GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 12 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિનો પરિચય Ex 12.2

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 12 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિનો પરિચય Ex 12.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 12 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિનો પરિચય Ex 12.2

પ્રશ્ન 1.
આપેલ બિંદુઓની જોડ વચ્ચેનું અંતર શોધો :
( 1 ) (2, 3, 5) અને (4, 8, 1)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ P (2, 3, 5) અને Q(4, 8, 1) છે.
∴ તેમની વચ્ચેનું અંતર,

(2) (– 3, 7, 2) અને (2, 4, −1)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ P (– 3, 7, 2) અને Q(2, 4, 1) છે.
∴ તેમની વચ્ચેનું અંતર,

(3) (-1, 3, -4) (1, -3, 4)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ P (– 1, 3, − 4) અને Q(1, 3, 4) .
∴ તેમની વચ્ચેનું અંતર,

(4) (2, −1, 3) 2 (−2, 1, 3)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ P (2, − 1, 3) અને Q(-2, 1, 3).
∴ તેમની વચ્ચેનું અંતર,

પ્રશ્ન 2.
સાબિત કરો કે, બિંદુઓ (– 2, 3, 5), (1, 2, 3) અને (7, 0, − 1) સમરેખ છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ P (– 2, 3, 5), Q(1, 2, 3) અને R (7, 0, 1) છે.

∴ PQ + QR = PR
∴ P, Q, R સમરેખ બિંદુઓ છે.

પ્રશ્ન 3.
નીચે આપેલાં વિધાનો ચકાસો :
(1) (0, 7, 10), (1, 6, −6) (4, 9, -6) એ સમક્રિભુજ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ P (0, 7, − 10), Q(1, 6, 6) અને R(4, 9, −6) છે.
∴ PQ = QR
∴ P, Q અને R એ સમદ્વિભુજ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.

(2) (0, 7, 10), (−1, 6, 6) (-4, 9, 6) એ કાટકોણ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ P (0, 7, 10) Q(−1, 6, 6) અને R(−4, 9, 6) છે.
∴ PQ² = (− 1 − 0)² + (6 − 7)² + (6 – 10)²
= 1 + 1 + 16
= 18

QR² = (− 4 + 1)² + (9 − 6)² + (6 − 6)²
= 9+9+0
= 18

PR² = (-4-0)² + (9 – 7)² + (6 – 10)²
= 16+ 4 + 16
= 36
PQ² + QR² = PR²
∴ P, Q, R એ કાટકોણ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.

(3) (-1, 2, 1), (1, -2, 5), (4, -7, 8) અને (2, 3, 4) એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ P (– 1, 2, 1), g (1, – 2, 5), R (4, − 7, 8) અને S (2, −3, 4) છે.

∴ PQ = RS અને QR = PS
∴ P, Q, R, S એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.

પ્રશ્ન 4.
બિંદુઓ (1, 2, 3) અને (3, 2, −1)થી સમાન અંતરે આવેલાં બિંદુઓના ગણનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ A (1, 2, 3) અને B (3, 2, − 1) છે.
ધારો કે, P (x, y, z) તેમનાથી સમાન અંતરે આવેલું બિંદુ છે.
∴ PA = PB
∴ \(\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}\) = \(\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2+(z+1)^2}\)
∴ (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = (x – 3)² + (y – 2)² + (z + 1)²
∴ x² – 2x + 1 + y² – 4y + 4 + z² – 6z + 9 = x² – 6x + 9 + y² – 4y + 4 + z² + 2z + 1
∴ 4x – 8z = 0
∴ x – 2z = 0, જે માગેલા બિંદુગણનું સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 5.
બિંદુઓ A (4, 0, 0) અને B (− 4, 0, 0)થી જેમનાં અંતરોનો સરવાળો 10 થતો હોય તેવા બિંદુગણ Pનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બિંદુ P (x, y, z) છે.

ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,
(4x + 25)² = 25 (x² + 8x + 16 + y² + z²)
∴ 16x² + 200 x + 625 = 25x² + 200x + 400 + 25y² + 25z²
∴ 9x² + 25y² + 25z² – 225 = 0
જે બિંદુ ના બિંદુગણનું સમીકરણ છે.