GSEB Solutions Class 11 Physics Chapter 10 તરલના યાંત્રિક ગુણધર્મો

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 10 તરલના યાંત્રિક ગુણધર્મો Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 10 તરલના યાંત્રિક ગુણધર્મો

GSEB Class 11 Physics તરલના યાંત્રિક ગુણધર્મો Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
સમજાવો, શા માટે
(a) માનવમાં પગ આગળ લોહીનું દબાણ (Blood pressure), મગજ આગળ હોય તે કરતાં વધુ હોય છે.
(b) વાતાવરણની ઊંચાઈ 100 kmથી પણ વધુ હોવા છતાં લગભગ 6 kmની ઊંચાઈએ વાતાવરણનું દબાણ ઘટીને તેના દરિયાની સપાટી આગળના મૂલ્યનું લગભગ અડધું હોય છે.
(c) દબાણ એ બળ ભાગ્યા ક્ષેત્રફળ હોવા છતાં હાઇડ્રોસ્ટેટિક (દ્રવસ્થિત) દબાણ એ અદિશ રાશિ છે.
ઉત્તર:
(a) દબાણ P = ρgh. માનવશરીરમાં હૃદયથી પગ આગળ આવેલા લોહીના સ્તંભની ઊંચાઈ (h) એ હૃદયથી મગજ આગળના લોહીના સ્તંભ કરતાં વધુ હોય છે. આથી પગ આગળ લોહીનું દબાણ, મગજ આગળ હોય તે કરતાં વધારે હોય છે.

(b) વાતાવરણનું દબાણ P = ρgh. જ્યાં, ρ એ હવાની ઘનતા છે. આપણે જેમ દરિયાની સપાટીથી ઉપર જઈએ તેમ હવાની ઘનતા ઝડપથી ઘટે છે. લગભગ 6kmની ઊંચાઈએ હવાની ઘનતા અડધી થઈ જાય છે. આથી 6 km ઊંચાઈએ વાતાવરણનું દબાણ પણ દરિયાની સપાટીના દબાણ કરતાં અડધું થાય છે.

(c) જ્યારે પ્રવાહી પર બળ લગાડવામાં આવે છે, ત્યારે હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ પ્રવાહીમાં સમાન રીતે બધી જ દિશામાં પ્રસરે છે. આમ તેની સાથે કોઈ ચોક્કસ દિશા સંકળાયેલ નથી. આથી તે અદિશ રાશિ છે.

પ્રશ્ન 2.
સમજાવો, શા માટે
(a ) પારાનો કાચ સાથેનો સંપર્કકોણ ગુરુકોણ છે, જ્યારે પાણીનો કાચ સાથેનો સંપર્કકોણ લઘુકોણ છે.
(b) સ્વચ્છ કાચની સપાટી પર પાણી ફેલાઈ જાય છે, જ્યારે તે જ સપાટી પર પારો બુંદો રચે છે. (બીજી રીતે કહીએ તો પાણી કાચને ભીંજવે છે, જ્યારે પારો કાચને ભીંજવતો નથી.)
(c) પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ સપાટીના ક્ષેત્રફળ પર આધારિત નથી.
(d) ડિટર્જન્ટ ઓગાળેલા પાણીને નાના સંપર્કકોણો હોય છે.
(e) બાહ્ય બળોની અસર હેઠળ ન હોય તેવું પ્રવાહી બુંદ હંમેશાં ગોળાકાર હોય છે.
ઉત્તર:
(a) જ્યારે પ્રવાહીને ઘન સપાટી પર મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે સંપર્કબિંદુએ પ્રવાહીની સપાટીને સ્પર્શક અને ઘન સપાટી વચ્ચે પ્રવાહીની અંદરના કોણને સંપર્કકોણ (θ) કહે છે. તે પ્રવાહીઓ અને ઘન પદાર્થોની જુદી જુદી જોડની આંતરસપાટીઓ આગળ જુદો જુદો હોય છે.

• આકૃતિ 10.43માં દર્શાવ્યા મુજબ પ્રવાહી-હવા, ઘન-હવા અને ઘન-પ્રવાહી આંતરસપાટીઓના પૃષ્ઠતાણો અનુક્રમે S_la, S_sa અને S_sl છે. આ ત્રણેય સપાટીઓના છેદબિંદુ O આગળ પરિણામી પૃષ્ઠતાણ બળ સંતુલિત હોય છે.
  ∴ S_sl + S_la cos θ = S_sa
  ∴ cos θ = \(\frac{S_{\mathrm{sa}}-S_{\mathrm{sl}}}{S_{\mathrm{la}}}\)
  ગ્લાસ-પારાના કિસ્સામાં S_sa < S_sl હોવાથી cos θ ઋણ થશે. એટલે કે, θ > 90°. આમ, સંપર્કકોણ એ ગુરુકોણ થાય છે.
• આવા કિસ્સામાં, પારાના અણુઓ એકબીજા સાથે પ્રબળ આકર્ષણ ધરાવે છે અને ઘનના અણુઓ સાથે નિર્બળ આકર્ષણ ધરાવે છે.
• પાણી-ગ્લાસના કિસ્સામાં S_sa > S_sl હોવાથી cos θ ધન થશે. એટલે કે, θ < 90°. આમ, સંપર્કકોણ એ લઘુકોણ થાય છે. આવા કિસ્સામાં, પ્રવાહીના અણુઓ અને ઘનના અણુઓ વચ્ચે પ્રબળ આકર્ષણ હોય છે.

(b) પારા-ગ્લાસ વચ્ચેનો સંપર્કકોણ એ ગુરુકોણ છે (θ > 90°). θ ગુરુકોણ હોય ત્યારે પારાના પોતાના અણુઓ એકબીજા સાથે પ્રબળતાથી આકર્ષાયેલા હોય છે અને ગ્લાસના અણુઓ સાથે નિર્બળ આકર્ષણ ધરાવે છે. આથી પારો-ગ્લાસસપાટી રચવા માટે ઘણી વધુ ઊર્જા ખર્ચવી પડે છે અને પારો ગ્લાસને ભીંજવતો નથી અને સપાટી પર પારો બુંદ રચે છે.

ગ્લાસ-પાણીના કિસ્સામાં સંપર્કકોણ θ એ લઘુકોણ છે. આ લઘુકોણ રચાય તે માટે પાણી એ ગ્લાસ પર પ્રસરે છે. અહીં, પાણીના અણુઓ ગ્લાસના અણુઓ પ્રત્યે પ્રબળતાથી આકર્ષાતા હોવાથી θમાં ઘટાડો થાય છે અને તે લઘુકોણ બને છે. આથી પાણી એ ગ્લાસની સપાટી પર ફેલાય છે.

(c) પૃષ્ઠતાણ એ પ્રવાહીની મુક્તસપાટી પર કલ્પેલી એકમ લંબાઈની રેખાને લંબ અને સપાટીને સમાંતર લાગતું બળ છે. તે ફક્ત પ્રવાહીના પ્રકાર અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે. તે સપાટીના ક્ષેત્રફળ પર આધારિત નથી.

