GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 5 સંકર સંખ્યાઓ અને દ્વિઘાત સમીકરણો Ex 5.1

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 5 સંકર સંખ્યાઓ અને દ્વિઘાત સમીકરણો Ex 5.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 5 સંકર સંખ્યાઓ અને દ્વિઘાત સમીકરણો Ex 5.1

નીચે પ્રશ્ન 1થી 10માં આપેલ દરેક સંકર સંખ્યાને a + ib સ્વરૂપમાં દર્શાવોઃ

પ્રશ્ન 1.
(5i)(-\(\frac{3}{5}\)i)
ઉત્તરઃ
(5i)(-\(\frac{3}{5}\)i) = 5(-\(\frac{3}{5}\))i²
= (− 3) (− 1) (∵ i² = − 1)
= 3
= 3 + 0.i
જે a + ib સ્વરૂપનું છે; જ્યાં, a = 3 અને b = 0 છે.

પ્રશ્ન 2.
i⁹+ i¹⁹
ઉત્તરઃ
i⁹ + i¹⁹ = (1²)⁴ . i + (i²)⁹ · i
=(−1)⁴ .i + (−1)⁹.i .i (∵ i² = − 1)
= i – i = 0 = 0 + 0.i
જે a + ib સ્વરૂપનું છે; જ્યાં, a = 0 અને b = 0 છે.

પ્રશ્ન 3.
i^-39
ઉત્તરઃ

જે a + ib સ્વરૂપનું છે; જ્યાં, a = 0 અને b = 1 છે.

પ્રશ્ન 4.
3 (7+ i7) + i (7 + i7)
ઉત્તરઃ
3 (7+ i7) + i (7 + i7)
= 21 + 21i + 7i + 7i²
= 21 +28i + 7 (− 1) (∵ i² = − 1)
= 14 + 28i
જે a + tb સ્વરૂપનું છે; જ્યાં, a = 14 અને b = 28 છે.

પ્રશ્ન 5.
(1 – i) – (-1 + i6)
ઉત્તરઃ
(1 − i) − (− 1 + i6) = 1 − i + 1 – 6i
= 2 – 7i
જે a + tb સ્વરૂપનું છે; જ્યાં, a = 2 અને b = – 7 છે.

પ્રશ્ન 6.
\(\left(\frac{1}{5}+i \frac{2}{5}\right)-\left(4+i \frac{5}{2}\right)\)
ઉત્તરઃ

જે a + ib સ્વરૂપનું છે; જ્યાં, a = \(\frac{-19}{5}\) અને b = \(\frac{-21}{10}\) છે.

પ્રશ્ન 7.
\(\left[\left(\frac{1}{3}+i \frac{7}{3}\right)+\left(4+i \frac{1}{3}\right)\right]-\left(-\frac{4}{3}+i\right)\)
ઉત્તરઃ

જે a + ib સ્વરૂપનું છે; જ્યાં, a = \(\frac{17}{3}\) અને b = \(\frac{5}{3}\) છે.

પ્રશ્ન 8.
(1 – i)⁴
ઉત્તરઃ
(1 − i)⁴ = 1 − 4i + 6i² – 4i³ + i⁴
= 1 − 4i + 6i² – 4 · i² · i + (i²)²
= 1 − 4i + 6 (− 1) − 4 (− 1) i + (− 1)² (∵ i⁴ = − 1)
= 1 – 4i – 6 + 4i + 1
= -44 +0.i
જે a + ib સ્વરૂપનું છે; જ્યાં, a = –4 અને b = 0 છે.

પ્રશ્ન 9.
(\(\frac{1}{3}\) + 3i)³
ઉત્તરઃ

જે a + bi સ્વરૂપનું છે; જ્યાં, a = \(\frac{-242}{27}\) અને b = – 26 છે.

પ્રશ્ન 10.
\(\left(-2-\frac{1}{3} i\right)^3\)
ઉત્તરઃ

જે a + ib સ્વરૂપનું છે; જ્યાં, a = \(\frac{-22}{3}\) અને b = \(\frac{-107}{27}\)

નીચે પ્રશ્ન 11થી 13માં આપેલ દરેક સંકર સંખ્યાનો ગુણાકાર માટેનો વ્યસ્ત શોધો :

પ્રશ્ન 11.
4 – 3i
ઉત્તરઃ
ધારો કે, z = 4 – 3i છે.
z̄ = 4 + 3i અને |z|² = 4² + (-3)² = 25
∴ z = 4 – 3iના ગુણાકાર માટેનો વ્યસ્ત
z^-1 = \(\frac{\bar{z}}{|\bar{z}|^2}=\frac{4+3 i}{25}=\frac{4}{25}+\frac{3}{25}\)i

બીજી રીત :
ધારો કે, z = 4 – 3i
હવે, z = 4 – 3iના ગુણાકાર માટેનો વ્યસ્ત

પ્રશ્ન 12.
√5 + 3i
ઉત્તરઃ
ધારો કે, z = √5 + 3i
હવે, z = √5 +3i ના ગુણાકાર માટેનો વ્યસ્ત

પ્રશ્ન 13.
– i
ઉત્તરઃ
ધારો કે, z = − i
હવે, z = –i ના ગુણાકાર માટેનો વ્યસ્ત
z^-1 = \(\frac{1}{-i}=\frac{1}{-i} \cdot \frac{i}{i}=\frac{-i}{-i^2}=\frac{-i}{-1}\) (∵ i² = − 1).
= i

પ્રશ્ન 14.
નીચેની પદાવલીને a + ib સ્વરૂપમાં દર્શાવોઃ
\(\frac{(3+i \sqrt{5})(3-i \sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2} i)-(\sqrt{3}-i \sqrt{2})}\)
ઉત્તરઃ

જે a + ib સ્વરૂપનું છે; જ્યાં, a = 0 અને b = \(-\frac{7 \sqrt{2}}{2}\) છે.