GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 5 ચુંબકત્વ અને દ્રવ્ય

Gujarat Board GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 5 ચુંબકત્વ અને દ્રવ્ય Important Questions and Answers.

GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 5 ચુંબકત્વ અને દ્રવ્ય

પ્રશ્ન 1.
ચુંબકનો ટૂંકો ઇતિહાસ લખો.
ઉત્તર:

• લોખંડને પોતાની તરફ આકર્ષવાના ગુણધર્મને ચુંબકત્વ કહે છે અને આવો ગુણધર્મ ધરાવતા પદાર્થને ચુંબક કહે છે.
• વ્યવહારમાં જુદા જુદા આકારના ચુંબકો તૈયાર કરવામાં આવે છે. ચુંબકીય ઘટનાઓ સાર્વત્રિક પ્રકારની છે.
• મનુષ્યની ઉત્ક્રાંતિ પહેલાંથી પૃથ્વીનું ચુંબકત્વ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
• આપણી પૃથ્વી સહિત સમગ્ર બ્રહ્માંડમાં ચુંબકત્વ પ્રસરેલું છે.
• મૅગ્નેટ (ચુંબક) શબ્દ ગ્રીસમાં આવેલાં મૅગ્નેશિયા નામના ટાપુ પરથી આવ્યો છે. ઈ.સ. પૂર્વે 600 ના ગાળામાં આ યપુ પર રહેતા ભરવાડો ફરિયાદ કરતા હતા કે તેમના બૂટની નીચે આવેલી લોખંડની ખીલીઓના માથા અને લોખંડની અણીવાળી લાકડીઓ
• જમીન સાથે ચોંટી જતી હતી તેથી તેમને ચાલવામાં મુશ્કેલી પડતી હતી.
• ટાપુના નામ ‘મેગ્નેશિયા’ પરથી બૂટ અને લાકડીઓ જમીન સાથે ટી જવાની ઘટનાને અંગ્રેજીમાં ‘મૅગ્નેટ’ અને ગુજરાતીમાં “ચુંબક’ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 2.
દિશા દર્શાવવાના ચુંબકના ગુણધર્મનો સૌ પ્રથમ ઉપયોગ કોણે કર્યો ? અને શા માટે કર્યો ?
ઉત્તર:

• ચુંબકના લાંબા પાતળા ટુકડાને છૂટથી ફરી શકે તે રીતે લટકાવવામાં આવે ત્યારે તે ઉત્તર-દક્ષિણ દિશા દશવિ છે.
• જયારે તેને બૂચના ટુકડા પર મૂકીને સ્થિર પાણી પર તરતો મૂક્વામાં આવે ત્યારે તે ઉત્તર-દક્ષિણ દિશા દર્શાવે છે.
• કુદરતી રીતે મળી આવતાં આયર્ન મેગ્નેટાઇટના ખનીજને લોહચુંબક નામ આપવામાં આવ્યું જેનો અર્થ ચુંબકીય પથ્થર થાય છે.
• ચુંબકનો સૌ પ્રથમ ઉપયોગ ચીનના લોકોએ દરિયામાં મુસાફરી કરતી વખતે દિશા નક્કી કરવા માટે કર્યો હતો.
• ગોબીનું રણ પાર કરવા માટે વઝારાઓ ચુંબક ચુંબકીય સોય)નો ઉપયોગ કરતા હતા.
• ચાર હજાર વર્ષ પહેલાં હુઆંગી (Huang-ti) નામના સમ્રાટે તેના કસબીઓ (ઇજર્નર) પાસે એક રથ બનાવડાવ્યો, જેના પર પહોળા હાથ કરેલ એક ચુંબકીય પ્રતિમા મૂકી હતી.

• સા પ્રતિમા ઍવી રીતે ફરી પાકની હતી કે પ્રતિમાની સાંગળી હંમેશાં નિષ દિશા જ બાવિ.
• આ રાની મદથી અગરીના કલાકરે ગય પુમ્મસમાં પણ દમન પર ‘પાટકણી હુમશો કરીને તેને પરાજિત કર્યો કતો.

પ્રશ્ન 3.
ચુંબકવે વિશે તાણીતા કૈક્લાક નાખી જણાવી.
ઉત્તર:
ચુંબકત્વ વિશે જતા કેટલાક ખ્યાલો નીચે મુજબ છે :
(i) પૃથ્વી ચુંબક તરીકે વર્તે છે, જેનું ચુંબ કંય દેત્ર સગા-ગ ભૌગોલિક થ્રિલથી. મોંગોલિક ઉત્તર તરફ હોય છે.

(ii) પાર્ટ ગજિયા મુંબકને મુક્ત રીતે લટકાવવામાં આવે ત્યારૈ તે ઉન પ્તિ તિમ દશાવે છે, જે હો ો ભૌગોષિક (ઉત્તર તરફ રહે તેને ચુંબકનો ઉત્તર કુલ (N-મુવ) કર્યો છે અને જે છે ખોકિયા કિ તક હૈ તેને નો ક્રિા મુવ (S – ધ્રુવ) કર્મ છે.

(iii) ચુંબકનો આકાર અને કદ ગમે તેવો હોય તો પણ તેને ત્તિર કવ અને દક્ષિણ કવ એ છે કે દોષ છે. જ્યારે માં ચુંબકના બંને ઉત્તર ક (કે દક્ષિણ કવો) ઐકબીજાની નજા થાક, બાય ત્યારે તેમની વચ્ચે અપાકર્ષ બા શાને છે. તેથી ઉર્દુ જયારે એક ચુંબકના ઉનકે મુવ પાસે બીજા ચુંબકનો કિષ કુલ શાવામાં આવે ત્યારે તે માકર્ષે છે.

(iv) માપણે ચુંબકના ઉત્તર કે દક્ષિણ ધ્રુવને દુધ પા!! શકના નથી. આર્ક ગજિપા ચુંબ ના બે સમાન ટુકડા કરીશ્મ નો આપણને માવા જ બે મજિપા ચુંબક મળે છે. જેમન. ચુંબકીય ગુણધર્મો થો.. નબળા ઘોષ છે. વિધુતભારોના કિસ્સાથી વિદ્યુત સ્વતંત્ર ઉત્તર મધ્ય અને દક્ષિા ય ઐટ કે ચુંબકીય એ ક વીમો (Magentic Monopole) અસ્તિનાપરાયતી નથી.

(v) કખંડ અને તેની મિશ્રધાતુ ખો (Alloys) માંથી ચુંબક બનાવી શકાય છે.

પ્રશ્ન 4.
નાના ગજિયા ચુંબકને કાર પર સખી, કાચ પર લોખંડની ભૂકી ભભરાવતાં શું થાય છે ?
ઉત્તર:
નાના ગજિયા ચુંબક પર મૂકેલા કાચ પર લોખંડની ભૂકી ભભરાવતાં આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબની ભાત મળે છે.

ભાત દર્શાવે છે કે :

• વિદ્યુત ડાયપોલના ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારની જેમ ચુંબકને પણ બે ધ્રુવો હોય છે. તેથી ગજિયો ચુંબક, ચુંબકીય ડાયપોલ છે, જેમાંના એકને ઉત્તર (N) ધ્રુવ અને બીજાને દક્ષિણ (S) મુવ કહે છે.
• ગજિયા ચુંબકને મુક્ત રીતે લટકાવતાં તે પૃથ્વીના ભૌગોલિક ઉત્તર અને દક્ષિણ ધ્રુવ તરફ ગોઠવાય છે.
• લોખંડની ભૂકીની આવી જ ભાત વિદ્યુતપ્રવાહધારિત સોલેનોઇડની આસપાસ જોવા મળે છે.

પ્રશ્ન 5.
ગજિયા ચુંબક, પ્રવાહધ્ધારિત પરિમિત સોલેનોઇડ અને વિદ્યુત ડાયપોલની ક્ષેત્રરેખાઓ દોરો.

ઉત્તર:
આકૃતિ (c) માં વિદ્યુત ડાયપોલની વિદ્યુત શેત્રરેખાઓ દર્શાવી છે.
ક્ષેત્રરેખાઓ શેત્રના અસ્તિત્વનું ચિત્રાત્મક નિરૂપણ દવિ છે.

પ્રશ્ન 6.
વિધુત ક્ષેત્રરેખાઓ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ વચ્ચેનો તફાવત લખો.
ઉત્તર:
સ્થિતવિધુતભાર તંત્રની વિદ્યુત ક્ષેત્રરેખાઓ કદાપિ બંધ ગાળો રચતી નથી. જયારે, ચુંબકની ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ બંધ ગાળો રચે છે.

પ્રશ્ન 7.
ચુંબકીય ક્ષોત્રરેખાઓની લાક્ષણિકતાઓ/ગુણધર્મો જણાવો.
ઉત્તર:
ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓના લાક્ષણિકતાઓ/ગુણધર્મો નીચે મુજબ છે :
(i) ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ સતત બંધ ગાળાઓ રચે છે. તેમાં વિદ્યુત ડાયપોલ જેવું નથી કે જેમાં ક્ષેત્રરેખાઓ ધન વિધુતભારમાંથી ઉદ્ભવીને ઋણ વિધુતભારમાં પ્રવેશતી હોય અથવા અનંત સુધી ફેલાતી હોય.

(ii) ક્ષેત્રરેખાઓ પર કોઈ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની દિશા દશવિ છે.

(iii) એ કમ ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતી ક્ષેત્રરેખાઓની સંખ્યા ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની તીવ્રતા દર્શાવે છે. ક્ષેત્રરેખાઓની સંખ્યા વધુ તેમ \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) નું મૂલ્ય વધુ. પ્રશ્ન 5ની આકૃતિ (a) માં વિસ્તાર (1) કરતાં વિસ્તાર (ii) પાસે \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) પ્રબળ છે.

(iv) ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ કદાપિ એ હ્મીજીને છેદતી નથી. કારણ કે, જો તેઓ છેદે, તો ચુંબકીય ક્ષેત્રની છેદન બિંદુ પાસે અનન્ય ન હોય.
ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ ઘણી રીતે દોરી શકાય છે જો તેઓ છેદે, તો છેદનબિંદુ પાસે બે ક્ષેત્રરેખાઓને અનુરૂપ બે સ્પર્શકો દોરી શકાય, તેથી એક જ બિંદુ આગળ ચુંબકીય ક્ષેત્રની બે દિશાઓ મળે જે શક્ય નથી.

પ્રશ્ન 8.
ગજિયા ચુંબક અને સોલેનોઇડની ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓની સામ્યતા શું દશવિ છે ?
ઉત્તર:
ગજિયા ચુંબક અને સોલેનોઇડની ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓની સામ્યતા નીચે મુજબ દર્શાવે છે કે,

• કોઈ ગજિયા ચુંબકને સોલેનોઇડની જેમ મોટી સંખ્યાના વર્તુળમાર્ગી (Circulating) પ્રવાહો ગણી શકાય.
• ગજિયા ચુંબકને અડધેથી કાપતા તે દરેક ટુકડો સ્વતંત્ર ચુંબક તરીકે વર્તે છે. સોલેનોઇડને મધ્યમાંથી કાપતા નબળા ચુંબકીય ગુણધર્મો ધરાવતા બે સોલેનોઇડ મળે છે.
• ગજિપા ચુંબકની જેમ સોલેનોઇડમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ સતત હોય છે. સૌલેનોઇડની એક બાજુમાંથી ત્ર રેખાઓ બહાર નીકળીને બીજી બાજુમાં દાખલ થાય છે અને બંધ ગાળો રચે છે.
• ગજિયા ચુંબકની અક્ષ પરના બિંદુઓ મળતાં ચુંબકીય ક્ષેત્રની જેમ જ સૉલે નો ઇડનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર B = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 m}{r^3} \) મળે છે.

