GSEB Solutions Class 11 Physics Chapter 3 સુરેખપથ પર ગતિ

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 3 સુરેખપથ પર ગતિ Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 3 સુરેખપથ પર ગતિ

GSEB Class 11 Physics સુરેખપથ પર ગતિ Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
નીચે આપેલ ગતિનાં ઉદાહરણો પૈકી કયા ઉદાહરણમાં તંત્રને આશરે બિંદુવત્ પદાર્થ ગણી શકાય?
(a) બે સ્ટેશન વચ્ચે વગર ઝટકે (Jerk) ગતિ કરતી ટ્રેન
(b) સરળતાથી કોઈ વર્તુળમાર્ગ પર સાઇકલ ચલાવતી વ્યક્તિના માથા પર બેઠેલ કોઈ વાંદરો
(c) જમીન પર અથડાઈને તીવ્ર વળાંક લેતો – સ્પિન થતો (Spining) ક્રિકેટનો દડો
(d) ટેબલની કિનારી પરથી ખસીને પડતું બીકર
ઉત્તર :
(a) બે સ્ટેશનો વચ્ચેનું અંતર એ ટ્રેનના પરિમાણ કરતાં ખૂબ જ વધારે હોવાથી ટ્રેનને બિંદુવત્ પદાર્થ તરીકે લઈ શકાય.

(b) જો વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા ખૂબ જ મોટી હશે ત્યારે સાઇકલસવાર દ્વારા કપાયેલું અંતર એ વાંદરાના પરિમાણ કરતાં ખૂબ જ મોટું હશે. આવા કિસ્સામાં વાંદરાને બિંદુવત્ પદાર્થ તરીકે લઈ શકાય.
(પરંતુ જો વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા નાની હશે ત્યારે કપાયેલ અંતર પણ ઓછું થશે. આવા કિસ્સામાં વાંદરાને બિંદુવત્ પદાર્થ ના ગણી શકાય.)

(c) જમીન પર અથડાઈને તીવ્ર વળાંક લેતો – સ્પિન થતો દડો દૂરના અંતર સુધી જઈ શકતો નથી. આવા કિસ્સામાં દડાએ કાપેલું અંતર તેના પરિમાણના સંદર્ભમાં વધારે ન હોવાથી તેને બિંદુવત્ પદાર્થ ના ગણી શકાય.

(d) જ્યારે બીકર ટેબલ પરથી પડે છે ત્યારે તે ટેબલની ઊંચાઈ જેટલું અંતર કાપે છે. બીક૨ે કાપેલું અંતર તેના પરિમાણના સંદર્ભમાં મોટું હોવાથી તેને બિંદુવત્ પદાર્થ ના ગણી શકાય.

પ્રશ્ન 2.
બે બાળકો A અને B તેમની શાળા Oથી અનુક્રમે તેમના P અને Q ઘરે પરત ફરી રહ્યાં છે, જેનો સ્થાન-સમય (x – t) આલેખ આકૃતિ 3.30માં દર્શાવેલ છે. નીચે કૌંસમાં દર્શાવેલ સાચી નોંધ પસંદ કરો :
(a) (B/A), (A/B) કરતાં શાળાની નજીક રહે છે.
(b) (B/A), (A/B) કરતાં શાળાએથી વહેલી શરૂઆત કરે છે.
(c) (B/A), (A/B) કરતાં ઝડપથી ચાલે છે.
(d) A અને B એક જ/જુદા જુદા સમયે ઘરે પહોંચે છે.
(e) (A/B) રસ્તા પર (B/A)થી (એક વખત/બે વખત) આગળ નીકળી જાય છે.

ઉત્તર :
(a) આલેખમાં O એ શાળાનું સ્થાન, P એ બાળક Aના ઘરનું સ્થાન અને Q એ બાળક Bના ઘરનું સ્થાન દર્શાવે છે. OP અને OQ અનુક્રમે બાળક A અને B નું શાળાથી ઘરનું અંતર દર્શાવે છે. આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, OP < OQ, એટલે કે બાળક A શાળાની નજીક રહે છે.

(b) જ્યારે x = 0 છે ત્યારે બાળક A t = 0 સમયે અને બાળક B t = t સમયે શાળાએથી નીકળે છે, એટલે કે બાળક A એ બાળક B કરતાં t સમય જેટલો વહેલો શાળાએથી નીકળે છે.

(c) × – t આલેખનો ઢાળ ઝડપ દર્શાવે છે. બાળક B માટેના x – t આલેખનો ઢાળ એ બાળક A માટેના x – t આલેખના ઢાળ કરતાં વધુ હોવાથી બાળક B એ બાળક A કરતાં વધુ ઝડપથી ચાલે છે.

(d) x – t આલેખ પરથી બિંદુ P અને બિંદુ Q માટે સમય tનું મૂલ્ય સમાન મળે છે, (જુઓ આકૃતિ) એટલે કે બાળક A અને B બંને એક જ સમયે ઘરે પહોંચે છે.

(e) બાળક A અને B માટેના x – t આલેખ એકબીજાને ફક્ત એક વાર છેદે છે. બાળક Bની ઝડપ બાળક A કરતાં વધુ હોવાથી તેઓ એકબીજાને મળ્યા બાદ બાળક B એ બાળક A કરતાં આગળ નીકળી જાય છે.

પ્રશ્ન 3.
એક મહિલા સવારે 9:00 કલાકે પોતાના ઘરેથી 2.5 km દૂર આવેલા પોતાના કાર્યાલય પર 5 km h^-1ની ઝડપે સીધી સડક પર ચાલીને જાય છે. ત્યાં તે સાંજે 5:00 કલાક સુધી રહે છે અને 25 km h^-1ની ઝડપે ગતિ કરતી ઑટોરિક્ષામાં પોતાના ઘરે પરત ફરે છે. યોગ્ય સ્કેલમાપ પસંદ કરીને મહિલાની ગતિ માટે x – t આલેખ દોરો.
ઉકેલ:
ઘરથી ઑફિસની મુસાફરી :

= \(\frac{1}{2}\)h
= 30 min
મહિલા 9:00 AM કલાકે ઑફિસે જવા નીકળે છે અને 2.5 km જેટલું અંતર 30 minuteમાં કાપે છે, એટલે કે તે 9:30 AM કલાકે ઑફિસે પહોંચે છે.
હવે, તે 9:30 AMથી 5:00 PM સુધી ઘરેથી 2.5 km દૂર આવેલી ઑફિસે રોકાય છે.
ઑફિસથી ઘરની મુસાફરી :

= \(\frac{1}{10}\)h
= 6 min
એટલે કે મહિલા 5:00 PM કલાકે ઑફિસેથી નીકળીને 5:06 PM કલાકે ઘરે પહોંચે છે.
આ મહિલાની ગતિ માટેનો x – t આલેખ નીચે આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે :

પ્રશ્ન 4.
એક દારૂડિયો એક સાંકડી ગલીમાં 5 પગલાં આગળ ભરે છે અને 3 પગલાં પાછળ ભરે છે. ત્યારબાદ ફરીથી 5 પગલાં આગળ ભરે છે અને 3 પગલાં પાછળ ભરે છે અને આ રીતે તે ચાલતો રહે છે. તેનું દરેક પગલું 1 m લંબાઈનું અને તે માટે 1 s જેટલો સમય લે છે, તો તેની આ ગતિ માટે x – t આલેખ દોરો. આલેખીય રીતે કે અન્ય કોઈ રીતે નક્કી કરો કે તેની ગતિના પ્રારંભ બિંદુથી 13m દૂર આવેલા ખાડામાં તે કેટલા સમય બાદ પડશે.
ઉકેલ:
ધારો કે, વ્યક્તિ (દારૂડિયો) t = 0 સમયે ચાલવાની શરૂઆત કરે છે. તે એક સેકન્ડમાં એક પગલું (1 m) આગળ અથવા એક પગલું (1 m) પાછળ જાય છે. આથી t = 5 sમાં તે 5 m જેટલું અંતર આગળ કાપે છે અને ત્યારબાદ t = 3 sમાં તે 3m જેટલું અંતર પાછળ કાપે છે.

