GSEB Solutions Class 11 Physics Chapter 13 ગતિવાદ

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 13 ગતિવાદ Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 13 ગતિવાદ

GSEB Class 11 Physics ગતિવાદ Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
STPએ ઑક્સિજન વાયુના મોલર કદ અને તેના દ્વારા ઘેરેલ વાસ્તવિક કદનો ગુણોત્તર શોધો. ઑક્સિજનના અણુનો વ્યાસ 3 Å લો.
ઉકેલ:
ઑક્સિજનના અણુનો વ્યાસ d = 3 Å
∴ ત્રિજ્યા r = = 1.5 Å = 1.5 × 10^-10 m

• 1 mol (ઑક્સિજનના) અણુઓનું કદ (ઑક્સિજનનું) મોલર કદ કહેવાય છે.
  ∴ ઑક્સિજન વાયુનું મોલ૨ કદ V_મોલર
  = (એક અણુનું કદ) × (N_A)
  = (\(\frac{4}{3}\)πr³) × N_A
  = \(\frac{4}{3}\) × 3.14 × (1.5 × 10^-10)³ × 6.023 × 10²³
  = 8.51 × 10^-6m³
• STPએ 1 mol (ઑક્સિજન) વાયુનું કદ 22.4 L હોય છે, જે (ઑક્સિજન) વાયુનું વાસ્તવિક કદ કહેવાય છે.
  ∴ ઑક્સિજન વાયુનું વાસ્તવિક કદ V_{વાસ્તવિક} = 22.4 L
  = 22.4 × 10³ cm³
  = 22.4 × 10³ × 10^-6m³
  = 22.4 × 10^-3m³
  
  = 0.3799 × 10^-3
  = 3.799 × 10^-4
  ≈ 3.8 × 10^-4

પ્રશ્ન 2.
પ્રમાણભૂત તાપમાન અને દબાણે (STP : 1 વાતાવરણનું દબાણ અને તાપમાન 0°C) 1 મોલ જેટલા કોઈ પણ (આદર્શ) વાયુ દ્વારા ઘેરેલ કદને મોલર કદ કહે છે. દર્શાવો કે તે 22.4 લિટર છે.
ઉકેલ:
P = 1 atm 1.013 × 10⁵ N m^-2,
T = 0°C = 273 K, μ = 1 mol,
R = 8.314 J mol^-1 K^-1, V = ?
આદર્શ વાયુ-સમીકરણ PV = μRT પરથી,
V = \(\frac{\mu R T}{P}\)
= \(\frac{1 \times 8.314 \times 273}{1.013 \times 10^5}\)
= 2240 × 10^-5 m³
= 22.4 × 10^-3 m³ = 22.4 લિટર (L)

પ્રશ્ન 3.
બે અલગ તાપમાને 1.00 × 10^-3 kg ઑક્સિજન વાયુ માટે PV/T વિરુદ્ધ Pનો આલેખ આકૃતિ 13.16માં દર્શાવ્યો છે.

(a) તૂટક વક્ર શું દર્શાવે છે?
(b ) શું સાચું છે : T₁ > T₂ કે T₁ < T₂ ?
(c) વક્રો y-અક્ષને જ્યાં મળે છે ત્યાં PV/Tનું મૂલ્ય શું છે?
(d) જો આપણે 1.00 × 10^-3kg હાઇડ્રોજન માટે આવાં વક્રો મેળવ્યાં હોત, તો આ વક્રો y-અક્ષને જ્યાં મળે છે ત્યાં આપણને શું આ જ મૂલ્ય મળત? જો ના, તો હાઇડ્રોજનના કયા દળ માટે આપણને (આલેખના નીચા દબાણ અને ઊંચા તાપમાનવાળા વિસ્તારમાં)PV/Tનું એ જ મૂલ્ય મળે?
(H₂નું આણ્વિક દળ = 2.02 u, O₂નું આણ્વિક દળ = 32.0 u, R = 8.31 J mol^-1 K^-1)
ઉકેલ:
H₂નું મોલર દળ = 2.02 g/mol અને આણ્વિક દળ = 2.02 u છે તથા O₂નું મોલર દળ = 32.0 g / mol
અને આણ્વિક દળ = 32.0 u છે.
મોલ૨ દળ = 6.02 × 10²³ અણુઓનું દળ
આણ્વિક દળ = 1 અણુનું દળ
(પરમાણ્વિક દળ = 1 પરમાણુનું દળ)
મોલ૨ દળ અને આણ્વિક દળનાં સંખ્યાત્મક મૂલ્યો સમાન હોય છે, પરંતુ તેમના અર્થ સમાન નથી અને એકમો પણ સમાન નથી.