પ્રશ્ન 9.
પરિમિત લંબાઈના સોલેનોઇડની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગણતરી કરો.
ઉત્તર:

• આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે સોલેનોઇડ એકમ લંબાઈ દીઠ n આંટા ધરાવે છે,

• ધારો કે, સોલેનોઇડની લંબાઈ 2l અને ત્રિજ્યા a છે.
• સોલેનોઇડના કેન્દ્ર O થી r અંતરે આવેલાં P બિંદુ પાસે અક્ષીય (ચુંબકીય) ક્ષેત્ર શોધવું છે.
• સૌલેનોઇડના કેન્દ્રથી x અંતરે આવેલ dx લંબાઈનો વર્તુળાકાર ખંડ ધ્યાનમાં લો. તેમાં n. dx આંટા આવેલા છે. સૉલેનૉઈડમાં I વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે. તેથી N આંટાવાળા ગૂંચળાની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમીકરણ અનુસાર તેનું મૂલ્ય,
• આંય N = n dx અને
  dx જાઈના વર્તુળાકાર ખંડથી Pનું અંતર = (r – x) લેતાં,
  B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{NI} a^2}{2\left[(r-x)^2+a^2\right]^{3 / 2}}\)
  ∴ B = \(\frac{\mu_0 n d x \mathrm{I} a^2}{2\left[(r-x)^2+a^2\right]^{3 / 2}}\)
• બધા ખંડ પરનો સરવાળો કરતાં એટલે કે, x = -l થી x = + l સુધી સંકલન કરતાં કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય મળે.
  સામ, B = \(\frac{\mu_0 n \mathrm{I} a^2}{2} \int_{-l}^l \frac{d x}{\left[(r-x)^2+a^2\right]^{3 / 2}}\)
• સોલેનોઇડથી દૂરના અક્ષ પરનું બિંદુ વિચારીએ તો, r> > a અને r>> l તેથી છેદમાં આવેલ પદ આશરે આ મુજબ મળે.
  [ (r -x)²+a²]^3/2 ≈ r³ [∵ r ની સરખામણીમાં l એટલે ,x અને a ને અવગણતાં]
  ∴ B = \(\frac{\mu_0 n \mathrm{I} a^2}{2 r^3} \int_{-l}^l d x\)
  = \(\frac{\mu_0 n \mathrm{I} a^2}{2 r^3}\) [l – (-l)]
  = \(\frac{\mu_0 n \mathrm{I} a^2}{2 r^3}\) [2l]
• પદોની યોગ્ય ગોઠવણ કરતાં,
  B = \(\frac{\mu_0}{2 r^3}\left[(n 2 l)\left(\mathrm{I} a^2\right)\right]\)
• જમણી બાજુના પદને π વડે ગુન્નતાં અને ભાગતાં,
  B= \(\frac{\mu_0}{2 r^3}\left[\frac{(n 2 l)\left(\mathrm{I} \pi a^2\right)}{\pi}\right]\)
• અહીં (n2l) = સોલેનોઇડના કુલ આંટા N
  πa² = A સોલેનોઇડના એક શાળાના આડછેદનું
  B = \(\frac{\mu_0}{2 r^3}\left[\frac{\mathrm{NIA}}{\pi}\right]\)
• અહીં, NIA = સૉલેનોઇડની ડાયપોલ મોમેન્ટ m લેતાં,
  B_A = \( (B_A) = અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર)
  ∴ B_A = [latex]2 \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{m}{r^3}\)
• જે સોલેનોઇડની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર છે.
• આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ગજિયા ચુંબકની અક્ષ પર મળતાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર જેવું છે.
• આમ, એક ગજિયો ચુંબક અને સૉલેનોઇડ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રો ઉત્પન્ન કરે છે.

પ્રશ્ન 10.
ગજિયા ચુંબકના વિષુવરેખા પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્યનું સૂત્ર લખો.
ઉત્તર:
B_E = \(-\frac{\mu_0 m}{4 \pi r^3}\) (B_E =વિષુવરેખા પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર)
જયાં \(\frac{\mu_0}{4 \pi}\) = અચય
m = ચુંબકીય ચોકમાત્રા
r = ચુંબકના મધ્યબિંદુથી આપેલા બિંદુનું લંબઅંતર

પ્રશ્ન 11.
ગજિયા ચુંબકનું ધ્રુવમાન એટલે શું ? ધ્રુવમાનના સંદર્ભમાં ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ દશાવો.
ઉત્તર:
ચુંબકના ધ્રુવની પ્રબળતાને તેનું ધ્રુવમાન અથવા ચુંબકીય ભાર કહે છે.
અથવા
ચુંબકની એકમ લંબાઈ દીઠ મળતી ડાયપોલ મોમેન્ટ એટલે તે ચુંબકનું ધ્રુવમાન.
જેવી રીતે સ્થિતવિદ્યુતના સમીકરણોમાં વિદ્યુતભારે q છે તેવી જ રીતે ચુંબકત્વમાં યુવાન q_m મળે છે.
મુવમાનને વઝા q_m અથવા p (Pole Strength) વડે પક્ષ દર્શાવાય છે.
વિમાનનો આધાર ચુંબકના દ્રવ્યના પ્રકાર, તેની મૅગ્નેયઇઝેશન સ્થિતિ અને ચુંબકના આડછેદના ક્ષેત્રફળ (A) પર આધાર રાખે છે.
તે અદિશ રાશિ છે.
ધ્રુવમાનનો એકમ એમ્પિયર મીટર (Am) છે.
ગજિયા ચુંબકની લંબાઈ (2l) અને તેનું ધ્રુવમાન q_m હોય, તો ચુંબકની ડાયપોલ મોમેન્ટ,
\(\vec{m}=q_m(\overrightarrow{2 l})\)
\(\vec{m}\) ની દિશા S થી N તરફ હોય છે.
આ સમીકરણ પરથી m નો એકમ Am² મળે છે.
(નોંધ : IT તીવ્રતા ધરાવતા, ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રાખેલા ગજિયા ચુંબકના ધ્રુવ પર લાગતાં ચુંબકીય બળને તેનું પ્રવમાન કહે છે)
∴ q_m = \(\frac{\overrightarrow{F_m}}{\vec{B}}\)
∴q_m = F_m [∵ B = IT]
અને \(\overrightarrow{\mathrm{F}_m}\) = (q_m)\((\overrightarrow{\mathrm{B}})\) (આ સમીકરન્ન સ્થિત વિદ્યુતશાસ્ત્રમાં મળતાં સમીકરણ \(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) = q\( (\overrightarrow{\mathrm{E}})\) મુજબ છે.)
બિંદુવત વિદ્યુતભારનું વિદ્યુતક્ષેત્ર E = \(\frac{\mathrm{kq}}{\mathrm{r}^2}\) છે તેવી જ રીતે ચુંબકના ધ્રુવના મુવમાન , નું ચુંબકીય ક્ષેત્ર B =\(\frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{q m}{r^2}\) છે.

પ્રશ્ન 12.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકેલી ચુંબકીય સોય પર લાગતાં ટોર્કનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
m જેટલી ચુંબકીય ચાકમાત્રા ધરાવતી ચુંબકીય સૌને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) માં આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર θ કોણે મૂકેલી છે.

NS = ચુંબકીય લંબાઈ = 2l
q_m = કુવોનું મુવમાન
ચુંબકીય ચાકમાત્રા m = q_m (2l)
આકૃતિ અનુસાર કાટકોષ ΔNDS માં ND = 2lsinθ
S ધ્રુવ પર લાગતું બળ F_S = – q_mB
N ધ્રુવ પર લાગતું બળ F_N = q_mB
આ બળો સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશાના હોવાથી બળ યુગ્મ રચે છે.
∴બળ યુગ્મની ચાકમાત્રા = એક બળનું મૂલ્ય × તેમની વચ્ચેનું લંબ અંતર
τ = q_mB x ND
τ = q_mmB x 2lsinθ
τ = q_m (2l) Bsinθ
∴ τ = mBsinθ જયાં q_m (2l) = ચુંબકીય ચાકમાત્રા m
∴ \(\vec{\tau}=\vec{m} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\) (∵ m અને B સદિશ છે.)

પ્રશ્ન 13.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રાખેલા ચુંબકીય સોય પરના ટૉકનું સમીકરણ લખી તેના આવતકાળનું સમીકરણ T = 2π\(\sqrt{\frac{\mathfrak{S}}{\mathrm{mB}}}\) મેળવો. જ્યાં ૩ એ ચુંબકીચ સોચની જડત્વની ચાકમામા છે. (ઑગસ્ટ – 2020)
ઉત્તર:
આકૃતિમાં \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) તીવ્રતાવાળા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે θ કોન્ન બનાવે તે રીતે ચુંબકીય સોય મૂકી છે. તેની વયપોલ મોમેન્ટ \(\vec{m}\) છે.

ચુંબકીય સોયના બે યુવો N અને S પર લાગતાં બળો બળયુગ્મ ઉત્પન્ન કરે છે, જેથી તેના પર ટૉર્ક લાગે છે.
ચુંબકમાં q_m મુવમાનથી r અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા \(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{q_m}{4 \pi r^2}\) છે અને વિદ્યુતશાસ્ત્રમાં q વિદ્યુતભારથી r અંતરે વિધુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}=\frac{q}{4 \pi r^2}\) વડે મળે છે.
સ્થિત વિદ્યુતશાસ્ત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું વૈર્ક, \(\vec{\tau}=\vec{p} \times \overrightarrow{\mathrm{E}}\) છે તે પ્રમાણે ચુંબકત્વમાં ટોર્ક, \(\vec{\tau}=\vec{m} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\)
(જયાં \(\vec{m}\) = ચુંબકીય સોયની ડાયપોલ મોમેન્ટ)
∴ τ = mBsinθ ………………………. (1)

τ એ પુનઃસ્થાપક વૈર્ક છે અને θ એ \(\vec{m}\) અને \(\vec{B}\) વચ્ચેનો કોણ θ છે. આથી સંતુલન સ્થિતિમાં,
૩α = – mBsinθ (∵ τ = ૩α)
∴ \(\frac{\Im d^2 \theta}{d t^2}\) = – mBsinθ [∵ α = \(\frac{d^2 \theta}{d t^2}\) ]
mBsinθ સાથેનું ઋણ ચિહ્ન દર્શાવે છે કે, પુનઃસ્થાપક વૈર્ક, આવર્તન કરતા ટૉર્કની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.

રેડિયનમાં θ ના નાના મૂલ્ય માટે આપન્ને sinθ ≈ θ લખી. શકીએ, તેથી
\(\frac{\Im d^2 \theta}{d t^2}\) = – mBθ અથવા \(\frac{d^2 \theta}{d t^2}=-\frac{m \mathrm{~B}}{\mathfrak{I}} \theta\)
આ સમીકરણ સરળ આવર્તગતિ દર્શાવે છે. વ્યાપક સમીકરણ \(\frac{d^2 x}{d t^2}\) = -ω²x સાથે સરખાવતાં,

પ્રશ્ન 14.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગજિયા ચુંબકની સ્થિતિનું સમીકરણ મેળવીને ખાસ કિસ્સા ચર્ચો. (માર્ચ – 2020)
ઉત્તર:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ચુંબકીય સોય, સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે ખૂટ્ટ θ રચે તેમ ગોઠવાયેલ છે.

આ ગજિયા ચુંબકની સ્થિતિ ઊર્જા U_m આ રીતે દર્શાવી શકાય,
U_m = ∫ τ(θ)dθ
= ∫mBsinθdθ
= – mBcosθ
U = \(-\vec{m} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}}\) ……………………… (1)

ખાસ કિસ્સા :

1. ગજિયો ચુંબક \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) સાથે 0° નો ખૂણો રચે, તો U = -mB જે સ્થિતિઊર્જાનું લઘુતમ મૂલ્ય છે. ચુંબક તેની મહત્તમ સ્થાયી સ્થિતિમાં છે.
2. ગજિયો ચુંબક \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) સાથે 180° નો ખૂણો રચે, તો U = + mB જે તેની સ્થિતિઊર્જાનું મહત્તમ મૂલ્ય છે. ચુંબક તેની મહત્તમ અસ્થાયી સ્થિતિમાં છે.
3. ગજિયો ચુંબક \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ને લંબરૂપે હોય, તો
   U = mBcos90°
   U = 0.

પ્રશ્ન 15.
“વિધુત” અને “ચુંબકત્વ”ની સામ્યતા લખો.
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 16.
સ્થિતવિધુતશાસ્ત્ર સાથે ચુંબકત્વ સાથેની સામ્યતા ચર્ચો.
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 17.
ચુંબકત્વ માટે ગોસનો નિયમ સમજાવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે બંધ પૃષ્ઠ ધ્યાનમાં લો. આ પૃષ્ઠને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) તીવ્રતાવાળા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રાખેલ છે. આ પૃષ્ઠ સાથે સંકળાયેલું ચુંબકીય ફ્લ ક્સ શોધવું છે.