આ રીતે જુદા જુદા સમયે વ્યક્તિના સ્થાન-યામ નીચે કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે :

સમય	વ્યક્તિએ કાપેલું અંતર (m)	વ્યક્તિએ કાપેલું ચોખ્ખું અંતર x (m)
0	0	0
5	+ 5m	+ 5m
8	– 3m	5 – 3 = 2 m
13	+ 5m	2 + 5 = 7 m
16	– 3m	7 – 3 = 4m
21	+ 5m	4 + 5 = 9 m
24	– 3m	9 – 3 = 6 m
29	+ 5m	6 + 5 = 11 m
32	– 3m	11 – 3 = 8 m
37	+ 5m	8 + 5 = 13m

આમ, કોષ્ટક પરથી સ્પષ્ટ છે કે, t = 37 sના અંતે વ્યક્તિ 13m જેટલું અંતર કાપી ખાડામાં પડશે. આ વ્યક્તિની ગતિ માટેનો x – t આલેખ નીચે મુજબ મળશે :

પ્રશ્ન 5.
એક જૅટ પ્લેન 500 km h^-1ની ઝડપે ઊડી રહ્યું છે અને તે જૅટ પ્લેનની સાપેક્ષે 1500 km h^-1ની ઝડપે દહન-ઉત્પાદનો- (વાયુ)ને બહાર કાઢી રહ્યું છે. જમીન પર ઊભેલા કોઈ અવલોકનકારની સાપેક્ષે દહન-ઉત્પાદનોની ઝડપ કેટલી હશે?
ઉકેલ:
ધારો કે, જૅટ પ્લેન ધન Y-દિશામાં ગતિ કરી રહ્યું છે.
જૅટ પ્લેનની ઝડપ υ_J = 500 km h^-1
જૅટ પ્લેનમાંથી નીકળતા દહનવાયુની જમીનની સાપેક્ષ ઝડપ υ_C હોય, તો પ્લેનની સાપેક્ષે તે વાયુની ઝડપ υ_CJ = -1500 km h^-1 થશે.
∴ υ_CJ = υ_C – υ_J = 1500 km h^-1
∴ υ_C = υ_CJ + υ_J = -1500 + 500 = -1000 km h^-1
અહીં, ઋણ સંજ્ઞા સૂચવે છે કે દહનવાયુની ગતિ એ જૅટ પ્લેનની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
આમ, દહનવાયુની જમીનની સાપેક્ષે ઝડપનું માન 1000 km h^-1 થશે.

પ્રશ્ન 6.
સુરેખ રાજમાર્ગ પર 126 km h^-1 જેટલી ઝડપે દોડી રહેલી એક કાર 200 m અંતર કાપીને ઊભી રાખવી છે, તો કારનો નિયમિત પ્રતિપ્રવેગ કેટલો હોવો જોઈએ? કારને સ્થિર થવા માટે કેટલો સમય લાગશે?
ઉકેલ:
કારનો અંતિમ વેગ υ = 0,
કારનો પ્રારંભિક વેગ υ₀ = 126 km h^-1
= \(\frac{126 \times 1000}{3600}\) ms^-1
= 35 m s^-1

Stopping distance x = 200m, a = ?, t = ?
υ² = υ₀² + 2ax માં υ = 0 મૂકવાથી,
કારનો પ્રતિપ્રવેગ a = \(-\frac{v_0^2}{2 x}=-\frac{(35)^2}{2 \times 200}\) = -3.06 m s^-2
હવે, υ = υ₀ + atનો ઉપયોગ કરતાં,
t = \(\frac{v-v_0}{a}=\frac{0-35}{-3.06}\) = 11.44 s

પ્રશ્ન 7.
400 m જેટલી સમાન લંબાઈ ધરાવતી બે ટ્રેનો A અને B બે સમાંતર રેલવે ટ્રૅક પર 72 km h^-1ની ઝડપે એક જ દિશામાં દોડી રહી છે. ટ્રેન A એ ટ્રેન B કરતાં આગળ છે. ટ્રેન Bનો ડ્રાઇવર ટ્રેન Aને ઓવરટેક કરવાનું વિચારે છે અને પોતાની ટ્રેનને 1 m s^-2 જેટલી પ્રવેગિત કરે છે. જો 50s બાદ ટ્રેન Bનો ગાર્ડ ટ્રેન Aના ડ્રાઇવરની આગળ થઈ જાય છે, તો બંને ટ્રેન વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર કેટલું હશે?
ઉકેલ:
ધારો કે, ટ્રેન Aના ડ્રાઇવર અને ટ્રેન Bના ગાર્ડ વચ્ચેનું અંતર x છે. બંને ટ્રેન એકસમાન ઝડપ 72 km h^-1થી એક જ દિશામાં આગળ વધી રહી છે. આથી ટ્રેન Bની ટ્રેન Aની સાપેક્ષે ઝડપ શૂન્ય થશે. υ_B – υ_A = 0
ટ્રેન Bનો ડ્રાઇવર a = 1 m s^-2 જેટલા પ્રવેગથી ટ્રેનને ગતિ કરાવી t = 50 sમાં x જેટલું અંતર કાપે છે.
આથી x = υ₀t + \(\frac{1}{2}\)at² અનુસાર,
x = (0) (50) + \(\frac{1}{2}\)(1) (50)²
= 1250 m
આમ, બંને ટ્રેનો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર 1250 m હશે.

પ્રશ્ન 8.
એક દ્વિમાર્ગી રસ્તા (Two-lane road) પર કાર A 36 km h^-1ની ઝડપે ગતિ કરે છે. એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં 54 km h^-1 જેટલી સમાન ઝડપથી દોડતી કાર B અને C, કાર A સુધી પહોંચવાનો પ્રયત્ન કરે છે. કોઈ એક ક્ષણે AB તથા AC વચ્ચે સમાન અંતર 1 km છે. આ ક્ષણે કાર Bનો ડ્રાઇવર, કાર C એ કાર Aને ઓવરટેક કરે તે પહેલાં ઓવરટેક કરવાનું વિચારે છે,. તો અકસ્માત-નિવારણ માટે કાર Bનો લઘુતમ પ્રવેગ કેટલો હોવો જોઈએ?
ઉકેલ:
કાર Aનો વેગ υ_A = +36 km h^-1
= 36 × \(\frac{1000}{3600}\) = + 10 ms^-1
કાર Bનો વેગ υ_B = +54 km h^-1
= 54 × \(\frac{1000}{3600}\) +15ms^-1
કાર Cનો વેગ υ_C = -54 km h^-1
= -54 × \(\frac{1000}{3600}\) = -15 ms^-1
કાર Aની સાપેક્ષે કાર Cનો વેગ υ_CA = υ_C – υ_A
= -15 – 10
= -25 m s^-1

કાર Aને ઓવરટેક કરવા માટે કાર Cને લાગતો સમય,
t = \(\frac{1 \mathrm{~km}}{v_{\mathrm{CA}}}=\frac{1000 \mathrm{~m}}{25 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}\) = 40s
કા૨ Bનો ડ્રાઇવર, કાર Aને કાર C કરતાં પહેલાં ઓવરટેક કરવા માગે છે, એટલે કે તેણે 40 s કરતાં ઓછા સમયમાં 1 km અંતર કાપવું પડે.
કાર Aની સાપેક્ષે કાર Bનો વેગ,
υ_BA = υ_B – υ_A 15 – 10 = 5 ms^-1
x = υ_BA · t + \(\frac{1}{2}\)at²
∴ 1000 = (5 × 40) + \(\frac{1}{2}\)(a) (40)²
∴ 1000 = 200 + 800 a
∴ a = \(\frac{1000-200}{800}\) = 1 m s^-2
આમ, જો કાર Bનો લઘુતમ પ્રવેગ 1ms^-2 હશે, તો તે કાર C પહેલાં કાર Aને ઓવરટેક કરશે.

