GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 1 સંબંધ અને વિધેય Ex 1.2

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 1 સંબંધ અને વિધેય Ex 1.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 1 સંબંધ અને વિધેય Ex 1.2

પ્રશ્ન 1.
ધારો કે R* તમામ શૂન્યેતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. સાબિત કરો કે, વિધેય f : R* → R*, f(x) = \(\frac{1}{x}\) વડે વ્યાખ્યાયિત વિધેય એક એક અને વ્યાપ્ત છે. જો પ્રદેશ R* ના બદલે N લેવામાં આવે અને સહપ્રદેશ R* જ રહે તો શું આ પરિણામ સત્ય રહેશે ?
ઉત્તરઃ
f : R* → R*, f(x) = \(\frac{1}{x}\)
x₁, x₂ ∈ R*
જો f(x₁) = f(x₂) તો \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\) ⇒ x₁ = x₂
∴ વિષય f એ એક-એક વિષય છે.
ધારો કે, y ∈ R* તથા y = f(x)
⇒ y = \(\frac{1}{x}\)
⇒ x = \(\frac{1}{y}\)
∴ f(x) = \(f\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{\frac{1}{y}}=y\)
∴ વિધેય શું એ વ્યાપ્ત વિષય છે.
જો વિધેય f નો પ્રદેશ R* ને બદલે N લેવામાં આવે તથા તેનો સપ્રદેશ પણ R* ને બદલે N હોય તો આ પરિણામ સત્ય નથી. અર્થાત્ વિધેય f(x) = \(\frac{1}{x}\) એક-એક અને વ્યાપ્ત વિષય નથી. કારણ કે N માં સંખ્યાઓનાં વ્યસ્ત મળતાં નથી.

પ્રશ્ન 2.
નીચે આપેલ વિષયો એક-એક અથવા વ્યાપ્ત અથવા બંને ગુણધર્મ ધરાવતા વિધેયો છે કે નહિ તે ચકાસો :
(i) f : N → N, f(x) = x²
(ii) f : Z → Z, f(x) = x²
(iii) f : R → R, f(x) = x²
(iv) f : N → N, f(x) = x³
(v) f : Z + Z, f(x) = x³
ઉત્તરઃ
(i) f : N → N, f(x) = x²
f : N → N, f(x) = x²
ધારી કે x₁, x₂ ∈ N
f(x₁) = f(x₂)
⇒ x₁² = x₂²
⇒ x₁ = x₂ (∵ પ્રદેશ N છે.)
∴ વિષેષ f એક-એક વિષય છે.
ધારો કે, 3 ∈ N (સાપ્રદેશ)
f(x) = 3 થાય તેવો એક પણ x એ f નાં પ્રદેશમાં મળતો નથી. કારણ કે x² = ૩ હોય તો x = \(\sqrt{3}\) ∉ N.
આમ, f નાં સપ્તમદેશ Nનાં કેટલાક ઘટકો એવાં મળે છે કે જેનું પ્રદેશ Nનાં ઘટકોનું પ્રતિબિંબ મળતું નથી.
∴ f એ શ્રાપ્ત વિષય નથી.

(ii) f : Z → Z, f(x) = x²

Z = {0, ±1, ±2, ±3,…}
f(1) = (1)² = 1 તથા
f(1) = (-1)² = 1
∴ -1 તથા 1 નું પ્રતિબિંબ સરખું મળે છે.
∴ વિષય f એ એક-એક વિધેય નથી.
સ્પષ્ટ છે કે, f(\(\sqrt{3}\)) = (\(\sqrt{3}\))² = 3
પરંતુ \(\sqrt{3}\) ∈ Z (f નો પ્રદેશ)
આમ, f નાં સહપ્રદેશમાં એવા કેટલાક ધટકો મળે કે જે પ્રદેશનાં ઘટકોનું પ્રતિબિંબ નથી.
∴ f એ વ્યાપ્ત વિષય નથી.

(iii) f : R → R, f(x) = x²

f(2) = (2)² = 4 તથા
f(-2) = (-2)² = 4
∴ 2 અને -2 નું પ્રતિબિંબ સમાન મળે છે.
∴ f એ એક-એક વિષય નથી,
-2 ∈ R (સપ્રદેશ) પરંતુ \(\sqrt{-2}\) નું અસ્તિત્વ નથી.
\(\sqrt{-2}\) એ f નાં પ્રદેશની ઘટક નથી.
∴ f એ વ્યાપ્ત વિષય નથી.