પૃષ્ઠ S ને અનેક નાના ખંડમાં વિભાગેલું કલ્યો. આવો એક ખંડ \(\overrightarrow{\Delta S}\) છે અને તેની સાથે સંકળાયેલું ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) છે.
આ ખંડનું ચુંબકીય ફ્લક્સ Δ_ΦB = \(\overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{\Delta \mathrm{S}} \) વડે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,
કુલ લકર, Φ_B = \(\sum_{\text {all }} \Delta \phi_{\mathrm{B}}=\sum_{\text {all }} \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \Delta \overrightarrow{\mathrm{S}}\) = 0 ………………….. (1)

બંધ પૃષ્ઠમાં જેટલી ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ દાખલ થાય છે તેટલી જ ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ બહાર નીકળે છે. તેથી, પૃષ્ઠ માટે સંકળાયેલું ચોખ્ખું ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય છે.
સમીકરણ (I) માં all શબ્દનો અર્થ ‘બધા જ ક્ષેત્રફળ ખંડ ΔS’ છે.
ચુંબકત્વ માટે ગોસનો નિયમ શબ્દોમાં નીચે પ્રમાણે છે :
“કોઈ પણ બંધ પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું પરિણામી ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે.”
નોંધઃ સમીકરણ (1) માં ΔS → 0 લઈએ તો સંક્લન સ્વરૂપે,
Φ = \(\oint \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d \mathrm{~S}}\) = 0 મળે.
આ સમીકરણ પણ ગૉસનો નિયમ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 18.
વિધુત અને ચુંબકત્વ માટે ગોસનો નિયમ સમીકરણ સ્વરૂપે લખો. તેમની વચ્ચેનો તફાવત શું દશવિ છે ?
ઉત્તર:
વિધુત માટે ગૌસનો નિયમ,
\(\sum \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{\Delta \mathrm{S}}=\frac{q}{\varepsilon_0}\) ……………….. (1) (જયાં q એ પૃષ્ઠ વડે ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર છે)
ચુંબન્ધ માટે ગૌસનો નિયમ,
\(\sum \vec{B}: \overrightarrow{\Delta S}\) = 0 ………………….. (2)
ચુંબકત્વ અને ચિતવિદ્યુત માટેના ગસના નિયમો વચ્ચેનો તફાવત એ દર્શાવે છે, કે અલગ કરેલા (સ્વતંત્ર ચુંબકીય કૂવોનું અસ્તિત્વ જાણવા મળ્યું નથી,

પ્રશ્ન 19.
પૃથ્વીના ચુંબકત્વ વિષે માહિતી આપો.
ઉત્તર:
પૃથ્વીની સપાટી પર જુદા-જુદા સ્થાને પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રની પ્રબળતા જુદી-જુદી હોય છે.
આ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય 10^-5 ના ક્રમનું છે.
એવું માનવામાં આવતું હતું કે પૃથ્વીના પેટાળમાં ઊંડે તેની ભ્રમણ, અક્ષ પર રહેલા ખૂબ મોટા ગજિયા ચુંબકના કારણે આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉદ્દભવ્યું છે, પરંતુ આ બાબત સત્ય નથી. અત્યારે એવું માનવામાં આવે છે, કે પૃથ્વીના કેન્દ્રીય ભાગ (ગર્ભ, Core)ની બહારના વિસ્તારમાં રહેતા પિગળેલ પ્રવાહી (મોટા ભાગે પિગળેલા લોખંડ અને નિકલ)ની સંવહન ગતિના કારણે વિધુતપ્રવાહો ઉદ્દ્ભવે છે. જેના કારણે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉદ્દભવે છેઆ અસરને ડાઈનેમો અસર કહે છે.

પૃથ્વીની ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય શત્રરેખાઓ જેવી છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્રમાં રહેલા કાલ્પનિક ગજિયા ચુંબકની અક્ષ અને પૃથ્વીની ભ્રમત્ત અક્ષ એક જ નથી. હાલ બંને અને વચ્ચેનો ખૂણો 11.3° છે.
આ દ્વિધ્રુવી (ગજિયા ચુંબક)ના કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ પૃથ્વીમાંથી જયાંથી બહાર નીકળે છે અથવા સમાય છે. ત્યાં ચુંબકીય ધ્રુવો આવેલા છે.
ચું બકીય ઉત્તર ધ્રુવનું સ્થાન 79.74° N અશાંશ અને 71.8° W રેખાંશ પર, ઉત્તર કેનેડામાં ક્યાંક આવેલું છે. ચુંબકીય દક્ષિણ ધ્રુવ એન્ટાર્કટિકામાં 79.74° S, 108.22° E સ્થાને આવેલ છે.
પૃથ્વીના ભૌગોલિક ઉત્તર ધ્રુવ પાસે આવેલા ધ્રુવને ઉત્તર ચુંબકીય ધ્રુવ કહે છે, તે જ રીતે, ભૌગલિક દલિશ કવ પાસે આવેલા ધ્રુવને દક્ષિણ ચુંબકીય ધ્રુવ કહે છે,

ધ્રુવોના નામકરણમાં થોડીક દુવિધા એ છે, આકૃતિમાં દશ્શાવેલ પૃથ્વીની ચુંબકીય ક્ષેતરેખાઓ गજિયા ચુંબકની ચુંબકીય ક્ષેત્રરરખખાઓથી વિપરિત છે.
(1) ઉત્તર ચુંબકીય ધ્રુવ N_m માં શેત્રરેખાઓ અંદર પ્રવેશે છે.
(2) દક્ષિણ ચુંબકીય ધ્રુવ S_m ઝમાંથી ક્ષેત્રરેખાઓ બહાર આવે છે.
આ પ્રણાલી પડવાનું કારણ એ છે, કે ચુંબકીય સોયનો ઉત્તર ધ્રુવ (પૃથ્વીના) ચુંબકીય ઉત્તર દિશા તરફ રહેતો હતો. આમ, ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ પણ ઉત્તર દિશા તરફ રહેતો (ઉત્તર દિશા દર્શાવતો હોવાથી તેનું નામ ઉત્તર ધ્રુવ પડ્યું છે, આમ હકીકતમાં પૃથ્વીની અંદર ઉત્તર ચુંબકીય ધ્રુવ જાણે કે પૃથ્વી ચુંબકના દક્ષિણ ધ્રુવની જેમ વર્તે છે અને પૃથ્વીનો ચુંબકીય દક્ષિણ ધ્રુવ જાણે કે પૃથ્વી ચુંબકના ઉત્તર ધ્રુવની માફક વર્તે છે.

પ્રશ્ન 20.
ભૌગોલિક ધ્રુવતલ (મેરિડિયન) ચાને ચુંબકીય ઘુવતલ (મેરિડિયન) સમજાવો.

ઉત્તર:
(i) ભૌગોલિક મેરીડીયન : પૃથ્વીની સપાટી પરનું કોઈ સ્થાન (બિંદુ) ધારો. આ બિંદુ એ રેખાંશથી મળતા વર્તુળની દિશા ભૌગોલિક ઉત્તર-દક્ષિણ દિશા દર્શાવે છે. રેખાંશની ઉત્તર ધ્રુવ તરફની રેખા સાચી ઉત્તર દિશા છે.
વ્યાખ્યા : પૃથ્વીની ભ્રમણ અક્ષ અને રેખાંશવૃત્તમાંથી પસાર થતાં ઊર્ધ્વ સમતલને ભૌગોલિક મેરીડીયન (યુવતલ) કહે છે.

(ii) ચુંબકીય મેરીડીયન (વ્યાખ્યા : પૃથ્વીની સપાટી પરના આ જ સ્થાને પૃથ્વીના ચુંબકીય ઉત્તર-દક્ષિણ ધ્રુવને જોડતી કાલ્પનિક રેખામાંથી પસાર થતાં ઊર્ધ્વ સમતલને તે સ્થાનના ચુંબકીય ધ્રુવતલ (મૈરીડીયન) કહે છે.

પ્રશ્ન 21.
ભૂ-ચુંબકીય તત્ત્વો અથવા ભૂ-ચુંબકીય પ્રાચલો જણાવો.
ઉત્તર:
જે રાશિઓની મદદથી પૃથ્વી પરના કોઈ પણ સ્થળે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રની સંપૂર્ણ જાલકારી મેળવી શકાય તે રાશિઓને તે સ્થળ માટેના ભૂચુંબકીય તત્ત્વો અથવા ભૂચુંબકીય પ્રાચલો કહે છે,

ભૂ-ચુંબકીય પ્રાચલો ત્રણ છે.
(1) ચુંબકીય કૅક્સિનેશન (દિફપાતકોણ) : (D).
(2) ચુંબકીય ડીપ એંગલ (નમનકોલ) : (I)
(3) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના બે ઘટકો :
(a) સમક્ષિતિજ ઘટક H_E અને
(b) ઊર્ધ્વઘટક Z_E

પ્રશ્ન 22.
ચુંબકીય (મેગ્નેટિક) ડેલિનેશન સમજાવો.
ઉત્તર:

• મુક્ત રીતે ભ્રમણ કરી શકે તેમ લટકાવેલ ચુંબકીય સોય, ચુંબકીય કૃવતલમાં જ રહે છે. સોયનો ઉત્તર ધ્રુવ ચુંબકીય ઉત્તર ધ્રુવ તરફ રહે છે.

• કોઈ પણ સ્થાને ચુંબકીય સોયે દર્શાવેલી ઉત્તર દિશા અને સાચી ઉત્તર દિશા વચ્ચે રચાતા ખૂણાને તે સ્થાન પરનો ચુંબકીય કૅક્સિનેશન (D) કહે છે.
  અથવા
• કોઈ સ્થાન પરના ભૌગોલિક મુવતલ અને તે સ્થાન પરના ચુંબકીય યુવતલ વચ્ચેના ખૂણાને તે સ્થાન પરનો ચુંબકીય રૅક્સિનેશન (D) કહે છે.
• મોટા અક્ષાંશ માટે ડેક્સિનેશન મોટું હોય છે. જયારે વિષુવવૃત્ત પાસે તે ઓછું હોય છે.
• ભારત માટે ડેક્સિનેશન ઓછું છે. દિલ્લી પાસે 0° 41′ છે જયારે મુંબઈ પાસે 0° 58′ છે. આમ, આ બંને સ્થાને ચુંબકીય સોય લગભગ સાચી ઉત્તર દિશા દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 23.
નમનકોણ (Angle of dip) સમજાવો.
ઉત્તર:
જો ચુંબકીય સોયને ચુંબકીય યુવતલમાં સમક્ષિતિજ અક્ષ પર એવી રીતે સંતુલિત કરી હોય કે તે ચુંબકીય યુવતલમાં દોલનો કરી શકે તો આ સોય સમક્ષિતિજ સાથે એક ખૂલ્લો બનાવે છે. આ ખૂણાને નમનકોણ (Angle of dip) I કહે છે. (જે નમન પણ કહેવાય છે).

આમ, નમનકોન્ન એ પૃથ્વીના તે સ્થાને ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}_{\mathrm{E}}}\) વડે પૃથ્વીની સપાટી સાથે બનતો કોણ છે.

આકૃતિ (b) માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે પૃથ્વીની સપાટી પર P બિંદુએ ચુંબકીય યુવતલ દર્શાવ્યો છે. આ સમતલ પૃથ્વીમાંથી પસાર થતો છેદ છે.
P બિંદુએ પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}_{\mathrm{E}}}\) છે.
\(\overrightarrow{\mathrm{B}_{\mathrm{E}}}\) ના બે ઘટક દર્શાવ્યા છે.
(1) સમક્ષિતિજ ઘટક \(\overrightarrow{\mathrm{H}_{\mathrm{E}}}\)
(2) ઊર્વ ઘટક (\(\overrightarrow{\mathrm{Z}_{\mathrm{E}}}\))
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}_{\mathrm{E}}}\) વડે \(\overrightarrow{\mathrm{H}_{\mathrm{E}}}\) સાથે બનતો કોણ એ નમનકોલ I છે.
ઉત્તર ગોળાર્ધમાં મોટભાગમાં નમન દર્શાવતી સોયનો N ધ્રુવ (છેડો) નીચે તરફ નમેલો હોય છે.
તેવી જ રીતે, દધિવ્ર ગોળાર્ધમાં મોટાભાગમાં નમન દર્શાવતી સોયનો S ધ્રુવ (છો) નીચે તરફ ઢળતો હોય છે.

પ્રશ્ન 24.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રો સમજાવો.
ઉત્તર:
પૃથ્વીની સપાટી પર કોઈ બિંદુ પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર દર્શાવવા માટે ત્રણ રાશિઓ સ્પષ્ટ કરવી પડે છે.

