GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 16 સંભાવના Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 16 સંભાવના Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 16 સંભાવના Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
એક પેટીમાં 10 લાલ, 20 ભૂરી અને 30 લીલી લખોટીઓ છે. તે પેટીમાંથી 5 લખોટીઓ યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે, તો (1) બધી લખોટીઓ ભૂરી હોય. (2) ઓછામાં ઓછી એક લખોટી લીલી હોય તેની સંભાવના કેટલી?
ઉત્તરઃ
અહીં, કુલ લખોટીઓની સંખ્યા = 10 + 20 + 30 = 60
આ પૈકીની 5 લખોટીઓની પસંદગીના કુલ પ્રકાર n (S) = ⁶⁰C₅
(1) ધારો કે, A = બધી જ લખોટીઓ ભૂરી હોય તે ઘટના
અહીં, 20 ભૂરી લખોટીઓ હોવાથી
n (A) = ²⁰C₅
∴ P (A) = \(\frac{n(\mathrm{~A})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{{ }^{20} \mathrm{C}_5}{{ }^{60} \mathrm{C}_5}\)

(2) ધારો કે, B = ઓછામાં ઓછી એક લખોટી લીલી હોય તે ઘટના
∴ B’ = કોઈ પણ લખોટી લીલી ન હોય તે ઘટના થશે. વળી, 10 લાલ અને 20 ભૂરી લખોટીઓ અર્થાત્ 30 લીલી ન હોય તેવી લખોટીઓમાંથી 5 લખોટીઓની પસંદગીના પ્રકાર

પ્રશ્ન 2.
સરખી રીતે ચીપેલાં 52 પત્તાંની થોકડીમાંથી યાદચ્છિક રીતે 4 પત્તાં ખેંચવામાં આવે છે. ખેંચવામાં આવેલાં પત્તાંમાં 3 ચોકટના અને એક કાળીનું પત્તું હોય એ ઘટનાની સંભાવના કેટલી?
ઉત્તરઃ
અહીં, 52 પત્તાંઓમાંથી 4 પત્તાંઓની પસંદગીના કુલ પ્રકાર = n (S) = ⁵²C₄
ધારો કે,
A = ખેંચવામાં આવેલાં 4 પત્તાંમાં 3 ચોકટનાં અને 1 કાળીનું પત્તું હોય તે ઘટના
હવે, 3 ચોકટનાં પત્તાં એ 13 ચોકટનાં પત્તાંમાંથી અને એક કાળીનું પત્તું એ 13 કાળીનાં પત્તાંમાંથી પસંદ થાય, તેના પ્રકાર
n (A) = ¹³C₁ × ¹³C₁
∴ P (A) = \(\frac{n(\mathrm{~A})}{n(\mathrm{~S})}\)
= \(\frac{{ }^{13} C_3 \times{ }^{13} C_1}{52 C_4}\)

પ્રશ્ન ૩.
એક પાસાની બે બાજુઓમાંથી પ્રત્યેક પર સંખ્યા ‘1′ દર્શાવેલ છે. ત્રણ બાજુઓમાં પ્રત્યેક પર સંખ્યા 2′ દર્શાવેલ છે અને એક બાજુ પર સંખ્યા 3′ છે. જો આ પાસાને એક વાર ફેંકવામાં આવે, તો નીચે આપેલ શોધો :
(1) P (2)
(2) P (1 અથવા ૩)
(3) P (3 નહિ)
ઉત્તરઃ
અહીં, પાસાની બે બાજુઓ ઉપર સંખ્યા ‘1’, ત્રણ બાજુઓ પર સંખ્યા ‘2’ અને એક બાજુ પર સંખ્યા ‘3’ અંકિત કરેલી છે.

પ્રશ્ન 4.
એક લૉટરીની દસ સમાન ઇનામવાળી 10,000 ટિકિટ વેચવામાં આવી છે. જો તમે ( a ) એક ટિકિટ ( b ) બે ટિકિટ (c) 10 ટિકિટ ખરીદો છો, તો કોઈ પણ ઇનામ ન મળે તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
(a) 10,000 ટિકિટોમાંથી એક ટિકિટ પસંદ કરવાના કુલ પ્રકાર ^10,000C₁ = 10,000 છે. જેમાંની 10 સમાન ઇનામવાળી ટિકિટો છે. જે પૈકીની એક ટિકિટ ¹⁰C₁ = 10 રીતે પસંદ કરી શકાય.
∴ P (ઇનામ મળે) = \(\)
.: P (ઇનામ ન મળે) = 1 – P (ઇનામ મળે)
= 1 – \(\frac{1}{1000}\)
= \(\frac{999}{1000}\)