(iv) f : N → N, f(x) = x³
x₁, x₂ ∈ N (પ્રદેશ) f(x₁) = f(x₂)
⇒ x₁³ = x₂³
⇒ x₁ = x₂
આમ, પ્રદેશનાં દરેક પટોનું અનન્ય પ્રતિબિંબ મળે છે.
∴ f એ એક-એક વિષય છે.
f(x) = 2 થાય તેવો x એ f નાં પ્રદેશમાં મળતો નથી.
અર્થાત્ સહપ્રદેશનાં કેટલાક ધટકો એ પ્રદેશનાં ઘટકોનું પ્રતિબિંબ કરતાં નથી.
∴ f એ વ્યાપ્ત વિષય નથી.

(v) f : Z → Z, f(x) = x³
x₁, x₂ ∈ Z (પ્રદેશ) f(x₁) = f(x₂)
⇒ x₁³ = x₂³
⇒ x₁ = x₂
આમ, પ્રદેશનાં દરેક ઘટકોનું અનન્ય પ્રતિબિંબ મળે છે.
∴ f એ એક-એક વિધેય છે.
હવે 5 ∈ Z (સપ્રદેશ) માટે f નાં પ્રદેશમાં એવો x મળતો નથી કે જેથી f(x) = 5 થાય.
આમ, સપ્રદેશ Zનાં કેટલાક પટકો એ પ્રદેશનાં ઘટકોનું પ્રતિબિંબ કરતાં નથી.
∴ f એ વ્યાપ્ત વિધેય નથી.

પ્રશ્ન 3.
સાબિત કરો કે, f: R → R, f(x) = [x] દ્વારા વ્યાખ્યાયિત મહત્તમ પૂર્ણાંક વિષય (Greatest integer function) એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી. અહીં [x], એ xથી નાના અથવા x ને સમાન તમામ પૂર્ણાંકોમાં મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે, બીજા શબ્દોમાં x થી અધિક નહિ તેવા પૂર્ણાંકોમાં સૌથી મોટો પૂર્ણાંક x છે.
ઉત્તરઃ
f : R → R, f(x) = [x]
જ્યાં [x] એ મહત્તમ પુર્ણાંક વિષય છે.
સ્પષ્ટ છે કે,
1 ≤ x < 2 હોય તો f(x) = 1
2 ≤ x < 3 હોય તો f(x) = 2
………………………………….
અર્થાત્ f(1 · 5) = 1, f(1 · 8) = 1, f(1 · 9) = 1
∴ f એ એક એક વિષય નથી.
f નો વિસ્તાર એ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે. જ્યારે f નો સહપ્રદેશ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
અર્થાત્ f(x) = 1 · 5 થાય તેવી x મળે નહીં.
∴ f એ વ્યાપ્ત વિષય નથી.
આમ, વિષય f એ એક-એક કે વ્યાખ વિધેય નથી.

પ્રશ્ન 4.
સાબિત કરી કે માનાંક વિષય f : R → R, f(x) = |x| દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિષેય એક-એક નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી. જો ક ધન અથવા શૂન્ય (અનૃણ) હોય, તો |x| = x અને x ઋણ હોય, તો |x| = – x.
ઉત્તરઃ
f : R → R, f(x) = |x|

2 > 0 ⇒ f(2) = |2| = 2
-2 < 0 ⇒ f(-2) = |-2| = -(-2) = 2
∴ 2 ≠ -2
f(2) = (-2)
∴ f એ એક એક વિષ નથી.
સહપ્રદેશ R માં આવેલ ઋલ સંખ્યાઓ એ કોઈ પણ પટકનું પ્રતિબિંબ નથી.
અર્થાત્ f(x) = -5 થાય તેવો x મળતો નથી.
∴ f એ વ્યાપ્ત વિષય નથી.
આમ, વિધેય હું જે માનાંક વિષે છે તે એક-એક અને વ્યાખ વિધેય નથી.

પ્રશ્ન 5.
સાબિત કરો કે ચિહ્ન વિષય (Signum Function) f : R → R,

દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય એક એક નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.
ઉત્તરઃ

સ્પષ્ટ છે કે, f(5) = f(8) = 1 પરંતુ 5 ≠ 8
f(2) = f(-3) = -1 પરંતુ -2 ≠ −3
અર્થાત્ x₁, x₂ > 0 હોય તો f(x₁) = f(x₂) = 1 થાય.
પરંતુ x₁ ≠ x₂
અને x₁, x₂ < 0 હોય તો f(x₁) = f(x₂) = -1 થાય.
પરંતુ x₁ ≠ x₂
∴ f એ એક-એક વિષય નથી.
f નો વિસ્તાર {−1, 0, 1} છે. {−1, 0, 1} ≠ R
∴ f એ શ્રાપ્ત વિધેય નથી.
આમ, વિશેષ f એ. એક-એક અને શ્રાપ્ત વિષે નથી.