(a) તૂટક વક્ર (અહીં રેખા) P-અક્ષને સમાંતર છે, જે દર્શાવે છે કે, જો દબાણ P બદલાય તોપણ \(\frac{P V}{T}\) = અચળ જ રહે છે. એનો અર્થ ઑક્સિજન વાયુ આદર્શ વાયુની માફક વર્તે છે અને \(\frac{P V}{T}\) = μR (અચળ) સમીકરણને સંતોષે છે, જે આદર્શ વાયુની વર્તણૂક રજૂ કરે છે.

(b) T₁ તાપમાને ઑક્સિજન વાયુ માટેનો \(\frac{P V}{T}\) વિરુદ્ધ P નો આલેખ, T₂ તાપમાનવાળા આલેખની સાપેક્ષે તૂટક સુરેખાની નજીક છે. તૂટક સુરેખા ઑક્સિજન વાયુ આદર્શ વાયુની માફક વર્તે છે તેમ સૂચવે છે.
હવે, જ્યારે વાયુનું તાપમાન વધારવામાં આવે છે ત્યારે, તે વાયુની વર્તણૂક આદર્શ વાયુની વર્તણૂક જેવી થાય છે. તેથી T₁ > T₂.

(c) T₁ અને T₂ તાપમાને મળેલાં વક્રો y-અક્ષ ૫૨ (જે બિંદુએ) જ્યાં મળે છે ત્યાં તૂટક સુરેખા (આદર્શ વાયુ
માટેનો \(\frac{P V}{T}\) વિરુદ્ધ Pનો આલેખ) પણ મળે છે.
તેથી y-અક્ષ પરના તે સામાન્ય બિંદુ પાસે નું મૂલ્ય \(\frac{P V}{T}\) નું મૂલ્ય μR જેટલું અચળ છે.
∴ \(\frac{P V}{T}\) = μR
= \(\frac{M}{M_0}\) × R
જ્યાં, M = ઑક્સિજન વાયુનું કુલ દળ
M₀ = ઑક્સિજન વાયુનું મોલર દળ
અહીં, M = 1.00 × 10^-3kg = 1.00 g આપેલ છે.
M₀ = 32.0 g mol^-1 છે.
∴ \(\frac{P V}{T}=\frac{1.00 \mathrm{~g}}{32.0 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1}}\) × 8.314 J mol^-1 K^-1
= 0.26 J K^-1

(d) જો આપણે 1.00 × 10^-3kg દળના હાઇડ્રોજન વાયુ માટે T₁ અને T₂ તાપમાને આવાં વક્રો મેળવ્યાં હોત અને આ ક્રો y-અક્ષને જ્યાં મળે ત્યાં \(\frac{P V}{T}\) નું મૂલ્ય શોધ્યું હોત, તો તે તેટલું જ (0.26 J K^-1) જેટલું ના મળે, કારણ કે હાઇડ્રોજન વાયુનું મોલર દળ M₀ જુદું છે.

હવે, જો \(\frac{P V}{T}\) નું મૂલ્ય ઑક્સિજન વાયુ માટે મળેલ મૂલ્ય જેટલું જ, એટલે કે 0.26 J K^-1 જેટલું જોઈતું હોય, તો તેના માટે જરૂરી એવું હાઇડ્રોજન વાયુનું કુલ દળ ધારો કે M’ છે, તો \(\frac{P V}{T}\) = μR પરથી,
0.26 = \(\frac{M^{\prime}}{2.02 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~mol}^{-1}}\) × 8.314 J mol^-1 K^–
∴ M’ = \(\frac{0.26 \times 2.02 \times 10^{-3}}{8.314}\)
= 0.0632 × 10^-3kg
= 6.32 × 10^-5kg

પ્રશ્ન 4.
30 લિટર કદના ઑક્સિજનના બાટલાનું 27 °C તાપમાને પ્રારંભિક ગેજ દબાણ (Guage Pressure) 15 atm છે. બાટલામાંથી થોડો ઑક્સિજન કાઢ્યા પછી, માપનનું ગેજ દબાણ ઘટીને 11 atm અને તાપમાન ઘટીને 17°C થાય છે. બાટલામાંથી બહાર કાઢેલા ઑક્સિજનનું દળ શોધો. (R = 8.31 J mol^-1 K^-1, O₂નું આણ્વિક દળ = 32 u)
ઉકેલ:
O₂નું આણ્વિક દળ = 32 u
∴ O₂નું મોલર દળ = 32 g mol^-1 = 32 × 10^-3 kg mol^-1
V₁ = V₂ = V = 30 L = 30 × 10^-3m³ (અહીં, કદ બદલાતું નથી.)
P₁ = 15 atm = 15 × 1.013 × 105 N m-2
T₁ = 27 °C = 300 K
P₂ = 11 atm = 11 × 1.013 × 10⁵ N m^-2
T₂ = 17°C = 290 K
→ આદર્શ વાયુ-સમીકરણ PV = μRT = \(\frac{M}{M_0}\) RT પરથી,
M = \(\frac{M_0 P V}{R T}\)
– બાટલામાંથી બહાર કાઢેલા ઑક્સિજનના દળને Δm વડે દર્શાવીએ, તો
Δm = M₁ – M₂ (∵ ઑક્સિજનનું પ્રારંભિક દળ M₁ > અંતિમ દળ M₂ છે.)

