GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 11 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિ Ex 11.2

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 11 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિ Ex 11.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 11 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિ Ex 11.2

પ્રશ્ન 1.
સાબિત કરો કે $\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13} ; \frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13} ; \frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$ દિક્કોસાઇનવાળી ત્રણ રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે ત્રણ રેખાઓ L₁, L₂ તથા L₃ છે.
L₁ ની દિક્કોસાઇન : l₁ = $\frac{12}{13}$, m₁ = $\frac{-3}{13}$, n₁ = $\frac{-4}{13}$
L₂ ની દિક્કોસાઇન : l₂ = $\frac{4}{13}$, m₂ = $\frac{12}{13}$, n₂ = $\frac{3}{13}$
L₃ ની દિક્કોસાઇન : l₃ = $\frac{3}{13}$, m₃ = $\frac{-4}{13}$, n₃ = $\frac{12}{13}$
હવે રેખાઓ L₁ અને L₂ માટે,

∴ L₁ ⊥ L₃
આમ, ત્રણેય રેખાઓ L₁, L₂, અને L₃ પરસ્પર લંબ છે.

પ્રશ્ન 2.
સાબિત કરો કે (1, −1, 2), (3, 4, −2) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા (0, 3, 2) અને (3, 5, 6) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાને લંબ છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે રેખા L₁ એ A(1, −1, 2) તથા B(3, 4, −2) માંથી પસાર થાય છે.
∴ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ નો દિર્ગુણોત્તર a₁ = x₂ – x₁ = 3 – 1 = 2
b₁ = y₂ – y₁ = 4 + 1 = 5
c₁ = z₂ – z₂ = -2 – 2 = -4
રેખા L₂ એ બિંદુ C(0, 3, 2) અને D(3, 5, 6) માંથી પસાર થાય છે.
CD નો દિર્ગુણોત્તર a₂ = x₂ − x₁ = 3 – 0 = 3
b₂ = y₂ – y₁ = 5 – 3 = 2
c₂ = z₂ – z₁ = 6 – 2 = 4
હવે a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = (2)(3) + (5)(2) + (-4) (4)
= 6 + 1 – 16
= 0
∴ $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}$
∴ રેખાઓ L₁ અને L₂ પરસ્પર લંબ છે.

પ્રશ્ન 3.
સાબિત કરો કે (4, 7, 8), (2, 3, 4) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા (−1, −2, 1), (1, 2, 5) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાને સમાંતર છે.
ઉત્તરઃ
રેખા L₁ એ બિંદુ A(4, 7, 8) અને B(2, 3, 4) માંથી પસાર થાય છે.
∴ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ નો દિર્ગુણોત્તર, a₁ = x₂ − x₁ = 2 – 4 = -2
b₁ = y₂ – y₁ = 3 – 7 = -4
c₁ = z₂ – z₁ = 4 – 8 = – 4

રેખા L₁ એ બિંદુ C(−1, -2, 1) અને D(1, 2, 5) માંથી પસાર થાય છે.
$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ નો દિર્ગુણોત્તર, a₂ = x₂ – x₁ = 1 + 1 = 2
b₂ = y₂ – y₁ = 2 + 2 = 4
c₂ = z₂ – z₁ = 5 – 1 = 4

હવે,
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{-2}{2}=-1, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-4}{4}=-1, \frac{c_1}{c_2}=\frac{-4}{4}=-1$
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$
∴ $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \| \overrightarrow{\mathrm{CD}}$
∴ રેખા L₁ અને L₂ સમાંતર છે.

પ્રશ્ન 4.
બિંદુ (1, 2, 3) માંથી પસાર થતી અને સદિશ 3î + 2ĵ – 2k̂ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
રેખા L એ બિંદુ A($\vec{a}$) = (1, 2, 3) માંથી પસાર થાય છે
તથા તે હૈં $\vec{b}$ = 3î + 2ĵ – 2k̂
∴ A($\vec{a}$) = î + 2ĵ + 3k̂ તથા તેની દિશા $\vec{b}$ છે
∴ રેખાનું સદિશ સમીકરણ :
$\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}$, λ સ્વૈર અચળ છે. λ ∈ R
$\vec{r}$ = (î + 2ĵ + 3k̂) + λ (3î + 2ĵ – 2k̂)

પ્રશ્ન 5.
જેનો સ્થાનસદિશ 2î − 5ĵ + 4 k̂ હોય તેવા બિંદુમાંથી પસાર થતી અને î + 2ĵ – k̂ દિશાવાળી રેખાનું સમીકરણ સદિશ અને કાર્તેઝિય સ્વરૂપમાં મેળવો.
ઉત્તરઃ
રેખા L એ A($\vec{a}$) = 2î − 5ĵ + 4 k̂ માંથી પસાર થાય છે
તથા તેની દિશા $\vec{b}$ = î + 2ĵ – k̂ છે.