(b) 10,000 ટિકિટોમાંથી 2 ટિકિટો પસંદ કરવાના કુલ પ્રકાર ^10,000C₂ છે. જેમાંની 10 સમાન ઇનામવાળી ટિકિટો છે.
∴ 10,000 – 10 = 9990 ટિકિટો ઇનામ વગરની છે. જે પૈકીની 2 ટિકિટો પસંદ કરવાના કુલ પ્રકાર ⁹⁹⁹⁰C₂ થશે.
P (ઇનામ ન મળે) = \(=\frac{{ }^{9990} \mathrm{C}_2}{10,000 \mathrm{C}_2}\)

(C) 10,000. ટિકિટોમાંથી 10 ટિકિટો પસંદ કરવાના કુલ પ્રકાર ^10,000C₁₀ છે.
હવે, 10 સમાન ઇનામવાળી ટિકિટો છે.
∴ 10,000 – 10 = 9990 ટિકિટો ઇનામ વગરની છે.
જે પૈકીની 10 ટિકિટો પસંદ કરવાના કુલ પ્રકાર = ⁹⁹⁹⁰C₁₀ થશે.
∴ P (ઇનામ ન મળે) = \(\frac{9990 C_{10}}{10,000 C_{10}}\)

પ્રશ્ન 5.
100 વિદ્યાર્થીઓમાંથી 40 અને 60 વિદ્યાર્થીઓના બે વર્ગ બનાવ્યા છે. જો તમે અને તમારો એક મિત્ર 100 વિદ્યાર્થીઓમાં છો, તો
(a) તમે બંને એક જ વર્ગમાં છો તેની સંભાવના શું છે?
(b) તમે બંને અલગ અલગ વર્ગોમાં છો તેની સંભાવના શું છે?
ઉત્તરઃ
100 વિદ્યાર્થીઓમાંથી બે વિદ્યાર્થીઓની પસંદગી કરતાં બંને એક જ વર્ગના વિદ્યાર્થી હોય તે ઘટનાની સંભાવના
બે વર્ગના વિભાજનમાં અમે બંને મિત્રો એક જ વર્ગમાં હોઈએ તેની સંભાવના જેટલી જ હોય.
અહીં, 100 વિદ્યાર્થીઓમાંથી બે વિદ્યાર્થીઓની પસંદગી કરવાના કુલ પ્રકાર
∴ n (S) = ¹⁰⁰C₂
હવે, 100 વિદ્યાર્થીઓને 40 અને 60 એમ બે વર્ગમાં વહેંચવામાં આવેલ છે.
(a) ધારો કે, A: પસંદ થયેલ બંને વિદ્યાર્થી (અમે બંને) એક જ વર્ગમાં હોય તે ઘટના છે.
∴ n (A) = ⁴⁰C₂ + ⁶⁰C₂

(b) P (તમે બંને અલગ વર્ગોમાં છો.)
= 1 − P (તમે બંને એક જ વર્ગમાં છો.)
= 1 – P (A)
= 1 – \(\frac{17}{33}\)
= \(\frac{16}{33}\)

પ્રશ્ન 6.
ત્રણ વ્યક્તિઓને માટે ત્રણ પત્રો લખાઈ ગયા છે અને દરેક માટે સરનામું લખેલ એક પરબીડિયું છે. પત્રોને યાદચ્છિક રીતે પરબીડિયામાં મૂક્યા છે. પ્રત્યેક પરબીડિયામાં એક જ પત્ર છે. ઓછામાં ઓછો એક પત્ર પોતાના સાચા પરબીડિયામાં મુકાયો છે, તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
ત્રણ પત્રોને ત્રણ પરબીડિયાંમાં મૂકવાના કુલ પ્રકાર = ³P₃ = 3!
∴ n (S) = 3! = 6
ધારો કે, A = એક પણ પત્ર સાચા પરબીડિયામાં ન મુકાય. ધારો કે, ત્રણ પત્રોને સંકેતમાં L₁, L₂, L₃ અને તેમને સંગત ત્રણ પરબીડિયાને અનુક્રમે E, E2, E3 વડે દર્શાવીએ, તો નીચેની બે રીતે એક પણ પત્ર સાચા પરબીડિયામાં મુકાશે નહિ. {(E₁, L₂), (E₂, L₃), (E₃, L₁)} અને {(E₁, L₃), (E₂, L₁), (E₃, L₂)}
∴ n (A) = 2
∴ P (ઓછામાં ઓછો એક પત્ર સાચા પરબીડિયામાં મુકાય)
= 1 − P (એક પણ પત્ર સાચા પરબીડિયામાં ના મુકાય)
= 1 – P(A)
= 1 – \(\frac{n(\mathrm{~A})}{n(\mathrm{~S})}\)
= 1 – \(\frac{2}{6}\)
= 1 – \(\frac{1}{3}\)
= \(\frac{2}{3}\)