પ્રશ્ન 9.
બે શહેર A અને B નિયમિત બસસેવા દ્વારા એકબીજાથી જોડાયેલાં છે તથા પ્રત્યેક T મિનિટ પછી બંને બાજુ બસો દોડે છે. કોઈ એક વ્યક્તિ 20 km h^-1ની ઝડપે સાઇકલ દ્વારા Aથી B તરફ જઈ રહી છે, ત્યારે તે નોંધે છે કે, પ્રત્યેક 18min પછી એક બસ તેની ગતિની દિશામાં તથા પ્રત્યેક 6min પછી તેની વિરુદ્ધ દિશામાં પસાર થાય છે. બસસેવા સમય T કેટલો હશે અને રસ્તા પર દોડતી બસની ઝડપ (અચળ ધારો) કેટલી હશે?
ઉકેલ:
ધારો કે, બસ υ km/hની અચળ ઝડપથી દોડે છે. સાઇકલસવારની ઝડપ = 20 km/h
∴ સાઇકલસવારની સાપેક્ષે શહેર Aથી શહેર B તરફ જતી બસનો સાપેક્ષ વેગ = (υ – 20) km h^-1
સાઇકલસવારની સાપેક્ષે શહેર Bથી શહેર A તરફ જતી બસનો સાપેક્ષ વેગ = (υ + 20) km h^-1
T સમયમાં બસે કાપેલું અંતર = υT
Aથી B તરફ જતી બસ 18min = \(\frac{18}{60}\)h સમયે સાઇકલને ક્રૉસ કરે છે.

\(\frac{18}{60}=\frac{v T}{v-20}\) …………… (1)
Bથી A તરફ જતી બસ 6min = \(\frac{6}{60}\) h સમયે સાઇકલને ક્રૉસ કરે છે.
∴ \(\frac{6}{60}=\frac{v T}{v+20}\) ……………….. (2)
સમીકરણ (1) અને (2)નો ગુણોત્તર લેતાં,
\(\frac{18 / 60}{6 / 60}=\frac{v T / v-20}{v T / v+20}\)
∴ 3 = \(\frac{v+20}{v-20}\)
∴ 3υ – 60 = υ + 20
∴ 2υ = 80
∴ υ = 40 km/h
સમીકરણ (1)માં υ = 40 km/h મૂકતાં,
\(\frac{18}{60}=\frac{(40) T}{40-20}\)
∴ \(\frac{3}{10}\) = 2T
∴ T = \(\frac{3}{20}\)h = \(\frac{3}{20}\) × 60 min = 9 min

પ્રશ્ન 10.
કોઈ એક ખેલાડી 29.4 m s^-1ની પ્રારંભિક ઝડપથી એક દડાને ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકે છે. હશે?
(a) દડાની ઊધ્વદિશાની ગતિ દરમિયાન પ્રવેગની દિશા કઈ
(b) તેની ગતિના મહત્તમ ઊંચાઈવાળા બિંદુએ દડાનો વેગ અને પ્રવેગ કેટલા હશે?
(c) દડાની મહત્તમ ઊંચાઈવાળા બિંદુએ સ્થાન x = 0 m અને t = 0 s તથા શિરોલંબ નીચે તરફની દિશાને x-અક્ષની ધન દિશા તરીકે પસંદ કરો. આ પસંદગીના સંદર્ભે દડાની ઊધ્વદિશાની ગતિ અને અધોદિશાની ગતિ માટે સ્થાન, વેગ અને પ્રવેગનાં ચિહ્નો દર્શાવો.
(d) દડો કેટલી મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચશે અને કેટલા સમય બાદ ખેલાડીના હાથમાં પાછો આવશે? (g = 9.8 m s^-2 અને વાયુનો અવરોધ અવગણીએ છીએ.)
ઉકેલ:
(a) દડો ગુરુત્વપ્રવેગની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે. ગુરુત્વપ્રવેગની દિશા હંમેશાં શિરોલંબ-અધોદિશામાં હોય છે.

(b) દડાની ગતિની મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો વેગ શૂન્ય હોય છે. તેનો પ્રવેગ એ ગુરુત્વપ્રવેગg = 9.8 m s^-2 જેટલો શિરોલંબ અધોદિશામાં હોય છે.

(c) દડાની મહત્તમ ઊંચાઈવાળા બિંદુએ x = 0 m, t = 0 s અને શિરોલંબ નીચે તરફની દિશાને ધન x-અક્ષ તરીકે લેતાં,
દડાની ઊધ્વદિશાની ગતિ : આ પ્રકારની ગતિ માટે દડાનું સ્થાન ઋણ, તેનો વેગ ઋણ અને પ્રવેગ ધન થશે.
દડાની અધોદિશાની ગતિ : આ પ્રકારની ગતિ માટે દડાનું સ્થાન, વેગ અને પ્રવેગ ત્રણેય ધન થશે.

(d) દડાની ઊર્ધ્વદિશાની ગતિ માટે,
υ₀ = – 29.4 m s^-1, g = 9.8 m s^-2, υ = 0
જો દડાની મહત્તમ ઊંચાઈ h હોય, તો
υ² – υ₀² = 2gh પરથી,
h = \(\frac{v^2-v_0^2}{2 g}=\frac{0-(-29.4)^2}{2 \times 9.8}\) = – 44.1 m
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે, દડાએ ઊર્ધ્વદિશામાં અંતર કાપેલું છે.
જો દડો t સમયમાં મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચતો હોય, તો
υ = υ₀ + gt
∴ t = \(\frac{v-v_0}{g}=\frac{0-(-29.4)}{9.8}=\frac{29.4}{9.8}\)
∴ t = 3 s
દડાને મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચતાં 3s જેટલો સમય લાગે છે, તેટલો જ સમય તેને મહત્તમ ઊંચાઈએથી ખેલાડીના હાથમાં પાછો આવતા લાગશે.
∴ કુલ સમય = 3 s + 3 s = 6 s

પ્રશ્ન 11.
નીચે આપેલ કથનોને ધ્યાનપૂર્વક વાંચી ઉદાહરણ અને કારણ સહિત તે સાચાં છે કે ખોટાં તે દર્શાવો.
કણની એક-પારિમાણિક ગતિમાં,
(a) કોઈ એક ક્ષણે તેની ઝડપ શૂન્ય હોવા છતાં તેનો પ્રવેગ અશૂન્ય હોઈ શકે છે.
(b) ઝડપ શૂન્ય હોવા છતાં તેનો વેગ અશૂન્ય હોઈ શકે.
(c) ઝડપ અચળ હોય, તો પ્રવેગ હંમેશાં શૂન્ય હોય.
(d) પ્રવેગ ધન મૂલ્ય માટે ગતિ વધતી હોય છે.
ઉત્તર :
(a) આપેલ વિધાન સત્ય છે. જ્યારે દડાને ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે ત્યારે તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો વેગ શૂન્ય હોય છે, પરંતુ પ્રવેગ 9.8 m s^-2 જેટલો શિરોલંબ-અધોદિશામાં હોય છે.

(b) આપેલ વિધાન ખોટું છે, કારણ કે ઝડપ એ વેગનું માન દર્શાવે છે. આથી જ્યારે ઝડપ શૂન્ય હશે ત્યારે વેગ પણ શૂન્ય હશે.

(c) આપેલ વિધાન સત્ય છે. જ્યારે કણ સુરેખ પથ પર અચળ ઝડપથી એક જ દિશામાં ગતિ કરે ત્યારે તેના વેગનું મૂલ્ય અને દિશા બદલાતા નથી, એટલે કે તેનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.