= 0.1408 kg

પ્રશ્ન 5.
એક તળાવની 40 m ઊંડાઈએથી 12 °C તાપમાને 1.0 cm³ કદનો હવાનો એક પરપોટો ઉપર તરફ આવે છે. જ્યારે તે સપાટી પર આવે છે ત્યારે તેનું તાપમાન 35 °C છે, તો તેનું કદ કેટલું હશે?
ઉકેલ:
પરપોટો તળાવની અંદર 40m ઊંડાઈએ હોય ત્યારે,
V₁ = 1.0 cm³ = 1.0 × 10^-6m³
T₁ = 12°C = 285 K
P₁ = P_a + ρgh = 1.013 × 10⁵ + (10³ × 9.8 × 40)
= 4.93 × 10⁵ N m^-2
પરપોટો તળાવની સપાટી પર આવે ત્યારે,
T₂ = 35 °C = 308 K
P₂ = P_a = 1 atm = 1.013 × 10⁵ N m^-2
V₂ = ?
\(\frac{P_1 V_1}{T_1}=\frac{P_2 V_2}{T_2}\) પરથી,
V₂ = \(\frac{P_1 V_1 T_2}{P_2 T_1}\)
= \(\frac{\left(4.93 \times 10^5\right) \times\left(1.0 \times 10^{-6}\right) \times 308}{\left(1.013 \times 10^5\right) \times 285}\)
= 5.275 × 10^-6m³
≈ 5.3 × 10^-6m³

પ્રશ્ન 6.
27 °C તાપમાન અને 1 atm દબાણે 25.0 m³ની ક્ષમતાવાળા ઓરડામાં રહેલા (ઑક્સિજન, નાઇટ્રોજન, હવાની બાષ્પ અને બંધારણના બીજા વાયુઓ પણ સમાવીને) હવાના અણુઓની સંખ્યા ગણો. (બોલ્ટ્સમૅનનો અચળાંક = 1.38 × 10^-23 J molecule^-1 K^-1)
ઉકેલઃ
V = 25.0 m³, T = 27 °C = 300 K
P = 1 atm = 1.013 × 10⁵ N m^-2
k_B = 1.38 × 10^-23 A molecule^-1 K^-1
N = ?
આદર્શ વાયુ-સમીકરણ PV = Nk_BT પરથી,
N = \(\frac{P V}{k_{\mathrm{B}} T}\)
= \(\frac{1.013 \times 10^5 \times 25}{1.38 \times 10^{-23} \times 300}\)
= 6.10 × 10²⁶ molecule

પ્રશ્ન 7.
હીલિયમ પરમાણુ માટે (i) ઓરડાના તાપમાન (27°C), (ii) સૂર્યની સપાટી પરના તાપમાન (6000 K) (iii) 10 મિલિયન કેલ્વિન (તારાના કેન્દ્રનું લાક્ષણિક તાપમાન) માટે સરેરાશ ઉષ્મીય ઊર્જા ગણો. (બોલ્ટ્સમૅનનો અચળાંક = 1.38 × 10- J molecule^-1 K^-1)
ઉકેલ:
k_B = 1.38 × 10^-23 J molecule^-1 K^-1

(i) T = 27 °C = 300 K
હીલિયમ પરમાણુની સરેરાશ ઉષ્મીય ઊર્જા
= \(\frac{3}{2}\)k_BT
\(\frac{3}{2}\) × 1.38 × 10^-23 × 300
= 6.21 × 10^-21 J

(ii) T = 6000 K
હીલિયમ પરમાણુની સરેરાશ ઉષ્મીય ઊર્જા
= \(\frac{3}{2}\)k_BT
\(\frac{3}{2}\) × 1.38 × 10^-23 × 6000
= 1.24 × 10^-19 J