• ડેક્સિનેશન D
• નમનકોણ અથવા નમન I અથવા Φ.
• પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક H_E
• પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રની ઊર્ધ્વ ધટક Z_E

આ બધાને પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના તત્ત્વો (Elements) કહે છે.
આકૃતિ પરથી,
H_E = B_EcosI ………………………… (1)
Z_E = B_EsinI …………………………. (2)
∴ tanI = \(\frac{Z_E}{\mathrm{H}_{\mathrm{E}}}\) …………………………….. (3)
અને B_E = \(\sqrt{\mathrm{H}_{\mathrm{E}}^2+\mathrm{Z}_{\mathrm{E}}^2}\) ……………….. (4)

પ્રશ્ન 25.
મેગ્નેટાઇઝેશન (M) ને વ્યાખ્યાયિત કરી તેનાં એકમ, પરિમાણ જણાવો.
ઉત્તર:
કોઈ પદાર્થ માટે એકમ કદ દીઠ મળતી પરિણામી (ચોખ્ખી) ચુંબકીય ચાકમાત્રાને મૅગ્નેટાઇઝશન કહે છે.
\(\overrightarrow{\mathrm{M}}=\frac{\overrightarrow{m_{n e t}}}{\mathrm{~V}}\) ………………………. (1)
M એ સદિશ છે.
M ના પરિમાણ L^-1A છે.
એકમ A/m અથવા Am^-1 છે.

પ્રશ્ન 26.
સોલેનોઇડ માટે મૅગ્નેટાઇઝેશન \((\overrightarrow{\mathbf{M}})\) અને ચુંબકીય તીવ્રતા \( (\overrightarrow{\mathrm{H}})\) વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો.
ઉત્તર:
એક લાંબો સોલેનોઇડ ધ્યાનમાં લો, તેમાં એકમ લંબાઈ દીઠ n આંટા અને તેમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ I છે.
સોલેનોઇડના અંદરના ભાગમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
\(\overrightarrow{\mathrm{B}_0}\) = μ₀nI ……………………. (1)
હવે સોલેનોઇડના અંદરના ભાગમાં એવું દ્રવ્ય ભરવામાં આવે કે જેનું મૅગ્નેટાઇઝેશન શૂન્ય ન હોય, તો સોલેનોઇડની અંદર મળતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર B₀ થી વધુ થશે.
સોલેનોઇડના અંદરના ભાગમાં મળતું ચોખું ક્ષેત્ર B નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય.
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\overrightarrow{\mathrm{B}_0}+\overrightarrow{\mathrm{B}_m} \) …………. (2 )
જ્યાં B_m એ ગર્ભ (કોર, અંદર)માં રહેલા દ્રવ્ય વડે મળતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
આ વધારાનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પદાર્થના મૅગ્નેટાઇઝેશન (M) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે, જે નીચે મુજબ દર્શાવાય છે.
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}_m \propto \overrightarrow{\mathrm{M}}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}_m=\mu_0 \overrightarrow{\mathrm{M}}\) ……………………………. (3)

જયાં μ₀ એ બાયૉ-સાવર્ટના નિયમમાં આવતાં અચળાં ક (શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી) છે.
એક બીજું સદિશ (ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉમેરવાનું સગવડભર્યું છે જેને ચુંબકીય તીવ્રતા H કહે છે. તે નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
\( \overrightarrow{\mathrm{H}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{B}}}{\mu_0}-\overrightarrow{\mathrm{M}}\) …………………. (4)
\(\overrightarrow{\mathrm{H}} \) ના પરિમા \(\overrightarrow{\mathrm{M}} \) ના પરિમાણ જેવા જ છે એટલે કે, બંનેનો SI એકમ Am^-1 છે.

સમીકરણ (4) પરથી કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) આ મુજબ લખી શકાય.
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\mu_0(\overrightarrow{\mathrm{H}}+\overrightarrow{\mathrm{M}}) \) ……………………………… (5)

પદાર્થના નમૂનાની અંદર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મળતા ફાળાને બે ભાગમાં વહેંચ્યો છે :

• બાહ્ય પરિબળ જેમ કે, સૉલેનોઇડમાં વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહને લીધે છે તેને \(\overrightarrow{\mathrm{H}} \) વડે દર્શાવેલ છે.
• \(\overrightarrow{\mathrm{M}} \) ચુંબકીય પદાર્થના વિશિષ્ટ ગુબ્રધર્મના કારણે છે.

પ્રશ્ન 27.
દ્રવ્યની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી ((\chi)) સમાવી તે પરથી પદાર્થની સાપેક્ષ ચુંબકીય પરમિએબિલિટી (μ₀) અને પદાર્થની મૅનેટિક પરમિએબિલિટી (μ) સમજાવી તેમની વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો.
ઉત્તર:
દ્રવ્યનું મૅગ્નેટાઇઝેશન (M) એ ચુંબકીય તીવ્રતા (H) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
\(\overrightarrow{\mathrm{M}} \propto \overrightarrow{\mathrm{H}} \)
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{M}}=\chi \overrightarrow{\mathrm{H}}\) …………………….. (1)

અહીં (\chi) પરિમાણરહિત રાશિ છે જેને ચુંબકીય (મેગ્નેટિક) સસેપ્ટિબિલિટી કહે છે. તે ચુંબકીય દ્રવ્ય બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રને કેવો પ્રતિભાવ (Response) આપે છે તે દર્શાવે છે. પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે તેનું મૂલ્ય નાનું અને ધન હોય છે.
ડાયમેગ્નેટિક પદાર્થો માટે તેનું મૂલ્ય નાનું અને ઋણ હોય છે.
કારણ કે, ડાયામૅગ્નેટિક પદાર્થ માટે \(\overrightarrow{\mathrm{M}} \) અને \(\overrightarrow{\mathrm{H}} \) વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.

સોલેનોઇડના અંદરના ભાગમાં જેનું મેગ્નેટાઇઝેશન થાય તેવું દ્રવ્ય ભરેલું વિચારો, સૌલેનોઇડમાંથી I પ્રવાહ પસાર કરતાં તેમાં મળતું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\mu_0(\overrightarrow{\mathrm{H}}+\overrightarrow{\mathrm{M}})\) ………………………… (2)

સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\mu_0(\overrightarrow{\mathrm{H}}+\chi \overrightarrow{\mathrm{H}})\)
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\mu_0(1+\chi) \overrightarrow{\mathrm{H}}\) ……………………….. (3)
સહી μ₀(1+χ) દ્રવ્યની પરમિએબિલિટી μ છે.
આમ, μ =μ₀(1+χ) ……………………. (4)
\(\frac{\mu}{\mu_0}=(1+\chi) \) = μ_r ………………………… (5)
∴ μ = μ₀(1+χ) = μ₀μ_r …………………………. (6)

અહીં

• μ પદાર્થની મૅગ્નેટિક પરમિએબિલિટી છે, તેના પરિમાણ અને એકમ પક્ષ μ₀ જેવા જ છે.
• μ_r = (1 + χ) એ પદાર્થની સાપેક્ષ ચુંબકીય (મૅગ્નેટિક) પરમિએબિલિટી કહે છે. એ પરિમાણરહિત શશિ છે. તે સ્થિત વિદ્યુતશાસ્ત્રમાં આવતાં ડાઇઈલેક્ટ્રિક અચળાંક સાથે સામ્યતા ધરાવે છે.

સમીકરણં (6) μ, μ_r, અને χ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે. તેમાંથી કોઈ એક જ સ્વતંત્ર છે, જે એક રાશિ આપેલી હોય તો બાકીની બની સહેલાઈથી ગણતરી કરી શકાય છે.
સમીકરણ (૩) માં μ₀(1+ χ) = μ₀μ_r(6) લેતાં,
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\mu_0 \mu_r \overrightarrow{\mathrm{H}}\) ……………………….. (7)
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\mu \overrightarrow{\mathrm{H}}\) (∵μ₀μ_r =μ) ………………………. (8)
300 K તાપમાને કેટલાક તત્ત્વોની મૅનેટિક સસૈષ્ટિબિલિટી

પ્રશ્ન 28.
ચુંબકીય પદાર્થો કોને કહે છે ? તેના પ્રકારો લખો.
ઉત્તર:
જે પદાર્થને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવાથી તેની અંદર ચુંબકીય પ્રેરણ પ્રેરિત થતું હોય તો તે પદાર્થને ચુંબકીય પદાર્થ કહે છે.
સસેપ્ટિબિલિટી χ ના સંદર્ભમાં ચુંબકીય પદાર્થના ત્રણ પ્રકારો છે :

• જે χ ઋણ હોય તો તે દ્રવ્ય ડાયામૅગ્નેટિક (પ્રતિચુંબકીય)
• જે χ ધન અને મૂલ્ય નાનું હોય તે દ્રવ્ય પૈરાગૈગ્નેટિક (અનુ-ચુંબકીય)
• જો χ ધન અને મૂલ્ય મોટું હોય તો તે દ્રવ્ય ફેરોમેગ્નેટિક (લોહચુંબકીય)

કોષ્ટક : 5.3

પિરામૈગ્નેટિક દ્રવ્યને જુદા પાડવા માટે એક નાની સંખ્યા : લેવામાં આવી છે જે કોષ્ટક 5.3માં છે.

પ્રશ્ન 29.
ડાસામૅનેટિઝમ અને ડાયામૅગ્નેટિક પદાર્થ સમજાવો.
ઉત્તર:

• ડાયામૅગ્નેટિક પદાર્થો એવાં હોય છે કે જેમને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકતાં તે પ્રબળથી નબળા ચુંબકીય ક્ષેત્ર તરફ ગતિ કરવાનું વલણ ધરાવે છે.
• આ પદાર્થો ચુંબકથી અપાકર્ષાય છે, અથવા ચુંબક જેમ લોખંડને આકર્ષે છે તેનાથી વિપરિત લોખંડ ડાયામૅગ્નેટિક પદાથોન અપાકર્ષે છે.

• આકૃતિમાં બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકેલો વ્રયામૅગ્નેટિક પદાર્થના ટુકડો દર્શાવ્યો છે.
• ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ ચુંબકથી અપાય છે એટલે કે બહાર તરફ ધકેલાય છે, તેથી દ્રવ્યમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા ઘટે છે. આ ઘટાડો 10⁵ માં એક ભાગ જેટલો જ હોય છે.
• જો અનિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ડાયામૅગ્નેટિક પદાર્થને મૂકવામાં આવે તો તે ટુકડો પ્રબળથી નબળા ક્ષેત્ર તરફ ખસશે.
• ડાયામૅગ્નેટિઝમની સરળ સમજૂતી આ મુજબ છે. પરમાણુમાં ન્યુક્લિયસની આસપાસ કશીય ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રૉન કક્ષીય
• કોણીય વેગમાન ધરાવે છે, કણમાં ફરતા આ ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતપ્રવાહધારિત ગૂંચળાને સમતુલ્ય કહેવાય અને તેથી તે કક્ષીય ચુંબકીય ચાકમાત્રા (મેગ્નેટિક મોમેન્ટ) ધરાવે છે.
• ડાયામૅગ્નેટિક પદાર્થના પરમાણમાં પરિક્ષામી ચુંબકીય ચાકમાત્રા શૂન્ય હોય છે.
• આ પદાથોને બાહા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકતા, જે ઇલેક્ટ્રૉનૌની ચુંબકીય ચાકમાત્રા (મેગ્નેટિક મોમેન્ટ) તે જ દિશામાં હોય તે ધીમા પડે છે અને જેમની ચોકમાત્રા વિરુદ્ધ દિશામાં હોય તે ઝડપ પકડે છે.
• આમ, આ પદાર્થ આપેલ ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં પરિણામી ચુંબકીય ચોકમાત્રા ઉત્પન્ન કરે છે અને તેથી અષાકષષિ છે.
• બિસ્મથ, કોપર, લેડ (સીસું), સિલિકોન, નાઇટ્રોજન (STP એ) પાણી અને સોડિયમ ક્લોરાઇડ એ ડાયામૈગ્નેટિક પદાર્થો છે.
• બધાં જ દ્રવ્યોમાં ડાયામૅગ્નેટિઝમ હાજર હોય છે. પરંતુ, આ અસર ખૂબ જ નિર્બળ હોય છે.
• ડાયામૅગ્નેટિક પદાર્થની સસેપ્ટિબિલિટી નાની અને મણ હોય છે.

