Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 6 સુરેખ અસમતાઓ Ex 6.1 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 6 સુરેખ અસમતાઓ Ex 6.1
પ્રશ્ન 1.
(1) પ્રાકૃતિક સંખ્યા x
(2) પૂર્ણાંક સંખ્યા x માટે 24x < 100 ઉકેલો.
ઉત્તરઃ
અહીં, 24x < 100
∴ x < \(\frac{100}{24}\) ∴ x < \(\frac{25}{6}\) ∴ x < 4.17
(1) જો x પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય, તો ઉકેલગણ
= {1, 2, 3, 4}
(2) જો × પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય, તો ઉકેલગણ
= {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
પ્રશ્ન 2.
(1) પ્રાકૃતિક સંખ્યા x
(2) પૂર્ણાંક સંખ્યા x માટે -12x > 80 ઉકેલો.
ઉત્તરઃ
અહીં, – 12x > 30
∴ x < \(\frac{30}{12}\) ∴ x < \(\frac{-5}{2}\) ∴ x < – 2.50
(1) જો x પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય, તો x < \(\frac{-5}{2}\) થાય તેવી કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી. આથી ઉકેલ ન મળે.
( 2 ) જો × પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય, તો ઉકેલગણ
= {…, -4, -3}
પ્રશ્ન 3.
(1) પૂર્ણાંક સંખ્યા x
(2) વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે 5x – 3 < 7 ઉકેલો.
ઉત્તરઃ
5x – 3 < 7
∴ 5x < 7 + 3
∴ 5x < 10
∴ x < \(\frac{10}{5}\) ∴ x < 2
(1) જો x પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય, તો ઉકેલગણ
= {…, -2, -1, 0, 1}
(2) જો x વાસ્તવિક સંખ્યા હોય, તો ઉકેલગણ
= {x : x ∈ R,x < 2} = (- ∞, 2)
પ્રશ્ન 4.
(1) પૂર્ણાંક સંખ્યા x
(2) વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે 3x + 8 > 2 ઉકેલો.
ઉત્તરઃ
3x + 8 > 2
∴ 3x > 2 – 8 ∴ 3x > – 6
∴ x > –\(\frac{6}{3}\) ∴ x > -2
(1) જો x પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય, તો ઉકેલગણ
= {-1, 0, 1, 2, …}
(2) જો x વાસ્તવિક સંખ્યા હોય, તો ઉકેલગણ
= {x: x ∈ R, x > -2} = (- 2, 0)
નીચેની વાસ્તવિક સંખ્યા ૪ માટે અસમતાઓનો ઉકેલ મેળવોઃ (પ્રશ્ન 5થી 16)
પ્રશ્ન 5.
4x + 3 < 5x + 7
ઉત્તરઃ
4x + 3 < 5x + 7
∴ 3 – 7 < 5x – 4x
∴ – 4 < x
∴ x > -4; જ્યાં, x ∈ R
∴ ઉકેલગણ = {x: x ∈ R, x > -4} = (-4, ∞)
પ્રશ્ન 6.
3x – 7 > 5x – 1
ઉત્તરઃ
3x – 7 > 5x – 1
∴ 7 + 1 > 5x – 3x
∴ – 6 > 2x
∴ \(\frac{-6}{2}\) > x
∴ x < -3; જ્યાં, x ∈ R
∴ ઉકેલગણ = {x: x ∈R, x < -3} = (-∞, -3)
પ્રશ્ન 7.
3(x – 1) ≤ 2(x – 3)
ઉત્તરઃ
3(x – 1) ≤ 2(x − 3)
∴ 3x – 3 ≤ 2x – 6
∴ 3x – 2x ≤ -6 + 3
∴ x ≤ -3; જ્યાં, x ∈ R
∴ ઉકેલગણ = {x: x ∈ R, x ≤ -3} = (-∞, -3]
પ્રશ્ન 8.