(iii) T = 10 મિલિયન કેલ્વિન = 10 × 10⁶ K = 10⁷K
હીલિયમ પરમાણુની સરેરાશ ઉષ્મીય ઊર્જા
= \(\frac{3}{2}\)k_BT
\(\frac{3}{2}\) × 1.38 × 10^-23 × 10⁷
= 2.1 × 10^-16 J

પ્રશ્ન 8.
સમાન ક્ષમતાનાં ત્રણ વાયુપાત્રોમાં વાયુ સમાન તાપમાન અને દબાણે રહેલા છે. પહેલું પાત્ર નીયૉન (એક-પરમાણ્વિક) ધરાવે છે, બીજું પાત્ર ક્લોરિન (દ્વિ-પરમાણ્વિક) અને ત્રીજું યુરેનિયમ હેક્ઝાક્લોરાઇડ (બહુપરમાણ્વિક) ધરાવે છે. શું દરેક પાત્રમાં તદનુરૂપ સમાન સંખ્યાના અણુઓ હશે? શું ત્રણેય કિસ્સામાં અણુઓની સરેરાશ વર્ગીત ઝડપનું વર્ગમૂળ સમાન હશે? જો ના, તો કયા કિસ્સામાં υ_rms મહત્તમ હશે?
ઉકેલ : હા.
ઍવોગેડ્રોના અધિતર્ક મુજબ સમાન તાપમાને અને દબાણે, સમાન કદ ધરાવતાં વાયુઓમાં અણુઓની સંખ્યા N સમાન હોય છે.
υ_rms = \(\sqrt{\frac{3 k_{\mathrm{B}} T}{m}}\) સૂત્ર પરથી, અહીં υ_rms ∝ \(\frac{1}{\sqrt{m}}\) છે. ત્રણેય વાયુઓના એક અણુનું દળ m સમાન નથી. તેથી ત્રણેય કિસ્સામાં અણુઓની υ_rms સમાન હશે નહીં.
આપેલ ત્રણ વાયુઓ પૈકી જે વાયુના એક અણુનું દળ લઘુતમ હશે, તે વાયુના અણુની υ_rms મહત્તમ હશે. નીયૉન વાયુના એક અણુનું દળ સૌથી ઓછું હોવાથી નીયૉન વાયુના અણુની rms ઝડપ (υ_rms) મહત્તમ હશે.

પ્રશ્ન 9.
કયા તાપમાને વાયુપાત્રમાં રહેલા આર્ગનની સરેરાશ વર્ગીત ઝડપનું વર્ગમૂળ, – 20°C તાપમાને રહેલા હીલિયમ વાયુના પરમાણુની rms ઝડપ જેટલું હશે? (Ar નું પરમાણ્વીય દળ = 39.9 u, Heનું પરમાણ્વીય દળ = 4.0 u)
ઉકેલ:
T_He = – 20 °C = 253 K, (M₀)_He = 4g mol^-1
(M₀)_Ar = 39.9 g mol^-1, T_Ar = ?
અહીં, Ar અને He બંને વાયુઓના પરમાણુઓની rms ઝડપ સમાન (આપેલ) હોવાથી,

પ્રશ્ન 10.
2.0 atm અને 17°C તાપમાને નાઇટ્રોજન ધરાવતા વાયુપાત્રમાં નાઇટ્રોજનના અણુ માટે સરેરાશ મુક્તપથ અને અથડામણનો દર (આવૃત્તિ) શોધો. નાઇટ્રોજન અણુની ત્રિજ્યા આશરે 1.0 Å લો. અથડામણના સમયને અણુની બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેના સમય સાથે સરખાવો. (N₂ના એક અણુનું દળ = 28.0 u, બોલ્ટ્સમૅનનો અચળાંક 1.38 × 10^-23 J molecule^-1K^-1, R = 8.314 J mol^-1K^-1)
ઉકેલ:
P = 2 atm = 2 × 1.01 × 10⁵ N m^-2
T = 17°C = 290 K
r = 1 Å ∴ d = 2 Å = 2 × 10^-10m
N₂ વાયુના 1 અણુનું દળ = 28.0u છે. તેથી N₂ વાયુનું મોલ૨ દળ M₀ = 28.0 gmol^-1 = 28 × 10^-3kg mol^-1