પ્રશ્ન 6.
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} છે અને વિધેય f : A → B, f = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે હું એક-એક છે.
ઉત્તરઃ
A = {1, 2, 3},
B = {1, 5, 6, 7}
f = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}

અહીં, f(1) = 4, f(2) = 5 તથા f(3) = 6
∴ ગણ A નાં દરેક ઘટકોને હું નીચે અન્ય પ્રતિબિંબ મળે છે.
∴ વિધેય એ એક-એક વિષય છે.

પ્રશ્ન 7.
નીચે આપેલ પ્રત્યેક પ્રશ્નમાં આપેલાં વિધેય એક એક છે કે નહિ, વ્યાપ્ત છે કે નહિ અથવા એક-એક અને વ્યાપ્ત છે કે નહિ તે નક્કી કરો. તમારા જવાબનું સમર્થન કરોઃ
(i) f : R → R એ f(x) = 3 – 4x દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે.
ઉત્તરઃ
f : R → R, f(x) = 3 – 4x
x₁, x₂ ∈ R, f(x₁) = f(x₂)
⇒ 3 – 4x₁ = 3 – 4x₂
⇒ x₁ = x₂
∴ વિધેય f એ એક-એક વિધેય છે.
ધારો કે y ∈ R (સહપ્રદેશ)
∴ y = f(x) = 3 – 4x
∴ 4x = 3 – y
∴ x = \(\frac{3-y}{4}\)
f(x) = \(f\left(\frac{3-y}{4}\right)\) = \(3-4\left(\frac{3-y}{4}\right)\) = 4
આમ, ∀ y ∈ R માટે x ∈ R મળે છે કે જેથી f(x) = y થાય.
∴ વિધેય એ વ્યાપ્ત વિષેધ છે.
આમ, વિધેય હું એ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે.

(ii) f : R → R એ f(x) = 1 + x² દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે.
ઉત્તરઃ
f : R → R, f(x) = 1 + x²,
x₁, x₂ ∈ R, f(x₁) = f(x₂)
⇒ 1 + x₁² = 1 + x₂²
⇒ x₁² = 1 + x₂²
⇒ x₁ = ±x₂
f(2) = 1 + (2)² = 5 તથા f(-2) = 1 + (-2)² = 5
∴ 2 ≠ -2 પરંતુ f(2) = f(-2)
∴ વિષય એ એક એક વિષય નથી.
સ્પષ્ટ છે કે, 1 + x² ≥ 1
∴ f નો વિસ્તાર એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
જો y ઋણ સંખ્યા હોય તો f(x) = y થાય તેવો x મળે નહીં.
∴ f એ વ્યાપ્ત વિષય નથી.
આમ, વિધેય એ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિષય નથી.

પ્રશ્ન 8.
A અને B આપેલ ગણ છે. સાબિત કરી કે f : A × B → B × A, f(t, b) = (b, a) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય એક એક અને વ્યાપ્ત છે.
ઉત્તરઃ
f : A× B → B × A, f(a, b) = (b, a)
(a₁ + b₁), (a₂, b₂) ∈ A × B, a₁, a₂ ∈ A તથા b₁, b₂ ∈ B
f(a₁, b₁) = f(a₂, b₂)
⇒ (b₁, a₁) = (b₂, a₂)
⇒ b₁ = b₂ અને a₁ = a₂
⇒ (a₁, b₁) = (a₂, b₂)
આમ, f(a₁, b₁) = f(a₂, b₂) ⇒ (a₁, b₁) = (a₂, b₂)
∴ વિષય હું એ એક-એક વિષય છે.
(b, a) ∈ B × A, b ∈ B, a ∈ A.
(b, a) એ B × A નો સ્વૈચ્છિક ઘટક છે.
∴ f(a, b) = (b, a)
આમ, B × A નાં પ્રત્યેક ઘટક (b, a) માટે A × B નો પટક (a, b) મળે કે જેથી f(a, b) = (b, a) થાય.
∴ f એ શ્રાપ્ત વિષય છે.
આમ, વિધેય શું એ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિષેષ છે.