પ્રશ્ન 30.
ડાયામૅગ્નેટિઝમ તરીકે સુપર કંડક્ટર્સની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:

• સુપર કંડક્ટર્સ અલગ પ્રકારના જ વ્રયામૅગ્નેટિક પદાર્થો છે. તે ખૂબ જ નીચા તાપમાનોએ ઠંડી કરેલી ધાતુઓ છે.
• જે પૂર્ણતઃ (Perfact) વાહકતા અને પૂર્ણતઃ ડાયામૅગ્નેટિઝમ એમ બંને દશર્વિ છે.
• સુપર કંડકટસને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રાખતાં તેની ક્ષેત્રરેખાઓ દ્રવ્યમાંથી સંપૂર્ણ બહાર ધકેલાય છે. જેને મિઝનર અસર કહે છે, (માર્ચ – 2020)
• આ પદાર્થો માટે X =-1 અને µ₀ = 0 છે.
  [∵ μ_r =1 + χ)
• સુપર કંડક્ટર્સ યુબ કને અપાકર્ષે છે અને ચુંબક દ્વારા અપાકર્ષાય છે.
• ચુંબકત્વથી ઊંચકાઈને દોડતી અતિ ઝડપી (Superfast Trains) ટ્રેનમાં સુપર કંડક્ટર ઉપયોગી છે.

પ્રશ્ન 31.
પેરામેગ્નેટિઝમ અને પેરામેગ્નેટિક પદાર્થ સમજાવો.
ઉત્તર:

• પૈરાગ્નેટિક પદાર્થો એવા પદાર્થો છે કે જેને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકતાં નિર્બળ ચુંબકત્વ ધારણ કરે છે.
• તે નિર્બળ ચુંબકીય શેત્રથી પ્રબળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર તરફ ગતિ કરવાનું વલણ ધરાવે છે. એટલે કે તેઓ ચુંબક તરફ નિર્બળ આકર્ષણ અનુભવે છે.
• પેરામૅગ્નેટિક દ્રવ્યના પરમાણુઓ (કે આયનો કે અણુઓ) તેમની પોતાની કાયમી ચુંબકીય કિધુવી ચાકમાત્રા ધરાવે છે.
• આ પરમાણુઓની સતત તાપીય અનિયમિત ગતિના કારણે તેમાં પરિણામી મૅગ્નાઇઝેશન જોવા મળતું નથી.

• નીચા તાપમાને, પૂરતા પ્રબળ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}_0}\) ની હાજરીમાં, આ દરેક વ્યક્તિગત પરમાવીક ડાયપોલ મોમેન્ટને \(\overrightarrow{\mathrm{B}_0}\) ની દિશામાં ગોઠવાતી કરી શકાય છે, જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.
• બાહ્ય સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પેરામેગ્નેટિક પદાર્થને ગોઠવતાં ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ ચુંબકમાં સંકેન્દ્રિત (ભેગી) થવા માંડે છે. તેથી અંદરનું ક્ષેત્ર પ્રબળ થાય છે.
• આ પદાર્થની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વધારો 10⁵ માં એક ભાગ જેટલી હોય છે.
• આ પદાર્થના ટુકડાને અનિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકતા તે નિર્બળથી પ્રબળ ક્ષેત્ર તરફ ગતિ કરવા પ્રયત્ન કરે છે.
• ઍલ્યુમિનિયમ, સોડિયમ, કૅલ્શિયમ, ઑક્સિજન (STP) અને કૉપર ક્લોરાઇડ વગેરે કેટલાંક પૈરામૅગ્નેટિક પદાર્થો છે.

પ્રશ્ન 32.
ક્યુરીનો નિયમ સમજાવો.
ઉત્તર:
પ્રયોગો દ્વારા એવું જાણવા મળ્યું છે કે પેરામૈગ્નેટિક દ્રવ્યનું મેગ્નેટાઇઝેશન તેના નિરપેક્ષ તાપમાન (Absolute Temperature) T ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
પુરીનો નિયમ : પિયરી ક્યુરીએ અનુભવ્યું કે પરામૈગ્નેટિક પદાર્થનું મેગ્નેટાઇઝેશન M બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર B₀ ના સમપ્રમાણમાં અને નિરપેક્ષ તાપમાન T ના વ્યસ્ત પ્રમાલમાં હોય છે. (માર્ચ – 2020) .
∴ M = \(\mathrm{C} \frac{\mathrm{B}_0}{\mathrm{~T}}\) …………………… (1)
અને M = χH ………………………….. (2)
B₀ = µ₀nI [∵ nI = H]
∴ M = \(\frac{\mathrm{C} \mu_0 \mathrm{H}}{\mathrm{T}}\)
∴ \(\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{H}}=\frac{\mathrm{C} \mu_0}{\mathrm{~T}}\)
∴χ = \(\frac{\mathrm{C} \mu_0}{\mathrm{~T}}\) (સમીકરન્ન (2) પરથી)

આ સમીકરણ યૂરીનો નિયમ દર્શાવે છે, C ને ક્યુરીનો અચળાંક કહે છે.
પિરામૅગ્નેટિક દ્રવ્ય માટે X અને µ_r બંને દ્રવ્ય ઉપરાંત નિરપેક્ષ તાપમાન પર પણ આધાર રાખે છે,
જો ક્ષેત્ર (B₀) વધારવામાં આવે કે તાપમાન ઘયડવામાં આવે તો મૅગ્નેટાઇઝેશનનું સંતૃપ્ત મૂલ્ય M_s જેટલું પહોંચે ત્યાં સુધી વધતું જાય છે, કે જે બિંદુએ બધા જ ડાયપોલ બાહ્યક્ષેત્ર સાથે સંપૂર્ણ રીતે એક રેખસ્થ ગોઠવાઈ જાય છે. આનાથી આગળ ક્યુરીનો નિયમ લાગુ પડતો નથી.

પ્રશ્ન 33.
ફેરોમેગ્નેટિઝમ અને ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ સમજાવો.
ઉત્તર:
“જે પદાર્થોને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકતાં પ્રબળ ચુંબકત્વ ધારણ કરે અને નિર્બળ ક્ષેત્રથી પ્રબળ ક્ષેત્ર તરફ જવાનું પ્રબળ વલણ ધરાવે છે તેવા પદાર્થોને ફેરોમૅગ્નેટિક પદાર્થ કહે છે.”

એટલે કે તેઓ ચુંબક પ્રત્યે પ્રબળ આકર્ષણ અનુભવે છે ફેરોમૅગ્નેટિક દ્રવ્યમાં વ્યક્તિગત પરમાક્ષઓ (કે આયનો કે અલૂઓ) પેરામૈગ્નેટિક પદાર્થની જેમ ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવે છે. આમ છતાં, તેઓ એક બીજા સાથે એવી રીતે આંતરક્રિયા કરે છે. કે જેથી ડોમેઇન (પ્રભાવક્ષેત્ર-Domain)માં રહેલા ડાયપલ તત્કાલ એક રેખસ્થ ગોવાઈ જાય છે.

પૈરામૅગ્નેટિક પદાર્થમાં ડોમેઇન જોવા મળે છે. જેમાં પરમાણુઓ એવી રીતે ગોઠવાય છે જેથી તેમની ડાયપોલ મોમેન્ટ એક જ દિશામાં મળે, આમ, પ્રત્યેક ડોમેઈન એક ચોનું મેગ્નેટાઇઝેશન ધરાવે છે. પરંતુ, સમગ્ર પદાર્થનો વિચાર કરવામાં આવે, તો અલગ-અલગ ડોમેઇનની ડાયપોલ મોમેન્ટે અસ્ત-વ્યસ્ત હોવાથી પરિણામી મેગ્નેટાઇઝેશન શૂન્ય મળે છે. જે આકૃતિમાં દશર્વિલ છે.

લાક્ષબ્લિક ડોમેઇનનું પરિમાણ 1 mm હોય છે અને તેમાં લગભગ 10¹¹ પરમાળુઓ હોય છે.
શરૂઆતમાં, અલગ-અલગ ડોમેઇનનું મૅગ્નેટાઇઝેશન અસ્તવ્યસ્ત બદલાતું જાય છે. તેથી સમગ્ર જથ્થાને કોઈ મૅગ્નેટાઇઝેશન હોતું નથી જે આકૃતિ (a) માં દર્શાવ્યું છે,

જ્યારે બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}_0\) લગાડીએ ત્યારે બધા જ પરમાણુઓની ડાયપોલ મોમેન્ટ \(\overrightarrow{\mathrm{B}}_0\) ની દિશામાં ગોઠવાય છે. એક મોટી સાઇઝનો ડોમેઇન બને છે.

આકૃતિ (b) માં મેઇન એ કરે પ્રસ્થ અને મિશ્રિત થઈને એક વિરાટ ડોમેઇન બનાવે ત્યારની સ્થિતિ દશવિ છે.
ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થમાં ક્ષેત્રરેખાઓ ખૂબ જ ગીચ હોય છે.
આ પદાર્થને અનિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકતાં તે પ્રબળ ક્ષેત્રના વિસ્તાર તરફ જવા પ્રયત્ન કરે છે.
લોખંડ, કોબાલ્ટ, નિકલ, ગૅડોલિનિયમ Gd (Z = 64) અને ડિસ્મોસિયમ (Dy) Z = 66 ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો છે. જેમની સાપેક્ષ પરમિએબિલિટી > 1000 હોય છે.

પ્રશ્ન 34.
સખત ફેરોમેગ્નેટિક (Hard Ferromagnetic) અને નરમ ફેરોમેગ્નેટિક (Soft Ferromagnetic) પદાર્થ સમજાવો.
ઉત્તર:

• સખત ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ : જે ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ પરનું બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર દૂર કરવા છતાં પણ તેમાં મૅગ્નેટાઇઝેશન (ચુંબકત્વ) જળવાઈ રહે છે તેને સખત ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ કહે છે.
• ઐત્રિકો એક મિશ્ર ધાતુ છે, જે લોખંડ, ઍલ્યુમિનિયમ, નિકલ, કોબારું અને તાંબામાંથી બને છે તે ફેરોમેગ્નેટિક દ્રવ્ય છે.
• કુદરતમાંથી મળતો લોડસ્ટોન પણ ફેરોમેગ્નેટિક દ્રવ્ય છે, લોખંડ, કોબાલ્ટ, ગેડોલિનિયમની સાપેક્ષ પરમિએબિલિટી 1000 હોય છે.
• આવા પદાર્થો કાયમી ચુંબક બનાવવા માટે વપરાય છે, કાયમી ચુંબક કંપાસની સૌય બનાવવા માટે વપરાય છે.
• નરમ ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ : આ પ્રકારના ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ પરથી બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર દૂર કરતા તેમનું ચુંબકત્વ (મૅગ્નેટાઇઝશન) અદેશ્ય થાય છે. (નાશ પામે છે.) આવા પદાર્થોને નરમ ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો કહે છે. દા.ત. : નરમ લોખંડ
  નરમ ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થનો ઉપયોગ ઇલેક્ટ્રિક બેલ, કેઇનમાં થાય છે.

પ્રશ્ન 35.
ક્યુરી તાપમાન સમજાવો.
ઉત્તર:

• દ્રવ્યનો ફેરોમેગ્નેટિક ગુણધર્મ તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
• ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થનું તાપમાન વધારતાં તેના પરમાણુની ડાયપોલ મોમેન્ટ અસ્ત-વ્યસ્ત થાય છે અને ડોમેઇન નાશ પામે છે.
• તેથી એટલે કે ધન રસ્ફટિક પિગળ છે. ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ પરામેનેટિક પદાર્થમાં રૂપાંતર પામે છે.
• જે તાપમાને ફેરોમૅગ્નેટિક પદાર્થ પેરામૅગ્નેટિક પદાર્થમાં રૂપાંતરિત થાય છે તે તાપમાનને ક્યુરી તાપમાન (T_c) કહે છે.
• ક્યુરી તાપમાનથી ઉપરના તાપમાને, એટલે કે પેરામેગ્નેટિક અવસ્થામાં સસેપ્ટિબિલિટી આ મુજબ દર્શાવાય છે.
  χ = \(\frac{C}{T-T_c}\) (T > T_c)

કોષ્ટક 5.4 : કેટલાક ફેરોમેગ્નેટિક દ્રવ્યોનું ક્યુરી તાપમાન T_c

પ્રશ્ન 36.
ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો માટે મેગ્નેટિક હિસ્ટરીસિસ લૂપ\(\overrightarrow{\mathbf{B}} \rightarrow \overrightarrow{\mathrm{H}} \) નો આલેખ દોરીને સમજાવો.
ઉત્તર:

• ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ માટે \(\overrightarrow{\mathbf{B}} \rightarrow \overrightarrow{\mathrm{H}} \) વચ્ચેનો સંબંધ જટિલ છે. તે ઘણીવાર રેખીય નથી હોતો. તે ફક્ત ફેરોમૅગ્નેટિક પદાર્થ પહેલાં કેવું અને કેટલું ચુંબકત્વ ધરાવે છે તેના પર આધાર રાખે છે.