3 (2 – x) ≥ 2 (1 – x)
ઉત્તરઃ
3 (2 – x) ≥ 2 (1 − x)
∴ 6 – 3x ≥ 2 – 2x
∴ 6 – 2 ≥ 2x + 3x
∴ 4 ≥ x ∴ x ≤ 4; જ્યાં, x ∈ R
∴ ઉકેલગણ = {x: x ∈ R, x ≤ 4} = (-∞, 4]
પ્રશ્ન 9.
x + \(\frac{x}{2}+\frac{x}{3}\) < 11
ઉત્તરઃ
x + \(\frac{x}{2}+\frac{x}{3}\) < 11
∴ \(\frac{6 x+3 x+2 x}{6}\) < 11
∴ 11x < 66 ∴ x < 6; જ્યાં, x ∈ R
∴ ઉકેલગણ = {x: x ∈ R, x < 6} = (−∞, 6)
પ્રશ્ન 10.
\(\frac{x}{3}>\frac{x}{2}\) + 1
ઉત્તરઃ
\(\frac{x}{3}>\frac{x}{2}\) + 1
∴ \(\frac{x}{3}-\frac{x}{2}\) > 1
∴ \(\frac{2 x-3 x}{6}\) > 1
∴-x > 6 ∴ x < -6; જ્યાં, x ∈ R
∴ ઉકેલગણ = {x: x ∈ R, x < – 6} = (-∞, -6)
પ્રશ્ન 11.
\(\frac{3(x-2)}{5}\) ≤ \(\frac{5(2-x)}{3}\)
ઉત્તરઃ
\(\frac{3(x-2)}{5}\) ≤ \(\frac{5(2-x)}{3}\)
∴ 9 (x – 2)≤ 25 (2 −x)
∴ 9x – 18 ≤ 50 – 25x
∴ 9x + 25x ≤ 50 + 18
∴ 34 x ≤ 68 ∴ x ≤ 2; જ્યાં, x ∈ R
∴ ઉકેલગણ = {x:x ∈ R, x ≤ 2} = (-∞, 2]
પ્રશ્ન 12.
\(\frac{1}{2}\left(\frac{3 x}{5}+4\right)\) ≥ \(\frac{1}{3}\)(x – 6)
ઉત્તરઃ
∴ x= 120; જ્યાં, x ∈ R
∴ ઉકેલગણ = {x: x ∈ R, x ≤ 120} = (-∞, 120]
પ્રશ્ન 13.
2 (2x + 3) – 10 < 6 (x – 2)
ઉત્તરઃ
2 (2x + 3) – 10 < 6 (x – 2)
∴ 4x + 6-10 < 6x- 12
∴ 4x – 46 < x – 12
∴ 4x – 6x < −12 + 4
∴ – 2x < -8
∴ x > 4; જ્યાં, x ∈ R
∴ ઉકેલગણ = {x: x ∈ R, x > 4} = (4, ∞)
પ્રશ્ન 14.
37 – (3x + 5) ≥ 9x – 8 (x – 3)
ઉત્તરઃ
37 – (3x + 5) ≥ 9x – 8 (x – 3)
∴ 37-3x-5 ≥ 9x-8x+24
∴ 32-3x ≥ x + 24
∴ 32-24 ≥ x + 3x
∴ 8 ≥ 4x ∴ x = 2; જ્યાં, x ∈ R
∴ ઉકેલગણ = {x: x ∈ R, x ≤ 2} = (-∞, 2]
પ્રશ્ન 15.
\(\frac{x}{4}<\frac{(5 x-2)}{3}-\frac{(7 x-3)}{5}\)
ઉત્તરઃ
∴ 15x < 4 (4x − 1)
∴ 15x < 16x – 4
∴ 4 < 16x – 15x
∴ 4 < x ∴ x > 4; જ્યાં, x ∈ R
∴ ઉકેલગણ = {x: x ∈ R, x > 4} = (4, ∞)
પ્રશ્ન 16.