(d) કપડાઓમાં નાનાં છિદ્રો હોય છે, જે પાતળી કેશનળી તરીકે વર્તે છે. કેશનળીમાં ઉપર ચડતા પ્રવાહીની ઊંચાઈ h = \(\frac{2 S \cos \theta}{a \rho g}\) વડે આપવામાં આવે છે. જો ડિટર્જન્ટનો સંપર્કકોણ θ નાનો રાખવામાં આવે, તો cos θનું મૂલ્ય મોટું મળે છે. જેથી કેશનળીમાં પ્રવાહી વધુ ઊંચાઈ સુધી જઈ શકે. એટલે કે, પાણી કપડાનાં છિદ્રોમાં છેક અંદર સુધી પ્રસરી શકે છે અને છિદ્રોમાં ભરાયેલા મેલને દૂર કરે છે.

(c) પૃષ્ઠતાણના ગુણધર્મને લીધે દરેક મુક્તસપાટી લઘુતમ ક્ષેત્રફળ ધારણ કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે. આપેલ કદ માટે ગોળાને લઘુતમ સપાટી હોય છે. આથી જ્યાં સુધી બાહ્ય બળ ના લાગે ત્યાં સુધી પ્રવાહીનું બુંદ હંમેશાં ગોળાકાર હોય છે.

પ્રશ્ન 3.
દરેક કથન સાથે આપેલ યાદીમાંના શબ્દ (શબ્દો) વાપરીને ખાલી જગ્યા પૂરો :
( a ) પ્રવાહીઓના પૃષ્ઠતાણ સામાન્યતઃ તાપમાન સાથે ……………… .
(વધે છે / ઘટે છે)
( b) વાયુઓની શ્યાનતા તાપમાન સાથે …………….. , જ્યારે પ્રવાહીઓની શ્યાનતા તાપમાન સાથે ………………. .
(વધે છે / ઘટે છે)
(c) આકાર સ્થિતિસ્થાપકતા અંક ધરાવતા ઘન પદાર્થો માટે આકાર વિરુપક બળ ………………….. ને સમપ્રમાણમાં, જ્યારે પ્રવાહીઓ માટે તે ………………….. ને સમપ્રમાણમાં હોય છે.
(આકાર-વિકૃતિ / આકાર-વિકૃતિના દર)
(d) સ્થાયી વહનમાંના તરલ માટે, સંકુચિત (સાંકડા) ભાગ આગળ વહનની ઝડપમાં વધારો …………………. ને અનુસરે છે.
(દળના સંરક્ષણ / બર્નુલીના સિદ્ધાંત)

(e) પવનની ટનલમાં વિમાનના નમૂના (મૉડેલ) માટે જે ઝડપે પ્રક્ષુબ્ધતા થાય તે, વાસ્તવિક વિમાન માટેની જે ઝડપે પ્રક્ષુબ્ધતા થાય તેના કરતાં …………………….. હોય છે.
(વધુ / ઓછી)
ઉત્તર:
(a) ઘટે છે
(b) વધે છે, ઘટે છે
(c) આકાર-વિકૃતિ, આકાર-વિકૃતિના દર
(d) દળના સંરક્ષણ
(c) વધુ
(e) સમજાવો, શા માટે

પ્રશ્ન 4.
સમજાવો, શા માટે
(a) કાગળના ટુકડાને સમક્ષિતિજ રાખવા માટે તમારે તેની ઉપર ફૂંક મારવી પડે, નીચે નહિ.
(b) જ્યારે આપણે પાણીના નળને આપણી આંગળીઓથી બંધ કરવાનો પ્રયત્ન કરીએ છીએ ત્યારે આંગળીઓ વચ્ચેની જગ્યામાંથી પાણીની વેગવંત ધારો ધસી આવે છે.
(c) ઇન્જેક્શન આપવામાં ડૉક્ટર દ્વારા અંગૂઠાથી દાખવાતા દબાણ કરતાં સિરિંજની સોયનું પરિમાણ વહનના દરનું વધુ સારી રીતે નિયંત્રણ કરી શકે છે.
(d) પાત્રમાંના નાના છિદ્રમાંથી બહાર વહી આવતા તરલને પરિણામે પાત્ર પર વિરુદ્ધ દિશામાં ધક્કો લાગે છે.
(e) હવામાં સ્પિન થતો ક્રિકેટ બૉલ પરવલય ગતિપથને અનુસરતો નથી.
ઉત્તર:
(a) કાગળના ટુકડાની ઉપર ફૂંક મારતાં ત્યાં હવાની ઝડપ વધે છે. આથી બર્નુલીના સિદ્ધાંત અનુસાર ત્યાં દબાણ ઘટે છે, પરંતુ કાગળના નીચેના ભાગમાં દબાણ વાતાવરણના દબાણ જેટલું વધારે હોવાથી કાગળનો ટુકડો સમક્ષિતિજ રહે છે.

(b) સાતત્યના સમીકરણ અનુસાર પ્રવાહીનો વેગ, ક્ષેત્રફળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. જ્યારે આંગળીઓ વડે પાણીના નળને બંધ કરવાનો પ્રયત્ન કરીએ છીએ ત્યારે આંગળી વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે. જેથી આંગળીઓમાંથી બહાર આવતા પાણીનો વેગ વધે છે.

(c) અહીં, સોયનું પરિમાણ એ વહનનો દર અને અંગૂઠાનું દબાણ એ દબાણ નિયંત્રિત કરે છે. બર્નુલીનું સમીકરણ P + ρgh + \(\frac{1}{2}\)ρυ² = અચળ દર્શાવે છે કે, P માં દબાણની ઘાત એક અને υ² માં વેગની બે ઘાત છે. તેથી વેગની અસર વધારે થાય છે. એટલે કે, સોય વડે વહનના દર પર સારું નિયંત્રણ મેળવી શકાય છે.

(d) જ્યારે નાના છિદ્રમાંથી તરલ બહાર આવે ત્યારે તેનો વેગ અને વેગમાન ખૂબ વધારે હોય છે. તંત્ર પર બાહ્ય બળ લાગતું નથી. આથી વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર પાત્રને પાછળની દિશામાં તેટલું જ વેગમાન મળે છે. આથી પાત્રને વિરુદ્ધ દિશામાં ધક્કો લાગે છે.

(e) હવાની ગેરહાજરીમાં સ્પિન થયેલો બૉલ પરવલય માર્ગે ગતિ કરે છે, પરંતુ હવાની હાજરીમાં બૉલ હવાને તેની સાથે ઘસડે છે. એટલે કે બૉલ જેમ જેમ આગળ ગતિ કરે છે, તેમ તેની સાપેક્ષમાં હવા પાછળ ગતિ કરે છે. આથી બૉલની ઉપરના ભાગમાં હવાનો વેગ વધારે અને નીચેના ભાગમાં હવાનો વેગ ઓછો હોય છે. આમ બૉલની ઉપર અને નીચેની સપાટીઓ વચ્ચે દબાણ-તફાવત ઉદ્ભવે છે અને બૉલ પર ચોખ્ખું બળ ઊદિશામાં લાગે છે. આ ડાયનેમિક લિફ્ટને મેગ્નસ અસર કહે છે.

