GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 11 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિ Ex 11.1

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 11 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિ Ex 11.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 11 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિ Ex 11.1

પ્રશ્ન 1.
જો કોઈ રેખા X-અક્ષ, Y-અક્ષ અને Z-અક્ષ સાથે અનુક્રમે 90°, 135°, 45° માપના ખૂણા બનાવે, તો તેની દિક્કોસાઇન શોધો.
ઉત્તરઃ
આપેલ છે કે α = 90°, β = 135° અને γ = 45°
cos α = cos 90° = 0,
cos β = cos 135° = cos (180° – 45°)
= -cos 45°
= –\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
તથા cos γ = cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
. આપેલ રેખાનાં દિક્કોસાઇનો 0, –\(\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) છે.

પ્રશ્ન 2.
યામાક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવતી રેખાની દિક્કોસાઇન શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારોકે રેખા એ X-અક્ષની ધન દિશા સાથે α, Y-અક્ષની ધન દિશા સાથે β તથા Z-અક્ષની ધન દિશા સાથે γ માપનો ખૂણો બનાવે છે. આપેલ છે α = β = γ
આપણે જાણીએ છીએ કે cos²α + cos²β + cos²γ = 1
∴ cos²α + cos²β + cos²γ = 1 (α = β = γ)
∴ 3cos²α = 1
cos α = ± \(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\)
યામાક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવતી રેખાની દિક્કોસાઇન = \(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\)

પ્રશ્ન 3.
જો રેખાના દિણોત્તર −18, 12, −4 હોય, તો તેની દિક્કોસાઇન શોધો.
ઉત્તરઃ
આપેલ છે કે રેખાના દિર્ગુણોત્તર −18, 12, −4 છે.
∴ a = -18, b = · 12, c = -4
∴ a² + b² + c² = (−18)² + (12)² + (-4)²
= 324 + 144 + 16 = 484.

રેખાની દિકોસાઇન l, m, n હોય, તો

∴ આપેલ રેખાની દિક્કોસાઇન \(\frac{-9}{11}, \frac{6}{11}, \frac{-2}{11}\) છે.

પ્રશ્ન 4.
સાબિત કરો કે બિંદુઓ (2, 3, 4), (−1, −2, 1), (5, 8, 7) સમરેખ છે.
ઉત્તરઃ
ધારોકે 3 A(2, 3, 4), B (-1, -2, 1), C(5, 8, 7) આપેલ બિંદુઓ છે.
AB નો દિર્ગુણોત્તર :
a₁ = x₂ – x₁ = −1 − 2 = −3
b₁ = y₂– y₁ = −2 − 3 = -5
c₁ = z₂ – z₁ = 1 – 4 = -3

BC નો દિર્ગુણોત્તર :
હવે
a₂ = x₂ – x₁ = 5 + 1 = 6
b₂ = y₂ – y₁ = 8 + 2 = 10
c₂ = z₂ – z₁ = 7 – 1 = 6

∴ AB || BC
AB અને BC માં એક બિંદુ B સામાન્ય છે.
∴ બિંદુઓ A, B, C સમરેખ છે.

પ્રશ્ન 5.
(3, 5, 4), (−1, 1, 2) અને (–5, 5, −2) શિરોબિંદુવાળા ત્રિકોણની બાજુઓની દિક્કોસાઇન શોધો.
ઉત્તરઃ

A (3, 5, -4), B(-1, 1, 2)
અને C(–5, −5, −2) એ ત્રિકોણ
ABC નાં શિરોબિંદુઓ છે.

AB = (-1, 1, 2) – (3, 5, −4)
= = (-4, -4, 6)

BC = (-5, -5, -2) – (-1, 1, 2)
= (-4, -6, -4)

CA = (3, 5, −4) – (−5, −5, −2)
= (8, 10, -2)

ΔABC ની બાજુ AB ના દિક્કોસાઇન :

ΔABC ની બાજુ BC ના દિક્કોસાઇન :

ΔABC ની બાજુ CA ના દિક્કોસાઇન :

આમ,બાજુ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ના દિક્કોસાઇન : \(\frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{3}{\sqrt{17}}\)
બાજુ \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) ના દિક્કોસાઇન : \(\frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{-3}{\sqrt{17}}, \frac{-2}{\sqrt{17}}\)
બાજુ \(\overrightarrow{\mathrm{CA}}\) ના દક્કોસાઇન : \(\frac{4}{\sqrt{42}}, \frac{5}{\sqrt{42}}, \frac{-1}{\sqrt{42}}\)