GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 2 બહુપદીઓ Ex 2.3

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 2 બહુપદીઓ Ex 2.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 2 બહુપદીઓ Ex 2.3

પ્રશ્ન 1.
નીચે આપેલ તમામ બહુપદી p(x)ને બહુપદી g(x) વડે ભાગો અને ભાગફળ તથા શેષ મેળવોઃ
(i) p(x) = x³ – 3x + 5x – 3, g(x) = x² – 2
(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x
(iii) p (x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x²

(i) p(x) = x³ – 3x + 5x – 3, g(x) = x² – 2
ઉત્તરઃ

ભાગફળ = x – ૩, શેષ = 7x – 9.

(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x
ઉત્તરઃ
p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5 = x⁴ + 0 x³ – 3 x² + 4x + 5
g(x) = x² + 1 – x = x² – x + 1

ભાગફળ = x² + x – ૩, શેષ = 8

(iii) p (x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x²
ઉત્તરઃ
p (x) = x⁴ – 5x + 6 = x⁴ + 0 x³ – 0 x² – 5x + 6
g(x) = 2 – x² = – x² + 2

ભાગફળ = – x² – 2, શેષ = – 5x + 10.

પ્રશ્ન 2.
નીચે આપેલ બે બહુપદીઓ પૈકી બીજી બહુપદીને પ્રથમ બહુપદી વડે ભાગીને ચકાસો કે, પ્રથમ બહુપદી એ બીજી બહુપદીનો અવયવ છે કે નહીં?
(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12
(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2
(iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x +1

(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12
ઉત્તરઃ

અહીં, શેષ શૂન્ય હોવાથી t² – 3 એ 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12નો અવયવ છે.

(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2

અહીં, શેષ શૂન્ય હોવાથી x² + 9x + 1 એ 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2નો અવયવ છે.

(iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1
ઉત્તરઃ

અહીં, શેષ શૂન્ય ન હોવાથી x³ – 3x + 1 એ x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1નો અવયવ નથી.

પ્રશ્ન 3.
જો \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) અને – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) એ ૩x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5નાં બે શૂન્યો હોય, તો બાકીનાં શૂન્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) અને – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) બે શુન્યો હોવાથી,
(x – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)) (x + \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)) = x² – \(\frac{5}{3}\) એ આપેલ બહુપદનો અવયવ થશે. બાકીનાં શુન્યો શોધવા આપણે આપેલ બહુપદીને

x² – \(\frac{5}{3}\) વડે ભાગીશું.

હવે,
3x² + 6x + 3 = 3 (x² + 2x + 1)
= 3(x + 1)²
= 3(x + 1) (x + 1)
આથી 3+ 6x + 3નાં શૂન્યો –1 અને –1 થાય.
આમ, 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5નાં આપેલ શૂન્યો સિવાયનાં બાકીનાં શૂન્યો -1 અને 1 છે.

પ્રશ્ન 4.
x³ – 3x² + x + 2ને બહુપદી g(x) વડે ભાગતા ભાગફળ અને શેષ અનુક્રમે x – 2 અને -2x + 4 મળે છે, તો 9 ) શોધો. અહીં, ભાજ્ય p (x) = x³ – 3x² + x + 2, ભાગફળ q (x) = x – 2 અને શેષ r (x) = – 2x + 4.
ઉત્તરઃ
હવે, p(x) = g (x) × q (x) × r (x)
∴ x³ – 3x² + x + 2 = g (x) × (x – 2) + (- 2x + 4)
∴ (x³ – 3x² + x + 2) – (2x + 4) = g(x) × (x – 2)
∴ x³ – 3x² + 3x – 2 = g(x) × (x – 2).
∴ g(x) = \(\frac{x^{3}-3 x^{2}+3 x-2}{x-2}\)

આમ, g (x) = ૨-૪+1.

પ્રશ્ન 5.
ભાગપ્રવિધિ અને નીચેની શરતોને સંતોષે તેવી બહુપદીઓ p(x), g (x), q(x) અને r(x)નાં ઉદાહરણો આપોઃ
(i) p(x) ની ઘાત = q (x) ની ઘાત
(ii) q(x) ની ઘાત = r (x) ની ઘાત
(iii) r(x) ની ઘાત = 0
ઉત્તરઃ
(i) p(x) ની ઘાત = q (x) ની ઘાત હોવાથી g (x)ની ઘાત = 0
થાય, એટલે કે g(x) એ શૂન્યતર અચળ હોય તેવું એક ઉદાહરણ નીચે મુજબ આપી શકાય:
p = 3x² + 10x + 13, g(x) = 3,
q(x) = x² + 5x + 4 અને r(x) = 1.
આપેલ ઉદાહરણ નીચે મુજબ ભાગપ્રવિધિનું સમાધાન કરે છેઃ
3x² + 15x + 13 = 3(x² + 5x + 2) + 1.

(ii) q (x) ની ઘાત = r (x) ની ઘાત હોવાથી,
g(x) ની ઘાત > q(x) ની ઘાત, કારણ કે
g(x) ની ઘાત > r(x) ની ઘાત.
તેવું એક ઉદાહરણ નીચે મુજબ આપી શકાય:
p(x) = x³ + 5x² + 2x + 7, g(x) = x² + 1, q (x) = x + 5 અને r(x) = x + 2.
આપેલ ઉદાહરણ નીચે મુજબ ભાગમવિધિનું સમાધાન કરે છેઃ
x³ + 5x² + 2x + 7 = (x² + 1) (x + 5) + (x + 2)

(iii) r(x) ની ઘાત = 0 હોવાથી શેષ અચળ પદ તેવું એક ઉદાહરણ નીચે મુજબ આપી શકાય:
P(x) = x³ + 4x² + 5x + 9, g(x) = x + 3,
q(x) = x² + x + 2 અને r(x) = 3.
આપેલ ઉદાહરણ નીચે મુજબ ભાગપ્રવિધિનું સમાધાન કરે છેઃ
x³ + 4x² + 5x + 9 = (x + 3) (x² + x + 2) + 3
નોંધ: ઉપરોક્ત ત્રણેય દાખલાઓમાં અન્ય ઘણા ઉકેલ આપી શકાય.