આમ, સ્પિન કરી ફેંકેલો દડો તેના ગતિપથ પર ધારણા કરતાં ઊંચો રહી જાય છે. તેથી તે પરવલય ગતિપથને અનુસરતો નથી.

પ્રશ્ન 5.
ઊંચી એડીના બૂટ પહેરતી 50kgની એક છોકરી એક એડી પર સંતુલન જાળવે છે. બૂટની એડીનો વ્યાસ 1.0 cm છે. એડી વડે સમક્ષિતિજ તળિયા પર કેટલું દબાણ લાગે?
ઉકેલ:
છોકરીનું દળ m = 50 kg, એડીનો વ્યાસ D = 1.0 cm
એડીની ત્રિજ્યા r = \(\frac{D}{2}=\frac{1}{2}\) cm ∴ r = 0.5 × 10^-2m
દબાણ P = = \(\frac{m g}{\pi r^2}\)
∴ P = \(\frac{50 \times 9.8}{3.14 \times\left(0.5 \times 10^{-2}\right)^2}\)
= 6.24 × 10⁶ N m^-2

પ્રશ્ન 6.
ટૉરિસેલીના બેરોમિટરમાં પારો વપરાયો હતો. પાસ્કલે 984 kg m^-3 ઘનતાનો ફ્રેંચ વાઇન વાપરીને તેની નકલ કરી. સામાન્ય વાતાવરણના દબાણ માટે વાઇનના સ્તંભની ઊંચાઈ કેટલી હશે?
ઉકેલ:
પારાની ઘનતા ρ = 13.6 × 10³ kg m^-3
વાઇનની ઘનતા ρ′ = 984 kg m^-3
76 cm પારાના સ્તંભનું દબાણ = h’ ઊંચાઈના વાઇનના સ્તંભનું દબાણ
ρgh = ρ’ gh’
∴ h’ = \(\frac{\rho \times h}{\rho^{\prime}}=\frac{13.6 \times 10^3 \times 0.76}{984}\)
∴ h’ = 10.5 m

પ્રશ્ન 7.
એક ઊર્ધ્વ બાંધકામ 10⁹ Paનું મહત્તમ પ્રતિબળ સહન કરી શકે છે. આ બાંધકામ સમુદ્રની અંદરના તેલના કૂવા પર મૂકવા માટે
યોગ્ય છે? સમુદ્રની ઊંડાઈ 3 km છે. સમુદ્રમાંના પ્રવાહોને અવગણો.
ઉકેલ:
h = 3 km = 3000 m, ρ = 1000 kg m^-3
g = 9.8 m s^-2
સમુદ્રની h ઊંડાઈએ દબાણ,
P = ρgh
= 1000 × 9.8 × 3000 = 2.94 × 10⁷ Pa
સમુદ્રની 3 km ઊંડાઈએ આ દબાણ એ 10⁹Pa કરતાં ઘણું નાનું છે. આથી આપેલ બાંધકામ સમુદ્રની અંદરના તેલના કૂવા પર મૂકવા માટે યોગ્ય છે.

પ્રશ્ન 8.
એક હાઇડ્રોલિક ઑટોમોબાઇલ લિફ્ટ મહત્તમ 3000 kg દળની કારને ઊંચકવા માટે બનાવેલી છે. આ વજન ઊંચકતા પિસ્ટનના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ 425 cm² છે. નાનાપિસ્ટનને કેટલું મહત્તમ દબાણ સહન કરવું પડશે?
ઉકેલ:
મોટર ઊંચકતા – મોટા પિસ્ટનના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,
A = 425 cm² = 425 × 10^-4m²
મોટા પિસ્ટન દ્વારા ઊંચકાતું મહત્તમ વજન,
F = mg
= 3000 × 9.8 N
મોટા પિસ્ટન પરનું મહત્તમ દબાણ,
P = \(\frac{F}{A}=\frac{3000 \times 9.8}{425 \times 10^{-4}}\) = 6.92 × 10⁵ N m^-2
પ્રવાહી દ્વારા દરેક દિશામાં એકસમાન દબાણ પ્રસરે છે. આથી નાના પિસ્ટનને 6.92 × 10⁵ N m^-2 જેટલું દબાણ સહન કરવું પડશે.

પ્રશ્ન 9.
એક U-ટ્યૂબમાં પારા વડે જુદા પાડેલા પાણી અને મિથિલેટેડ સ્પિરિટ ભરેલા છે. એક ભુજમાં 10.0 cm પાણી અને બીજામાં 12.5 cm સ્પિરિટ વડે બે ભુજમાંના પારાના સ્તંભ એક લેવલમાં (સપાટી એક જ સમક્ષિતિજ સમતલમાં) આવે છે. સ્પિરિટનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વ કેટલું હશે?
ઉકેલઃ

આકૃતિ 10.44માં દર્શાવ્યા મુજબ પારો એ U-ટ્યૂબના બંને સ્તંભમાં સમાન ઊંચાઈએ છે. એટલે કે, બિંદુ A અને બિંદુ B આગળ દબાણ સમાન છે.

h_w ρ_wg = h_s ρ_sg
હવે, h_w = 10 cm; h_s = 12.5 cm;
ρ_w = 1 g cm^-3; ρ_s= ?
સ્પિરિટનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વ = \(\frac{\rho_{\mathrm{s}}}{\rho_{\mathrm{w}}}\)
= \(\frac{h_{\mathrm{w}}}{h_{\mathrm{s}}}\)
= \(\frac{10}{12.5}\)
= 0.8

પ્રશ્ન 10.
પ્રશ્ન (9 )માં જો વધારામાં 15.0 cm પાણી અને સ્પિરિટ અનુરૂપ ભુજાઓમાં રેડવામાં આવે, તો બે ભુજાઓમાં પારાના લેવલ (સપાટી) વચ્ચેનો તફાવત કેટલો હશે? (પારાનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વ = 13.6)
ઉકેલઃ

આકૃતિ 10.45માં દર્શાવ્યા અનુસાર પાણીના સ્તંભમાં 15 cm પાણી અને સ્પિરિટના સ્તંભમાં 15cm સ્પિરિટ ઉમેરતાં,
h_w = 10 + 15 = 25 cm
h_s = 12.5 + 15 = 27.5 cm
પાણીને લીધે પારા પર દબાણ,
P₁ = ρ_wh_wg
= 1 × 25 × g
= 25g
સ્પિરિટને લીધે પારા પર દબાણ,
P₂ = ρ_s h_sg
= 0.8 × 27.5 × g
= 22g
અહીં, પાણીના સ્તંભમાં દબાણ વધુ હોવાથી પારો સ્પિરિટના સ્તંભમાં h જેટલો ઉપર ચડે છે.
દબાણનો તફાવત P₁ – P₂ = ρgh
25g – 22g = 13.6 × g × h
∴ h = \(\frac{3}{13.6}\) = 0.221 cm
બંને સ્તંભમાં રહેલા પારાની સપાટીઓ વચ્ચેનો તફાવત 0.221 cm હશે.