• આદર્શ વાયુ સમીકરણ P = nk_BT પરથી n = \(\frac{P}{k_{\mathrm{B}} T},\)
  સરેરાશ મુક્તપથના સૂત્ર l = \(\frac{1}{\sqrt{2} \pi \pi d^2}\) માં મૂકતાં,
  l = \(\frac{k_{\mathrm{B}} T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}\)
  = \(\frac{\left(1.38 \times 10^{-23}\right) \times 290}{1.4142 \times 3.14 \times\left(2 \times 10^{-10}\right)^2 \times 2 \times 1.01 \times 10^5}\)
  = 1.11 × 10^-7m
• rms ઝડપ υ_rms = \(\sqrt{\frac{3 R T}{M_0}}\)
  = \(\sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 290}{28 \times 10^{-3}}}\)
  = 5.081 × 10² m s^-1
  ≈ 5.1 × 10² m s^-1
• અથડામણનો દર એટલે કે સંઘાત આવૃત્તિ
  v = \(\frac{v_{\mathrm{rms}}}{l}\)
  = \(\frac{5.1 \times 10^2}{1.11 \times 10^{-7}}\)
  = 4.59 × 10⁹ s^-1
• એક અથડામણ થવા માટેનો જરૂરી સમય,
  t = \(\frac{d}{v_{\mathrm{rms}}}\)
  = \(\frac{2 \times 10^{-10}}{5.1 \times 10^2}\)
  = 3.92 × 10^-13 s
• બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સમયગાળો,

= \(\frac{1}{4.59 \times 10^9}\)
= 2.17 × 10^-10S
∴ \(\frac{\tau}{t}=\frac{2.17 \times 10^{-10} \mathrm{~s}}{3.92 \times 10^{-13} \mathrm{~s}}\) = 553
∴ τ = (553) t
આમ, કોઈ અણુની બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સમય (સરેરાશ- રૂપે), એક અથડામણ થવા માટેના જરૂરી સમય કરતાં આશરે 500 ગણો છે. તેનો અર્થ વાયુમાં અણુ મહશે મુક્ત રીતે ગતિ કરે છે.

ગતિમાન અણુનો અથડામણનો દર અથવા સંઘાત આવૃત્તિ :

• એકમ સમયમાં કોઈ ગતિમાન અણુની બીજા સ્થિર ધારેલા અણુઓ સાથે થતી અથડામણોની સંખ્યાને અથડામણનો દર અથવા સંઘાત આવૃત્તિ કહે છે.
• <υ> જેટલી સરેરાશ ઝડપથી એક ગતિમાન અણુ Δ t સમયમાં <υ> Δ t જેટલું (કાલ્પનિક નળાકારની લંબાઈ જેટલું) અંતર કાપે છે.
• આ ગતિમાન અણુની Δ t સમયમાં થતી અથડામણોની કુલ સંખ્યા = nπd²<υ>Δ t છે.
  જ્યાં, n = એકમ કદમાં આવેલ અણુઓની સંખ્યા છે અને πd² <υ>Δt એ કાલ્પનિક નળાકારનું કદ છે, જેમાં આવેલા સ્થિર અણુઓ સાથે આ ગતિમાન અણુ અથડાય છે.
  ∴ એકમ સમયમાં ગતિમાન અણુની થતી અથડામણોની સંખ્યા
  અથવા સંઘાત આવૃત્તિ v = \(\frac{n \pi d^2\Delta t}{\Delta t}\)
  = nπd²<υ>
  પણ, ગતિમાન અણુનો સરેરાશ મુક્તપથ ! હોવાથી અને
  nπd² = \(\frac{l}{l}\) હોવાથી,
  સંઘાત આવૃત્તિ v = \(\frac{\langle v\rangle}{l}\)
  <υ> = υ_rms લગભગ લઈ શકાય છે.
  ∴ V = \(\frac{v_{\mathrm{rms}}}{l}\)

પ્રશ્ન 11.
એક મીટર લાંબો પાઇપ – નળી (Bore) સમક્ષિતિજ રાખેલો છે, (તેનો બીજો છેડો બંધ કરેલો છે) જે 76 cm લાંબો પારાનો આડો સ્તંભ (Thread) ધરાવે છે અને તે 15 cm જેટલો હવાનો બંધ સ્તંભ રચે (Traps) છે. જો નળીને તેનો ખુલ્લો છેડો તળિયા (નીચે) તરફ રહે તેમ શિરોલંબ રાખીએ, તો શું થશે?
ઉત્તર:

