⇒ રેખા X- અને C(6, 0) તથા Y- અક્ષને D[0, 3) માં છેદે છે.
બિંદુઓ C અને D ને જોડવાથી રેખા x + 2y = 6 મળે છે. (0, 0] બિંદુ માટે 0 + 0 > 6 જે શક્ય નથી,
∴ (0, 0) ને સમાવતું ન હોય તેવું અર્ધતલ એ અસમતા x + y > 6 નો ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે.
આપેલ સુરેખ આયોજનનો શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ આલેખમાં રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. આ પ્રદેશ અસિમીત છે. તેનાં શિરોબિંદુઓ C(6, 0), P(4, 1) તથા Q(3, 2) છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ
C(6, 0)
P(4, 1)
Q(3, 2)

Z = x + 2yનું સંગત મૂલ્ય
Z = – 6
Z = – 2
Z = 1

અહીં શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ સીમિત નથી. તેથી Z = -x + 2y નું મહત્તમ મૂલ્ય 1 હોય પા ખરૂં અને ન પણ હોય. તે માટે – x + 2y > 1 નો આલેખ દોરો. – x + 2y > 1 નાં ઉકેલ પ્રદેશ તથા શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ સાથે સામાન્ય બિંદુઓ ઘણા જ મળે છે.
∴ Zને મહત્તમ કિંમત મળતી નથી.

પ્રશ્ન 10.
x – y ≤ – 1, – x + y ≤ 0, x, y > 0 શરતોને આધીન Z = x + y નું મહત્તમ મૂલ્ય મેળવો.
ઉત્તરઃ
x, y ≥ 0 ⇒ x અને નાં મૂલ્યો પ્રથમ ચરણમાં છે.
x – y ≤ – 1
x – y = – 1 ⇒ રેખા A(0, 1) તથા B(2, 3) માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુઓ A અને B ને જોડવાથી રેખા x – y = -1 મળે છે. (0, 0) બિંદુ માટે 0 – 0 ≤ – 1 જે સત્ય નથી.
∴ (0, 0) ને સમાવતું ન હોય તેવું અર્ધતલ એ અસમતા ને x – y ≤ – 1 નો શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે.
– x + y ≤ 0
– x + y = 0 ⇒ રેખા O(0, 0) તથા C(2, 2) માં પસાર થાય છે.

બિંદુઓ O અને C ને જોડવાથી રેખા – x + y = 0 મળે છે. બિંદુ (1, 0) માટે, − 1 + 0 ≤ 0 જે સત્ય છે.
∴ બિંદુ (1, 0) ને સમાવતું હોય તેવું અર્થતલ એ અસમતા x – y ≤ – 1 નો શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે.
આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે બધી મર્યાદાઓનું એકસાથે સમાધાન થાય તેવું કોઈ બિંદુ મળતું નથી. આમ, પ્રશ્નને શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ મળતો નથી અને તેથી શક્ય ઉકેલ મળતો નથી.
∴ Z = x + yનું મહત્તમ મૂલ્ય મળતું નથી.