પ્રશ્ન 11.
બર્નુલીનું સમીકરણ નદીમાંના ઢાળ પરથી પાણીના વહનનું વર્ણન કરવા માટે વાપરી શકાય? સમજાવો.
ઉત્તર:
ઢાળ પરથી પડતા પાણીનું વહન પ્રક્ષુબ્ધ હોય છે. તેમજ ખડકને અથડાતા તેમાં ઘૂમરી જેવા વિભાગો રચાય છે. આમ, આ વહન ધારારેખી વહન હોતું નથી. આથી આ કિસ્સામાં બર્નલીનું સમીકરણ વાપરી શકાય નહિ.

પ્રશ્ન 12.
જો બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડવામાં નિરપેક્ષ દબાણને બદલે કોઈ ગેજ (Gauge) દબાણ વાપરે તો ફેર પડે? સમજાવો.
ઉત્તર:
ના, જે બે બિંદુઓ વચ્ચે બર્નલીનું સમીકરણ લાગુ પાડવાનું હોય તે બે બિંદુઓએ વાતાવરણના દબાણમાં મોટો ફેરફાર ના હોય તો નિરપેક્ષ દબાણને બદલે ગેજ દબાણ વાપરી શકાય.

પ્રશ્ન 13.
1.5 m લંબાઈ અને 1.0 cm ત્રિજ્યા ધરાવતી એક સમક્ષિતિજ નળીમાંથી ગ્લિસરીનનું સ્થાયી વહન થઈ રહ્યું છે. જો એક છેડે એકત્રિત કરાતા ગ્લિસરીનનો જથ્થો 4.0 × 10^-3 kg s^-1 હોય, તો નળીના બે છેડે દબાણ-તફાવત કેટલો હશે ? (ગ્લિસરીનની ઘનતા = 1.3 × 10³kg m^-3 અને ગ્લિસરીનની શ્યાનતા = 0.83 Pa s)
ઉકેલ:
l = 1.5 m, r = 1 cm = 10^-2m,
ગ્લિસરીનની ઘનતા ρ = 1.3 × 10³ kg m^-3
ગ્લિસરીનની શ્યાનતા η = 0.83 Ns m^-2
એક સેકન્ડમાં ભેગું થતું દળ = 4 × 10^-3kg
∴ એક સેકન્ડમાં બહાર આવતા ગ્લિસરીનનું કદ,

= \(\frac{4 \times 10^{-3}}{1.3 \times 10^3}\) = 3.07 × 10^-6 m³ s^-1
હવે, નળીમાંથી દર સેકન્ડે વહેતા પ્રવાહીનું કદ,
Q = (સરેરાશ વેગ) × (આડછેદનું ક્ષેત્રફળ)
= (\(\frac{P r^2}{8 \eta l}\)) (πr²)
= \(\frac{\pi P r^4}{8 \eta l}\)
∴ P = \(\frac{8 l \eta Q}{\pi r^4}=\frac{8 \times 1.5 \times 0.83 \times 3.07 \times 10^{-6}}{3.14 \times\left(10^{-2}\right)^4}\)
∴ P = 9.8 × 10² Pa

પ્રશ્ન 14.
પવનની ટનલમાં એક નમૂના(Model)ના વિમાન પરના પ્રયોગમાં પાંખની ઉપર અને નીચેની સપાટીઓ આગળ વહનની ઝડપ અનુક્રમે 70 m s^-1 અને 63 m s^-1 છે. જો પાંખનું ક્ષેત્રફળ 2.5 m હોય, તો પાંખ પર ઊર્ધ્વ ધક્કો (બળ) (Lift) કેટલો હશે? હવાની ઘનતા 1.3 kg m^-3 લો.
ઉકેલ:
હવાની ઘનતા ρ = 1.3 kg m^-3
પાંખનું ક્ષેત્રફળ A = 2.5 m²
પાંખની ઉપર પવનના વહનની ઝડપ υ₁ = 70 m s^-1
પાંખની નીચે પવનના વહનની ઝડપ υ₂ = = 63 m s^-1
બર્નુલીના સમીકરણ અનુસાર,
P₁ + \(\frac{1}{2}\)ρυ₁² + ρgh₁ = P₂ + \(\frac{1}{2}\)ρυ₂² + pgh₂
સમક્ષિતિજ નળી (વહન) માટે,
h₁ = h₂
∴ P₁ + \(\frac{1}{2}\)ρυ₁² = P₂ + \(\frac{1}{2}\)ρυ₂²
∴ P₂ – P₁ = \(\frac{1}{2}\)ρ(υ₁² – υ₂²)
\(\frac{1}{2}\) × 1.3 × (70² – 63²)
= 605.15 N m^-2
પાંખ ૫૨ ઊર્ધ્વબળ = પાંખ પર લાગતું ચોખ્ખું દબાણ × પાંખનું ક્ષેત્રફળ
= (P₂ – P₁) × A
= 605.15 × 2.5
= 1512.9 N

પ્રશ્ન 15.
આકૃતિ 10.46 (a) અને (b) એક (અદબનીય) પ્રવાહીના સ્થાયી વહન અંગેની છે. બેમાંની કઈ આકૃતિ ખોટી છે? કેમ?

ઉત્તર:
આકૃતિ (a) ખોટી છે. સાતત્યના સમીકરણ અનુસાર Aυ = અચળ. એટલે કે, જ્યાં આડછેદનું ક્ષેત્રફળ નાનું હોય ત્યાં પ્રવાહીના વહનની ઝડપ વધુ હોય. આકૃતિ 10.46 (b) માં દર્શાવેલ બીજી ટ્યૂબના જોડાણ આગળ પ્રવાહીનો વેગ બીજા વિસ્તાર કરતાં વધુ હશે.

બર્નુલીના સમીકરણ અનુસાર, P + \(\frac{1}{2}\)ρυ² = અચળ. એટલે કે, જ્યાં વેગ વધુ હશે ત્યાં દબાણ ઓછું હોય છે. આકૃતિ (a)માં બીજી ટ્યૂબના જોડાણ આગળ દબાણ વધુ દર્શાવેલ છે, જે ખોટું છે.

પ્રશ્ન 16.
સ્પ્રે-પંપ(છંટકાવ માટે વપરાતો પંપ)ની નળાકાર નળીનો આડછેદ 8.0 cm² છે. તેના એક છેડે 1.0 mm વ્યાસનાં 40 છિદ્રો છે. જો નળીની અંદર પ્રવાહી વહનની ઝડપ 1.5 m min^-1 હોય, તો છિદ્રોમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીની ઝડપ કેટલી હશે?
ઉકેલ:
નળાકાર નળીના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,
A₁ = 8 cm² = 8 × 10^-4 m²
છિદ્રમાં પ્રવાહીનો વેગ υ₁ = \(\frac{1.5}{60}\) = m s^-1 = 0.025 m s^-1
40 છિદ્રના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,
A₂ = 40 × πr²
= 40 × 3.14 × (\(\frac{1 \times 10^{-3}}{2}\))²
= 31.4 × 10^-6m²
સાતત્યના સમીકરણ અનુસાર, A₁υ₁ = A₂υ₂
∴ છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીની ઝડપ,
υ₂ = υ₁ . \(\frac{A_1}{A_2}\)
= 0.025 × \(\frac{8 \times 10^{-4}}{31.4 \times 10^{-6}}\)
= 0.637 ms^-1

