GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Ex 3.3

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Ex 3.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Ex 3.3

સાબિત કરો કે : (પ્રશ્ન 1થી 4)

પ્રશ્ન 1.
sin²\(\frac{\pi}{6}\) + cos²\(\frac{\pi}{3}\) – tan²\(\frac{\pi}{4}\) = –\(\frac{1}{2}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 2.
sin²\(\frac{\pi}{6}\) + cosec²\(\frac{7\pi}{6}\) – cos²\(\frac{\pi}{3}\) = \(\frac{3}{2}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 3.
cot²\(\frac{\pi}{6}\) + cosec\(\frac{5\pi}{6}\) + 3 tan²\(\frac{\pi}{6}\) = 6
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 4.
2 sin²\(\frac{3\pi}{4}\) + 2 cos²\(\frac{\pi}{4}\) + 2 sec²\(\frac{\pi}{3}\) = 10
ઉત્તરઃ
અહીં,

પ્રશ્ન 5.
કિંમત શોધો :
(1) sin 75°
ઉત્તરઃ
(1) sin 75° = sin(45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°

(2) tan 15°
ઉત્તરઃ

સાબિત કરો કેઃ (પ્રશ્ન 6થી 25)

પ્રશ્ન 6.
cos(\(\frac{\pi}{4}\) – x) cos(\(\frac{\pi}{4}\) – y) – sin(\(\frac{\pi}{4}\) – x) sin(\(\frac{\pi}{4}\) – y) = sin(x + y)
ઉત્તરઃ
\(\frac{\pi}{4}\) – x = A અને \(\frac{\pi}{4}\) – y = B લેતાં,
ડા.ખા. = cos A cos B – sin A sin B
= cos (A + B)

પ્રશ્ન 7.
\(\frac{\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)}{\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)}=\left(\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)^2\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 8.
\(\frac{\cos (\pi+x) \cos (-x)}{\sin (\pi-x) \cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\) = cot²x
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 9.
cos(\(\frac{3 \pi}{2}\) + x) cos(2π + x)[cot (\(\frac{3 \pi}{2}\) + x) + cot(2π + x)] = 1
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 10.
sin (n + 1)x sin (n + 2)x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x = cos x
ઉત્તરઃ
(n + 1)x = α અને (n + 2)x = β લેતાં,
ડા.ખા. = sin α sin β + cos α cos β
= cos (α – β)
= cos [(n + 1)x− (n + 2)x]
= cos (nx + x – nx – 2x)
= cos (-x)
= cos x = જ.બા.

પ્રશ્ન 11.
cos(\(\frac{3 \pi}{4}\) + x) – cos(\(\frac{3 \pi}{4}\) – x) = -√2 sin x
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 12.
sin²6x – sin²4x = sin 2x.sin 10x
ઉત્તરઃ
ડા.ખા. = sin²6x – sin²4x
= (sin 6x + sin 4x) (sin 6x – sin 4x)

= 2 sin 5x cos x × 2 cos 5x. sin x
= 2 sin x cos x × 2 sin 5x cos 5x
= sin 2x sin 10x
= જ.બા.

પ્રશ્ન 13.
cos²2x cos²6x = sin 4x sin 8x
ઉત્તરઃ
ડા.બા. = cos²2x – cos²6x
= (cos 2x + cos 6x) (cos 2x – cos 6x)

= 2 cos 4x cos 2x × 2 sin 4x sin 2x
= 2 sin 2x cos 2x × 2 sin 4x cos 4x
= sin 4x sin 8x
= જ.બા.

પ્રશ્ન 14.
sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x = 4 cos²x sin 4x
ઉત્તરઃ
ડા.બા. = sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x
= (sin 6x + sin 2x) + 2 sin 4x
= 2 sin\(\left(\frac{6 x+2 x}{2}\right)\). cos\(\left(\frac{6 x-2 x}{2}\right)\) + 2 sin 4x
= 2 sin 4x cos 2x + 2 sin 4x
= 2 sin 4x ( 1 + cos 2x)
= 2 sin 4x (2 cos² x)
= 4 cos²x sin 4x
= જ.બા.

