GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 7 યામ ભૂમિતિ Ex 7.2

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 7 યામ ભૂમિતિ Ex 7.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 7 યામ ભૂમિતિ Ex 7.2

પ્રશ્ન 1.
બિંદુઓ (- 1, 7) અને (4, – 3) ને જોડતા રેખાખંડનું 2 : 3 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુના યામ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, P (x, y) એ (- 1, 7) અને (4, – 3)ને જોડતા રેખાખંડનું 2 : ૩ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું બિંદુ છે, તો વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
x = \(\frac{2(4)+3(-1)}{2+3}=\frac{8-3}{5}\) = 1 અને

y = \(\frac{2(-3)+3(7)}{2+3}=\frac{-6+21}{5}\) = 3 મળે.
આમ, (- 1, 7) અને (4, – 3)ને જોડતા રેખાખંડનું 2 : 3 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતાં બિંદુનાં યામ (1, 3) છે.

પ્રશ્ન 2.
બિંદુઓ (4, – 1) અને (- 2, – 3)ને જોડતા રેખાખંડના ત્રિભાગ બિંદુઓના કામ મેળવો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A (4, – 1) અને B (- 2, – 3) આપેલ બિંદુઓ છે તથા P અને Q એ રેખાખંડ AB ના ત્રિભાગ બિંદુઓ છે.

આથી AP = PQ = QB
અહીં, P એ AB નું 1 : 2 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
આથી વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, બિંદુ Pના યામ નીચે મુજબ મળે :

\(\left(\frac{1(-2)+2(4)}{1+2}, \frac{1(-3)+2(-1)}{1+2}\right)=\left(2,-\frac{5}{3}\right)\)

તે જ રીતે, 9 અને ABનું 2 : 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
આથી વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, બિંદુ ઉના યામ નીચે મુજબ મળે:

\(\left(\frac{2(-2)+1(4)}{2+1}, \frac{2(-3)+1(-1)}{2+1}\right)=\left(0,-\frac{7}{3}\right)\)

આમ, બિંદુઓ (4, – 1) અને (- 2, – 3) ને જોડતા રેખાખંડના ત્રિભાગ બિંદુઓના યામ (2, – \(\frac{5}{3}\)) અને (0, – \(\frac{7}{3}\)) છે.

Q માટેની વૈકલ્પિક રીતઃ ‘
અહીં, Q એ બિંદુઓ P (2, 3) અને B(- 2, – \(\frac{5}{3}\))ને
જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ થાય.
આથી મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
બિંદુ Qના ધામ = \(\left(\frac{2+(-2)}{2}, \frac{-\frac{5}{3}+(-3)}{2}\right)=\left(0,-\frac{7}{3}\right)\)

પ્રશ્ન 3.
તમારી શાળાના લંબચોરસ આકારના મેદાન ABCDમાં રમતગમત દિવસની પ્રવૃત્તિઓ યોજેલ છે. ચોક પાઉડરની મદદથી એક-એક મીટરના અંતરે રેખાઓ દોરેલી છે. આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર AD પર પ્રત્યેક 1 મીટરના અંતરે હોય તેવા 100 ફૂલનાં કૂંડાં મૂક્યા છે.

નિહારિકા બીજી હરોળમાં દોડે છે અને તેણે ADનું \(\frac{1}{4}\) ભાગનું અંતર કાપ્યું છે અને ત્યાં લીલો ધ્વજ ફરકાવે છે. પ્રિત આઠમી હરોળમાં દોડે છે અને તેણે ADનું \(\frac{1}{5}\) ભાગ અંતર કાપ્યું છે અને ત્યાં લાલ ધ્વજ ફરકાવે છે. આ બંને ધ્વજ વચ્ચેનું અંતર કેટલું થશે? જો રશ્મિએ આ બંને ધ્વજને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુ પર વાદળી ધ્વજ ફરકાવવાનો હોય, તો તે ધ્વજને ક્યાં ફરકાવશે?