• આકૃતિમાં પેરામૅગ્નેટિક પદાર્થના મૅગ્નેટાઇઝેશન કરવાના એક ચક્ર દરમિયાન તેની વર્તણૂક દર્શાવી છે.
• ધારો કે, શરૂઆતમાં આ દ્રવ્ય મૅગ્નેટાઇડ નથી. આ દ્રવ્યને સોલેનોઇડમાં મૂકીએ અને સોલેનોઇડમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વધારીએ તો આ દ્રવ્યમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર B વધવા લાગશે અને વર્ક Oa માં દર્શાવ્યા મુજબ સંતૃપ્ત થશે.
• આ તબક્કા દરમિયાન મેઇન એક રેખી થતા જાય છે અને મહત્તમ મૅગ્નેટાઇઝેશન થાય ત્યાં સુધી એકબીજામાં ભળતા જાય છે. ત્યારબાદ વિદ્યુતપ્રવાહ I (અને તેથી H = µ₀n) વધારવા છતાં પણ B વધતું નથી.
• હવે H ઘટાડી અને શૂન્ય સુધી લઈ જઈએ, H = 0 પાસે B ≠ 0 મળે છે જે વક્ર ab વડે દર્શાવ્યું છે.
• H = 0 પાસે B ના મૂલ્યને રિટૅન્ટિવિટી (Retentivity કે Remanence) કહે છે. આકૃતિમાં B_R~ 1.2T જયાં R રિટેન્ટિવિટી દેશવિ છે.
• બાહ્ય ચાલક ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાં છતાં ડોમેઇન્સ સંપૂર્ણપણે અસ્ત-વ્યસ્ત થઈ જતા નથી.
• ત્યારબાદ, સોલેનોઇડમાં વિદ્યુતપ્રવાહની દિશા ઊલટાવવામાં આવે છે અને પ્રવાહ ધીમે ધીમે વધારવામાં આવે છે. જયાં સુધી અંદરનું પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય ન થાય ત્યાં સુધી કેટલાક ડોમેઇન ઊલટાઈ જાય છે. આ હકીક્ત વક્ર bc વડે દશર્વિલ છે. c પાસે H નું આ મૂલ્ય કોઅસિવિટી (Coercivity) કહેવાય છે.
  આકૃતિમાં HC ~ 90 A/m છે.
• ઊલયવેલા વિદ્યુતપ્રવાહનું મૂલ્ય વધતું જય ત્યારે ફરીથી સંતૃપ્ત સ્થિતિ આવે છે. આ સ્થિતિ વક્ર cd વડે દેશવિલ છે. સંતૃપ્ત ચુંબકીય ક્ષેત્ર B_s ~ 1.5T છે, ત્યારબાદ, વિદ્યુતપ્રવાહ ઘટાડવામાં આવે છે (વક્ર de) અને ત્યારબાદ ઊલટાવવામાં આવે છે (વિક્ર ea) આ ચક્ર ફરીથી પુનરાવર્તન પામે છે.
• અહીં H ઘયડીએ તો પણ વક્ર 0a માર્ગે પુનરાવર્તન થતો નથી, H ના કોઈ એક મૂલ્ય માટે B નું અનન્ય મૂલ્ય મળતું નથી, પરંતુ, તે પદાર્થનું મૅગ્નેટાઇઝેશન કર્યા અગાઉના B ના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે. આ ઘટના હિસ્ટરીસિસ કહેવાય છે.
  હિસ્ટરીસિસ શબ્દનો અર્થ પાછળ પડવું ઇતિહાસ નહીં) તેમ થાય છે.

પ્રશ્ન 37.
કાયમી ચુંબક એટલે શું ? તેને બનાવવાની રીતો જણાવો.
ઉત્તર:

• જે દ્રવ્યો ઓરડાના તાપમાને લાંબા સમયગાળા સુધી ફેરોમૅગ્નેટિક ગુણધર્મ જાળવી રાખતા હોય તેમને કાયમી ચુંબકો કહે છે.
• કોઈ આયર્ન (લોખંડ)ના સળિયાને ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં રાખીને વારંવાર ટીપે (ઠપકારે) તો કાયમી ચુંબક બને છે. (આ પદ્ધતિ આકૃતિમાં દર્શાવી છે.)

• જે કોઈ લોખંડના ટુકડાને પકડી રાખવામાં આવે અને તેના એક છેડા પર ગજિયા ચુંબકને ઘણી વખત એક જ દિશામાં ઘસવામાં આવે તો તે કાયમી ચુંબક બને છે.
• કાયમી ચુંબક બનાવવાનો એક ઉત્તમ ઉપાય એ છે કે ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થના સળિયાને સોંલેનોઇડમાં મૂકીને વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર કરવો. સૌલેનોઇડનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સળિયાનું મૅગ્નેટાઇઝશન કરે છે.

પ્રશ્ન 38.
કાયમી ચુંબક બનાવવા માટે કેવા દ્રવ્યો વાપરવા જોઈએ ?
ઉત્તર:

• હિસ્ટરીસિસ વક્ર પરથી કાયમી ચુંબકો બનાવવા માટે યોગ્ય દ્રવ્યો શોધવામાં અનુકૂળતા થાય છે.
• કાયમી ચુંબક બનાવવા માટે વપરાતા દ્રવ્યોની રિટેક્ટિવિટી વધુ (ઊંચી) હોવી જોઈએ, કે જેથી પ્રબળ ચુંબક બને.
• આ દ્રવ્યોની કોઅર્ટિવિટી વધુ હોવી જોઈએ કે જેથી બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રોના ફેરફારો, તાપમાનના ફેરફારો કે નાના યાંત્રિક ભંગાણના કારણે તેનું મેગ્નેટાઇઝેશન નાશ ન પામે.
• આ માટે સ્ટીલ યોગ્ય દ્રવ્ય છે, નરમ લોખંડની સરખામણીમાં તેની રિટેન્ટિવિટી થોડીક જ ઓછી છે. પરંતુ તે નરમ લોખંડની ખૂબ નાની કોઅસિવિટીની સરખામણીમાં ખૂબ મોટી કોઅસિવિટી ધરાવે છે.
• કાયમી ચુંબકો બનાવવા માટે બીજા યોગ્ય દ્રવ્યો અહ્નિકો (Alnico), કોબાલ્ટ સ્ટીલ અને ટિકોનાલ (Ticonal) છે.

પ્રશ્ન 39.
વિદ્યુત ચુંબકો વિષે માહિતી આપો.
ઉત્તર:

• જે ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થમાંથી વિધુતપ્રવાહ પસાર થાય ત્યાં સુધી જ ચુંબકત્વનો ગુણધર્મ ધરાવે છે. તે વિદ્યુત ચુંબક તરીકે ઓળખાય છે.
• વિદ્યુત ચુંબકના ગર્ભ (કોરો ફેરોમૅગ્નેટિક દ્રવ્યોના બનેલાં હોય છે.
• આ દ્રવ્યોની પરમિએબિલિટી વધુ અને રિટેન્ટિવિટી ઓછી હોય છે. તેથી વિદ્યુત ચુંબક માટે નરમ લોખંડ યોગ્ય દ્રવ્ય છે.
• સોલેનોઇડમાં નરમ લોખંડનો સળિયો મૂકી સૉલેનોઇડમાંથી પ્રવાહ પસાર કરીને સોલેનોઇડનું ચુંબકત્વ હજાર ગણું વધારી શકાય છે.
• સૉલેનોઇડમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ બંધ કરતા તેનું ચુંબકત્વ પણ શૂન્ય થઈ જાય છે. કારણ કે, નરમ લોખંડની રિટેક્ટિવિટી ઓછી હોય છે,

• ટ્રાન્સફૉર્મર અને ટેલિફોનના ડાયાફ્રામમાં વપરાતા વિધુત ચુંબકોમાં દ્રવ્યમાં લાંબા સમય સુધી ચુંબકત્વના ac ચક્રમાંથી પસાર થાય છે. આ માટે આ દ્રવ્યોના હિસ્ટરીસિસ વક્ર સાંકડા હોવા જોઈએ, જેથી ઊર્જાનો વ્યય અને તાપમાનનો વધારો ઓછો થાય છે.
• વિદ્યુત ચુંબકત્વના દ્રવ્યોની અવરોધક્તા (Resistivity) વધુ હોવી જોઈએ જેથી ઘૂમરી પ્રવાહ (Eddy Current) ને લીધે વ્યય ઓછો થાય છે. (ઘૂમરી પ્રવાહ પ્રકરણ 6 માં ભણશો)
• વિધુત ચુંબકોનો ઉપયોગ : વિદ્યુત બેલમાં, લાઉડસ્પિકરમાં અને ટેલિફોન ડાયાફ્રામમાં વપરાય છે.
• મોટા ઇલેક્ટ્રોમૅગ્નેટ, ક્રેઇનમાં મોય યંત્રો તથા મોય જથ્થામાં લોખંડ અને સ્ટીલ (ભાર) ઊંચકવા માટે વપરાય છે.

દર્પણના પરીક્ષાલક્ષી દાખલા

પ્રશ્ન 1.
નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકેલી ચુંબકીય સોયની ડાયપોલમોમેન્ટ 6.7 x 10^-2Am² અને જડત્વની ચાકમામા 15x 10^-6 kg mગે છે. તે 6.70 8 માં 10 આંદોલન પૂરા કરે છે, તો ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય કેટલું હશે ?
ઉત્તર:
આઈ, ડાયપોલ મોમેન્ટ = 6.7 x 10^-2Am²
જડત્વની ચાકમાત્રા I = 15 x 10^-6 kgm²
આવર્તકાળ T = \( \frac{\text { सમય }}{\text { छોલनोनी સંખ્યા }}=\frac{6.7}{10}=\) = 0.67 s
નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રાખેલી ચુંબકીય સોયનો આવર્તકાળ,

પ્રશ્ન 2.
600 G જેટલા બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં એક નાનો ગજિયો ચુંબક રાખેલો છે, જ્યારે તેની અક્ષ, બાહા ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે 30 ખૂણો બનાવે, ત્યારે તે 0.012 Nm જેટલું યેક અનુભવે છે, (a) ચુંબકની ડાયપોલ-મોમેન્ટ કેટલી હશે ?
(b) તેને મહત્તમ સ્થાયી અવસ્થામાંથી મહત્તમ અસ્થાયી અવસ્થામાં લઈ જતાં કેટલું કાર્ય થયું હશે ?
(c) ગજિયા ચુંબકની જગ્યાએ તેટલી જ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતો સોલેનોઇડ રાખવામાં આવે છે, જેના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ 2x 10^-4 m² અને આંટાની સંખ્યા 1000 છે. સોલેનોઇડમાંથી પસાર થતાં વિધુતપ્રવાહનું મૂલ્ય શોધો. (ઓક્ટો. 2015)
ઉત્તર:
અહીં, B = 600 G = 600 × 10^-4 T = 6 x 10^-2T
θ = 30°
τ = 0.012 Nm
N = 1000
A = 2 × 10^-4 m²

(a) τ = mBsinθ
∴ m = \(\frac{\tau}{B \sin \theta}\)
= \(\frac{0.012}{6 \times 10^{-2} \times \sin 30^{\circ}}=\frac{0.2}{\frac{1}{2}}\) = 0.4 Am²

(b) મહત્તમ સ્થાયી અવસ્થા માટે θ₁ = 0° અને મહત્તમ અસ્થાયી અવસ્થા માટે છે, θ₂ = 180°

(c) સોલેનોઇડની ચુંબકીય ચોકમાત્રા,
m_s = NIA સહી, m_s = m = 0.4 Am²
I = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{NA}}=\frac{0.4}{1000 \times 2 \times 10^{-4}} \) = 2A.