(d) આપેલ વિધાન ખોટું છે, કારણ કે υ = υ₀ + at સમીકરણ અનુસાર જો કણનો પ્રવેગ ધન હશે; પરંતુ પ્રારંભિક વેગ ઋણ હશે, તો સમય સાથે કણનો વેગ ઘટતો જશે; પરંતુ જો υ₀ અને a₀ બંને ઋણ હશે તો સમયની સાથે કણનો વેગ વધે છે.

પ્રશ્ન 12.
કોઈ એક દડાને 90mની ઊંચાઈ પરથી ફર્શ (Floor) પર પડતો મૂકવામાં આવે છે. ફર્શ સાથેના પ્રત્યેક સંઘાત દરમિયાન, દડો તેની મૂળ ઝડપના દસમા ભાગ જેટલી ઝડપ ગુમાવે છે. દડાની આ ગતિ માટે t = 0થી t = 12 s માટે ઝડપ સમયનો આલેખ દોરો.
ઉકેલ :
દડો 90 m ઊંચાઈએથી મુક્તપતન કરે છે. આથી h = 90 m, υ₀ = 0, g = 10 m s^-2

(i) h ઊંચાઈએથી મુક્તપતન કરતા દડાને જમીન પર અથડાતાં લાગતો સમય,
h = υ₀t + \(\frac{1}{2}\)gt²
∴ h = \(\frac{1}{2}\)gt²
∴ t = \(\sqrt{\frac{2 h}{g}}=\sqrt{\frac{2 \times 90}{9.8}}=\frac{30}{7}\) = 4.3 s
જમીન પ૨ સંઘાત થતાં પહેલાં દડાની ઝડપ,
υ = υ₀ + gt
∴ υ = 0 + 9.8 × 4.3 = 42 m s^-1
આકૃતિ 3.34માં દડાની અધોદિશાની ગતિ OA રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે.

(ii) જમીન સાથે પ્રથમ સંઘાત થતાં દડો તેની 10% જેટલી ઝડપ ગુમાવે છે. સંઘાત બાદ દડાની ઝડપ,
υ’ = 42 – (42) × \(\frac{1}{10}\) = 42 – 4.2 = 37.8 m s^-1
આકૃતિમાં આ ઘટાડો રેખા AB દ્વારા દર્શાવેલ છે.

(iii) જમીન સાથે સંઘાત બાદ દડો ઊછળીને પાછો ઊર્ધ્વદિશામાં ગતિ કરે છે. તેને મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચતાં લાગતો સમય,
υ = υ’ – gt’
∴ t’ = \(\frac{v^{\prime}}{g}=\frac{37.8}{9.8}\) = 3.9 s
આમ, મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચતાં લાગતો કુલ સમય
t” = t + t’ = 4.3 + 3.9 = 8.2 s
આકૃતિમાં BC રેખા એ પ્રથમ સંઘાત બાદ દડાની ઊર્ધ્વદિશાની ગતિ દર્શાવે છે.

(iv) મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચતાં દડાની ઝડપ શૂન્ય થાય છે અને ફરીથી પાછો અધોદિશામાં ગતિ કરવા લાગે છે. અધોદિશામાં ગતિ દરમિયાન તેની ઝડપ શૂન્યથી વધીને 37.8 m s^-1 (પ્રથમ સંઘાત બાદની ઝડપ જેટલી) થશે.
દડાને જમીન પર આવતા લાગતો સમય,
υ = υ₀ + gt”’ પરથી,
t”’ = \(\frac{37.8}{9.8}\) ≈ 3.85 = 3.9 s
આમ, શરૂઆતથી લઈને દડાને બીજી વાર જમીન સુધી આવતા લાગતો સમય = t’ + t” + t”’
= 4.3 + 3.9 + 3.9
= 12.1 s
આકૃતિમાં દડાની આ અધોદિશાની ગતિ રેખા CD દ્વારા દર્શાવેલ છે. પ્રારંભથી લઈને બીજો સંઘાત થાય તે દરમિયાન દડાની ગતિનો ઝડપ-સમયનો આલેખ નીચે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે :

પ્રશ્ન 13.
ઉદાહરણ સહિત બંને તફાવત સ્પષ્ટ કરો :
(a) કોઈ એક સમયગાળામાં સ્થાનાંતરનું માન (જેને ઘણી વાર અંતર પણ કહે છે.) અને કોઈ કણ દ્વારા આટલા જ સમયગાળામાં કપાયેલ કુલ પથલંબાઈ
(b) કોઈ એક સમયગાળામાં સરેરાશ વેગનું માન અને એટલા જ સમયગાળા માટે સરેરાશ ઝડપ (આપેલ સમયગાળા માટે કણની સરેરાશ ઝડપને કુલ પથલંબાઈ અને સમયગાળાના ગુણોત્તર વડે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.) (a) અને (b) બંને માટે દર્શાવો કે બીજી રાશિ પ્રથમ રાશિ કરતાં મોટી કે તેના જેટલી જ છે. સમાનતાનું ચિહ્ન ક્યારે સાચું હશે? (સરળતા માટે ગતિને એક-પારિમાણિક ગતિ લો.)
ઉત્તર :
(a) ધારો કે, એક કણ t સમયગાળામાં A સ્થાનેથી B સ્થાને અને ત્યારબાદ C સ્થાન પર જાય છે. (જુઓ આકૃતિ)
આ સમયગાળા t મા કણનું સ્થાનાંતર AC થશે.
આ સમયગાળામાં કણે કાપેલ કુલ પથલંબાઈ = AB + BC થશે.
આ કિસ્સામાં પથલંબાઈ એ સ્થાનાંતર કરતાં મોટી છે. પરંતુ જો કણ સીધો જ A સ્થાન પરથી ગતિ કરીને C સ્થાને જાય ત્યારે પથલંબાઈ અને સ્થાનાંતર (AC) બંને સરખા થશે.

(b)
અહીં, AB + BC > AC હોવાથી સરેરાશ ઝડપ એ સરેરાશ વેગ કરતાં વધુ છે. (સરેરાશ ઝડપ > સરેરાશ વેગ) જો કણ સુરેખ પથ પર ગતિ કરીને A પરથી C પર જાય, તો પથલંબાઈ અને સ્થાનાંતર સમાન થશે. આ કિસ્સામાં સરેરાશ ઝડપ અને સરેરાશ વેગ સરખા થશે. (સરેરાશ ઝડપ = સરેરાશ વેગ)

આમ, જો કણ સુરેખ પથ પર ચોક્કસ દિશામાં ગતિ કરતો હોય ત્યારે સમાનતાનું ચિહ્ન યોગ્ય છે.

પ્રશ્ન 14.
એક વ્યક્તિ સુરેખ માર્ગે 5 km h^-1ની ઝડપે તેના ઘરેથી 2.5 km દૂર આવેલા માર્કેટમાં જાય છે. પરંતુ માર્કેટને બંધ જુએ છે, તે તરત જ 7.5 km h^-1ની ઝડપે ઘરે પાછો ફરે છે, તો
(a) સરેરાશ વેગનું માન અને
(b) સમયગાળા (i) 0થી 30 min (ii) 0થી 50 min (iii) 0થી 40 min માટે વ્યક્તિની સરેરાશ ઝડપ કેટલી હશે ? (નોંધ : આ ઉદાહરણથી તમે પ્રભાવિત થશો કે સરેરાશ ઝડપને સરેરાશ વેગના માન તરીકે દર્શાવવા કરતાં કુલ પથલંબાઈ અને કુલ સમયગાળાના ગુણોત્તર સ્વરૂપે વ્યાખ્યાયિત કરવી કેમ વધુ યોગ્ય છે? થાકીને ઘરે પહોંચેલી વ્યક્તિને તેની સરેરાશ ઝડપ શૂન્ય છે, તેમ કહેવાનું મુનાસિબ નહિ માનો !)
ઉકેલ:
(i) 0 – 30 minના સમયગાળા માટે :
t = 30 min = \(\frac{1}{2}\) h
વ્યક્તિની ઝડપ υ = 5 km h^-1
30 minમાં કાપેલું અંતર = ઝડપ × સમય
= 5 km h^-1 × \(\frac{1}{2}\) h = 2.5 km
પ્રથમ 30 minમાં વ્યક્તિ 2.5 km જેટલું અંતર કાપીને માર્કેટ સુધી જાય છે. વ્યક્તિ એક જ દિશામાં ચાલતો હોવાથી કુલ પથલંબાઈ = સ્થાનાંતર = 2.5 km.