ઉત્તરઃ
આપણે લંબચોરસ ABCDને યામ-સમતલ તરીકે લઈએ, જેમાં બિંદુ A ઉગમબિંદુ થાય.
તો, AD = 100 મી અને દરેક મીટરના અંતરે દોરેલી રેખાઓ તેમનું x-અક્ષ પરનું અંતર દર્શાવે. નિહારિકા AD ના \(\frac{1}{4}\) ભાગનું અંતર કાપે છે.
∴ નિહારિકાએ કાપેલ અંતર = \(\frac{1}{4}\) × 100 મી = 25 મી
નિહારિકા બીજી રેખા પર દોડે છે.
આથી નિહારિકાએ જે સ્થાન પર લીલો ધ્વજ ફરકાવ્યો છે તે બિંદુ N ના યામ (2, 25) થાય.
તે જ પ્રમાણે, બિંદુ ? કે જ્યાં પ્રિતે લાલ ધ્વજ ફરકાવ્યો છે તે બિંદુના ધામ (8, 20) થાય.
બે ધ્વજ વચ્ચેનું અંતર (મીટરમાં) શોધવા માટે આપણે N (2, 25) અને P (8, 20)ને જોડતા રેખાખંડની લંબાઈ શોધવી પડે.

NP = \(\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}^{2}\right)}\)
= \(\sqrt{(2-8)^{2}+(25-20)^{2}}\)
= \(\sqrt{36+25}\) = \(\sqrt{61}\)મી

હવે, રશ્મિએ લીલા ધ્વજ અને લાલ ધ્વજનાં સ્થાનોને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુ પર વાદળી ધ્વજ ફરકાવવાનો છે.
આથી આપણે N (2, 25) અને P (8, 20)ને જોડતા રેખાખંડ NP ના મધ્યબિંદુ Rના યામ મેળવવા જોઈએ.
મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, બિંદુ Rના યામ નીચે પ્રમાણે મળે :
\(\left(\frac{2+8}{2}, \frac{25+20}{2}\right)\) = (5, 22.5)

આ દર્શાવે છે કે રશ્મિએ પાંચમી રેખા પર AB થી 22.5 મી દૂર તેનો વાદળી ધ્વજ ફરકાવવો જોઈએ.
આમ, લીલા ધ્વજ અને લાલ ધ્વજ વચ્ચેનું અંતર \(\sqrt{61}\) મી થાય અને રશ્મિએ તેનો વાદળી ધ્વજ પાંચમી રેખા પર AB થી 22.5 મી દૂર ફરકાવવો જોઈએ.

પ્રશ્ન 4.
બિંદુ (-1, 6) બિંદુઓ (-3, 10) અને (6, 78)ને જોડતા રેખાખંડનું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરશે?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બિંદુ P(- 1, 6) એ બિંદુઓ A(- 3, 10) અને B (6, – 8) ને જોડતા રેખાખંડનું m₁ : m₂. ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
(- 1, 6) = (\(\left(\frac{m_{1}(6)+m_{2}(-3)}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1}(-8)+m_{2}(10)}{m_{1}+m_{2}}\right)\))

(- 1, 6) = \(\left(\frac{6 m_{1}-3 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)
બંને બાજુના વ્યામ સરખાવતાં,
– 1 = \(\frac{6 m_{1}-3 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\)

– m₁ – m₂ = 6 m₁ – 3 m₂
7m₁ = 2m₂
∴ \(\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{2}{7}\)
m₁ : m₂ = 2 : 7
હવે, પુજામની ચકાસણી કરતાં,
\(\frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{-8 \frac{m_{1}}{m_{2}}+10}{\frac{m_{1}}{m_{2}}+1}\)(m₂ વડે ભાગતાં)

= \(\frac{-8\left(\frac{2}{7}\right)+10}{\frac{2}{7}+1}\)

= \(\frac{-16+70}{2+7}=\frac{54}{9}\) = 6
આમ, બિંદુ (- 1, 6) એ બિંદુઓ (- 3, 10) અને (6, – 8)ને જોડતા રેખાખંડનું 2 : 7 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરશે.

