Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 1 ગણ Ex 1.5 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 1 ગણ Ex 1.5
પ્રશ્ન 1.
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8}
C = {3, 4, 5, 6} છે. નીચેના ગણ શોધો :
(1) A’
(2) B’
(3) (A ∪ C)’
(4) (A ∪ B)’
(5) (A’)’
(6) (B – C)’
ઉત્તરઃ
અહીં, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} C = {3, 4, 5, 6}
(1) A’ = U – A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {1, 2, 3, 4}
∴ A’ = {5, 6, 7, 8, 9}
(2) B’ = U – B
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2, 4, 6, 8}
∴ B’ = {1, 3, 5, 7, 9}
(3), A ∪ C = {1, 2, 3, 4}{3, 4, 5, 6}
∴ A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ (A ∪ C)’ = {7, 8, 9}
(4) (A ∪ B) = {1, 2, 3, 4} ∪ {2, 4, 6, 8}
∴ A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
∴ (A ∪ B)’ = {5, 7, 9}
(5) A’ = {5, 6, 7, 8, 9}
∴ (A’)’= {1, 2, 3, 4}
(6) B – C = {2, 4, 6, 8} – {3, 4, 5, 6}
∴ B-C = {2, 8}
∴ (B − C)’ = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
પ્રશ્ન 2.
જો U = {a, b, c, d, e, f, g, h} cừu, củ đều ગણના પૂરક ગણ શોધો :
(1) A = {a, b, c}
(2) B= {d, e, f, g}
(3) C = {a, c, e, g}
(4)D= {f, g, h, a} e, f, g, h}
ઉત્તરઃ
અહીં, U = {a, b, c, d,
(1) A = {a, b, c}
∴ A’ = {d, e, f, g, h}
(2) B= {d, e, f, g}
∴ B’ = {a, b, c, h}
(3) C= {a, c, e, g}
∴ C’ = {b, d, f, h}
(4) D = {f, g, h, a}
∴ D’ = {b, c, d, e}
પ્રશ્ન 3.
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણને સાર્વત્રિક ગણ તરીકે લઈ, નીચે આપેલા ગણના પૂરક ગણ શોધો :
(1) {x:x એ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
(2) {x:x`એ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
(3) {x:x એ ૩નો ધન ગુણિત છે.}
(4) {x x એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.}
(5) {x:x એ ૩ અને 5 વડે વિભાજ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
(6) {x:x એ પૂર્ણવર્ગ છે.}
(7) {x:x એ પૂર્ણઘન છે.}
(8) {x:x + 5 = 8}
(9) {x: 2x + 5 = 9}
(10) {x:x ≥ 7}
(11) {x: x ∈ N અને 2x + 1 > 10}
ઉત્તરઃ
અહીં, U = {x : x ∈ N}
(1) ધારો કે, A = {x:x એ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
∴ A’ = {x: x ∈ U અને x ∉ A}
∴ A’ = {x : x એ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
(2) ધારો કે, A = {x: x એ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
A’ = {x : x ∈ U અને x ∉ A}
∴ A’ = {x: x એ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
(૩) ધારો કે, A = {x: x એ 3નો ધન ગુણિત છે.}
∴ A’ = {x : x = U અને x ∉ A}
∴ A = {x : x એ 3નો ધન ગુણિત નથી, x ∉ N}
(4) ધારો કે, A = {x:x એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.}
∴ A’ = {x: x ∈ U અને x ∉ A}
∴ A’ = {x:x એ ધન વિભાજ્ય સંખ્યા અથવા x = 1}
(5) ધારો કે, A = {x : x એ 3 અને 5 વડે વિભાજ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
∴ A’ = {x: x ∈ U અને x ∉ A}
∴ A’ = {x:x એ 3 અથવા 5 વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
(6) ધારો કે, A = {x: x એ પૂર્ણવર્ગ છે.}
∴ A’ = { x : x ∈ U અને x ∉ A}
∴ A’ = {x : x ∈ N અને x એ પૂર્ણવર્ગ નથી.}
(7) ધારો કે, A = {x: x એ પૂર્ણઘન છે.}
∴ A’ = {x: x ∈ U અને x ∉ A}
∴ A’ = {x: x ∈ N અને x એ પૂર્ણઘન નથી.}
(8) ધારો કે, A = {x: x + 5 = 8}
∴ A = {3}
∴ A’ = { x : x ∈ U અને x ∉ A}
∴ A’ = {x: x ∈ N અને x ≠ 3}
(9) ધારો કે, A = {x: 2x + 5 = 9}
∴ A = {2}
∴ A’ = {x: x ∈ U અને x ∉ A}
∴ A’ = {x: x ∈ N અને x ≠ 2}
(10) ધારો કે A = {x: x > 7}
∴ A’ = {x: x ∈ U અને x ∉ A}
∴ A’ = {x:x ∈ N અને x < 7} (11) ધારો કે, A = {x: x ∈ N અને 2x + 1 > 10}
= {x:x ∈ N અને 2x >9}
= {x:x ∈ N અને x > \(\frac{9}{2}\)}
∴ A = {5, 6, 7, 8,…}
∴ A’ = {x: x ∈ U અને x ∉ A}
∴ A’ = {1, 2, 3, 4}
∴ A’ = {x:x ∈ N અને x ≤ \(\frac{9}{2}\)}
પ્રશ્ન 4.