નળી જ્યારે સમક્ષિતિજ હોય ત્યારે …

• આકૃતિ 13.17 (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ જ્યારે નળી સમક્ષિતિજ હોય ત્યારે, 76 cm લંબાઈનો પારો નળીના બંધ છેડા આગળ 15 cm લંબાઈનો પારાનો બંધ સ્તંભ રચે છે અને બાકીનો 9 cm લંબાઈનો હવાનો સ્તંભ ખુલ્લા છેડા તરફ હોય છે.
• ધારો કે, નળીના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ A cm² છે.
  ∴ બંધ હવાના સ્તંભનું કદ V₁ = (A × 15) cm³
  બંધ હવાના સ્તંભની અંદર દબાણ P₁ = 1 atm
  = 76 cm of Hg
  નળી જ્યારે શિરોલંબ ઊર્ધ્વ હોય ત્યારે …
• આકૃતિ 13.17 (b)માં દર્શાવ્યા મુજબ જ્યારે નળીનો ખુલ્લો છેડો, તળિયા (નીચે) તરફ રહે તેમ નળીને શિરોલંબ ઊર્ધ્વ કરવામાં આવે છે ત્યારે, પારો નળીના ખુલ્લા છેડા તરફ ખસે છે અને ખુલ્લા છેડા તરફની હવા તથા થોડોક પારો બહાર નીકળી જાય છે.
• નળીના ખુલ્લા છેડા પાસેના વાતાવરણના દબાણ ( 1 atm)ને સંતુલિત કરવા માટે ધારો કે h cm લંબાઈનો પારો નળીની બહાર નીકળી જાય છે.
• તેથી હવે નળીના ખુલ્લા છેડા આગળ પારાના સ્તંભની ઊંચાઈ (76 – h) cm થશે અને બંધ હવાના સ્તંભની ઊંચાઈ (24 + h) cm થશે.
• આ પરિસ્થિતિમાં બંધ હવાના સ્તંભ દ્વારા ઉદ્ભવતું દબાણ P₂ હોય, તો
  P₂ + (76 – h) = 1 atm
  = 76 cm of Hg (76 cm ઊંચાઈના પારાના સ્તંભનું દબાણ) (∵ નળીના નીચેના ખુલ્લા છેડા પાસેનું દબાણ, વાતાવરણના દબાણ 1 atm = 76 cm of Hg છે.)
  ∴ P₂ = (76 – 76 + h) cm of Hg
  =h cm of Hg
  અહીં બંધ હવાના સ્તંભનું કદ,
  V₂ = A × (24 + h) cm³
• અહીં તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી, બૉઇલના નિયમ અનુસાર,
  P₁V₁ = P₂V₂
  76 × (15 × A) = h × (A × (24 + h))
  ∴ h² + 24h – 1140 = 0

= 23.8 cm અથવા – 47.8 cm
પરંતુ ઊંચાઈ h ઋણ હોઈ શકે નહીં. તેથી h = 23.8 cm.

• આમ, નળીને શિરોલંબ ઊર્ધ્વ રાખતાં પારાના સ્તંભની લંબાઈ ઘટે છે અને 76 – 23.8 = 52.2 cm થાય છે. સાથે સાથે બંધ હવાના સ્તંભની લંબાઈ 24 + 23.8 = 47.8 cm થશે.
• અંતે 52.2 cm લંબાઈનો પારાનો સ્તંભ અને 47.8 cm લંબાઈનો બંધ હવાનો સ્તંભ, બહારના વાતાવરણના દબાણ સાથે નળીના ખુલ્લા છેડા પાસે સંતુલનમાં રહે છે.

પ્રશ્ન 12.
કોઈ ચોક્કસ સાધનમાંથી હાઇડ્રોજનના ભળવા – પ્રસરવા- (Diffusion)નો સરેરાશ દર 28.7 cm³s^-1 છે. આ જ પરિસ્થિતિઓમાં બીજા વાયુ માટે ભળવાનો સરેરાશ દર 7.2 cm³s^-1 માપવામાં આવે છે. આ વાયુ કયો હશે, તે શોધો.
(સૂચન : ગ્રેહામના પ્રસરણના નિયમનો ઉપયોગ કરો : R₁ /R₂ = (M₂ / M₁)^1/2, જ્યાં R₁, R₂ એ વાયુઓ 1 અને 2ના પ્રસરવાનો દર છે તથા M₁ અને M₂ અનુક્રમે તેમના મોલર દળ છે. આ નિયમ ગતિવાદ પરથી સીધો તરી આવે છે.)
ઉત્તર:
અહીં, R₁ = 28.7 cm³ s^-1 અને R₂ = 7.2 cm³ s^-1 આપેલ છે. M₁ = હાઇડ્રોજનનું મોલર દળ = 2 g mol^-1, M₂ = ?
ગ્રેહામનો પ્રસરણનો / ભળવાનો નિયમ વાપરતાં,
\(\frac{R_1}{R_2}=\sqrt{\frac{M_2}{M_1}}\)
∴ M₂ = (\(\))² × M₁
= (\(\frac{R_1}{R_2}\))² × 2 = 31.78 ≈ 32 gmol^-1
જે ઑક્સિજનનું મોલ૨ દળ છે. તેથી બીજો વાયુ ઑક્સિજન હશે.