પ્રશ્ન 5.
x-અક્ષ બિંદુઓ A (1, – 5) અને B (- 4, 5)ને જોડતા ‘રેખાખંડનું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે તે શોધો. વિભાજન બિંદુના યામ પણ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, x-અક્ષ બિંદુઓ A (1, – 5) અને B (- 4, 5)ને જોડતા રેખાખંડનું k: 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તો, વિભાજન સૂત્ર મુજબ, રેખાખંડ ABનું k : 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુના યામ નીચે પ્રમાણે મળે :
\(\left(\frac{k(-4)+1(1)}{k+1}, \frac{k(5)+1(-5)}{k+1}\right)\) એટલે કે \(\left(\frac{1-4 k}{k+1}, \frac{5 k-5}{k+1}\right)\)

હવે, વિભાજન બિંદુ x-અક્ષ પર હોવાથી તેનો પુનયામ શૂન્ય હોય.
∴ \(\frac{5 k-5}{k+1}\) = 0
∴ k = 1
આમ, માગેલ ગુણોત્તર = k : 1 = 1 : 1
હવે, વિભાજન બિંદુના ધામ = \(\left(\frac{1-4 k}{k+1}, \frac{5 k-5}{k+1}\right)\)

=\(\left(\frac{1-4(1)}{1+1}, \frac{5(1)-5}{1+1}\right)\)
= (- \(\frac{3}{2}\), ૦)

આમ, x-અક્ષ બિંદુઓ A(1, – 5) અને B(- 4, 5)ને જોડતા રેખાખંડનું 1 : 1 ગુણોત્તરમાં બિંદુ (- \(\frac{3}{2}\), 0) પર વિભાજન કરે છે.

પ્રશ્ન 6.
જો (1, 2), (4, 5), (x, 6) અને (3, 5) એ એક સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણનાં ક્રમિક શિરોબિંદુઓ હોય, તો ૮ અને પુ શોધો.
ઉત્તરઃ
A(1, 2), B (4, y), C (x, 6) અને D (3, 5) એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ABCDનાં શિરોબિંદુઓ છે.
ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી તેના વિકર્ણો AC અને BD પરસ્પર દુભાગે છે.
ACનું મધ્યબિંદુ = BDનું મધ્યબિંદુ
\(\left(\frac{1+x}{2}, \frac{2+6}{2}\right)=\left(\frac{4+3}{2}, \frac{y+5}{2}\right)\) (મધ્યબિંદુ સૂત્ર)

\(\left(\frac{1+x}{2}, 4\right)=\left(\frac{7}{2}, \frac{y+5}{2}\right)\)

\(\frac{1+x}{2}=\frac{7}{2}\) અને 4 = \(\frac{y+5}{2}\).

x = 6 અને y = 3.

પ્રશ્ન 7.
AB વર્તુળનો વ્યાસ છે. તેનું કેન્દ્ર (2, – 3) અને B (1, 4) છે, તો બિંદુ Aના યામ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બિંદુ A ના ધામ (x, y) છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર તેના દરેક વ્યાસનું મધ્યબિંદુ છે.
અહીં, AB વ્યાસ છે અને (2, – 3) એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
ABનું મધ્યબિંદુ = (2, – 3)
\(\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}\right)\) = (2, 3)

\(\frac{x+1}{2}\) = 2 અને \(\frac{y+4}{2}\) = – 3

x = 3 અને y = – 10
આમ, બિંદુ A ના યામ (3, – 10) થાય.