(ii) 0 – 50 minના સમયગાળા માટે :
ઉપર સમજાવ્યા મુજબ પ્રથમ 30minમાં વ્યક્તિ 2.5 kmનું અંતર કાપી માર્કેટ પહોંચે છે. ત્યારબાદ તે 20 min માર્કેટથી ઘર તરફ 7.5 km/hની ઝડપે ચાલે છે. આ સમયગાળા દરમિયાન તેણે કાપેલું અંતર
= ઝડપ × સમય
= 7.5 km h^-1 × \(\frac{20}{60}\)h = 2.5 km (વિરુદ્ધ દિશામાં)
આમ, પ્રથમ 50 minમાં વ્યક્તિનું
સ્થાનાંતર = 2.5 km + (- 2.5 km) = 0
કુલ પથલંબાઈ = 2.5 km + 2.5 km

(iii) 0 – 40 minના સમયગાળા માટે :
પ્રથમ 30 minમાં વ્યક્તિ 2.5 kmનું અંતર કાપી માર્કેટ સુધી જાય છે. ત્યારબાદ તે 10min માર્કેટથી ઘર તરફ 7.5 km h^-1ની ઝડપે ચાલે છે. આ 10minમાં તેણે કાપેલું અંતર
= 7.5 km h^-1 × \(\frac{10}{60}\)h = 1.25 km (વિરુદ્ધ દિશામાં)
આમ, 40 minમાં વ્યક્તિનું
સ્થાનાંતર = 2.5 km – 1.25 km = 1.25 km
કુલ પથલંબાઈ 2.5 km + 1.25 km = 3.75 km

પ્રશ્ન 15.
સ્વાધ્યાય પ્રશ્ન 13 અને 14માં આપણે સરેરાશ ઝડપ અને સરેરાશ વેગ વચ્ચેનો તફાવત કાળજીપૂર્વક સ્પષ્ટ કર્યો. તાત્ક્ષણિક ઝડપ અને તાત્ક્ષણિક વેગ માટે આવા તફાવત પર વિચાર કરવો આવશ્યક નથી. તાત્ક્ષણિક ઝડપ હંમેશાં તાત્ક્ષણિક વેગના માન જેટલી હોય છે. શા માટે?
ઉત્તર:
તાત્ક્ષણિક વેગ υ = \(\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{d x}{d t}\)
તાત્ક્ષણિક વેગને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં સમયગાળો Δtને અતિ સૂક્ષ્મ (Δt → 0) લેવામાં આવે છે. આ સમયગાળા દરમિયાન કણની ગતિની દિશા બદલાતી નથી. આ સૂક્ષ્મ સમયગાળા માટે સ્થાનાંતર અને પથલંબાઈ સમાન હોય છે. આથી તાત્ક્ષણિક ઝડપ હંમેશાં તાત્ક્ષણિક વેગના માન જેટલી હોય છે.

પ્રશ્ન 16.
આકૃતિ 3.36માં દર્શાવેલ આલેખો (a)થી (d) ધ્યાનથી જુઓ અને કારણ સહિત જણાવો કે તે પૈકી કયો આલેખ એક-પારિમાણિક ગતિ કરતા કણ માટે શક્ય નથી?

ઉત્તર:
આપેલ ચાર આલેખ પૈકી એક પણ આલેખ કણની એક-પારિમાણિક ગતિ દર્શાવતો નથી.
(a) આપણે જો સ્થાન-અક્ષ (x)ને સમાંતર રેખા દોરીએ, તો તે રેખા x – t આલેખને બે બિંદુઓએ છેદે છે, જે દર્શાવે છે કે કોઈ એક સમયે કણ બે જુદા જુદા સ્થાન ધરાવે છે, જે શક્ય નથી.

(b) જો વેગ-અક્ષ (υ)ને સમાંતર રેખા દોરવામાં આવે, તો તે વર્તુળને બે જુદાં જુદાં બિંદુઓએ છેદે છે, જે દર્શાવે છે કે કોઈ એક સમયે કણને બે જુદા જુદા વેગ (ધન વેગ અને ઋણ વેગ) છે, જે શક્ય નથી.

(c) આ આલેખ દર્શાવે છે કે કોઈ સમયગાળા માટે કણની ઝડપ ણ છે, પરંતુ ઝડપ હંમેશાં ધન હોય છે. આથી આ આલેખ પણ શક્ય નથી.

(d) આ આલેખ દર્શાવે છે કે અમુક સમયબાદ કુલ પથલંબાઈ ઘટે છે અને કોઈ એક સમયે કુલ પથલંબાઈ શૂન્ય પણ થાય છે. પરંતુ કુલ પથલંબાઈ ક્યારેય સમય સાથે ઘટે નહિ કે શૂન્ય પણ થાય નહિ. આથી આ આલેખ પણ શક્ય નથી.

પ્રશ્ન 17.
આકૃતિ 3.37માં કણની એક-પારિમાણિક ગતિ માટે x – t આલેખ દર્શાવેલ છે. આલેખ પરથી એમ કહેવું સાચું છે કે, t < 0 માટે કણ સુરેખ માર્ગે અને t > 0 માટે પરવલય માર્ગે ગતિ કરે છે? જો ના, તો આ આલેખ માટે યોગ્ય ભૌતિક સંદર્ભનો અભિપ્રાય આપો.

ઉત્તર:
ના, આપેલ આલેખ કણ સુરેખ પથ પર કે પરવલય માર્ગે ગતિ કરે છે તે દર્શાવતો નથી. x – t આલેખ ણે જુદા જુદા સમયે કેટલું અંતર કાપ્યું છે તે દર્શાવે છે, પરંતુ તેણે કયા માર્ગે ગતિ કરી છે તેની માહિતી આપતું નથી.

આ આલેખ ગુરુત્વપ્રવેગની અસર હેઠળ મુક્તપતન કરતા પદાર્થ માટેનો x – t આલેખ છે.

પ્રશ્ન 18.
કોઈ એક રાજમાર્ગ પર 30 km h^-1ની ઝડપે દોડતી પોલીસવાનમાંથી, તેની જ દિશામાં 192 km h^-1 ઝડપે દોડી રહેલી ચોરની કાર પર ગોળી છોડવામાં આવે છે. જો બંદૂકની નળીમાંથી નીકળતી ગોળીની ઝડપ 150 m s^-1 હોય, તો ગોળી ચોરની કારને કઈ ઝડપે અથડાશે? (નોંધ ઃ ગોળીની તે ઝડપ નક્કી કરો કે જે ચોરની કારને નુકસાન પહોંચાડી શકે !)
ઉકેલ:
ગોળીની ઝડપ υ_B = 150 m s^-1
પોલીસવાનની ઝડપ υ_p = 30 km h^-1
= \(\frac{30 \times 1000}{3600}\) = 8.33 m s^-1
ચોરની કારની ઝડપ
υ_Y 192 km h^-1 = \(\frac{192 \times 1000}{3600}\) = 53.33 m s^-1
બુલેટ પોલીસવાનમાંથી છોડવામાં આવતી હોવાથી વાનની ઝડપ પણ બુલેટને મળે છે.
બુલેટની જમીનની સાપેક્ષે ઝડપ,
υ_BG = υ_B + υ_p
= 150 + 8.33 = 158.33 m s s^-1
ચોરની કારની સાપેક્ષે બુલેટની ઝડપ
= υ_BG – υ_T
= (158.33 – 53.33) m s^-1
= 105 m s^-1
આમ, બુલેટ ચોરની કારને 105 ms^-1ની ઝડપે અથડાશે.

