GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 12 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિનો પરિચય Ex 12.3

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 12 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિનો પરિચય Ex 12.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 12 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિનો પરિચય Ex 12.3

પ્રશ્ન 1.
બિંદુઓ (– 2, 3, 5) અને (1, −4, 6)ને જોડતા રેખાખંડનું
(1) 2 : 8 ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન
(2) 2 : ૩ ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરતાં બિંદુઓના યામ શોધો.
ઉત્તરઃ
(1) ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ A (− 2, 3, 5) અને B (1, − 4, 6) છે તથા P (x, y, z) એ રેખાખંડ ABનું 2 : ૩ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.

આમ, માગેલ બિંદુના યામ $\left(-\frac{4}{5}, \frac{1}{5}, \frac{27}{5}\right)$ છે.

(2) ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ A (– 2, 3, 5) અને B(1, − 4, 6) છે તથા P (x, y, z) એ રેખાખંડ ABનું 2 : ૩ ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે છે.

આમ, માગેલ બિંદુના યામ (−8, 17, ૩) છે.

પ્રશ્ન 2.
સમરેખ બિંદુઓ P (3, 2, – 4), Q (5, 4, – 6) અને R (9, 8, − 10) આપેલ છે. બિંદુ ઊ એ PRનું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે, તે શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, Q (5, 4, −6) એ રેખાખંડ PRનું ć : 1 ગુણોત્તરમાં
વિભાજન કરે છે; જ્યાં, P (3, 2, − 4) અને R (9, 8, − 10) છે.
∴ 5 = $\frac{9 k+3}{k+1}$, 4 = $\frac{8 k+2}{k+1}$ અને −6 = $\frac{-10 k-4}{k+1}$
∴ 4k = 2, 4k = 2 અને 4k = 2
∴ k = $\frac{1}{2}$
આમ, હિંદુ છુ એ રેખાખંડ PRનું $\frac{1}{2}$: 1 એટલે કે 1:2 ગુણોત્ત૨માં અંતઃવિભાજન ક૨ે છે.

પ્રશ્ન 3.
બિંદુઓ (– 2, 4, 7) અને (3, – 5, 8)ને જોડતા રેખાખંડનું YZ-સમતલ કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે, તે શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A ( 2, 4, 7) અને B (3, – 5, 8) આપેલાં બિંદુઓ છે. ધારો કે, YZ-સમતલ એ રેખાખંડ ABનું બિંદુ P (0, u, z) આગળk: 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
∴ 0 = $\frac{3 k-2}{k+1}$
∴ 3k − 2 = 0
∴ k = $\frac{2}{3}$
આમ, YZ-સમતલ રેખાખંડ ABનું $\frac{2}{3}$: 1 એટલે કે 2:3 ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.

પ્રશ્ન 4.
વિભાજન-સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે બિંદુઓ
A (2, – 3, 4), B (− 1, 2, 1) અને C (0, $\frac{1}{3}$, 2) સમરેખ છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ A (2, – 3, 4), B(– 1, 2, 1) અને C(0, $\frac{1}{3}$, 2) છે તથા બિંદુ P એ રેખાખંડ ABનું k : 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
∴ Pના યામ $\left(\frac{-k+2}{k+1}, \frac{2 k-3}{k+1}, \frac{k+4}{k+1}\right)$ થશે.
જો A, B, C સમરેખ હોય, તો ના કોઈ ચોક્કસ મૂલ્ય માટે P અને C એક જ બિંદુઓ થશે.

આમ, C (0, $\frac{1}{3}$, 2) એ રેખાખંડ ABનું 2: 1 ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે અને તેથી A, B, C સમરેખ છે.

પ્રશ્ન 5.
બિંદુઓ P (4, 2, – 6) અને o (10, – 16, 6)ને જોડતાં રેખાખંડનું ત્રિભાજન કરતાં બિંદુઓના યામ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બિંદુઓ P (4, 2, – 6) અને ઊ (10, – 16, 6)ને જોડતાં રેખાખંડનું ત્રિભાજન કરતાં બિંદુઓ A(x₁, y₁, z₁) અને B (x₂, y₂, z₂) છે.
∴ બિંદુ A એ રેખાખંડ PQનું 1 : 2 ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરશે.

∴ Aના યામ (6, – 4, – 2) છે.

હવે, બિંદુ B એ રેખાખંડ PQનું 2 : 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરશે.

∴ Bના યામ (8, – 10, 2) છે.
આમ, P (4, 2, − 6) અને Q(10, – 16, 6)ને જોડતાં રેખાખંડનું ત્રિભાજન કરતાં બિંદુઓના યામ (6, – 4, – 2) અને (8, – 10, 2) છે.
[નોંધ : અહીં, B એ રેખાખંડ AQનું મધ્યબિંદુ થશે. તેથી Bના યામ મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પણ શોધી શકાય.]