પ્રશ્ન 3.
પૃથ્વીના ચુંબકીય વિષુવવૃત્ત પર કોઈ સ્થળે ચુંબકીય ક્ષેત્ર 0.4 G છે, પૃથ્વીની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ શોધો. આ સ્થળે પૃથ્વીની ત્રિજ્યા 6.4 x 10⁶ m ધારો.
(\(\frac{\mu_0}{4 \pi}\) = 10^-7 સને 1 G = 10^-4 T)
ઉત્તર:
ચુંબકના વિષુવરેખા પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર, B(y) = \(\frac{\mu_0 \mathrm{~m}}{4 \pi y^3}\) = 0.4G = 0.4 x 10^-4 T
0.4 x 10^-4 = \(\frac{10^{-7} \times \mathrm{m}}{\left(6.4 \times 10^6\right)^3}\)
∴ m = \(\frac{0.4 \times 10^{-4} \times\left(6.4 \times 10^6\right)^3}{10^{-7}}\)
∴ m = 1048.5 × 10²⁰Am²
∴ m ≈ 1.05 × 10²³ Am²

પ્રશ્ન 4.
એક ટૂંકા બાર મેનેટની ચુંબકીય ડાયપોલ-મોમેન્ટ 1.6 Am² છે. તેને મેગ્નેટિક મેરિડિયનમાં એવી રીતે મૂક્યો છે કે જેથી તેનો ઉત્તર ધ્રુવ ઉત્તર દિશામાં રહે. આ સ્થિતિમાં તટસ્થબિંદુ મેગ્નેટના કેન્દ્રથી 20 cm ના અંતરે મળે છે, તો પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક શોધો. હવે જે મેગ્નેટને તેનો ઉત્તર ધ્રુવ દક્ષિણ દિશામાં રહે તેમ મૂકીએ તો તટસ્થબિંદુ ક્યાં મળશે ?
ઉત્તર:
આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે મેગ્નેટની વિષવરેખા પર પૃથ્વીના સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્રની ક્ષેત્રરેખા અને ચુંબકની ક્ષેત્રરેખા એકબીજાની વિરુદ્ધ છે. આથી, આ કિસ્સામાં ચુંબકની વિષવરેખા પર બે બિંદુઓ, ઉપર અને નીચે સમાન અંતરે, એવી રીતે મળી કે જેથી ઉપર્યુક્ત ક્ષેત્રો સમાન મૂલ્યનાં અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય. આવા બિંદુઓ પાસે પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય બને. આવા બિંદુઓને તટસ્થબિંદુઓ (null-points) કહે છે.

સહી, m = 1.6 Am²
તટસ્થ બિંદુનું ચુંબકના કેન્દ્રથી અંતર, ધારો કે d₁ છે.
d₁ = 20 cm = 0.2 cm

હવે, વિધુવરેખા પર d₁ અંતરે નાના ગજિયા ચુંબક વડે મળતું ક્ષેત્ર,
B₁ = \( \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{\mathrm{m}}{d_1^3}\) = H_E થવું જોઈએ.
∴ B_H = \(\frac{4 \pi \times 10^{-7}}{4 \pi} \frac{1.6}{(0.2)^3}\) = 2 × 10^-5 T

હવે, જો ચુંબકને (b) માં દર્શાવેલ સ્થિતિમાં મૂકવામાં આવે તો, આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે ચુંબકની અક્ષ પર B_H અને ચુંબકનાં ક્ષેત્રો પરસ્પર વિરુધ્ધ છે. તેથી હવે, તટસ્થબિંદુઓ અક્ષ ૫ર મળશે.

ધારો કે ચુંબકના કેન્દ્રથી તટસ્થબિંદુઓનું અંતર d₂ છે.
∴ B₂ = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{2 \mathrm{~m}}{d_2^3}\) = H_E
∴ d₂³ = \(\frac{10^{-7} \cdot 2 \mathrm{~m}}{\mathrm{H}_{\mathrm{E}}}\)
= \(\frac{10^{-7} \times 2 \times 1.6}{2 \times 10^{-5}}\)
= 16 × 10^-3
∴ d₂ = 2.52 × 10^-1 m
= 25.2 cm

પ્રશ્ન 5.
એક ચુંબકને એક સ્થળે વળ વગરના તાથી મેગ્નેટિક મેરિડિયનમાં સમક્ષિતિજ લટકાવ્યું છે. હવે, આધાર તારના ઉપરના છેડેથી 180° નો વળ ચઢાવવામાં આવે છે. આથી, ચુંબનું 30 જેટલું આવર્તન થાય છે. હવે, ચા ચુંબકના બદલે બીજું ચુંબક લઈ તારના ઉપરના છેડે 270° નો વળ ચઢાવતાં તેનું પણ 30 જેટલું આવર્તન થતું હોય, તો આ બંને ચુંબકોની ડાયપોલ-મોમેન્ટ સરખાવો.
ઉત્તર:
જો તારમાં ચઢતો (પરિક્ષામી) વળ δ હોય તો,
δ₁ = 180° – 30° = 150° = 150 x \(\frac{\pi}{180}\) rad અને
64 = 270° – 30° = 240″ = 240 x \(\frac{\pi}{180}\) rad

જો તારનો બળ-અચળાં k હોય તો, પુનઃસ્થાપક ટૉર્ક τ₁ = kδ₁ અને τ₂ = kδ₂
∴ \(\frac{\tau_1}{\tau_2}=\frac{\delta_1}{\delta_2}\) ………………………….. (1)
હવે, પ્રથમ ચુંબ ક જો મૈગ્નેટિક મેરિડિયન સાથે α કૌલ બનાવતું હોય, તો તેના પર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના કારણે લાગતું ટોર્ક
τ₁‘ = m₁B_H sinα બીજા ચુંબકનું આવર્તન પણ આટલું જ થતું હોવાથી,
τ₂‘ = m₂B_H sinα
∴ \(\frac{\tau_1^{\prime}}{\tau_2^{\prime}}=\frac{m_1}{m_2}\) ………………………….. (2)

સમતોલન સ્થિતિમાં, τ₁ = τ₁‘ અને τ₂, τ₂‘
\(\frac{\tau_1^{\prime}}{\tau_2^{\prime}}=\frac{\tau_1}{\tau_2}\)
∴ પરિણામ (1) અને (2) પરથી,
\(\frac{\mathrm{m}_1}{\mathrm{~m}_2}=\frac{\delta_1}{\delta_2}=\frac{150}{240}=\frac{5}{8}\)

પ્રશ્ન 6.
એક વળ વગરની દોરી વડે એક ચુંબકીય સોયને મૅનેટિક મેરિડિયનમાં ભ્રમણ કરી શકે તેમ લટકાવવામાં આવી છે. તે સમક્ષિતિજ હી શકે તે માટે તેના એક છેડા પર 0.1 g વજન મૂવું પડે છે. જો આ સોયનું ચુંબકીય ઘુવમાના 10 Am હોય, તો આ સ્થળ પૃથ્વીનાં ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ઊર્ધ્વ ઘટક શોધો. (g=9.8 ms^-2)
ઉત્તર:
આકૃતિ (a)માં જ્યારે કોઈ વજન મૂકેલ નથી તે વખતની ચુંબકીય સોયની મૅગ્નેટિક મેરિડિયનમાં સ્થિતિ દર્શાવી છે.
આકૃતિ (b)માં સૌયના s મુવ પર m જેટલું દળ મૂકેલ છે.

સોય સમક્ષિતિજ રહે તે માટે આકૃતિ (b) માં દર્શાવેલ બધાં બળોના ટૉર્કનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ.
∴-pB_V(l) – pB_V+m.g(l) = 0
[અત્રે સમાધડી દિશામાં બ્રમણ આપતા ટૉર્કને ઋણ ગણેલ છે.]
m = 0.lg = 10^-4 kg, p = 10 Am
2pB_V = mg
∴ B_V = \(\frac{\mathrm{mg}}{2 p}=\frac{10^{-4} \times 9.8}{2 \times 10}\) = 4.9 ×10^-5 T

પ્રશ્ન 7.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે મેગ્નેટિક મેરિડિયન સાથે સમતલ PSTU એ g કૌણ બનાવે છે અને સમતલ PsVW (90° – α) કોણ બનાવે છે. α કોણ બનાવતા PSTU મેનેટિક ડીપ એંગલનું મૂલ્ય માપતા તે Φ₁ છે, અને સમતલ PSVW માં તેનું મૂલ્ય Φ₁ છે. જો આ સ્થળે સાયો ડીપ એગલ છું હોય, તો સાબિત કરો કૅ, cot²Φ = cot²Φ₁ +cot²Φ₂.

ઉત્તર:
tan Φ = \(\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{V}}}{\mathrm{B}_{\mathrm{H}}}\) ………………………. (1)
હવે સમતલ PSTU માં સમક્ષિતિજ ધટક B_H cos α બને છે.
∴ tan Φ₁ = \(\frac{B_V}{B_H \cos \alpha}\)
⇒ cos α = \(\frac{\tan \phi}{\tan \phi_1}\) = tan Φ .cotΦ₁
(સમીકરણ (1) પરથી) …………………………… (2)
તેવી જ રીતે સમતલ PSVW માટે
sin α = tan Φ .cotΦ₂ ………………………………… (3)

સમીકરન્ન(2) અને (3) નો વર્ગ કરી સરવાળો કરતાં,
cos²α +sin²α = 1 = tan²Φ (cot²Φ₁+cot²Φ₂)
∴ \(\frac{1}{\tan ^2 \theta}\) = cot²Φ₁+cot²Φ₂
∴cot²Φ = cot²Φ₁+cot²Φ₂

પ્રશ્ન 8.
વિધુતપ્રવાહનું વહન કરતા એક ટોરોઇડના વાઇડિંગ વચ્ચેનો અવકાશ 6.8 x 10^-5 સસેટિબિલિટીવાળા ટંગસ્ટન વડે ભરેલો છે, તો પદાર્થમાંનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ટંગસ્ટનની ગેરહાજરીમાં જે ચુંબકીય ક્ષેત્ર હોય તેના કરતાં કેટલા ટકા વધ્યું હશે ? (ઓક્ટો. 2015)
ઉત્તર:
ટંગસ્ટનની ગેરહાજરીમાં પ્રવાહધારિત ટૉરોઇડમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર, B₀ = μ₀H
આ પ્રવાહધારિત ટૉરોઇડમાં ટંગસ્ટન ભર્યા બાદ ચુંબકીય ક્ષેત્ર, B = μH
∴ \(\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{B}_0}=\frac{\mu}{\mu_0}\)
∴ \(\frac{\mathrm{B}-\mathrm{B}_0}{\mathrm{~B}_0}=\frac{\mu-\mu_0}{\mu_0}\) ] (વિયોગ કરતાં) ………………. (1)

પણ μ = μ₀(1+χ_m)
∴ \(\frac{\mu}{\mu_0}\) = 1+χ_m
∴ \(\frac{\mu}{\mu_0}\) – 1 = χ_m
∴ \(\frac{\mu-\mu_0}{\mu_0}\) = χ_m
∴ પરિક્ષામ (1) પરથી,
\(\frac{\mathrm{B}-\mathrm{B}_0}{\mathrm{~B}_0}\) = χ_m
∴ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રતિશત વધારો,
\(\frac{\mathrm{B}-\mathrm{B}_0}{\mathrm{~B}_0}\) × 100 = 6.8 ×10^-5 ×100
= 6.8 × 10^-3%

પ્રશ્ન 9.
બે નાના સમાન ગજિયા ચુંબકોની મેગ્નેટિક ડાયપોલમોમેન્ટ 1.0 Am² છે. તેમને એક સમતલમાં એ રીતે મૂકવામાં આવે છે કે જેથી તેમની સાક્ષ ચોકબીજાને લંબરૂપે રહે. એક ચુંબકની અક્ષમાંથી પસાર થતી આ રેખા બીજા ચુંબકના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. જો બંને ચુંબકોનાં કેન્દ્ર વરચેનું અંતર 2 m હોય, તો તેમનાં કેન્દ્રોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શોધો.
ઉત્તર:
m = 1 Am², d₁ = d₂ = 1m, μ₀ = 4π x 10^-7 TmA^-1
B = (?).