પ્રશ્ન 19.
નીચે આકૃતિ 3.38માં આપેલ આલેખો માટે યોગ્ય પરિસ્થિતિ સૂચવો :

ઉત્તર :
(a) આ આલેખ દર્શાવે છે કે PQ સમય દરમિયાન પદાર્થ સ્થિર છે, કારણ કે નું મૂલ્ય બદલાતું નથી. QR સમય દરમિયાન પદાર્થના સ્થાનમાં રેખીય વધારો થાય છે અને તે નું અચળ મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે. ત્યારબાદ ×નું મૂલ્ય S સમય સુધી ઘટીને શૂન્ય થાય છે. ST સમય દરમિયાન વિરુદ્ધ દિશામાં નું મૂલ્ય વધે છે અને કોઈ એક અચળ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરીને સ્થિર થાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, લીસી સમતલ સપાટી પર સ્થિર પડેલા દડાને લાત (Kick) મારતાં તે દીવાલ સાથે અથડાઈને ઓછી ઝડપે પાછો ફેંકાય છે અને સામેની દીવાલ તરફ ગતિ કરે છે, જ્યાં તે સ્થિર થાય છે.

(b) આ આલેખ દર્શાવે છે કે પદાર્થનો વેગ અમુક સમયગાળામાં ધનથી ઋણ અને ઋણથી ધન થાય છે અને ક્રમશઃ તેનો વેગ ઘટીને શૂન્ય થાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, દડાને પ્રારંભિક વેગથી ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે ત્યારે તેનો વેગ ધન હોય છે અને મહત્તમ સ્થાનથી નીચે તરફ આવતાં તેનો વેગ ઋણ હોય છે. જ્યારે તે જમીન પર અથડાઈને પાછો ઊર્ધ્વદિશામાં ગતિ કરે છે ત્યારે તેના વેગમાં ઘટાડો થાય છે. આમ, ક્રમશઃ જમીન પર અથડાતાં તેના વેગમાં ક્રમશઃ ઘટાડો થઈને અંતમાં તે સ્થિર થાય છે.

(c) a – t આલેખ દર્શાવે છે કે પ્રારંભમાં પદાર્થ નિયમિત વેગથી ગતિ કરે છે. ત્યારબાદ ખૂબ જ ટૂંકા સમયગાળા માટે તેનો પ્રવેગ વધીને મહત્તમ થઈને શૂન્ય થાય છે અને પદાર્થ પાછો નિયમિત વેગથી ગતિ કરે છે.
ઉદાહરણ તરીકે, નિયમિત વેગથી ગતિ કરતા દડાને બૅટથી ફટકારતાં, ખૂબ જ નાના સમયગાળા માટે તેનો પ્રવેગ વધીને શૂન્ય થાય છે અને ત્યારબાદ તે નિયમિત ગતિ કરે છે.

પ્રશ્ન 20.
આકૃતિ 3.39માં એક-પારિમાણિક સરળ આવર્તગતિ માટેનો x – t આલેખ દર્શાવેલ છે. (આ ગતિ વિશેનો વિગતવાર અભ્યાસ તમે પ્રકરણ 14માં કરશો.) સમય t = 0.3 s, 1.2 s, – 1.2 s માટે કણનાં સ્થાન, વેગ અને પ્રવેગનાં ચિહ્નો શું હોઈ શકે?

ઉત્તર:
સરળ આવર્તગતિ કરતા કણ માટેનો પ્રવેગ, a = – ω²x એ કણની કોણીય આવૃત્તિ છે.
જ્યાં,

(i) t = 0.3 s સમયે x ઋણ છે. x – t આલેખનો ઢાળ પણ ઋણ છે. આથી કણનું સ્થાન અને વેગ પણ ઋણ છે, પરંતુ a = – ω²x સૂત્ર અનુસાર પ્રવેગ a ધન થશે. આમ, t = 0.3 s સમયે x < 0, υ < 0 અને a > 0.

(ii) t = 1.2 s સમયે x ધન છે. x – t આલેખનો ઢાળ પણ ધન છે. આથી વેગ ધન થશે, પરંતુ a = – ω²x સૂત્ર અનુસાર પ્રવેગ a ઋણ થશે. આમ, x > 0, υ > 0 અને a < 0.

(iii) t = – 1.2 s માટે x ઋણ છે. x – t આલેખનો ઢાળ ધન છે. આથી વેગ પણ ધન થશે. પરંતુ a = – ω²x સૂત્ર અનુસાર પ્રવેગ ધન થશે. આમ, x < 0, υ > 0 અને a > 0.

પ્રશ્ન 21.
આકૃતિ 8.40માં એક-પારિમાણિક ગતિ કરતા કણ માટેનો x – t આલેખ દર્શાવેલ છે, જેમાં ત્રણ સમાન સમયગાળા દર્શાવેલ છે. કયા સમયગાળા માટે સરેરાશ ઝડપ સૌથી વધુ અને કયા માટે તે સૌથી ઓછી હશે? દરેક સમયગાળાને અનુરૂપ સરેરાશ વેગનાં ચિહ્ન આપો.

ઉત્તર:

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ આલેખનો ઢાળ સમયગાળા 3 દરમિયાન મહત્તમ છે અને સમયગાળા 2 દરમિયાન લઘુતમ છે. આથી કણની સરેરાશ ઝડપ સમયગાળા 3 દરમિયાન સૌથી વધુ અને સમયગાળા 2 દરમિયાન સૌથી ઓછી હશે.

આલેખનો ઢાળ સમયગાળા 1 અને 2 દરમિયાન ધન છે અને સમયગાળા 3 દરમિયાન ઋણ છે. આથી કણનો સરેરાશ વેગ સમયગાળા 1 અને 2 દરમિયાન ધન હશે અને સમયગાળા 3 દરમિયાન ઋણ હશે.

પ્રશ્ન 22.
આકૃતિ 3.41માં અચળ દિશામાં ગતિ કરતા કણ માટે ઝડપ-સમયનો આલેખ દર્શાવેલ છે, જેમાં ત્રણ સમાન સમયગાળા દર્શાવ્યા છે. કયા સમયગાળા માટે સરેરાશ પ્રવેગનું માન સૌથી વધુ હશે? કયા સમયગાળા માટે સરેરાશ ઝડપ સૌથી વધુ હશે? પદાર્થની અચળ ગતિની દિશાને ધન દિશા તરીકે પસંદ કરી, ત્રણેય સમયગાળાને અનુરૂપ છ અને તનાં ચિહ્ન જણાવો. A, B, C અને D બિંદુ પર પ્રવેગ શું હશે?

ઉત્તર:

(a) સમયગાળા 2 માટે υ – t આલેખનો ઢાળ મહત્તમ છે. આથી આ સમય દરમિયાન કણનો સરેરાશ પ્રવેગ મહત્તમ હશે.

(b) આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, સમયગાળા 3 દરમિયાન કણની સરેરાશ ઝડપ મહત્તમ છે.

(c) ત્રણેય સમયગાળા દરમિયાન ઝડપ (υ) ધન છે. સમયગાળા 1 અને 3માં છનું મૂલ્ય વધે છે, એટલે કે આલેખનો ઢાળ ધન છે. આથી પ્રવેગ a પણ ધન હશે. સમયગાળા 2 દરમિયાન કણની ઝડપ ઘટે છે. આથી પ્રવેગ a ઋણ હશે.

(d) બિંદુઓ A, B, C અને D આગળ υ – t આલેખનો ઢાળ શૂન્ય છે. આથી આ બધાં જ બિંદુઓએ કણનો પ્રવેગ શૂન્ય હશે.