પ્રશ્ન 9.
ધારો કે, f : N → N,

દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય આપેલ છે. વિધેય એક-એક છે કે નહિ તથા વ્યાપ્ત છે કે નહિ તે નિશ્ચિત કરો, તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.
ઉત્તરઃ

∴ f એ એક એક વિષય નથી.
વિષેષ f નો વિસ્તાર = N છે.
વિષય f નાં સહપ્રદેશ N નો દરેક પટક એ પ્રદેશનાં કોઈ ઘટકનું પ્રતિબિંબ છે.
∴ f એ વ્યાપ્ત વિષય છે.
આમ, f એ વ્યાપ્ત વિધેય છે. પરંતુ એક-એક વિષય નથી.

પ્રશ્ન 10.
A = R – {3} અને B = R – {1} છે. f(x) = \(\left(\frac{x-2}{x-3}\right)\) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય f : A → B નો વિચાર કરો. શું f એક-એક અને વ્યાપ્ત છે ? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.
ઉત્તરઃ
A = R – {3}
B = R – {1}
f : A → B, f(x) = \(\frac{x-2}{x-3}\)
x₁, x₂ ∈ A f(x₁) = f(x₂)
∴ \(\frac{x_1-2}{x_1-3}=\frac{x_2-2}{x_2-3}\)
∴ (x₁ – 2) (x₂ – 3) = (x₂ – 2) (x₁ – 3)
∴ x₁x₂ – 2x₂ – 3x₁ + 6 = x₁x₂ – 2x₁ – 3x₂ + 6
∴ 3x₂ – 2x₂ = 3x₁ – 2x₁
∴ x₂ = x₁
∴ x₁ = x₂
∴ વિધેય f એ એક એક વિષય છે.
ધારો કે, y ∈ R – {1}
y = f(x) = \(\frac{x-2}{x-3}\)
∴ y(x – 3) = x – 2
∴ xy – 3y = x – 2
∴ x(y – 1) = 3y – 2
∴ x = \(\frac{3 y-2}{y-1}\), y ≠ 1
f(x) = \(f\left(\frac{3 y-2}{y-1}\right)\)
= \(\frac{\frac{3 y-2}{y-1}-2}{\frac{3 y-2}{y-1}-3}\)
= \(\frac{3 y-2-2 y+2}{3 y-2-3 y+3}\)
= y
∴ વિધેય f એ વ્યાપ્ત વિષય છે.

પ્રશ્નો 11 તથા 12 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 11.
f : R → R, f(x) = x⁴ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે.
(A) f એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.
(B) f અનેક-એક અને વ્યાપ્ત છે.
(C) f એક-એક છે પરંતુ વ્યાપ્ત નથી.
(D) f એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.
ઉત્તરઃ
f : R → R, f(x) = x⁴
x₁, x₂ ∈ A f(x₁) = f(x₂)
∴ x₁⁴ = x₂⁴
x₁² = x₂²
x₁ = ± x₂
f(2) = (2)⁴ = 16 તથા f(-2) = (-2)⁴ = 16
અર્થાત્ 2 ≠ -2 પરંતુ f(2) = f(-2)
∴ વિષેય f એ એક-એક વિષય નથી.
y ∈ R તથા y = f(x) = x⁴
x = \(y^{\frac{1}{4}}\)
f નો વિસ્તાર ધન વાસ્તવિક સંખ્યા મળે છે.
f નાં સાપ્રદેશ R ની ઋણ સંખ્યાઓ એ પ્રદેશનાં કોઈ ઘટકનું પ્રતિબિંબ નથી.
∴ વિધેય f એ વ્યાપ્ત વિષય નથી.
આમ, વિધેય f એ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિષય નથી.
∴ વિકલ્પ (D) આવે.

પ્રશ્ન 12.
વિધેય : R → R, f(x) = 3x દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
(A) f એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.
(B) f અનેક એક અને વ્યાપ્ત છે.
(C) f એક-એક છે પરંતુ વ્યાપ્ત નથી.
(D) f એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.
ઉત્તરઃ
f : R → R, f(x) = 3x
x₁, x₂ ∈ R f(x₁) = f(x₂)
∴ 3x₁ = 3x₂
∴ x₁ = x₂
∴ વિધેય એ એક એક વિષય છે.
ધારો કે, y ∈ R તથા y = f(x)
∴ y = 3x
x = \(\frac{y}{3}\)
f(x) = \(f\left(\frac{y}{3}\right)=3\left(\frac{y}{3}\right)\) = y
∴ વિધેય f એ વ્યાપ્ત વિષય છે.
આમ, વિષય f એ એક એક અને વ્યાપ્ત વિષે છે.
∴ વિક્લ્પ (A) મળે.