પ્રશ્ન 13.
સંતુલનમાં રહેલા એક વાયુની ઘનતા અને દબાણ તેના કદમાં સમાન રીતે વહેંચાયેલા છે. આ ફક્ત તો જ શક્ય છે કે જ્યારે બહારની પરિસ્થિતિઓ અસર ન કરતી હોય. દા. ત., ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ વાયુના સ્તંભની ઘનતા (અને દબાણ) એકધાર્યા (સમાન) હોતા નથી. તમે અપેક્ષા રાખતા હશો તેમ, તેની ઘનતા ઊંચાઈ સાથે ઘટે છે. ચોક્કસ અવલંબન એ જાણીતા વાતાવરણના નિયમ પરથી આપી શકાય છે,
n₂ = n₁ exp [- mg (h₂ – h₁)/k_BT]
જ્યાં n₂, n₁ અનુક્રમે ઊંચાઈઓ h₂ અને h₁ માટે સંખ્યા- ઘનતા છે. આ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સંતુલનમાં રહેલા કલિલ દ્રાવણ- (Suspension)ના નળાકારીય સ્તંભના ઠારણ (Sedimentation) સંતુલન માટેનું સમીકરણ,
n₂ = n₁ exp [- mg N_A (ρ – ρ’) (h₂ – h₁) /(ρRT)] મેળવો. જ્યાં, ρ એ કલિલ કણની અને ρ′ તેની આસપાસના માધ્યમની ઘનતા છે. (N_A ઍવોગેડ્રો આંક છે અને R એ સાર્વત્રિક વાયુ- અચળાંક છે.)
(સૂચન : આર્કિમિડિઝના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને કલિલ કણ- (Suspended Particle)નું આભાસી (Apparent) વજન શોધો.)
ઉકેલ:
અહીં, વાતાવરણના નિયમ પરથી
n₂ = n₁ exp[latex]\frac{-m g\left(h_2-h_1\right)}{k_{\mathrm{B}} T}[/latex] છે. ……….. (1)
જ્યાં, n₂ અને n₁ સંખ્યા-ઘનતા છે. અનુક્રમે વાતાવરણમાં h₂ અને h₁ ઊંચાઈએ

• પ્રવાહી સ્તંભ(કલિલ દ્રાવણના સ્તંભ)ની અંદર, તરતા કણો માટે ઠારણ (અવસાદન) સંતુલનની અવસ્થામાં, કણોનું સાચું વજન mg નહીં પણ તેમનું દેખીતું (આભાસી) વજન ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ.
• ધારો કે, તરતા એક કણનું કદ V, કણની ઘનતા ρ તથા પ્રવાહી- (કલિલ દ્રાવણ)ની ઘનતા ρ’ છે.
• જો તરતા કણનું દળ m હોય અને તેના દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલ પ્રવાહીનું (કલિલ દ્રાવણનું) દળ m’ હોય, તો આર્કિમિડિઝના નિયમ અનુસાર ……

• બોલ્ટ્સમૅનનો અચળાંક
  સમીકરણ (1)માં મૂકતાં, K_B = \(\frac{R}{N_{\mathrm{A}}}\) અને mg ના બદલે \(\frac{m g\left(\rho-\rho^{\prime}\right)}{\rho}\)
  n₂ = n₁ exp [latex]\frac{-m g N_{\mathrm{A}}\left(\rho-\rho^{\prime}\right)\left(h_2-h_1\right)}{\rho R T}[/latex]
  આમ, માગેલું સૂત્ર સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 14.
કેટલાક ઘન અને પ્રવાહી દ્રવ્યોની ઘનતા નીચે આપેલી છે. તેમના પરમાણુઓના પરિમાણ (Size) વિશે અંદાજ આપો :

પદાર્થ	પરમાણ્વિક દળ (u)	ઘનતા (103 kg m-3)
(i) કાર્બન (હીરો)	12.01	2.22
(ii) સોનું	197.00	19.32
(iii) નાઇટ્રોજન (પ્રવાહી)	14.01	1.00
(iv) લિથિયમ	6.94	0.53
(v) ફ્લોરિન (પ્રવાહી)	19.00	1.14