પ્રશ્ન 23.
ત્રિચક્રી વાહન પોતાની સ્થિર સ્થિતિમાંથી 1 ms^-2 જેટલા અચળ પ્રવેગ સાથે સુરેખ માર્ગ પર 10s સુધી ગતિ કરે છે અને ત્યારબાદ તે નિયમિત વેગથી ગતિ કરે છે. વાહન દ્વારા nમી સેકન્ડ(n = 1, 2, 3, …)માં કપાયેલ અંતર વિરુદ્ધ nનો આલેખ દોરો. પ્રવેગી ગતિ દરમિયાન આવા આલેખ માટે તમે શું ધારો છો? એક સુરેખા કે પરવલય?
ઉકેલ :
υ₀ = 0, a = 1 m s^-2
વાહન દ્વારા nમી સેકન્ડમાં કપાયેલું અંતર,
d_n = υ₀ + \(\frac{a}{2}\) (2n – 1)
= 0 + \(\frac{1}{2}\)(2n – 1)
= \(\frac{1}{2}\)(2n – 1) m
ઉપરના સમીકરણમાં n = 1, 2, 3, …., 10s મૂકતાં, nમી સેકન્ડમાં વાહને કાપેલું અંતર (d) નીચેના કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છેઃ

10મી સેકન્ડના અંતે વાહનનો વેગ,
υ = υ₀ + at = 0 + (1 × 10) 10 m s^-1
વાહન માટેનો d_n – nનો આલેખ નીચે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે :

આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, n = 1થી n = 10 s સુધી આલેખ સમય-અક્ષ તરફ ઢળતી સુરેખ રેખા મળે છે. વાહન આ સમયગાળા દરમિયાન પ્રવેગી ગતિ કરે છે. 10મી સેકન્ડ બાદ આલેખ સમય-અક્ષને સમાંતર સુરેખા છે, જે દર્શાવે છે કે વાહન નિયમિત વેગથી ગતિ કરે છે.

પ્રશ્ન 24.
સ્થિર લિફ્ટ(ઉપરથી ખુલ્લી હોય તેવી)માં ઊભેલું એક બાળક 49 m s^-1 જેટલી મહત્તમ પ્રારંભિક ઝડપે એક દડાને ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકે છે, તો દડાને તેના હાથમાં પાછો આવવા માટે કેટલો સમય લાગશે? જો લિફ્ટ 5 m s^-1 જેટલી નિયમિત ઝડપે ઉપર તરફ ગતિ કરવાની શરૂઆત કરે અને બાળક ફરીથી દડાને ઉપર તરફ તે જ મહત્તમ ઝડપે ફેંકે, તો કેટલા સમય પછી દડો બાળકના હાથમાં પરત આવશે?
ઉકેલઃ
(i) લિફ્ટ સ્થિર હોય ત્યારે :
ઊર્ધ્વદિશાને ધન x-અક્ષ તરીકે લેતાં,
υ₀ = 49 m s^-1, a = g = – 9.8 m s^-2, t = ?
d = 0 (∵ દડાનું સ્થાનાંતર શૂન્ય છે.)
∴ d = υ₀t + \(\frac{1}{2}\)gt²
∴ 0 = (49) (t) + \(\frac{1}{2}\) (- 9.8) (t²)
∴ 49 t = 4.9 t²
∴ t = \(\frac{49}{4.9}\) = 10 s
આમ, બાળકના હાથમાં દડો 10s બાદ આવશે.

(ii) લિફ્ટ ગતિમાં હોય ત્યારે : લિફ્ટ જ્યારે 5 m s^-1ની નિયમિત ઝડપે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે બાળક અને દડો બંને પણ એટલી ઝડપથી ઉપર જાય છે. આથી બાળકની સાપેક્ષ દડાની ઝડપ બદલાતી નથી અને દડાની પ્રારંભિક ઝડપ 49 m s^-1 જેટલી જ રહે છે. આ કિસ્સામાં દડો બાળકના હાથમાં 10s બાદ આવશે.

પ્રશ્ન 25.
આકૃતિ 3.43માં દર્શાવ્યા મુજબ સમક્ષિતિજ લાંબો પટ્ટો 4 km h^-1 ઝડપે ગતિમાં છે. આ પટ્ટા પર એક બાળકનાં માતા- પિતા એકબીજાથી 50 m દૂર બેઠાં છે અને બાળક પટ્ટાની સાપેક્ષે 9 km h^-1 ઝડપે પટ્ટા પર માતા-પિતાની વચ્ચે આગળ-પાછળ દોડે છે. પ્લૅટફૉર્મ ઉપર સ્થિર ઊભેલ અવલોકનકાર માટે
હશે?
(a) પટ્ટાની ગતિની દિશામાં દોડતા બાળકની ઝડપ શું હશે?
(b) પટ્ટાની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં દોડતા બાળકની ઝડપ શું
(c) (a) અને (b)માં બાળકને લાગતો સમય શું હશે?
જો બાળકની ગતિનું અવલોકન તેનાં માતા કે પિતા કરતાં હોય, તો ઉપરમાંથી ક્યા પ્રશ્નનો જવાબ પરસ્પર બદલાઈ જશે?

ઉકેલ :
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગતિમાન પટ્ટો ડાબી બાજુથી જમણી બાજુ તરફ જાય છે. આ દિશાને આપણે ધન X-અક્ષ તરીકે લઈએ.
જમીનની સાપેક્ષે પટ્ટા(Belt)ની ઝડપ υ_BE = 4 km h^-1
પટ્ટાની સાપેક્ષે બાળકની ઝડપ υ_CB = 9 km h¹

(a) બાળક પટ્ટાની ગતિની દિશામાં દોડે :
આ કિસ્સામાં υ₀ = +4 km h^-1 અને υ_CB = +9 km h^-1
જમીનની સાપેક્ષે બાળકની ઝડપ υ_CE = υ_CB + υ_BE
= (+9) + (+4)
= 13 km h^-1
એટલે કે પ્લૅટફૉર્મ પર ઊભેલી વ્યક્તિને પટ્ટાની ગતિની દિશામાં દોડતાં બાળકની ઝડપ 13 km h^-1 જણાશે.

(b) બાળક પટ્ટાની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં દોડે :
આ કિસ્સામાં υ_BE = +4 km h^-1 અને υ_CB = -9 km h^-1
જમીનની સાપેક્ષે બાળકની ઝડપ υ_CE = υ_CB + υ_BE
= (-9) + (+4)
= – 5 km h^-1
એટલે કે પ્લૅટફૉર્મ પર ઊભેલી વ્યક્તિને પટ્ટાની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં દોડતાં બાળકની ઝડપ 5 km h^-1 જણાશે.

(c) બાળકને લાગતો સમય :
બાળક અને તેનાં માતા-પિતા ત્રણેય ગતિમાન પટ્ટા પર હોવાથી તેમની નિર્દેશ-ફ્રેમ સમાન છે. આથી માતા અથવા પિતાની સાપેક્ષે બાળકની ઝડપ 9 km h^-1 થશે.
માતા અને પિતા વચ્ચેનું અંતર = 50 m
આથી (a) અથવા (b) કિસ્સામાં બાળકે ડાબીથી જમણી અથવા જમણીથી ડાબી તરફ જતાં લીધેલ સમય,

જો બાળકની ગતિ તેનાં માતા-પિતા દ્વારા અવલોકિત કરવામાં આવે, તો (a) અને (b )ના જવાબ બદલાઈ જશે, કારણ કે માતા- પિતાની સાપેક્ષે બાળકની ઝડપ 9 km h^-1 છે, પરંતુ (c )નો જવાબ બદલાશે નહિ.