રેખા L નું સદિશ સમીકરણ :$\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}$, λ ∈ R
∴ $\vec{r}$ = 2î – ĵ + 4k̂ + n(î + 2ĵ – k̂)
રેખાનું કાર્તેઝિય સમીકરણ :
$\vec{r}$ = xî + yĵ + zk̂ લેતાં,
xî + yĵ + zk̂ = (2î – ĵ + 4k̂) + λ (î + 2ĵ − k̂)
∴ (x – 2)î +(y + 1)ĵ +(z – 4)k̂ = λ(î + 2ĵ – k̂)
î, ĵ તથા k̂ ના સહગુણકો સરખાવતાં,
x – 2 = λ, y + 1 = 2λ, z – 4 = -λ
$\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-4}{-1}$ (λને દૂર કરતાં)
જે રેખાનું કાર્તેઝિય સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 6.
બિંદુ (-2, 4, −5) માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+8}{6}$ ને સમાંતર રેખાનું કાર્તેઝિય સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
રેખા L એ બિંદુ A ($\vec{a}$) = (-2, 4, −5) માંથી પસાર થાય છે.
∴ (x₁, y₁, z₁) = (−2, 4, −5)
રેખા L : $\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+8}{6}$ ને સમાંતર છે.
: રેખા L ની દિશા (a, b, c) = (3, 5, 6) થશે.
રેખા L નું કાર્તેઝિય સમીકરણ :
$\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$
$\frac{x+2}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+5}{6}$

પ્રશ્ન 7.
રેખાનું કાર્તેઝિય સમીકરણ $\frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}$ છે. તેનું સદિશ સ્વરૂપ લખો.
ઉત્તરઃ
આપેલ છે કે રેખાનું કાર્તેઝિય સમીકરણ
$\frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}$ છે.

હવે રેખાનાં કાર્તેઝિય સમીકરણ
$\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ સાથે સરખાવતાં

(x₁, y₁, z₁) = (5, -4, 6) થશે તથા (a, b, c) = (3, 7, 2) થશે.
અર્થાત્ રેખા A($\vec{a}$) = (5, – 4, 6) = 5î – 4ĵ + 6k̂ માંથી
પસાર થાય છે તથા તેની દિશા $\vec{b}$ = 3î + 7ĵ + 2k̂ છે.
રેખાનું સિદેશ સમીકરણ :
$\vec{r}$ = $\vec{a}$ + λ$\vec{b}$, λ ∈ R
$\vec{r}$ = (5î – 4ĵ + 6k̂) + λ(3î + 7ĵ + 2k̂)

પ્રશ્ન 8.
ઊગમબિંદુ અને (5, −2, 3) માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ અને કાર્તેઝિય સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
રેખા L એ ઊગમબિંદુ O($\vec{O}$) = (0, 0, 0)
તથા A($\vec{a}$) = (5, −2, 3) માંથી પસાર થાય છે.
∴ રેખાનું સદિશ સમીકરણ :
$\vec{r}=\overrightarrow{\mathrm{O}}+\lambda \overrightarrow{\mathrm{OA}}$, λ ∈ R
$\vec{r}$ = (0, 0, 0) + λ (5, −2, 3)
$\vec{r}$ = λ(5î – 2ĵ + 3k̂)
હવે_r = xi + yj + zk લેતાં,
xî + yĵ + zk̂ = k (5i – 2ĵ + 3k̂)
બંને બાજુ, અને ના સહગુણકો સરખાવતાં,
x = 5λ, y = −2λ, z = 3λ,
∴ $\frac{x}{5}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}$ (λ ને દૂર કરતાં)
જે રેખાનું કાર્તેઝિય સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 9.
બિંદુઓ (3, −2, −5), (3, -2, 6) માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ અને કાર્તેઝિય સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
રેખા L એ બિંદુઓ A($\vec{a}$) =(3, − 2, − 5) અને B($\vec{b}$) = (3, −2, 6) માંથી પસાર થાય છે.
∴ રેખા L નું સંદેશ સમીકરણ :
$\vec{r}=\vec{a}+\lambda(\vec{b}-\vec{a})$ (λ ને દૂર કરતાં)
$\vec{r}$ = (3, -2, -5) + λ [(3, −2, 6) – (3, -2, -5)]
$\vec{r}$ = (3, −2, -5) + λ (0, 0, 11)
$\vec{r}$ = (3î – 2 – 5k) + λ (11k̂)
હવે $\vec{r}$ = xî + yĵ + zk̂ લેતાં,
xî + yî + zî = (3î – 2ĵ −5k̂) + 2(11k̂)
x = 3 + 0.2, y = −2 + 0.λ, z = −5 + 11λ
∴ $\frac{x-3}{0}=\frac{y+2}{0}=\frac{z+5}{11}$
જે રેખા L નું કાર્તેઝિય સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 10.
નીચે આપેલી રેખાઓની જોડ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો :
(i) $\vec{r}$ = 2î – 5ĵ + k̂ + λ(3î + 2ĵ + 6k̂) અને
$\vec{r}$ = 7 î − 6k̂ + μ (î + 2 ĵ + 2k̂)
ઉત્તરઃ
રેખા L₁: $\vec{r}$ = 2î – 5ĵ + k̂ + 2 (3î + 2ĵ + 6k̂)
રેખા L₂: $\vec{r}$ = 7î − 6k̂ + μ (î + 2ĵ + 2k̂)