\(\frac{(2 x-1)}{3} \geqslant \frac{(3 x-2)}{4}-\frac{(2-x)}{5}\)
ઉત્તરઃ
∴ 20(2x – 1) ≥ 3 (19x – 18)
∴ 40x – 20 ≥ 57x – 54
∴ – 20 + 54 ≥ 57x – 40x
∴ 34 ≥ 17x ∴ x ≤ 2; જ્યાં, x ∈ R
∴ ઉકેલગણ = {x: x ∈ R, x ≤ 2} = (-∞, 2]
નીચેની અસમતાઓનો ઉકેલ મેળવો અને તેમને સંખ્યારેખા પર દર્શાવોઃ (પ્રશ્ન 17થી 20)
પ્રશ્ન 17.
8x – 2 < 2x + 1
ઉત્તરઃ
3x – 2 < x + 1
∴ 3x – 2x < 1 + 2
∴ x < 3; જ્યાં, x = R
∴ ઉકેલગણ = {x:x ∈ R, x < 3} = (-∞, 3)
જેને સંખ્યારેખા પર નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છેઃ
અહીં, સંખ્યારેખાનો ઘેરો કરીને દર્શાવેલ ભાગ આપેલ અસમતાનો ઉકેલગણ દર્શાવે છે. અહીં, સ્પષ્ટ છે કે x = – 3નો સમાવેશ ઉકેલગણમાં થતો નથી.
પ્રશ્ન 18.
5 – 8 ≥ 3x – 5
ઉત્તરઃ
5x – 3 = 3x – 5
∴ 5x – 3x = – 5 + 3
∴ 2x ≥ – 2
∴ x ≥ -1; જ્યાં, x ∈ R
∴ ઉકેલગણ = {x:x ∈ R, x = -1} = [– 1, 0) જેને સંખ્યારેખા પર નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છેઃ
અહીં, સંખ્યારેખાનો ઘેરો કરીને દર્શાવેલ ભાગ આપેલ અસમતાનો ઉકેલગણ દર્શાવે છે. જેમાં x = – 1નો પણ સમાવેશ થાય છે.
પ્રશ્ન 19.
3 (1 − x) < 2 (x + 4)
ઉત્તરઃ
3 (1 − x) < 2 (x + 4)
∴ 3 – 3x < 2x + 8
∴ 3 – 8 < 2x + 3x
∴ – 5 < 5x
∴ \(\frac{-5}{5}\)
∴ x > -1; જ્યાં, x = R
∴ ઉકેલગણ = {x:x ∈ R, x > -1} = (-1, ∞)
જેને સંખ્યારેખા પર નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છેઃ
અહીં, સંખ્યારેખાનો ઘેરો કરીને દર્શાવેલ ભાગ આપેલ અસમતાનો ઉકેલગણ દર્શાવે છે. જેમાં x = – 1નો સમાવેશ થતો નથી.
પ્રશ્ન 20.
\(\frac{x}{2}\) ≥ \(\frac{5 x-2}{3}-\frac{7 x-3}{5}\)
ઉત્તરઃ
∴ 15x = 2 (4x – 1)
∴ 15x = 8x – 2
∴ 15x – 8x = -2
∴ 7x = -2
∴ x > \(\frac{-2}{7}\); જ્યાં, x ∈ R
∴ ઉકેલગણ = {x:x ∈ R, x ≥ \(\frac{-2}{7}\)} = [\(\frac{-2}{7}\), ∞)
જેને સંખ્યારેખા પર નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છેઃ
અહીં, સંખ્યારેખાનો ઘેરો કરીને દર્શાવેલ ભાગ આપેલ અસમતાનો ઉકેલગણ દર્શાવે છે, જેમાં x = \(\frac{-2}{7}\)નો સમાવેશ થાય છે.
(નોંધ : x = \(\frac{-2}{7}\) = – 0.28, જેનું બિંદુ – 1 અને 0ની વચ્ચે આશરે લેવું.)
પ્રશ્ન 21.