પ્રશ્ન 17.
એક U-આકારનો તાર સાબુના દ્રાવણમાં બોળી બહાર કાઢેલ છે. તાર અને હલકા સરકતા ભુજ (Slider) વચ્ચેની સાબુની પાતળી કપોટી (Film) 1.5 × 10^-2N વજનને ટેકવે છે. (જેમાં તે ભુજનું વજન પણ સમાવિષ્ટ છે.) સરકતા ભુજની લંબાઈ 30 cm છે, તો તે કપોટીનું પૃષ્ઠતાણ કેટલું હશે?
ઉકેલ:
F = 1.5 × 10^-2 N, l = 30 cm = 0.3 m
સાબુની પાતળી કપોટીને બે મુક્તસપાટી હોવાથી બળ F એ 2l લંબાઈ પર લાગશે.
કપોટીનું પૃષ્ઠતાણ S = \(\frac{F}{2 l}=\frac{1.5 \times 10^{-2}}{2 \times 0.30}\)
= 2.5 × 10^-2 N m^-1

પ્રશ્ન 18.
આકૃતિ 10.47 (a) પ્રવાહીની એક પાતળી કપોટી 4.5 × 10^-2N વજનને લટકાવતી દર્શાવે છે. તે જ પ્રવાહીની તે જ તાપમાને પાતળી કપોટી આકૃતિ (b) અને (c)માં કેટલું વજન લટકાવતી હશે?

ઉકેલ:
ફિલ્મની લંબાઈ l = 40 cm = 0.4m
∴ પૃષ્ઠતાણ S = \(\frac{F}{2 l}\) (∵ ફિલ્મને બે મુક્તસપાટી છે.)
= \(\frac{4.5 \times 10^{-2}}{2 \times 0.4}\) = 5.625 × 10^-2 Nm^-1
આકૃતિ (a), (b) અને (c)માં પ્રવાહી સમાન છે તેમજ તાપમાન પણ સમાન છે. આથી (b) અને (c)માં રહેલ પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ 5.625 × 10^-2 N m^-1 હશે. ત્રણેય આકૃતિમાં ફિલ્મની લંબાઈ પણ સમાન છે. આથી દરેક કિસ્સામાં વજનબળ 4.5 × 10^-2 N હશે.

પ્રશ્ન 19.
ઓરડાના તાપમાને 3.0 mm ત્રિજ્યાના પારાના બુંદ(ટીપું)ની અંદરનું દબાણ કેટલું હશે? પારાનું તે તાપમાને (20°C) પૃષ્ઠતાણ 4.65 × 10 ^-1Nm^-1 છે. વાતાવરણ દબાણ 1.01 × 10⁵ Pa. બુંદની અંદરનું વધારાનું દબાણ પણ જણાવો.
ઉકેલ:
પારાનું પૃષ્ઠતાણ S = 4.65 × 10^-1 Nm^-1
પારાના બુંદની ત્રિજ્યા r = 3 mm = 3 × 10^-3m
પ્રવાહીના બુંદની અંદર વધારાનું દબાણ,
P_i – P_O = \(\frac{2 S}{r}\)
= \(\frac{2 \times 4.65 \times 10^{-1}}{3 \times 10^{-3}}\)
P_i – P_O = 3.1 × 10² Nm^-2
બુંદની અંદર દબાણ P = 3.1 × 10² + P
= 3.1 × 10² + 1.01 × 10⁵
= 1.0131 × 10⁵ Pa

પ્રશ્ન 20.
સાબુના દ્રાવણનું 20 °C તાપમાને પૃષ્ઠતાણ 2.50 × 10^-2 N m^-1 આપેલ છે. 5.00 mm ત્રિજ્યાના સાબુના દ્રાવણના પરપોટાની અંદરનું દબાણ કેટલું હશે? જો આ જ પરિમાણનો હવાનો પરપોટો પાત્રમાંના સાબુના દ્રાવણ(સાપેક્ષ ઘનતા 1.2)ની અંદર 40.0 cmઊંડાઈએ રચાય, તો તે પરપોટાની અંદરનું દબાણ કેટલું હશે? (1 વાતાવરણ દબાણ = 1.01 × 10⁵Pa, સાબુના દ્રાવણની સાપેક્ષ ઘનતા = 1.2)
ઉકેલ:
સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ S = 2.5 × 10^-2 Nm^-1
પરપોટાની ત્રિજ્યા r = 5 mm = 5 × 10^-3m
h = 40 cm = 0.4m, P_O = 1.01 × 10⁵ Pa
(1) સાબુના દ્રાવણના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ,
P = \(\frac{4 S}{r}=\frac{4 \times 2.5 \times 10^{-2}}{5 \times 10^{-3}}\)
∴ P = 20 Pa

(ii) હવાના પરપોટાની અંદર વધારાનું દબાણ,
p’ = \(\frac{2 S}{r}=\frac{2 \times 2.5 \times 10^{-2}}{5 \times 10^{-3}}\)
∴ P’ = 10 Pa

(iii) સાબુના દ્રાવણની ઘનતા = સાપેક્ષ ઘનતા × 1000
= 1.2 × 1000
= 1200 kg m
40 cm અંદર સાબુના દ્રાવણમાં પરપોટાની અંદરનું દબાણ = વાતાવરણનું દબાણ + 40 cm ઊંડાઈએ સાબુના દ્રાવણમાં દબાણ + વધારાનું દબાણ
= 1.01 × 10⁵ + hρg + P’
= 1.01 × 10⁵ + (0.4 × 1200 × 9.8) + 10
= 101000 + 4704 + 10.
= 105714 Pa ≈ 1.06 × 10⁵ Pa

પ્રશ્ન 21.
1.0 m² ક્ષેત્રફળનું ચોરસ તળિયું ધરાવતી એક ટાંકી મધ્યમાં એક ઊર્ધ્વ દીવાલ વડે વિભાજિત કરેલ છે. આ દીવાલના તળિયે એક નાના મિજાગરાવાળું 20 cm²ક્ષેત્રફળનું બારણું છે. ટાંકીના એક વિભાગમાં પાણી અને બીજામાં ઍસિડ (1.7 સાપેક્ષ ઘનતા ધરાવતો) બંને 4.0 mની ઊંચાઈ સુધી ભરેલ છે. આ બારણાને બંધ રાખવા માટે જરૂરી બળની ગણતરી કરો.
ઉકેલઃ

(a) પાણી ભરેલી ટાંકી માટે:
h_w = 4 m, p_w = 10³kgm^-3
તળિયે રહેલા બારણા પાસે પાણીમાં ઉદ્ભવતું દબાણ,
P_w = h_w ρ_wg
= 4 × 10³ × 9.8 = 39.2 × 10³ Pa