પ્રશ્ન 7.
A અને B બે ઘટનાઓ એવા પ્રકારની છે કે P(A) = 0.54, P (B) = 0.69 અને P(A ∩ B) = 0.35
(1) P(A ∪ B) (2)P(A’ ∩ B’) (3)P(A ∩ B’) (4) P (B ∩ A’) શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, P(A) = 0.54, P(B) = 0.69, P(A ∩ B) = 0.35 આપેલ છે.
( 1 ) P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.54 + 0.69 – 0.35
= 0.88

( 2 ) P (A’ ∩ B’) = P (A ∪ B)’
= 1 – P (A UB)
= 1 – 0.88
= 0.12

(3)P (A ∩ B’) = P(A) – P(A ∩ B)
= 0.54 – 0.35
= 0.19

(4) P(B ∩ A’) = P(B) – P(A ∩ B)
= 0.69 – 0.35
= 0.34

પ્રશ્ન 8.
એક સંસ્થાના કર્મીઓમાંથી 5 કર્મીઓને વ્યવસ્થા સમિતિ માટે પસંદ કરવામાં આવ્યા છે. આ પાંચ કર્મીઓની વિગતો નીચે દર્શાવેલ છે:

આ સમૂહમાંથી પ્રવક્તાના પદ માટે યાદચ્છિક રીતે એક વ્યક્તિને પસંદ કરવામાં આવી છે. પ્રવક્તા પુરુષ હોય અથવા 35 વર્ષથી વધારે ઉંમરના હોય તેની સંભાવના શું થશે?
ઉત્તરઃ
5માંથી 1 વ્યક્તિની પસંદગીના કુલ પ્રકાર
= ⁵C₁ = 5 છે.
∴ n (S) = 5
ધારો કે, A = પસંદ કરેલી વ્યક્તિ પુરુષ હોય અથવા 35 વર્ષથી વધારે ઉંમરની વ્યક્તિ હોય તે ઘટના.
અહીં, આપેલ કોષ્ટક પરથી જોઈ શકાય છે કે, પુરુષોની સંખ્યા 3 છે. તેમજ 35 વર્ષથી વધારે ઉંમરવાળી સ્ત્રીની સંખ્યા 1 છે. આમ, કુલ 4 વ્યક્તિઓ પુરુષ છે અથવા 35 વર્ષથી વધારે ઉંમરની વ્યક્તિ છે.
n (A) = 4
∴ માગેલી સંભાવના
P (A) = \(\frac{n(\mathrm{~A})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{4}{5}\)

પ્રશ્ન 9.
0, 1, 3, 5 અને 7 અંકોના ઉપયોગથી 5000થી મોટી (1) પુનરાવર્તન સહિત (2) પુનરાવર્તન સિવાય ગોઠવણી કરતાં 5 વડે વિભાજ્ય હોય એવી 4 અંકોની સંખ્યા બને તેની સંભાવના શોધો. (નોંધ : પાઠ્યપુસ્તકમાં રકમમાં ભૂલ છે.)
ઉત્તરઃ
(1) 0, 1, 3, 5 અને 7 અંકોના ઉપયોગથી 5000 થી મોટી, અંકોનાં પુનરાવર્તન સહિતની 4 અંકોની કુલ સંખ્યાઓ મેળવીએ
હજાર, સો દશક, એકમ
અહીં, હજારના સ્થાને 5 અથવા 7 હોય ત્યારે સંખ્યા 5000 કે તેથી મોટી થાય. આમ, હજારનું સ્થાન બે રીતે ભરી શકાય. ત્યારબાદનાં ત્રણ સ્થાન, દરેક 0, 1, 3, 5, 7 વડે પાંચ રીતે ભરી શકાય. આમ, મળતી 5000થી મોટી સંખ્યાઓ
= 2 × 5 × 5 × 5 – 1 [∵ 5000 લેવાના નથી]
= 249
હવે, સંખ્યા 5 વડે વિભાજ્ય બને તે માટે એકમના સ્થાને 0 અથવા 5 હોવા જોઈએ. એટલે કે એકમનું સ્થાન બે રીતે ભરી શકાય તથા હજારનું સ્થાન 5 અથવા 7 વડે બે રીતે ભરી શકાય. (: 5000 કે તેથી મોટી સંખ્યા માટે) વચ્ચેનાં બે સ્થાન દરેક 0, 1, 3, 5, 7 વડે પાંચ રીતે