પ્રશ્ન 26.
200 mm ઊંચાઈના એક ખડકની ટોચ પરથી બે પથ્થરને એકસાથે 15 m s^-1 અને 30 m s^-1ની પ્રારંભિક ઝડપથી ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે છે. આકૃતિ 3.44માં દર્શાવેલ આલેખ પ્રથમ પથ્થરની સાપેક્ષે બીજા પથ્થરના સ્થાનમાં સમય સાથે થતાં ફેરફારો દર્શાવે છે, તેની ચકાસણી કરો. હવાનો અવરોધ અવગણો અને સ્વીકારો કે જમીનને અથડાયા બાદ બંને પથ્થર ઉપરની તરફ ઊછળતા નથી. g = 10 m s^-2 લો. આલેખમાં રેખીય અને વક્રભાગ માટેનાં સમીકરણો લખો.

ઉકેલ:
નિયમિત પ્રવેગી ગતિ કરતા પદાર્થ માટે t સમયે પદાર્થનું સ્થાન (x) નીચેના સૂત્રથી મળે છેઃ
x = x₀ + υ₀t + \(\frac{1}{2}\)at²
પ્રથમ પથ્થર માટે :
x₀ = 200 m, υ₀ = 15 m s^-1, a = g = -10 m s ^-2
t સમયે પ્રથમ પથ્થરનું જમીનથી x₁ ઊંચાઈએ અંતર,
x₁ = 200+ (15)t + \(\frac{1}{2}\)(-10) t²
∴ x₁ = 200 + 15 t – 5 t² ……………. (1)
પ્રથમ પથ્થરને જમીન ૫૨ આવતા લાગતો સમય,
0 = 200 + 15 t – 5 t²
∴ t² – 3 t – 40 = 0
∴ (t – 8) (t + 5) = 0
∴ t = – 5 s અથવા t = 8 s, પરંતુ t = – 5 s શક્ય નથી. આમ, પ્રથમ પથ્થર 8 સેકન્ડ બાદ જમીન પર આવશે.

બીજા પથ્થર માટે :
x₀ = 200 m, υ₀ = 30 m s^-1, a = g = -10ms^-2
t સમયે બીજા પથ્થરનું જમીનથી x₂ ઊંચાઈએ અંતર,
x₂ = 200 + 30 t + \(\frac{1}{2}\)(-10) t²
∴ x₂ = 200 + 30 t – 5 t² ……………. (2)
બીજા પથ્થરને જમીન પર આવતા લાગતો સમય,
0 = 200 + 30 t – 5 t²
∴ t² – 6 t – 40 = 0
∴ (t – 10) (t + 4) = 0
∴ t = 10 s અથવા t = – 4 s, જે શક્ય નથી.
આમ, બીજો પથ્થર 10s બાદ જમીન પર આવશે.

પહેલા પથ્થરની સાપેક્ષે બીજા પથ્થરનું સ્થાન :
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
∴ x₂ – x₁ = = (200 + 30 t – 5 t²) – (200 + 15t – 5t²)
∴ x₂ – x₁ = 15t
આમ, પહેલા પથ્થરની સાપેક્ષે બીજા પથ્થરનું સ્થાન (x₂ – x₁) એ સમયt ની સાથે t = 8s સુધી રેખીય રીતે વધે છે. t = 8 s
બાદ બંને પથ્થર વચ્ચેનું અંતર,
x₂ – x₁ = 15 (8) = 120 m
t = 8 s બાદ, ફક્ત બીજો પથ્થર 2 s સુધી ગતિમાં હશે, એટલે કે t = 8 sથી લઈ t = 10 s સુધી નીચેના સમીકરણ અનુસાર ગતિ કરતો હશે :
x₂ = 200 + 30 t – 5 t²
જે આલેખનો વક્રભાગ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 27.
આકૃતિ 3.45માં ચોક્કસ દિશામાં ગતિ કરતા કણ માટે ઝડપ-સમય આલેખ દર્શાવેલ છે. (a) t = 0 sથી t = 10 s (b) t = 2 sથી t = 6s માટે કણ દ્વારા કપાયેલ અંતર શોધો. સમયગાળા (a) અને (b) માટે કણની સરેરાશ ઝડપ કેટલી હશે?

ઉકેલ :

(a) t = 0થી t = 10 s દરમિયાન કણે કાપેલું અંતર :
x = Δ OABનું ક્ષેત્રફળ
= \(\frac{1}{2}\) × AC × OB
= \(\frac{1}{2}\) × 12 × 10
∴ x = 60 m

(b) t = 2 sથી t = 6 s દરમિયાન કણે કાપેલું અંતર :
t = 2 sથી t = 5 s દરમિયાન કણે કાપેલું અંતર x₁ અને t = 5 sથી t = 6 s દરમિયાન કણે કાપેલું અંતર x₂ હોય, તો t = 2 sથી t = 6 s સુધીમાં કણે કાપેલ અંતર x = x₁ + x₂

x₁ની ગણતરી :
t = 0થી t = 5 s દરમિયાન કણનો પ્રવેગ,
a₁ = OA રેખાનો ઢાળ
= \(\frac{12-0}{5-0}\)
∴ a₁ = 2.4 m s^-2
હવે, t = 2 s સમયે કણનો વેગ,
υ₁ = υ₀ + a₁t
= 0 + (2.4) (2)
= 4.8 m s^-1
હવે, t = 2 sથી t = 5 s, એટલે કે t₁ = 5 – 2 = 3 s
દરમિયાન કણે કાપેલું અંતર,
x₁ = υ₁t₁ + \(\frac{1}{2}\)a₁t₁²
= (4.8) (3) + \(\frac{1}{2}\) (2.4) (3)²
= 14.4 + 10.8
∴ x₁ = 25.2 m

x₂ ની ગણતરી :
t = 5 sથી t = 10s દરમિયાન કણનો પ્રવેગ,
a₂ = \(\frac{0-12}{10-5}\) = -2.4ms^-2
હવે, t = 5 sથી t = 6 s એટલે કે t₂ = 6 – 5 = 1 s
દરમિયાન કણે કાપેલું અંતર,
x₂ = υ₂t₂ + \(\frac{1}{2}\)a₂t₂²
= (12) (1) + \(\frac{1}{2}\) (-2.4) (1)²
= 12 – 1.2
= 10.8 m
કણે કાપેલું કુલ અંતર x = x₁ + x₂
= 25.2 + 10.8
∴ x = 36 m

∴ υ = 9 m s^-1

પ્રશ્ન 28.
આકૃતિ 3.47માં એક-પરિમાણમાં ગતિ કરતા કણ માટે વેગ-સમય આલેખ દર્શાવેલ છે.

સમયગાળા tથી t માટે નીચેનામાંથી ક્યાં સમીકરણો કણની
ગતિ વર્ણવે છે : :
(a) x(t₂) = x (t₁) + υ (t₁) (t₂ – t₁) + (1/2) a (t₂ – t₁)²
(b) υ (t₂) = υ (t₁) + a (t₂ – t₁)
(c) υ_average = [x (t₂) – x (t₁)] / (t₂ – t₁)
(d) a_average = [υ (t₂) – υ (t₁)] / (t₂ – t₁)
(e) x (t₂) = x (t₁) + υ_average(t₂ – t₁) + (1/2) a_average (t₂ – t₁)²
(f) x (t₂) – x (t₁) = t-અક્ષ અને રેખાંકન કરેલી લાઇન વડે υ – t વક્ર નીચે ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ.
ઉકેલ:
આપેલ υ – t આલેખમાં (t₂ – t₁) સમયગાળા દરમિયાન આલેખનો ઢાળ અચળ નથી, એટલે કે કણ નિયમિત પ્રવેગી ગતિ કરતો નથી. સમીકરણ ( a), (b) અને (e) નિયમિત પ્રવેગી ગતિનાં સમીકરણ હોવાથી તેઓ આ કણની ગતિ વર્ણવતા નથી. સમીકરણ (c), (d) અને (f) સાચાં છે.