(b) ઍસિડ ભરેલી ટાંકી માટે :
h_a = 4m
ઍસિડની સાપેક્ષ ઘનતા \(\frac{\rho_{\mathrm{a}}}{\rho_{\mathrm{w}}}\) = 1.7
∴ ρ_a = 1.7 × ρ_w = 1.7 × 10³ kg m^-3
તળિયે રહેલા બારણા પાસે ઍસિડમાં ઉદ્ભવતું દબાણ,
P_a = h_a ρ_a g
= 4 × 1.7 × 10³ × 9.8
= 66.6 × 10³ Pa
દબાણનો તફાવત ΔP = P_a – P_w
= 66.6 × 10³ – 39.2 × 10³
= 27.44 × 10³Pa
બારણાનું ક્ષેત્રફળ A = 20 × 10^-4m²
બારણાને બંધ રાખવા માટે બારણા પર પાણીની ટાંકી તરફથી લગાડવું પડતું જરૂરી બળ,
F = ΔP × A
= 27.44 × 10³ × 20 × 10^-4
= 54.88 N

પ્રશ્ન 22.
આકૃતિ 10.49 (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ એક મેનોમિટર એક બંધપાત્રમાંના વાયુનું દબાણ માપે છે. જ્યારે એક પંપ કેટલાક વાયુને બહાર કાઢે છે, ત્યારે મેનોમિટર આકૃતિ 10.49
(b)માં દર્શાવ્યા મુજબ દબાણ માપે છે. મેનોમિટરમાં વપરાયેલ પ્રવાહી પારો છે અને વાતાવરણનું દબાણ પારાના 76 cm જેટલું છે.
(i) બંધપાત્રમાંના વાયુનું નિરપેક્ષ દબાણ અને ગેજ (Gauge) દબાણ કિસ્સા (a) અને (b) માટે પારાના cmના એકમોમાં જણાવો.
(ii) કિસ્સા (b)માં જો 13.6 cm પાણી (પારા સાથે ન ભળતું) મેનોમિટરના જમણા ભુજમાં રેડવામાં આવે, તો સ્તંભની સપાટીઓ (Levels) કેવી બદલાશે?

ઉકેલ:
વાતાવરણનું દબાણ P_a = 76 cm of Hg
ρ’ = પારાની ઘનતા

(i) કિસ્સા (a) માટે:
A આગળ દબાણ = P_a = 76 cm of Hg
∴ B આગળ નિરપેક્ષ દબાણ = P_a + h
= 76 cm of Hg + 20 cm of Hg
= 96 cm of Hg
B અને C બંને સમાન સપાટીએ છે.
∴ વાયુનુ નિરપેક્ષ દબાણ = B આગળનું નિરપેક્ષ દબાણ
= 96 cm of Hg
વાયુનું ગેજ દબાણ = h = 20 cm of Hg

કિસ્સા (b) માટે :
A આગળ દબાણ P_a = 76 cm of Hg
Bઆગળ દબાણ = A આગળનું દબાણ
= 76 cm of Hg
C આગળ નિરપેક્ષ દબાણ = 76 cm + h
= 76 cm of Hg + (- 18 cm of Hg)
= 58 cm of Hg
∴ વાયુનું નિરપેક્ષ દબાણ = C આગળનું દબાણ
= 58 cm of Hg
વાયુનું ગેજ દબાણ = 58 cm of Hg – P_a
= 58 cm of Hg – 76 cm of Hg
= – 18 cm of Hg

(ii) કિસ્સા (b)માં દર્શાવ્યા અનુસાર મેનોમિટરના જમણા સ્તંભમાં 13.6 cm પાણી ઉમેરવામાં આવે, તો દબાણ
ρgh = ρ’gh’
∴ h’ = \(\frac{\rho h}{\rho^{\prime}} \frac{1 \times 13.6}{13.6}\) (ρ’ = પારાની ઘનતા)
∴ h’ = 1 cm of Hg
A આગળ દબાણ P_A = P_A + h’
= 76 cm of Hg + 1 cm of Hg
∴ P_A = 77 cm of Hg
જો બંને સ્તંભોમાં પા૨ાની ઊંચાઈનો તફાવત H₁ હોય, તો B આગળ દબાણ P_B = 58 + h₁
પરંતુ P_A = P_B છે.
∴ 77 = 58 + h₁
∴ h₁ = 19 cm of Hg

પ્રશ્ન 23.
બે પાત્રોને તળિયાનાં સમાન ક્ષેત્રફળ, પરંતુ જુદા આકાર છે. બંને પાત્રોમાં સમાન ઊંચાઈ સુધી પાણી ભરવા માટે પ્રથમ પાત્રમાં બીજા કરતાં બમણાં કદનું પાણી જોઈએ છે. બે કિસ્સાઓમાં પાણી વડે તળિયા પર લગાડેલું બળ સમાન હશે? જો તેમ હોય, તો તે સમાન ઊંચાઈ સુધી પાણી ભરેલાં પાત્રો વજનમાપક પર કેમ જુદાં અવલોકનો દર્શાવે છે?
ઉત્તર:
દબાણ = ρgh
તળિયા પર લાગતું બળ = દબાણ × ક્ષેત્રફળ
= ρgh × A
બંને પાત્રોમાં પાણી સમાન ઊંચાઈ સુધી ભરેલ છે. આથી બંને પાત્રોના તળિયે દબાણ સમાન લાગશે. બંને પાત્રોના તળિયાનું ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી તેમના પર પાણીના દબાણને લીધે સમાન બળ લાગશે.

પાણી વડે પાત્રની દીવાલો (બાજુઓ) પર બળ લાગે છે. પાત્રની બાજુઓ પાયાને બરાબર લંબ ન હોય ત્યારે આ બળનો પાયાને લંબ ઘટક મળે છે. પાણી વડે પાત્રની બાજુઓ પર લાગતા બળનો આ લંબ ઘટક પ્રથમ પાત્ર કરતાં બીજા પાત્રમાં અલગ મળે છે. આથી બંને કિસ્સામાં પાયા પર લાગતાં બળ સમાન હોય ત્યારે પણ પાત્રોનાં વજન જુદાં હોય છે.

પ્રશ્ન 24.
લોહી ચડાવવાની એક પ્રક્રિયામાં સોય 2000 Pa ગેજ દબાણ હોય તેવી શિરામાં દાખલ કરેલ છે. લોહી ભરેલું પાત્ર કેટલી ઊંચાઈએ મૂકવું જોઈએ કે જેથી લોહી શિરામાં દાખલ થવાની શરૂઆત થાય? (સંપૂર્ણ લોહીની ઘનતા = 10.6 × 10³ kg m^-3)
ઉકેલ:
ગેજ દબાણ P = 2000 Pa
લોહીની ઘનતા ρ = 10.6 × 10³ kg m^-3
જો લોહી ભરેલા પાત્રની ઊંચાઈ h હોય, તો ગેજ દબાણ
P = ρgh
∴ h = \(\frac{P}{\rho g}=\frac{2000}{1.06 \times 10^3 \times 9.8}\)
∴ h = 0.192 m ≈ 0.2 m
લોહી ભરેલું પાત્ર એ રક્તવાહિનીથી 0.2 m જેટલી ઊંચાઈએ મૂકવામાં આવે, તો લોહી શિરામાં દાખલ થવાની શરૂઆત થાય છે.