પ્રશ્ન 15.
cot 4x (sin 5x + sin 3x) = cot x (sin 5x – sin 3x)
ઉત્તરઃ
ડા.બા. = cot 4x (sin 5x + sin 3x)
= cot 4x × 2 sin\(\left(\frac{5 x+3 x}{2}\right)\). cos\(\left(\frac{5 x-3 x}{2}\right)\)
= \(\frac{\cos 4 x}{\sin 4 x}\) × 2 sin 4x cos x
= 2 cos 4x cos x ……(1)
જ.બા. = cot x (sin 5x – sin 3x)
= cot x × 2 cos \(\left(\frac{5 x+3 x}{2}\right)\) · sin\(\left(\frac{5 x-3 x}{2}\right)\)
= \(\frac{\cos x}{\sin x}\) x 2 cos 4x sin x
= 2 cos 4x cos x ……(2)
(1) અને (2) પરથી,
ડા.બા. = જ.બા.

પ્રશ્ન 16.
\(\frac{\cos 9 x-\cos 5 x}{\sin 17 x-\sin 3 x}=-\frac{\sin 2 x}{\cos 10 x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 17.
\(\frac{\sin 5 x+\sin 3 x}{\cos 5 x+\cos 3 x}\) = tan 4x
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 18.
\(\frac{\sin x-\sin y}{\cos x+\cos y}\) = tan\(\left(\frac{x-y}{2}\right)\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 19.
\(\frac{\sin x+\sin 3 x}{\cos x+\cos 3 x}\) = tan 2x
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 20.
\(\frac{\sin x-\sin 3 x}{\sin ^2 x-\cos ^2 x}\) = 2 sin x
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 21.
\(\frac{\cos 4 x+\cos 3 x+\cos 2 x}{\sin 4 x+\sin 3 x+\sin 2 x}\) = cot 3x
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 22.
cot x cot 2x – cot 2x cot 3x – cot 3x cot x = 1
ઉત્તરઃ
cot 3x = cot (2x + x)
∴ cot 3x = \(\frac{\cot 2 x \cdot \cot x-1}{\cot 2 x+\cot x}\)
∴ cot 2x + cot x = cot 2x cot x-1
∴ cot 3x (cot 2x + cot x) = cot 2x cot x – 1
∴ cot 2x cot 3x + cot 3x cot x = cot 2x cot x – 1
∴ cot x cot 2x – cot 2x cot 3x – cot 3x cot x = 1

પ્રશ્ન 23.
tan 4x = \(\frac{4 \tan x\left(1-\tan ^2 x\right)}{1-6 \tan ^2 x+\tan ^4 x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 24.
cos 4x = 1 – 8 sin2 x cos²x
ઉત્તરઃ
ડા.બા. = cos 4x
= 1 – 2 sin² 2x
= 1 – 2 (2 sin x cos x)²
= 1 – 2 x 4 sin²x cos²x
= 1 – 8 sin²x cos²x
= જ.બા.

પ્રશ્ન 25.
cos 6x = 32 cos⁶x – 48 cos⁴x + 18 cos²x – 1
ઉત્તરઃ
ડા.બા. = cos 6x
= 4 cos³ 2x – 3 cos 2x
.. [∵ cos 3θ = 4 cos³θ – 3 cos θ ]
= 4 (2 cos2 x − 1)³ – 3 (2 cos²x – 1)
= 4 (8 cos⁶x – 3 x 4 cos⁴x + 3 x 2 cos²x – 1) – (6 cos²x − 3)
= 32 cos⁶x – 48 cos⁴x + 24 cos²x – 4 – 6 cos²x + 3
= 32 cos⁶x – 48 cos⁴x + 18 cos²x – 1
= જ.બા.

અન્ય રીતઃ
ડા.બા. = cos 6x
= 2 cos²3x – 1
..[cos 2θ = 2 cos²θ – 1]
2 (4 cos³x – 3 cos x)² – 1
= 2 (16 cos⁶x – 24 cos⁴x + 9 cos²x) – 1
= 32 cos⁶x – 48 cos⁴x + 18 cos²x – 1
= જ.બા.