GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 10 સદિશ બીજગણિત Ex 10.5

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 10 સદિશ બીજગણિત Ex 10.5 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 10 સદિશ બીજગણિત Ex 10.5

પ્રશ્ન 1.
\(\vec{a}\) = î – 2ĵ + 3k̂, \(\vec{b}\) = 2 î – 3ĵ + k̂ અને \(\vec{c}\) = 3î + ĵ – 2k̂ હોય, તો \([\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\) શોધો.
ઉત્તર:
\(\vec{a}\) = î – 2ĵ + 3k̂ ⇒ a₁ = 1, a₂ = -2, a₃ = 3
\(\vec{b}\) = 2 î – 3ĵ + k̂ ⇒ b₁ = 2, b₂ = -3, b₃ = 1
\(\vec{c}\) = 3î + ĵ – 2k̂ ⇒ c₁ = 3, c₂ = 1, c₃ = -2

= 1(6 −1) + 2 (−4 − 3) + 3 (2 + 9)
= 5 – 14 + 33 = 24

પ્રશ્ન 2.
સાબિત કરો કે સદિશ \(\vec{a}\) = î – 2ĵ + 3k̂, \(\vec{b}\) = -2î + 3ĵ – 4k̂ અને \(\vec{c}\) = î – 3ĵ + 5k̂ સમતલીય છે.
ઉત્તર:
\(\vec{a}\) = î – 2ĵ + 3k̂ ⇒ a₁ = 1, a₂ = -2, a₃ = 3
\(\vec{b}\) = -2î + 3ĵ – 4k̂ ⇒ b₁ = -2, b₂ = 3, b₃ = -4
\(\vec{c}\) = î – 3ĵ + 5k̂ ⇒ c₁ = 1, c₂ = -3, c₃ = 5
\(\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})=\left|\begin{array}{lll}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3
\end{array}\right|\)
= 1 (15 – 12) + 2 (-10 + 4) + 3 (6 − 3)
= 3 – 12 + 9 = 0
∴ સદિશોa, b અને c સમતલીય સદિશો છે.

પ્રશ્ન 3.
જો સદિશ î – ĵ + k̂, 3î – ĵ + 2k̂ અને î + λĵ – 3k̂ સમતલીય હોય, તો λ શોધો.
ઉત્તર:
\(\vec{a}\) = î – ĵ + k̂ ⇒ a₁ = 1, a₂ = -1, a₃ = 1
\(\vec{b}\) = 3î – ĵ + 2k̂ ⇒ b₁ = 3, b₂ = -1, b₃ = 2
\(\vec{c}\) = î + λĵ – 3k̂ ⇒ c₁ = 1, c₂ = λ, c₃ = -3

આપેલ છે કે સિદેશો \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) અને \(\vec{c}\) સમતલીય છે.

∴ 1 (-3 – 2λ) + 1 (-9 – 2) + 1 (3λ − 1) = 0
∴ -3 – 2λ – 11 + 3λ − 1 = 0
∴ λ = 15

પ્રશ્ન 4.
સદિશ \(\vec{a}\) = î + ĵ + k̂, \(\vec{b}\) = î અને \(\vec{c}\) = c₁î + c₂ ĵ + c₃ k̂ હોય, તો \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) અને \(\vec{c}\) સમતલીય બને તે માટે c₃ શોધો.
ઉત્તર:
\(\vec{a}\) = î + ĵ + k̂ ⇒ a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = 1
\(\vec{b}\) = î ⇒ b₁ = 1, b₂ = 0, b₃ = 0
\(\vec{c}\) = c₁î + c₂ ĵ + c₃ k̂
(a) c₁ = 1, c₂ = -1 અને c₃ = 1 હોય, તો સાબિત કરો કે
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) અને \(\vec{c}\) સમતલીય છે.

= 1(0) – 1(1 – 0) + (-1 – 0)
= -1 – 1
= -2 ≠ 0
∴ c₁ કોઈ પણ કિંમત માટે \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) અને \(\vec{c}\) સદિશ સમતલીય નથી.

પ્રશ્ન 5.
સાजित કરો के 4î + 8ĵ + 12k̂, 2î + 4ĵ + 6k̂, 3 î + 5ĵ + 4k̂ અને 5î + 8ĵ + 5k̂ સ્થાન સદિશ ધરાવતાં ચાર બિંદુઓ સમતલીય છે.
ઉત્તર:
ધારો ક \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = 4î + 8ĵ + 12k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) = 2î + 4ĵ + 6k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) = 3i + 5ĵ + 4k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) = 5î + 8ĵ + 5k̂
બિંદુઓ A, B, C અને Dનાં સ્થાનસદિશો છે.

= 2 (21 − 0) + 4 (7 + 8) – 6 (0 +3)
= 42 + 60 – 18 = 0
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) સમતલીય સદિશો છે
∴ બિંદુઓ A, B, C, D સમતલીય છે.

પ્રશ્ન 6.
ચાર બિંદુઓ A(3, 2, 1), B(4, x, 5), C(4, 2, −2) અને D(6, 5, −1) સમતલીય હોય, તો z શોધો.
ઉત્તર:
A(3, 2, 1), B(4, x, 5), C(4, 2, -2) અને D(6, 5, −1) ચાર સમતલીય બિંદુઓ છે.
∴ સિંદેશો \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) સમતલીય સદિશો થાય.

∴ 1 (0 + 9) – (x −2) (−2 + 9) + 4 (3 − 0) = 0
∴ 9 – 7x + 14 + 12 = 0
∴ x = 5

પ્રશ્ન 7.
જો \(\vec{a}+\vec{b}, \vec{b}+\vec{c}\) અને \(\vec{c}+\vec{a}\) સમતલીય હોય, તો સાબિત કરો કે \(\vec{a}, \vec{b}\) અને \(\vec{c}\) સમતલીય છે.
ઉત્તર:

મિત્રો, JEE exam માટે યાદ રાખો કે,
(1) \(\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}\)
\((\vec{b} \times \vec{c}) \times \vec{a}=(\vec{b} \cdot \vec{a}) \cdot \vec{c}-(\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b}\)
\(\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{a})\)ને સદિશનું ત્રિગુણન કહે છે.

(2)એક કણ ઉપર બળો \(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \ldots \overrightarrow{F_n}\), લાગે તો પરિણામી બળ
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}=\overrightarrow{\mathrm{F}_1}+\overrightarrow{\mathrm{F}_2}+\ldots+\overrightarrow{\mathrm{F}_n}\), થાય. આ બળની અસ૨ વડે કણનું
સ્થાનાંતર જો \(\vec{d}\) હોય તો થયેલું કાર્ય \(\vec{w}=\overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \vec{d}\) થાય.