GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 2 બહુપદીઓ Ex 2.4

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 2 બહુપદીઓ Ex 2.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 2 બહુપદીઓ Ex 2.4

પ્રશ્ન 1.
નીચે ત્રિઘાત બહુપદીની સાથે દર્શાવેલ સંખ્યાઓ તેનાં શૂન્યો છે તે ચકાસો. દરેક પ્રશ્નમાં શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ પણ ચકાસોઃ
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; \(\frac{1}{2}\), 1, -2
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1
ઉત્તરઃ
(i) ધારો કે, p(\(\frac{1}{2}\)) = 2x³ + x² – 5x + 2
આથી p(\(\frac{1}{2}\)) = 2(\(\frac{1}{2}\)) + 3(\(\frac{1}{2}\)) – 5(\(\frac{1}{2}\)) + 2
= \(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}\) + 2
= \(\frac{1+1-10+8}{4}=\frac{0}{4}\) = 0

આથી \(\frac{1}{2}\) એ p(x) = 2x³ + x² – 5x + 2 નું શૂન્ય છે.
વળી, p(1) = 2 (1)³ + (1)² – 5 (1) + 2
= 2 + 1 – 5 + 2 = 0

આથી 1 એ p (x) = 2x³ + x² – 5x + 2 નું શૂન્ય છે.
વળી, p(-2) = 2(-2)³ + (-2)² – 5(-2) + 2
= – 16 + 4 + 10 + 2. = 0

આથી – 2 એ p(x) = 2x³ + x² -5x + 2 નું શૂન્ય છે.
હવે, p(x) = 2x³ + x² -5x + 2 માટે,
a = 2, b = 1, c = – 5 અને d = 2.

p (x)નાં શૂન્યો α = \(\frac{1}{2}\), β = 1 અને γ =-2 છે.
હવે, α + β + γ = \(\frac{1}{2}\) + 1 + (-2)
= \(-\frac{1}{2}=\frac{-(1)}{2}\)

αβ + βγ + γα = (\(\frac{1}{2}\)) (1) + (1) (-2) + (-2) (\(\frac{1}{2}\))
= \(\frac{1}{2}\) – 2 – 1 = \(\frac{-5}{2}=\frac{c}{a}\) અને

αβγ = (\(\frac{1}{2}\)) (1) (-2) = – 1
= \(\frac{-(2)}{(2)}=\frac{-d}{a}\)

(ii) ધારો કે, p (x) = x³ – 4x + 5x – 2.
આથી p (2) = (2)³ – 4 (2)² + 5(2) – 2
= 8 – 16 + 10 – 2 = 0
આથી 2 એ p(x) = x³ – 4x² + 5x – 2 નું શૂન્ય છે.
વળી, p(1) = (1)³ – 4 (1)² + 5 (1)-2
= 1 – 4 + 5 – 2 = 0
આથી 1 એ p (x) = x³ – 4x² + 5x – 2 નું આવૃત્ત શૂન્ય છે.
હવે, p(x) = x³ – 4x² + 5x – 2
માટે, a = 1, b = – 4, c = 5 અને d = – 2.
p(x)નાં શૂન્યો α = 2, β = 1 અને γ = 1 છે.
હવે,α + β + γ = 2 + 1 + 1 = 4 = \(\frac{-(-4)}{1}=\frac{-b}{a}\)
αβ + βγ + αγ = (2) (1) + (1) (1) + (1) (2)
= 2 + 1 + 2 = 5 = \(\frac{5}{1}=\frac{c}{a}\)
અને વβγ = (2) (1) (1) = 2 = \(\frac{-(-2)}{1}=\frac{-d}{a}\)

પ્રશ્ન 2.
જેનાં શૂન્યોનો સરવાળો, બબ્બે શુન્યોનાં ગુણાકારનો સરવાળો અને ગુણાકાર અનુક્રમે 2, – 7, – 14 છે એવી ત્રિઘાત બહુપદી શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, p(x) = ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0 એ માગેલ ત્રિઘાત બહુપદી છે જેનાં શૂન્યો α, β અને α છે.
આથી આપેલ માહિતી મુજબ,
α + β + γ = 2
∴ \(\frac{-b}{a}\) = 2

αβ + βY + γα =-7 .
∴ \(\frac{c}{a}\) = – 7

αβy = – 14
∴ \(\frac{-d}{a}\) = – 14
જો a = 1, તો b = – 2, c = – 7 અને d = 14 થાય.
આથી માગેલ ત્રિઘાત બહુપદ p(x) = x³ – 2x³ – 7x + 14 થાય.

પ્રશ્ન 3.
જો બહુપદી x³ – 3x² + x + 1 નાં શૂન્યો a – b, a, a + b, હોય, તો a અને b શોધો.
ઉત્તરઃ
આપેલ ત્રિઘાત બહુપદી x³ – 3x² + x + 1 માટે, A = 1, B = – 3, C = 1 અને D = 1.
બહુપદીનાં શૂન્યો a – b, a અને a + b આપેલ છે. હવે, શૂન્યોનો સરવાળો = (a – b) + a + (a + b) = 3a.
બહુપદીનાં સહગુણકો પરથી,
શૂન્યોનો સરવાળો = \(\frac{-\mathrm{B}}{\mathrm{A}}=\frac{-(-3)}{1}\) = 3
આથી 3a = 3
∴ a = 1
શૂન્યોનો ગુણાકાર = (a – b) × a × (a + b)
= a (a² – b²)

બહુપદીનાં સહગુણકો પરથી,
શૂન્યોનો ગુણાકાર = \(\frac{-\mathrm{D}}{\mathrm{A}}=\frac{-1}{1}\) = – 1.
આથી a(a² – b²) = -1
∴ 1(1² – b²) = – 1
∴ 1 – b² = – 1
∴ 1 + 1 = b²
∴ b² = 2
∴ b = ± √2
આમ, a=1 અને b = ± √2.

પ્રશ્ન 4.
બહુપદી x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 નાં બે શુન્યો 2 ± √3 હોય, તો બાકીના શૂન્યો શોધો.
ઉત્તરઃ
આપેલ બહુપદી p (x) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 નાં રે બે શૂન્યો 2 + √3 અને 2 – √3 છે. હવે, (x – 2 – √3) (x – 2 + √3 ) = (x – 2)² – (√3)²
= x² -,4x + 4-3
= x² – 4x + 1
આથી x² – 4x + 1 એ p(x)નો અવયવ છે.

હવે, ભાગફળ = x² – 2x – 35
= x² – 7x + 5x – 35 = x (x – 7) + 5 (x – 7)
= (x – 7) (x + 5).
x – 7 = 0 લેતાં x = 7 અને x + 5 = 0 લેતાં x = -5 મળે.
આમ, આપેલ બહુપદીનાં બાકીનાં બે શૂન્યો 7 અને – 5 છે.

પ્રશ્ન 5.
જો બહુપદી x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 ને બીજી બહુપદી x² – 2x + k વડે ભાગવામાં આવે, તો શેષ x + a મળે તો k અને a શોધો.
ઉત્તરઃ

પરંતુ, શેષ = x + a આપેલ છે.
∴ (2k – 9) x + (k² – 8k + 10) = x + a
અહીં, ના સહગુણકો તથા અચળ પદની સરખામણી કરતાં, 2k – 9 = 1 અને k² – 8k + 10 = a
મળે. હવે, 2k – 9 = 1
∴ 2k = 10
∴ k = 5
અને a = k² – 8k + 10
∴ a = (5)² – 8 (5) + 10
∴ a = 25 – 40 + 10
∴ a = – 5
આમ, k = 5 અને a = – 5.