રવિએ પહેલી બે એકમ કસોટીમાં 70 અને 75 ગુણ મેળવેલ છે. હવે તેણે ત્રીજી કસોટીમાં કેટલાં ન્યૂનતમ ગુણ મેળવવા જોઈએ કે જેથી તેના સરેરાશ ગુણ ઓછામાં ઓછા 60 થાય.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, રવિએ ત્રીજી કસોટીમાં મેળવેલા ગુણ x છે. તેથી
ત્રણ કસોટીમાં મેળવેલા ગુણની સરેરાશ = \(\frac{70+75+x}{3}\)
હવે, સરેરાશ ગુણ ઓછામાં ઓછા 60 થવા માટે
\(\frac{70+75+x}{3}\) ≥ 60
∴ 145 + x = 180
∴ x = 180 – 145
∴ x ≥ 35
આમ, ત્રીજી કસોટીમાં રવિએ ઓછામાં ઓછા 35 ગુણ મેળવવા જોઈએ કે જેથી તેના ત્રણ કસોટીનાં સરેરાશ ગુણ ઓછામાં ઓછા 60 થાય.
પ્રશ્ન 22.
કોઈ એક અભ્યાસક્રમમાં ગ્રેડ A’ મેળવવા માટે પાંચ પરીક્ષાની સરેરાશ 90 કે તેથી વધુ ગુણ હોવા જોઈએ. (દરેકના 100 ગુણ હોય તેવી પરીક્ષા). જો સુનિતાના પ્રથમ ચાર પરીક્ષાના ગુણ 87, 92, 94 અને 95 હોય, તો તેને તે અભ્યાસક્રમમાં A’ ગ્રેડ મળે એ માટે તેણે પાંચમી પરીક્ષામાં ન્યૂનતમ કેટલા ગુણ મેળવવા જોઈએ ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સુનિતાએ પાંચમી પરીક્ષામાં મેળવેલા ગુણ x છે. તેથી પાંચ કસોટીમાં મેળવેલા ગુણની સરેરાશ
= \(\frac{87+92+94+95+x}{5}\)
= \(\frac{360+x}{5}\)
હવે, આપેલી માહિતી પ્રમાણે
= \(\frac{360+x}{5}\)>90
∴ 360 + x ≥ 450
∴ x = 450 – 360
∴ x ≥ 82
આમ, સુનિતાને અભ્યાસક્રમમાં ‘A’ગ્રેડ મળે એ માટે તેણે પાંચમી પરીક્ષામાં ન્યૂનતમ 82 ગુણ મેળવવા જોઈએ.
પ્રશ્ન 23.
બે પૈકી પ્રત્યેક 10થી નાના હોય અને જેમનો સરવાળો 11થી વધુ હોય તેવા ક્રમિક અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકોની જોડ મેળવો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બે ક્રમિક અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકોમાં x નાનો પૂર્ણાંક છે.
આથી બીજો પૂર્ણાંક x + 2 થશે.
∴ x < 10 ………..(1)
અને x + (x + 2) >11 …….(2)
હવે, (2) પરથી,
x + x + 2 >11
∴ 2x + 2 >11
∴ 2x > 11 – 2
∴ 2x > 9 ∴ x > \(\frac{9}{2}\) ……(3)
(1) અને (3) પરથી,
\(\frac{9}{2}\) < x < 10
∴ 4.5 < x < 10 જ્યાં, x અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક છે.
∴ xત્ની શક્ય કિંમતો 5, 7 અને 9 થાય.
પરંતુ x = 9 લેતાં x + 2 = 11.
આમ, બીજો પૂર્ણાંક 10થી મોટો બને.
પરંતુ બંને પૂર્ણાંક 10થી નાના હોય તેમ આપેલું છે.
∴ x ≠ 9
આમ, માગેલ ક્રમિક અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકોની જોડ (5, 7) અને (7, 9) છે.
પ્રશ્ન 24.
બે પૈકી પ્રત્યેક થી મોટો હોય અને જેમનો સરવાળો 23થી ઓછો હોય તેવી ક્રમિક યુગ્મ ધન પૂર્ણાંકોની જોડ મેળવો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બે ક્રમિક યુગ્મ ધન પૂર્ણાંકોમાં x નાનો પૂર્ણાંક છે. આથી બીજો પૂર્ણાંક x + 2 થશે.