ગજિભા ચુંબકના અક્ષ પર d₁, અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
B₁ = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{2 \mathrm{~m}}{d_1^3}\)
= \(\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2 \times 1}{4 \pi \times(1)^3}\)
= 2 x 10^-7 ટેસ્લા

ગજિયા ચુંબકના વિષુવવૃત્ત પરના d₂, અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
B₂ = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{m}{d_2^3}\)
= \(\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1}{4 \pi \times(1)^3}\) = 10^-7ટેસ્લા

બંને શું બકોનાં કેન્દ્રોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુ R પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
B = \(\sqrt{\mathrm{B}_1^2+\mathrm{B}_2^2}\)
= \(\sqrt{\left(2 \times 10^{-7}\right)^2+\left(10^{-7}\right)^2}\)
∴ B = \(\sqrt{5} \) x 10^-7 ટસ્લા

પ્રશ્ન 10.
100 Am ઘુવમાનવાળો એક ચુંબકીય ધ્રુવ એક ગજિયા ચુંબકથી 20 cm દૂર રહેલો છે. ગજિયો ચુંબક 200 Am ધ્રુવમાન ધરાવે છે અને તેની લંબાઈ 5 cm છે. જો આ ચુંબકીય ધ્રુવ ગજિયા ચુંબકની સાક્ષ પર હોત, તો ચુંબકીય ધ્રુવ પર લાગતું બળ શોધો.
ઉત્તર:
સહી, p = 200 Am
z = 20 cm = 0.2 m
2l = 5 cm = 0.05 m
p₁ = 100 Am
F = ?
ગજિયા ચુંબકની ચોકમાત્રા m = 2pl = p(2l)
= 200 x 0.05
= 10 Am²

ગજિયા ચુંબકના ધ્રુવ પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
B = \(\frac{2 \mathrm{~m}}{z^3}\) × 10^-7
= \(\frac{2 \times 10 \times 10^{-7}}{(0.2)^3}\)
∴ B = 2.5 × 10^-4 T

હવે, p₁ = 100 Am ધ્રુવમાનવાળા ધ્રુવ પર લાગતું બળ,
F = p₁B
= 100 × 2.5 × 10^-4 T
∴ F = 2.5 × 10^-2 N

પ્રશ્ન 11.
m જેટલી ચુંબકીય ડાયપોલ-મોમેન્ટ ધરાવતા એક ચુંબકને મૅનેટિક મેરિડિયનમાંથી 90° નું ભ્રમણ આપતાં થતું કાર્ય, તેને 60° નું ભ્રમણ આપતા થતા કાર્ય કરતાં n ગણું છે. n નું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તર:
ધારો કે m જેટલી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટને ચુંબકીય મુવતલમાંથી θ₁ = 90° નું ભ્રમણ આપતાં થતું કાર્ય W₁, હોય તો, W₁ = mB(1 – cosθ₁) = mB (1 – cos 90°) = mB અને θ₂= 60° નું ભ્રમણ આપતાં થતું કાર્ય W₂હોય તો,
W₂ = mB \(\left(\frac{1}{2}\right)\) = mB
પણ શરત મુજબ W₁ = nW₂
mB = n\(\left(\frac{\mathrm{mB}}{2}\right)\)
∴ n = 2

પ્રશ્ન 12.
મેગ્નેટિક મેરિડિયન સાથે 30° નો કોણ બનાવતા સમતલમાં લટકાવેલ મેઝેટ સમક્ષિતિજ સાથે 45° નો કોણ બનાવે છે, તો આ જગ્યાએ એંગલ ઑફ ડીપનું સાચું મૂલ્ય શોધો.

ઉત્તર:
ધારો કે આપેલ સ્થળે એંગલ ઓફ ડીપ (નતિકોણ)નું સાચું મૂલ્ય Φ છે,
∴ tan Φ = \(\frac{Z_E}{\mathrm{H}_{\mathrm{E}}} \) ………………………………….. (1)
મૅગ્નેટિક મેરિડિયન સાથે 30° નો કોણ બનાવતા સમતલમાં લટકાવેલ ચુંબક સમક્ષિતિજ સાથે 45° નો કોન્ન બનાવે છે. તે સ્થળે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક H_E cos 30° થશે અને ઊર્ધ્વપટક Z_E જ રહેશે.
∴tan 45° = \(\frac{Z_E}{H_E \cos 30^{\circ}}\) ……………………………… (2)

સમી. (1) અને (2) નો ગુણોત્તર લેતાં,
∴ \(\frac{\tan \phi}{\tan 45^{\circ}}=\frac{\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{E}}}{\mathrm{H}_{\mathrm{E}}}}{\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{E}}}{\mathrm{H}_{\mathrm{E}} \cos 30^{\circ}}}\)
∴ \(\frac{\tan \phi}{1}\) = cos30°
∴ tan Φ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
∴ tan Φ = \(\frac{1.732}{2}\)
∴ Φ = tan^-1(0.866)

પ્રશ્ન 13.
એક અણુમાં ન્યુકિલાસની આસપાસ 5.3x 10^-11m બિજ્યાની કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ 2x 10⁶ ms^-1 છે. આ ઇલેકટ્રોનની કક્ષીય મેગ્નેટિક મોમેન્ટ અને કોણીય વેગમાન શોધો. ઇલૅક્ટ્રોનનો વિધુતભાર = 1.6x 10^-19C, ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ = 9.1 x 10^-31 kg લો.
ઉત્તર:
v આવૃત્તિથી વર્તુળાકાર માર્ગે ભ્રમણ કરતાં ઇલેક્ટ્રૉન દ્વારા રચાતો પ્રવાહ, I= ve
પણ v = \(\frac{\omega}{2 \pi}\)
∴ I = \( \frac{\omega e}{2 \pi}\)
પણ ω = \(\frac{v}{r} \) છે.
∴I = \(\frac{v e}{2 \pi r}\) ………………………….. (1)

હવે ચુંબકીય મોમેન્ટ, m = IA
= \(\frac{v e}{2 \pi r} \times \pi r^2\)
= \(\frac{1}{2}\) ver
= \(\frac{1}{2}\) x 2 x 10⁶ x 1.6 x 10^-19 x 5.3 x 10^-11
= 8.48 x 10^-24 Am²

અને કોણીય વેગમાન L = pr = m_evr (જયાં વેગમાન p= mv)
L = 9.1 x 10^-31 x 2 x 10⁶ x 5.3 × 10^-11
= 96.46 x 10^-36,
∴ L = 9.65 x 10^-35 Nms

વિશેષ માહિતી: Higher Order Thinking Skills (HOTS) –

ગજિયા ચુંબકને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ભ્રમણ કરાવતાં થતું કાર્ય,

(1) ગજિયો ચુંબક, સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) સાથે θ ખૂણો રચે છે. તેના પર લાગતું વૈર્ક
τ = mBsinθ
(2) ચુંબકને de જેટલું ભ્રમન્ન કરાવવા માટે થતું કાર્ય,
dW = τdθ
∴ dW = mBsinθ dθ

ચુંબકને θ1, થી θ2, બ્રમન્ન કરાવવા માટે થતું કુલ કાર્ય,
W = mB∫ θ2θ1 sinθdθ
W = mB [-cosθ] θ2θ1
∴ W = mB[cosθ1 – cosθ2 ]

મૅનેટિક ડીપની વ્યાખ્યા આપો. મૅગ્નેટિક વિષુવવૃત્ત પર ડીપ ગલ કેટલો હોય છે ? જો આપણે ચુંબકીય ધ્રુવથી મેગ્નેટિક વિષુવવૃત્ત તરફ જઈએ, તો ડીપ ઍન્ગલ કેવી રીતે બદલાય છે ?
પૃથ્વીની સપાટી પરના આપેલા સ્થળે મેગ્નેટિક મેરિડિયનમાં પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રે, સમક્ષિતિજ દિશા સાથે (ઉપર અથવા નીચે તરફ) બનાવેલા કૌલને આપેલ સ્થળની મૅગ્નેટિક ડીપ ઍન્ગલ (Φ) કહે છે.

પૃથ્વીની સપાટી પર દરેક જગ્યાએ ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ સમક્ષિતિજ હોતી નથી.
કેનેડા પાસેના કોઈ સ્થળે ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ લંબરૂપે નીચે તરફ, જ્યારે વિષુવવૃત્ત પરના કોઈ સ્થળે ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ સમક્ષિતિજ હોય છે.
આમ, ચુંબકીય વિષુવવૃત્ત પર ડીપ એન્ગલ શૂન્ય હોય છે અને ચુંબકીય ધ્રુવ પર ડીપ ઍન્ગલ 90° હોય છે.
ચુંબકીય ક્વથી ચુંબકીય વિષુવવૃત્ત તરફ જતાં ડીપ એન્ગલ ઘટતો જાય છે.

ધ્રુવો પર મારી કંપાસ (હોકાયંત્રની) સોય શું દર્શાવશે ? (What Happens To My Compass Needles At The Poles ?)
કપાસ (હોકાયંત્રન) સૌય એક ચુંબકીય સૌયની બનેલી હોય છે જે એક અક્ષીય બિંદુ પર લિકિત કરેલ છે. જયારે કંપાસ (હોકાયંત્ર)ને સમક્ષિતિજ રાખેલ હોય ત્યારે તે એ સ્થાન પાસે પૃથ્વીના સમક્ષિતિજ ઘટકની દિશામાં ગોઠવાય છે. આમ, કંપાસ સોય તે સ્થાને ચુંબકીય ધ્રુવતલમાં રહેશે. પૃથ્વી પર ઘણી જગ્યાએ ચુંબકીય ખનીજો પુષ્કળ પ્રમાણમાં હોય છે, જે કંપાસ (હોકાયંત્રની) સોયને ચુંબકીય ક્ષુવતલમાંથી વિચલિત કરે છે. ચુંબકીય કૅક્લિનેશન જાણતા હોઈએ તો આપણને કંપાસ (હોકાયંત્રની) સોય વડે દર્શાવેલી ત્રુટી સુધારીને સાચી ઉત્તર દિશા મળી શકે છે.

તો આપણે આ કંપાસને ચુંબકીય કવ પર લઈ જઈએ તો શું થશે ? ધ્રુવો પર, ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ લંબરૂપે ભેગી થતી કે વિખેરાતી હોય છે, આથી ચુંબકીય ક્ષેત્રનો) સમક્ષિતિજ ઘટક નહીંવત હોય છે. જો આ સમય ફક્ત સમક્ષિતિજ સમતલમાં ફરી શકે તેમ હોય, તો તે કોઈ પણ દિશા દર્શાવી શકે છે. જે દિશા-દર્શક તરીકે બિનઉપયોગી થઈ જાય. આ કિસ્સામાં નમન દર્શાવતી (ચુંબકીય) સોયનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ જે (ચુંબકીય સીય ધરાવતો એવો કંપાસ છે કે જેથી તે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધરાવતા ઉર્ધ્વ સમતલમાં ધૂમી શકે. આ કિસ્સામાં કંપાસની સોય ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ ઊર્ધ્વ સાથે બનાવેલો કોણ દર્શાવે છે. ચુંબકીય કુવો પર આ સોય સીધી નીચેની તરફની દિશા દર્શાવશે.

ક્યુરીનો અચળાંક C = \(\frac{\chi_{\mathrm{m}} \mathrm{T}}{\mu_0}\)
∴ C નો એકમ = \(\frac{\mathrm{T} \text { નો એકમ }}{\mu_0 \text { નો એકમ }}\) (∵ χ_mએકમરહિત છે)
= \(\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{NA}^{-2}}\)
= \(\frac{\mathrm{KA}^2}{\mathrm{~N}}\)
∴ C નો એકમ = KA²N^-1

ભારતના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો નકશો બનાવવો (Mapping India’s Magnetic Field)
ધરતીમાં ખનીજની ખાણની શોધખોળ માટે, દૂરસંચાર (સંદેશાવ્યવહાર) અને વહાણના દિશા સૂચનમાં ઉપયોગી હોવાથી મોટાભાગના દેશો દ્વારા પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો નકશો બનાવવાનું કામ ભૌગોલિક નકશાના કામ જેટલી ચોકસાઈથી કરવામાં આવે છે. દક્ષિણમાં ત્રિવેન્દ્રમ (અત્યારનું તિરુવનન્તપુરમું)થી શરૂ કરીને ઉત્તરમાં ગુલમર્ગ સુધી લગભગ ડઝન જેટલી વેધશાળાઓ કાર્યરત છે, આ વેધશાળાઓ (Observatories) કોલાબા, મુંબઈમાં આવેલા ઇન્ડિયન ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ જિૉમેગ્નેટિઝમ (IIG) નાં તાબા હેઠળ કામ કરે છે, IIG એ કોલાબા અને અલીબાગ વેધશાળાઓમાંથી વિકસી હતી અને 1971 માં વિધિવત્ થપાઈ હતી. જમીન પર, સમુદ્રમાં અને અવકાશમાં “ચુંબકીય ક્ષેત્રો અને તેમના ફેરફારોની સતત દેખરેખ રાખવાનું કાર્ય HIG (દેશભરમાં ફેલાયેલી વેધશાળાઓ મારફતે) કરે છે. ઑઇલ ઍન્ડ નેચરલ ગેસ કૉર્પોરેશન (ONGC), નેશનલ ઇન્સ્ટિટયૂટ ઓફ ઓસનોલૉજી (NIO) અને ઇન્ડિયન સ્પેસ રિસર્ચ ઓર્ગેનાઇઝેશન (ISRO) ને તે સેવા પૂરી પાડે છે. તે વૈશ્વિક નેટવર્કનો એક ભાગ છે જે સતત “ચુંબકીય માહિતી સાથે અઘતન (Update) રહે છે. હવે ભારત પાસે એક કાયમી સ્થળ ગંગોત્રી છે.