રેખા L₁ એ સંદેશ $\overrightarrow{b_1}$ =3î + 2ĵ + 6k̂ ને સમાંતર છે તથા
રેખા L₁ એ સદિશ $\overrightarrow{b_2}$ = î + 2ĵ + 2k̂ ને સમાંતર છે.

ધારો કે રેખા L₁ અને L₂ વચ્ચેનો ખૂણો θ છે.

(ii) $\vec{r}$ = 3î + ĵ – 2k̂ + λ( î – ĵ − 2k̂) અને
$\vec{r}$ = 2 î − ĵ − 56k̂ + μ (3î – 5 ĵ – 4k̂)
ઉત્તરઃ
રેખા L₁: 7 = 3î + ĵ − 2k̂ + λ(î – ĵ − 2k̂)
રેખા L₂: 7 = 2î – ĵ – 56k̂+ μ (3î – 5ĵ – 4k̂)
રેખા L₂ એ સદિશ $\overrightarrow{b_1}$ = î – ĵ – 2k̂ ને સમાંતર છે.
રેખા L₂ એ સંદેશ $\overrightarrow{b_2}$ = 3î – 5ĵ – 4k̂ ને સમાંતર છે.
ધારો કે રેખા L₁ અને L ₂ વચ્ચેનો ખૂણો θ છે.

પ્રશ્ન 11.
નીચેની રેખાઓની જોડ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો :
(i) $\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{-3}$ અને $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-4}{8}=\frac{z-5}{4}$
ઉત્તરઃ
રેખા L₁ : $\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{-3}$
રેખા L₂ : $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-4}{8}=\frac{z-5}{4}$

રેખા L₁ અને L₂ ને સમાંતર સદિશો અનુક્રમે
$\overrightarrow{b_1}$ = 2î + 5ĵ – 3k̂ અને $\overrightarrow{b_2}$ = -î + 8ĵ + 4k̂
છે. જો બંને રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો θ હોય તો,

(ii) $\frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ અને $\frac{x-5}{4}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{8}$
ઉત્તરઃ
રેખા L₁ : $\frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$
રેખા L₂ : $\frac{x-5}{4}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{8}$

રેખા L₁ અને L₂ ને સમાંતર સદિશો અનુક્રમે
$\overrightarrow{b_1}$ = 2î + 2ĵ + k̂ અને $\overrightarrow{b_2}$ = 4î + ĵ + 8k̂ છે.
જો બંને રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો θ હોય તો,

પ્રશ્ન 12.
રેખાઓ $\frac{1-x}{3}=\frac{7 y-14}{2 p}=\frac{z-3}{2}$ અને $\frac{7-7 x}{3 p}=\frac{y-5}{1}=\frac{6-z}{5}$ પરસ્પર લંબ હોય, તો p નું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ

∴ રેખા L₂ એ સદિશ $\overrightarrow{b_2}$ = $-\frac{3 p}{7}$î + ĵ + −5k̂ ને સમાંતર છે.
આપેલ છે કે રેખા L₁ અને L ₂ પરસ્પર લંબ છે.
$\overrightarrow{b_1} \cdot \overrightarrow{b_2}$ = 0
∴ (- 3î + $\frac{2 p}{7}$ĵ + 2k̂) · ($-\frac{3 p}{7}$ î + ĵ − 5k̂) = 0
∴ $\frac{9 p}{7}+\frac{2 p}{7}$ – 10 = 0
∴ $\frac{11 p}{7}$ = 10
∴ p = $\frac{70}{11}$

પ્રશ્ન 13.
દર્શાવો કે રેખાઓ $\frac{x-5}{7}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z}{1}$ અને $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ પરસ્પર લંબ છે.
ઉત્તરઃ
રેખા L₁ : $\frac{x-5}{7}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z}{1}$
∴ રેખા L₁‚ ને સમાંતર સદિશ $\overrightarrow{b_1}$ = 7î – 5ĵ + k̂ છે.
રેખા L₂ : $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$
રેખા L₂ ને સમાંતર સદિશ $\overrightarrow{b_2}$ = î + 2ĵ + 3k̂
હવે $\overrightarrow{b_1} \cdot \overrightarrow{b_2}$ = (7î − 5ĵ + k̂)
= 7 – 10 + 3
= 0
∴ રેખા L₁ અને L₂ પરસ્પર લંબ છે.