પ્રશ્ન 25.
બર્નુલીનું સમીકરણ સાધિત કરવામાં આપણે તરલ પર થયેલા કાર્યને તેની સ્થિતિ-ઊર્જા અને ગતિ-ઊર્જાના ફેરફાર સાથે સરખાવેલ છે. (a) ઊર્જા-વ્યય કરનારા બળની હાજરીમાં નળીમાં તરલ આગળ વધે તેમ દબાણ કેવી રીતે બદલાતું હશે? (b) શું તરલનો વેગ વધે તેમ ઊર્જા-વ્યય કરનારાં બળો મહત્ત્વનાં બને છે? ગુણાત્મક ચર્ચા કરો.
ઉત્તર:
(a) ઊર્જા-વ્યય કરતાં બળોની હાજરીમાં તરલની દબાણ- ઊર્જા આ બળોની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવામાં ખર્ચાઈ જાય છે. પરિણામે તરલ નળીમાં જેમ આગળ વધે છે તેમ દબાણમાં મોટો ઘટાડો થાય છે.

(b) તરલનો વેગ વધતાં વહન સ્થાયીપણું ગુમાવે છે અને પ્રક્ષુબ્ધ બને છે. આથી જેમ તરલનો વેગ વધે તેમ વ્યય કરનારાં બળો મહત્ત્વનાં બને છે.

પ્રશ્ન 26.
(a) વહન સ્તરીય જ રહે તે રીતે 2 × 10^-3m ત્રિજ્યાની ધમનીમાંથી લોહીના વહનનો મહત્તમ સરેરાશ વેગ કેટલો હશે?
(b) તેને અનુરૂપ વહન-દર કેટલો હશે? (લોહીની શ્યાનતા 2.084 × 10^-3 Pa s લો.)
ઉકેલ:
લોહીની ઘનતા ρ = 1.06 × 10³ kg m^-3
ધમનીની ત્રિજ્યા r = 2 × 10^-3m
લોહીનો શ્યાનતા-ગુણાંક η = 2.084 × 10^-3Pa s
ધારારેખી વહન માટે R_e = 2000

(a) ધારારેખી વહન માટે લોહીનો મહત્તમ સરેરાશ વેગ ક્રાંતિવેગથી વધુ હોવો ન જોઈએ.
મહત્તમ સરેરાશ વેગ = ક્રાંતિવેગ υ_c = \(\frac{R_{\mathrm{e}} \times \eta}{\rho \times D}\)
∴ υ_c = \(\frac{2000 \times 2.084 \times 10^{-3}}{1.06 \times 10^3 \times\left(2 \times 2 \times 10^{-3}\right)}\)
= 0.983 m s^-1

(b) એકમ સમયમાં વહેતા લોહીનું કદ,
Q = υ_c × πr²
= 0.983 × 3.14 × (2 × 10^-3)²
= 1.23 × 10^-5 m³ S^-1

પ્રશ્ન 27.
એક વિમાન અચળ ઝડપથી સમક્ષિતિજ ઉડ્ડયનમાં છે અને બેમાંની દરેક પાંખનું ક્ષેત્રફળ 25 m² છે. જો પાંખની નીચેની સપાટીએ વેગ 180 km/h અને ઉપરની સપાટીએ વેગ 234 km/h હોય, તો વિમાનનું દળ શોધો. (હવાની ઘનતા 1 kg m^-3 લો.)
ઉકેલ:
પાંખોની નીચે હવાની ઝડપ υ₁ = 180 km h^-1
= \(\frac{180 \times 1000}{3600}\)
= 50 m s^-1
પાંખોની ઉપર હવાની ઝડપ υ₂ = 234 km h^-1
= \(\frac{234 \times 1000}{3600}\) = 65 ms^-1
હવાની ઘનતા ρ = 1 kg m^-3
બે પાંખોનું કુલ ક્ષેત્રફળ A = 2 × 25 m² = 50 m²
જો પાંખોની નીચેની તરફનું દબાણ P₁ અને ઉપરની તરફનું દબાણ P₂ હોય, તો બર્નુલીના સમીકરણ અનુસાર
P₁ + \(\frac{1}{2}\)ρυ₁² + h₁ρg = P₂ + \(\frac{1}{2}\)ρυ₂² + h₂ρg
વિમાન સમક્ષિતિજ દિશામાં ઊડે છે. આથી h₁ = h₂ થશે અને દબાણનો તફાવત,
P₁ – P₂ = \(\frac{1}{2}\)ρ (υ₂² – υ₁²)
= \(\frac{1}{2}\) × 1 × (65² – 50²)
= \(\frac{1}{2}\) × 1 × (4225 – 2500)
= \(\frac{1}{2}\) (1725) = 862.5 Pa

પાંખો પર ઊદિશામાં લાગતું બળ,
F = (P₁ – P₂) × A
= 862.5 × 50
= 43125 N
જો વિમાનનું દળ m હોય, તો આ ઊર્ધ્વબળ એ વજનબળ દ્વારા સમતોલાય છે.
∴ mg = 43125
∴ વિમાનનું દળ m = \(\frac{43125}{9.8}\)
= 4400.5 kg

પ્રશ્ન 28.
મિલિકનના ઑઇલ ડ્રોપ પ્રયોગમાં 2.0 × 10^-5m ત્રિજ્યા અને 1.2 × 10³ kg m^-3 ઘનતા ધરાવતા બુંદ(Drop)નો અંતિમ (Terminal) વેગ કેટલો હશે? પ્રયોગના તાપમાને હવાની શ્યાનતા 1.8 × 10^-5 Pa s લો. તે ઝડપે બુંદ પરનું શ્યાનતા બળ કેટલું હશે? (હવાને લીધે બુંદનું ઉત્બાવન અવગણો.)
ઉકેલ:
ઑઇલની ઘનતા ρ = 1.2 × 10³ kg m^-3
હવાની ઘનતા σ = 0 (બુંદ હવામાં ગતિ કરે છે.)
બુંદની ત્રિજ્યા a = 2 × 10^-5 m
ઑઇલનો શ્યાનતા-ગુણાંક η = 1.8 × 10^-5 Pa s સ્ટૉક્સના નિયમ પરથી ટર્મિનલ વેગ,
υ_t = \(\frac{2}{9} \frac{a^2 g}{\eta}\) (ρ – σ)
= \(\frac{2 \times\left(2 \times 10^{-5}\right)^2 \times 9.8 \times\left(1.2 \times 10^3-0\right)}{9 \times 1.8 \times 10^{-5}}\)
= 5.807 × 10^-2m s^-1
= 5.8 cm s^-1
બુંદ પર લાગતું શ્યાનતા બળ,
F_v = 6 πη a υ_t
= 6 × 3.14 × 1.8 × 10^-5 × 2 × 10^-5 × 5.8 × 10^-2
= 393.34 × 10^-12
= 3.93 × 10^-10 N