(સૂચન : ઘન અથવા પ્રવાહી અવસ્થામાં અણુઓ ‘ખીચોખીચ ગોઠવાયેલા’ છે, તેમ માનો અને ઍવોગેડ્રો અંકના જાણીતા મૂલ્યનો ઉપયોગ કરો. જોકે તમારા વિવિધ પરમાણુના પરિમાણ માટે તમને મળતી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ બહુ અક્ષરશઃ (Literally) લેવી જોઈએ નહિ. ગીચોગીચ ભરાયેલા’ – એવી અપરિપક્વ સન્નિકટતાને લીધે પરિણામો માત્ર એટલું જ સૂચવે છે કે પરમાણુનાં પરિમાણો કેટલાંક Åના ક્રમનાં હોય છે.) (N_A = 6.02 × 10²³ mol^-1 લો.)
ઉકેલ:
ધારો કે, દરેક પરમાણુની ત્રિજ્યા છે, તો દરેક પરમાણુનું કદ = \(\frac{4}{3}\)πr³ થાય.
જો 1 mol પરમાણુઓનું કદ V હોય, દળ M₀ અને ઘનતા ρ હોય, તો
V = \(\frac{M_0}{\rho}\)
જ્યાં, M₀ = 1 mol પરમાણુઓનું દળ
= મોલર દળ
પણ V = મોલર કદ = N_A × \(\frac{4}{3}\)πr³ છે.
∴ N_A × \(\frac{4}{3}\)πr³ = \(\frac{M_0}{\rho}\)
∴ r = \(\left(\frac{3 M_0}{4 \pi \rho N_{\mathrm{A}}}\right)^{\frac{1}{3}}\)

(i) કાર્બન માટે :
મોલર દળ M₀ = 12.01 × 10^-3kg mol^-1
ઘનતા ρ = 2.22 × 10³kg m^-3
∴ r = \(\left[\frac{3 \times 12.01 \times 10^{-3}}{4 \times 3.14 \times 2.22 \times 10^3 \times 6.023 \times 10^{23}}\right]^{\frac{1}{3}}\)
= 1.29 × 10^-10 m
= 1.29 Å
∴ કાર્બન પરમાણુનું પરિમાણ (Size) = કાર્બન પરમાણુની ત્રિજ્યા = 1.29 Å

(ii) સોના માટે :
મોલર દળ M₀ = 197.00 × 10^-3 kg mol^-1
ઘનતા ρ = 19.32 × 10³ kg m^-3
∴ r = \(\left[\frac{3 \times 197 \times 10^{-3}}{4 \times 3.14 \times 19.32 \times 10^3 \times 6.023 \times 10^{23}}\right]^{\frac{1}{3}}[latex]
= 1.59 × 10^-10 m
= 1.59 8 Å
∴ સોનાના પરમાણુનું પરિમાણ (Size) પરમાણુની ત્રિજ્યા = સોનાના 1.59 Å

(iii) નાઇટ્રોજન (પ્રવાહી) માટે :
મોલર દળ M₀ = 14.01 × 10^-3 kg mol^-1
ઘનતા ρ = 1.00 × 10³kg m^-3
∴ r = [latex]\left[\frac{3 \times 14.01 \times 10^{-3}}{4 \times 3.14 \times 1.00 \times 10^3 \times 6.023 \times 10^{23}}\right]^{\frac{1}{3}}\)
= 1.77 × 10^-10 m
= 1.77 Å
∴ નાઇટ્રોજન(પ્રવાહી)ના પરમાણુનું પરિમાણ (Size)
= નાઇટ્રોજન(પ્રવાહી)ના
= 1.77 Å

(iv) લિથિયમ માટે :
ના પરમાણુની ત્રિજ્યા
મોલર દળ M₀ = 6.94 × 10^-3 kg mol^-1
ઘનતા ρ = 0.53 × 10³ kg m^-3
∴ r = \(\left[\frac{3 \times 6.94 \times 10^{-3}}{4 \times 3.14 \times 0.53 \times 10^3 \times 6.023 \times 10^{23}}\right]^{\frac{1}{3}}\)
= 1.73 × 10^-10 m
= 1.73 Å
∴ લિથિયમ પરમાણુનું પરિમાણ (Size) = લિથિયમ
પરમાણુની ત્રિજ્યા= 1.73 Å

(v) ફ્લોરિન (પ્રવાહી) માટે :
મોલર દળ M₀ = 19.00 × 10^-3kg mol^-1
ઘનતા ρ = 1.14 × 10³kgm^-3
∴ r = \(\left[\frac{3 \times 19.00 \times 10^{-3}}{4 \times 3.14 \times 1.14 \times 10^3 \times 6.023 \times 10^{23}}\right]^{\frac{1}{3}}\)
= 1.88 × 10^-10 m
= 1.88 Å
∴ ફ્લોરિન(પ્રવાહી)ના પરમાણુનું પરિમાણ (Size)
= ફ્લોરિન(પ્રવાહી)ના પરમાણુની ત્રિજ્યા = 1.88 Å