જો U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
A = {2, 4, 6, 8} અને B = {2, 3, 5, 7} હોય, તો
(1) (A ∪ B)’= A’ ∩ B’
(2) (A ∩ B)’= A’ ∪ B’ ચકાસો.
ઉત્તરઃ
અહીં, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {2, 4, 6, 8} B = {2, 3, 5, 7}
(1) A ∪ B = {2, 4, 6, 8} ∪ {2, 3, 5, 7}
= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
∴ (A ∪ B)’= {1, 9} ……………..(1)
હવે, A’ = {1, 3, 5, 7, 9}
B’ = {1, 4, 6, 8, 9}
∴ A’ ∩ B’ = {1, 3, 5, 7, 9} ∩ {1, 4, 6, 8, 9}
= {1, 9} ………..(2)
પરિણામ (1) અને (2) પરથી,
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B
(2) A ∩ B = {2, 4, 6, 8} ∩ {2, 3, 5, 7}
= {2}
. . (A ∩ B)’ = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} …………(1)
હવે, A’ = {1, 3, 5, 7, 9}
B’ = {1, 4, 6, 8, 9}
∴ A’ ∪ B’ = {1, 3, 5, 7, 9} ∪ {1, 4, 6, 8, 9}
∴ A’ ∪ B’ = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} …………..(2)
પરિણામ (1) અને (2) પરથી,
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
પ્રશ્ન 5.
નીચેના દરેક માટે યોગ્ય વેન આકૃતિ દોરો :
(1) (A ∪ B)’
(2) A’ ∩ B’
(3) (A ∩ B)’
(4) A’ ∪ B’
ઉત્તરઃ
પ્રશ્ન 6.
સમતલનાં તમામ ત્રિકોણના ગણને છ તરીકે લો. જો ઓછામાં ઓછો એક ખૂણો 60થી ભિન્ન હોય, તેવા ત્રિકોણનો ગણ A હોય, તો A’ શું થશે?
ઉત્તરઃ
અહીં, U = {x: x એ ત્રિકોણ છે.}
A = {x : x એ જેનો ઓછામાં ઓછો એક ખૂણો 60થી ભિન્ન હોય તેવો ત્રિકોણ છે.}
∴ A’ = {x : x = U અને x ∉ A}
∴ A’ = {x: x એ જેના બધા જ ખુણા 60° હોય તેવો ત્રિકોણ} એટલે કે, A’ એ સમભુજ ત્રિકોણોનો ગણ છે.
પ્રશ્ન 7.
નીચેનાં વિધાનો સત્ય થાય તે રીતે ખાલી જગ્યા પૂરોઃ
(1) A ∪ A’ = …………………..
(2) Φ’ ∩ A = ………………….
(3) A ∩ A’ = ………………….
(4) U’ ∩ A = …………………
ઉત્તરઃ
(1) A ∪ A’ = U
(2) Φ’ ∩ A = A
(3) A ∩ A’ = Φ
(4) U’ ∩ A = Φ