∴ x > 5 ……(1)
અને x + (x + 2) < 23 ……….(2)
હવે, (2) પરથી, x + x + 2 < 23
∴ 2x + 2 < 23
∴2x < 23 – 2
∴2x < 21
∴ x < \(\frac{21}{2}\) ……(3)
(1) અને (3) પરથી,
5 < x < \(\frac{21}{2}\)
∴ 5 < x < 10.5
જ્યાં, ૪ યુગ્મ ધન પૂર્ણાંક છે.
∴ x ની શક્ય કિંમતો 6, 8 અને 10 થાય.
આમ, માગેલ ક્રમિક યુગ્મ પૂર્ણાંકોની જોડ (6, 8), (8, 10) અને (10, 12) છે.
પ્રશ્ન 25.
ત્રિકોણની સૌથી મોટી બાજુની લંબાઈ તેની સૌથી નાની બાજુની લંબાઈ કરતાં ત્રણ ગણી છે. આ સિવાયની ત્રીજી બાજુ સૌથી મોટી બાજુથી 2 સેમી નાની છે. ત્રિકોણની પરિમિતિ ઓછામાં ઓછી 61 સેમી હોય, તો સૌથી નાની બાજુની ન્યૂનતમ લંબાઈ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, ત્રિકોણની સૌથી નાની બાજુની લંબાઈ x સેમી છે. આથી તેની સૌથી મોટી બાજુની લંબાઈ 3x સેમી થશે અને ત્રીજી બાજુ 3x–2 સેમી થશે.
∴ ત્રિકોણની પરિમિતિ = x + 3x + (3x – 2)
= 7x – 2
આપેલી માહિતી પ્રમાણે,
હવે, ત્રિકોણની પરિમિતિ ઓછામાં ઓછી 61 સેમી આપેલ છે.
∴ 7x – 2 ≥ 61
∴ 7x ≥ 61 + 2
∴ 7x ≥ 63
∴ x ≥ 63 ∴ x ≥ 9
આમ, સૌથી નાની બાજુની ન્યૂનતમ લંબાઈ 9 સેમી છે.
પ્રશ્ન 26.
એક વ્યક્તિ 91 સેમી લાંબા એક પાટિયાના ત્રણ ટુકડા કરવા
માગે છે. બીજા ટુકડાની લંબાઈ સૌથી નાના ટુકડાની લંબાઈ કરતા 3 સેમી વધુ છે અને ત્રીજા ટુકડાની લંબાઈ સૌથી નાના ટુકડાની લંબાઈથી બમણી છે. જો ત્રીજા ટુકડાની લંબાઈ બીજા ટુકડાની લંબાઈથી ઓછામાં ઓછી 5 સેમી વધુ હોય, તો સૌથી નાના ટુકડાની શક્ય લંબાઈ શોધો.
[સૂચનઃ જો સૌથી નાના ટુકડાની લંબાઈ x હોય, તો (x + 3) અને 2x અનુક્રમે બીજા અને ત્રીજા ટુકડાની લંબાઈ છે. આ રીતે x + (x + 3) + 2x ≤ 91 અને 2x ≥ (x + 3) + 5].
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સૌથી નાના ટુકડાની લંબાઈ x સેમી છે.
∴ બીજા અને ત્રીજા ટુકડાની લંબાઈ અનુક્રમે x + 3 સેમી અને 2x + 3 સેમી થશે.
હવે, આપેલી માહિતી પ્રમાણે
x + (x + 3) + 2x ≤ 91 …..(1)
અને 2x ≥ (x + 3) + 5 …(2)
(1) પરથી, 4x + 3 ≤ 91 મળે.
∴ 4x ≤ 88
∴ x ≤ 22 …..(3)
(2) પરથી, 2x ≥ x + 8 મળે.
∴ 2x – x ≥ 8
∴ x ≥ 8 ……(4)
(3) અને (4) પરથી, 8 ≤ x ≤ 22
આમ, સૌથી નાના ટુકડાની શક્ય લંબાઈ 8 સેમી કે તેથી વધારે અને 22 સેમી કે તેથી ઓછી હશે.