પ્રશ્ન 14.
રેખાઓ $\vec{r}$ = (î + 2ĵ + k̂) + λ(î − ĵ + k̂) અને $\vec{r}$ = 2î – ĵ – k̂ +μ (2î + ĵ + 2k̂) વસ્ચેનું લઘुતામ અંતર શોધો.
ઉત્તરઃ
રેખા L₁ : $\vec{r}$ = (î + 2ĵ + k̂) + λ(î − ĵ + k̂)
રેખા L₁ એ A₁ ($\overrightarrow{a_1}$) = î + 2ĵ + k̂ માંથી પસાર થાય છે તથા તે સદિશ $\overrightarrow{b_2}$ = 2î + ĵ + 2k̂ ને સમાંતર છે.
$\overrightarrow{a_2}-\overrightarrow{a_1}$ = (2î – ĵ – k̂) – (î + 2ĵ + k̂)
= î – 3ĵ – 2k̂

પ્રશ્ન 15.
રેખાઓ $\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}$ અને $\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1}$ વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર શોધો.
ઉત્તરઃ
રેખા L₁: $\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}$
⇒ $\frac{x-(-1)}{7}=\frac{y-(-1)}{-6}=\frac{z-(-1)}{1}$
∴ રેખા L₁ એ A($\overrightarrow{a_1}$) = -î – ĵ – k̂ માંથી પસાર થાય
છે તથા તે સદિશ $\overrightarrow{b_1}$ = 7î – 6ĵ + k̂ ને સમાંતર છે.

રેખા L₁ : $\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1}$
∴ રેખા L₂ એ B($\overrightarrow{a_2}$) = 3î + 5ĵ + 7k̂ માંથી પસાર થાય છે તથા તે સદિશ $\overrightarrow{b_2}$ = î – 2ĵ + k̂ ને સમાંતર છે.

પ્રશ્ન 16.
જે રેખાઓનાં સદિશ સમીકરણ
$\vec{r}$ = (î + 2ĵ + 3k̂) + λ (î – 3ĵ + 2k̂) અને
$\vec{r}$ = 4î + 5ĵ + 6k̂ + μ (2î + 3ĵ + k̂) હોય, તે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર શોધો.
ઉત્તરઃ
રેખા L₁ : $\vec{r}$ = (î + 2ĵ + 3k̂) + λ (î − 3ĵ + 2k̂)
રેખા L₂: $\vec{r}$ = (4î + 5ĵ + 6k̂) + μ (2î + 3ĵ + k̂)
રેખા L₁: $\vec{r}=\overrightarrow{a_1}+\lambda \overrightarrow{b_1}$ સાથે સરખાવતાં,
$\overrightarrow{a_1}$ = î + 2ĵ + 3k̂ તથા $\overrightarrow{b_1}$ = î – 3ĵ + 2k̂

રેખા L₂ : $\vec{r}=\overrightarrow{a_2}+\mu \overrightarrow{b_2}$
$\overrightarrow{a_2}-\overrightarrow{a_1}$ = (4î + 5ĵ + 6k̂) – (î + 2ĵ + 3k̂)
= 3î + 3ĵ + 3k̂

પ્રશ્ન 17.
જે બે રેખાનાં સદિશ સમીકરણ
$\vec{r}$ = (1 − t) î + (t − 2) ĵ + (3 −2t) k̂ અને $\vec{r}$ = (s + 1)î + (2s − 1)ĵ – (2s + 1)k̂ રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર શોધો.
ઉત્તરઃ
રેખા L₁: $\vec{r}$ = (1 − t) î + (t − 2) ĵ + (3 −2t) k̂
= î – 2ĵ + 3k̂ + t(-î + ĵ – 2k̂)
$\vec{r}=\overrightarrow{a_1}+t \overrightarrow{b_1}$ સાથે સરખાવતાં,
$\overrightarrow{a_1}$ = î − 2ĵ + 3k̂, $\overrightarrow{b_1}$ = -î + ĵ − 2k̂
રેખા L₁: (s + 1)î + (2s − 1)ĵ − (2s + 1)k̂
= (î – ĵ − k̂) + s (î + 2ĵ – 2k̂)
$\vec{r}=\overrightarrow{a_2}+s \overrightarrow{b_2}$ સાથે સરખાવતાં,
$\overrightarrow{a_2}$ = î − ĵ − k̂, $\overrightarrow{b_2}$ = î + 2ĵ – 2k̂
$\overrightarrow{a_2}-\overrightarrow{a_1}$ = (î − ĵ − k̂) – (î + 2ĵ – 2k̂)
= ĵ – 4k̂