ભરી શકાય. આમ, મળતી 5 વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ
= 2 × 5 × 5 × 2 − 1 [∵ 5000 લેવાના નથી]
= 99
∴ માગેલ સંભાવના = \(\frac{99}{249}=\frac{33}{83}\)

(2) 0, 1, 3, 5 અને 7 અંકોના ઉપયોગથી 5000થી મોટી, અંકોનાં પુનરાવર્તન સિવાયની 4 અંકોની કુલ સંખ્યાઓ મેળવીએ.
અહીં, હજારનું સ્થાન 5 અથવા 7 વડે બે રીતે ભરી શકાય. કારણ કે, સંખ્યા 5000થી મોટી મેળવવાની છે. ત્યારબાદનાં ત્રણ સ્થાનો બાકી રહેતા અંકો વડે 4 × 3 × 2 રીતે ભરી શકાય.
∴ પુનરાવર્તન સિવાય 0, 1, 3, 5, 7 વડે મળતી 5000થી મોટી સંખ્યાઓ = 2 × 4 × 3 × 2 = 48 હવે, સંખ્યા 5 વડે વિભાજ્ય બને તે માટે એકમના સ્થાને 0 અથવા 5 હોવા જોઈએ.

(a) એકમના સ્થાને 0 હોય ત્યારે હજારનું સ્થાન 5 અથવા 7 વડે બે રીતે અને વચ્ચેનાં બે સ્થાન બાકી રહેતા અંકો વડે 3 અને 2 રીતે ભરી શકાય.
આવી 2 × 3 × 2 × 1 = 12 સંખ્યાઓ બને.
(b) એકમના સ્થાને 5 હોય ત્યારે હજારનું સ્થાન માત્ર 7 વડે એક જ રીતે ભરી શકાય. ત્યારબાદ વચ્ચેનાં બે સ્થાન બાકી રહેતા અંકો વડે 3 અને 2 રીતે ભરી શકાય.
આવી 1 × 3 × 2 × 1 = 6 સંખ્યાઓ બને. વિકલ્પ (a) અને (b) પરથી, પુનરાવર્તન સિવાય 0, 1, 3, 5, 7 વડે 4 અંકોની 5 વડે વિભાજ્ય હોય તેવી 12 + 6 = 18 સંખ્યાઓ મળે.
∴ માગેલ સંભાવના = \(\frac{18}{48}=\frac{3}{8}\)

પ્રશ્ન 10.
કોઈ પેટીના તાળામાં ચાર આંટા લાગે છે. તેનામાં પ્રત્યેક પર 0થી 9 સુધી 10 અંક છાપેલા છે. તાળું ચાર આંકડાઓના એક વિશેષ ક્રમ (આંકડાઓના પુનરાવર્તન સિવાય) અનુસાર જ ખૂલે છે. એ વાતની શું સંભાવના છે કે કોઈ વ્યક્તિ પેટી ખોલવા માટે સાચા ક્રમની જાણ મેળવી લે?
ઉત્તરઃ
અહીં, પેટીના તાળામાં ચાર આંટા લાગે છે. તેનામાં પ્રત્યેક પર 0થી 9 સુધી 10 અંકો છાપેલા છે.
∴ તાળા પરના આંટાને 10 × 9 × 8 × 7 પ્રકારે ગોઠવી શકાય. કારણ કે, આંકડાઓનું પુનરાવર્તન કરવાનું નથી. આમ, તાળા પરની ગોઠવણીના કુલ પ્રકારો
= 10 × 9 × 8 × 7
= 5040
તેમાંથી તાળું ફક્ત એક જ વિશેષ ક્રમ અનુસાર એટલે કે, એક જ ગોઠવણી વડે ખૂલે છે.
∴ માગેલ સંભાવના = \(\frac{1}{5040}\)