GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Ex 1.4

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Ex 1.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Ex 1.4

પ્રશ્ન 1.
ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર, નીચે દર્શાવેલ સંમેય ? સંખ્યાઓનું દશાંશ નિરૂપણ સાત્ત છે કે અનંત અને આવૃત્ત છે તે જણાવોઃ

(i) \(\frac{13}{3125}\)

(ii) \(\frac{17}{8}\)

(iii) \(\frac{64}{455}\)

(iv) \(\frac{15}{1600}\)

(v) \(\frac{29}{343}\)

(vi) \(\frac{23}{2^{3} 5^{2}}\)

(vii) \(\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}\)

(viii) \(\frac{6}{15}\)

(ix) \(\frac{35}{50}\)

(x) \(\frac{77}{210}\)

ઉત્તરઃ

(i) \(\frac{13}{3125}\)
અહીં, છેદ q (5⁵)નું સ્વરૂપ 2ⁿ 5^m (n = 0 અને m = 5) પ્રકારનું છે.
આથી \(\frac{13}{3125}\) નું દશાંશ નિરૂપણ સાન છે.

(ii) \(\frac{17}{8}\)
અહીં, છેદ q (2³) નું સ્વરૂપ 2ⁿ 5^m (n = 3 અને m = 0) પ્રકારનું છે.
આથી \(\frac{17}{8}\) નું દશાંશ નિરૂપણ સાત્ત છે.

(iii) \(\frac{64}{455}=\frac{64}{5 \times 7 \times 13}\)
અહીં, છેદ q (5 × 7 × 13)નું સ્વરૂપ 2ⁿ 5^m પ્રકારનું નથી.
આથી \(\frac{64}{455}\) નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત છે.

(iv) \(\frac{15}{1600}=\frac{3}{320}=\frac{3}{2^{6} \times 5^{1}}\)
અહીં, છેદ q (26 × 5)નું સ્વરૂપ 2ⁿ 5^m (n = 6 અને m = 1) પ્રકારનું છે.
આથી \(\frac{15}{1600}\) નું દશાંશ નિરૂપણ સાન છે.

(v) \(\frac{29}{343}=\frac{29}{7^{3}}\)
અહીં, છેદ q (7³)નું સ્વરૂપ 2ⁿ 5^m પ્રકારનું નથી.
આથી \(\frac{29}{343}\) નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત છે.

(vi) \(\frac{23}{2^{3} 5^{2}}\)
અહીં, છેદ q (2³ 5²)નું સ્વરૂપ 2ⁿ 5^m (n = 3 અને m = 2) પ્રકારનું છે.
આથી \(\frac{23}{2^{3} 5^{2}}\) નું દશાંશ નિરૂપણ સાત્ત છે.

(vii) \(\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}\)
અહીં, છેદ q (2² 5⁷ 7⁵)નું સ્વરૂપ 2ⁿ 5^m પ્રકારનું નથી.
આથી \(\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}\)નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત છે. હું

(viii) \(\frac{6}{15}=\frac{2 \times 3}{3 \times 5}=\frac{2}{5^{1}}\)
અહીં, છેદ q (5¹)નું સ્વરૂપ 2ⁿ 5^m (n = 0 અને m = 1) પ્રકારનું છે.
આથી \(\frac{6}{15}\) નું દશાંશ નિરૂપણ સાત્ત છે.

(ix) \(\frac{35}{50}=\frac{5 \times 7}{2 \times 5 \times 5}=\frac{7}{2^{1} \times 5^{1}}\)
અહીં, છેદ q (2¹ × 5¹)નું સ્વરૂપ 2ⁿ 5^m (n = 1 અને m = 1) પ્રકારનું છે.
આથી \(\frac{35}{50}\) નું દશાંશ નિરૂપણ સાન છે.

(x) \(\frac{77}{210}=\frac{7 \times 11}{2 \times 3 \times 5 \times 7}=\frac{11}{2 \times 3 \times 5}\)
અહીં, છેદ q (2 × 3 × 5)નું સ્વરૂપ 2ⁿ 5^m પ્રકારનું નથી.
આથી \(\frac{77}{210}\) નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત છે.

પ્રશ્ન 2.
પ્રશ્ન 1માં જે સંમેય સંખ્યાઓનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત હોય તેનું દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવો.

ઉત્તરઃ
(1) \(\frac{13}{3125}=\frac{13}{5^{5}}=\frac{13 \times 2^{5}}{2^{5} \times 5^{5}}=\frac{416}{100000}\) = 0.00416

(2) \(\frac{17}{8}=\frac{17}{2^{3}}=\frac{17 \times 5^{3}}{2^{3} \times 5^{3}}=\frac{2125}{1000}\) = 2.125

(4) \(\frac{15}{1600}=\frac{3}{2^{6} \times 5}=\frac{3 \times 5^{5}}{2^{6} \times 5^{6}}=\frac{9375}{1000000}\) = 0.009375

(6) \(\frac{23}{2^{3} 5^{2}}=\frac{23 \times 5}{2^{3} \times 5^{3}}=\frac{115}{1000}\) = 0.115

(8) \(\frac{6}{15}=\frac{2}{5}=\frac{2 \times 2}{2 \times 5}=\frac{4}{10}\) = 0.4

(9) \(\frac{35}{50}=\frac{7}{2 \times 5}=\frac{7}{10}\) = 0.7

પ્રશ્ન 3.
નીચેની વાસ્તવિક સંખ્યાઓનું દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવેલ છે. દરેક માટે જણાવો કે તે સંમેય છે કે નહીં. અને જો સંમેય હોય, તો તેના સ્વરૂપમાં qના અવિભાજ્ય અવયવો વિશે તમે શું કહી શકશો?

(i) 43.123456789
(ii) 0.120120012000120000
(iii) \(43 . \overline{123456789}\)
ઉત્તરઃ
(i) આપેલ સંખ્યા 43.123456789નું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત હોવાથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
આપેલ સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત હોવાથી તેના \(\frac{p}{q}\) સ્વરૂપમાં છેદના અવિભાજ્ય અવયવો ફક્ત 2 અથવા 5 અથવા બંને હોય. (પ્રમેય 1.5)

(ii) આપેલ સંખ્યા 0.120120012000120000 …નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને અનાવૃત્ત હોવાથી તે અસંમેય સંખ્યા છે.

(iii) આપેલ સંખ્યા \(43 . \overline{123456789}\) નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત હોવાથી તે સંમેય સંખ્યા છે.

આપેલ સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત હોવાથી તેના \(\frac{p}{q}\) સ્વરૂપમાં છેદના અવિભાજ્ય અવયવોમાં 2 અને 5 સિવાયનો ઓછામાં ઓછો એક અવિભાજ્ય અવયવ છે જ. (પ્રમેય 1.7નું પ્રતીપ)