પ્રશ્ન 8.
જો A અને B અનુક્રમે (- 2, – 2) અને (2, – 4) હોય, AP = \(\frac{3}{7}\) AB થાય અને બિંદુ – રેખાખંડ AB પર આવેલ હોય, તો તે બિંદુ Pના યામ શોધો.
ઉત્તરઃ
A(- 2, – 2) અને B (2, – 4) આપેલ બિંદુઓ છે. તથા બિંદુ P (x, y) એ AB પર આવેલ એવું બિંદુ છે કે જેથી AP = \(\frac{3}{7}\) AB થાય.
હવે, PB = AB – AP = AB – \(\frac{3}{7}\) AB = \(\frac{4}{7}\) AB.
હવે, \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}=\frac{\frac{3}{7} \mathrm{AB}}{\frac{4}{7} \mathrm{AB}}=\frac{3}{4}\)

આમ, P (x, g) એ AB નું 3 : 4 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
(x, y) = \(\left(\frac{3(2)+4(-2)}{3+4}, \frac{3(-4)+4(-2)}{3+4}\right)\)

(x, y) = (- \(\frac{2}{7}\), – \(\frac{20}{7}\)).

આમ, બિંદુ Pના ધામ (- \(\frac{2}{7}\), – \(\frac{20}{7}\)) છે.

પ્રશ્ન 9.
A (- 2, 2) અને B (2, 8) ને જોડતા રેખાખંડનું ચાર સમાન ભાગમાં વિભાજન કરતા બિંદુઓના યામ શોધો.
ઉત્તરઃ

ધારો કે, P Q અને R એ A(- 2, 2) અને B (2, 8) ને જોડતા રેખાખંડનું ચાર સમાન ભાગમાં વિભાજન કરતાં બિંદુઓ છે.
આથી 9 એ ABનું મધ્યબિંદુ થાય.
આથી મધ્યબિંદુ સૂત્ર મુજબ બિંદુ ઉના યામ નીચે મુજબ મળે: \(\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)\) = (0, 5)
હવે, P એ AQ નું મધ્યબિંદુ છે.
આથી મધ્યબિંદુ સૂત્ર મુજબ બિંદુ Pના ધામ નીચે મુજબ મળે : \(\left(\frac{-2+0}{2}, \frac{2+5}{2}\right)\) = (- 1, \(\frac{7}{2}\))
તે જ રીતે, R એ ઉBનું મધ્યબિંદુ છે.
આથી મધ્યબિંદુ સૂત્ર મુજબ બિંદુ Rના ધામ નીચે મુજબ છે : (૧૪2 38) (1, 5)
આમ, A(-2, 2) અને B (2, 8) ને જોડતા રેખાખંડનું ચાર સમાન ભાગમાં વિભાજન કરતા બિંદુઓના ધામ (- 1, \(\frac{7}{2}\)), (0, 5) અને (1, \(\frac{13}{2}\)) છે.

પ્રશ્ન 10.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનાં ક્રમિક શિરોબિંદુઓ (3, 0), (4, 5), (-1, 4) અને (- 2, – 1) હોય, તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
[સૂચન: સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = (તેના વિકર્ણોનો ગુણાકાર)].
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A (3, 0), B (4, 5), C (- 1, 4) અને D (- 2, – 1) એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ ABCDનાં શિરોબિંદુઓ છે.
વિકર્ણ AC = \(\sqrt{(3+1)^{2}+(0-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{32}=4 \sqrt{2}\) એકમ

વિકર્ણ BD = \(\sqrt{(4+2)^{2}+(5+1)^{2}}\)
= \(\sqrt{72}=6 \sqrt{2}\) એકમ

હવે, સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = \(\frac{1}{2}\) (તેના વિકર્ણોનો ગુણાકાર)
સમબાજુ ચતુષ્કોણ ABCDનું ક્ષેત્રફળ = \(\frac{1}{2}\) × AC × BD
= \(\frac{1}{2}\) × 42 × 6√ 2 = 24
ચોરસ એકમ આમ, ક્રમિક શિરોબિંદુઓ (3, 0), (4, 5), (- 1, 4) અને (- 2, – 1) ધરાવતાં સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ 24 ચોરસ એકમ થાય.