પ્રશ્ન 29.
પારાનો સોડાલાઇમ કાચ સાથેનો સંપર્કકોણ 140° છે. આવા કાચની 1.00 mm ત્રિજ્યાની એક પાતળી નળી પારો ભરેલા પાત્રમાં બોળેલી છે. બહારની પ્રવાહી સપાટીની સાપેક્ષે નળીમાં પારો કેટલા પ્રમાણમાં નીચે ઊતરશે? પ્રયોગના તાપમાને પારાનું પૃષ્ઠતાણ 0.465 N m^-1 છે. પારાની ઘનતા = 13.6 × 10³ kg m^-3.
ઉકેલ:
સંપર્કકોણ θ = 140°
નળીની ત્રિજ્યા a = 1 mm = 10^-3m
પૃષ્ઠતાણ S = 0.465 N m^-1
પારાની ઘનતા ρ = 13.6 × 10³ kg m^-3
a ત્રિજ્યાની સાંકડી નળીમાં ઊંચે ચડતા પ્રવાહીની ઊંચાઈ,
h = \(\frac{2 S \cos \theta}{a \rho g}\)
= \(\frac{2 \times 0.465 \times \cos 140^{\circ}}{10^{-3} \times 13.6 \times 10^3 \times 9.8}\)
= \(\frac{2 \times 0.465 \times(-0.766)}{133.28}\)
= – 0.005344 m
= – 5.34 × 10^-3m
∴ h = – 5.34 mm
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે, પારો સાંકડી નળીમાં નીચે ઊતરે છે.

પ્રશ્ન 30.
3.0 mm અને 6.0 mm વ્યાસનાં બે નાનાં છિદ્રો એકબીજા સાથે જોડીને એક U-ટ્યૂબ રચેલ છે, જે બંને છેડે ખુલ્લી છે. જો U-ટ્યુબમાં પાણી રાખેલ હોય, તો ટ્યૂબના બે ભુજમાં સપાટીઓ વચ્ચેનો તફાવત કેટલો હશે? પ્રયોગના તાપમાને પાણીનું પૃષ્ઠતાણ 7.3 × 10^-2Nm^-1 છે. સંપર્કકોણ શૂન્ય અને પાણીની ઘનતા 1.0 × 10³kgm^-3 લો. (g = 9.8 m s^-2)
ઉકેલ:
પાણીનું પૃષ્ઠતાણ S = 7.3 × 10^-2 Nm^-1
પાણીની ઘનતા ρ = 1 × 10³ kg m^-3
સંપર્કકોણ θ = 0°
૩ mm વ્યાસની ટ્યૂબ માટે :
ટ્યૂબની ત્રિજ્યા a₁ = \(\frac{3 \mathrm{~mm}}{2}\) = 1.5 mm = 1.5 × 10^-3m
ધારો કે, આ ટ્યૂબમાં પાણી h₁ ઊંચાઈ સુધી ચડે છે.
h₁ = \(\frac{2 S \cos \theta}{a_1 \rho g}=\frac{2 \times 7.3 \times 10^{-2} \times \cos 0^{\circ}}{1.5 \times 10^{-3} \times 1 \times 10^3 \times 9.8}\)
∴ h₁ = 9.93 × 10^-3m = 9.93 mm

6mm વ્યાસની ટ્યૂબ માટે :
ટ્યૂબની ત્રિજ્યા a₂ = \(\frac{6 \mathrm{~mm}}{2}\) = 3 mm 3 × 10^-3m
ધારો કે, આ ટ્યૂબમાં પાણી h₂ ઊંચાઈ સુધી ચડે છે.
h₂ = \(\frac{2 \mathrm{~S} \cos \theta}{a_2 \rho g}=\frac{2 \times 7.3 \times 10^{-2} \times \cos 0^{\circ}}{3 \times 10^{-3} \times 1 \times 10^3 \times 9.8}\)
∴ h₂ = 4.96 × 10^-3 m
= 4.96 mm
બંને ટ્યૂબમાં પાણીની સપાટીઓ વચ્ચેનો તફાવત,
h₁ – h₂ = 9.93 mm – 4.96 mm
= 4.97 mm ≈ 5 mm

કૅલ્ક્યુલેટ૨ / કમ્પ્યૂટર આધારિત પ્રશ્ન

પ્રશ્ન 31.
(a) એ જાણીતું છે કે હવાની ઘનતા ρ, ઊંચાઈ y સાથે ρ = ρ₀e^-y/y₀ મુજબ ઘટે છે, જ્યાં = ρ₀ 1.25 kg m^-3 એ દરિયાની સપાટી આગળ ઘનતા છે અને y₀ એ અચળાંક છે. ઘનતાના આ ફેરફારને વાતાવરણનો નિયમ કહે છે. વાતાવરણનું તાપમાન અચળ ધારીને (સમતાપી સ્થિતિ) આ નિયમ તારવો. gનું મૂલ્ય પણ અચળ ધારો.
(b) 400 kgનો બોજ (Payload) ઊંચકવા માટે 1425 m³ કદનું મોટું He બલૂન વપરાય છે. બલૂન ઊંચે ચડે તેમ ત્રિજ્યાને અચળ રાખતું ધારી લો. તે કેટલું ઊંચે ચડશે?
(y₀ = 8000 m અને ρ_He = 0.18kgm^-3)
ઉકેલ:
(a) ધારો કે, દરિયાની સપાટીથી y ઊંચાઈએ હવાની ઘનતા ρ છે. ઊંચાઈ સાથે ઘનતાના ઘટાડાનો દર તે ઊંચાઈએ ઘનતાના સમપ્રમાણમાં છે.
– \(\frac{d \rho}{d y}\) ∝ ρ
∴ \(\frac{d \rho}{d y}\) = – kρ
જ્યાં, k અચળાંક છે. ઋણ ચિહ્ન દર્શાવે છે કે, ઊંચાઈ વધતા હવાની ઘનતા ઘટે છે.
\(\frac{d \rho}{\rho}\) = -k dy
ઊંચાઈ 0થી પુ થતાં ઘનતા ρથીρ₀ થાય છે. આપેલ સમીકરણનું સંકલન કરતાં,

∴ \(\frac{\rho}{\rho_0}\) = e^-ky
ρ = ρ₀ e^-ky
k = 1/y₀ લેતાં
ρ = ρ₀e^-y/y₀

(b) બલૂન તેટલી ઊંચાઈએ જઈ શકશે જે ઊંચાઈએ બલૂનની ઘનતા હવાની ઘનતા જેટલી હશે.
બલૂનનું કદ V = 1425 m³
બલૂનમાં He વાયુનું દળ = 1425 × 0.18 = 256.5 kg
બલૂનનું Payload સાથેનું કુલ દળ M = 400 + 256.5 = 656.5 kg
∴ બલૂનની ઘનતા ρ = \(\frac{M}{V}=\frac{656.5}{1425}\) = 0.46 kg m^-3
હવે, y₀ = 8000 m, ρ₀ = 1.25 kg m^-3,
ρ₀ = 0.46 kg m ^-3છે.
ρ = ρ₀e^-y/y₀
∴ 0.46 = 1.25 e^-y/8000
∴ e^y/8000 = \(\frac{1.25}{0.46}\) = 2.72
∴ \(\frac{y}{8000}\) = In 2.72
∴ y = 8000 × ln 2.72
= 8000 × 1.0
= 8000 m
= 8.0 km