GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 2 એકમ અને માપન

Gujarat Board GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 2 એકમ અને માપન Important Questions and Answers.

GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 2 એકમ અને માપન

પ્રશ્નોત્તર
પ્રશ્ન 1.
એકમ એટલે શું? એકમપદ્ધતિ એટલે શું?
ઉત્તર:
કોઈ પણ ભૌતિક રાશિના માપનની એક નિશ્ચિત, આધારભૂત, યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ આંતરરાષ્ટ્રીય માન્યતાપ્રાપ્ત પ્રમાણભૂત માપ સાથે સરખામણી કરવામાં આવે છે. ભૌતિક રાશિના આ પ્રમાણિત માપને એકમ (Unit) કહે છે.

• મૂળભૂત ભૌતિક રાશિના એકમોને મૂળભૂત એકમો અથવા પાયાના એકમો કહે છે. દા. ત., દળ, લંબાઈ અને સમય મૂળભૂત
• રાશિઓ છે અને તેમના એકમો અનુક્રમે કિલોગ્રામ (kg), મીટર (m) અને સેકન્ડ (s) એ મૂળભૂત એકમો છે.
  મૂળભૂત રાશિઓ પરથી મેળવેલ બાકીની ભૌતિક રાશિઓને સાધિત ભૌતિક રાશિઓ કહે છે અને તેમના એકમોને સાધિત એકમો કહે છે. દા. ત., વેગ એ લંબાઈ અને સમય એ બે મૂળભૂત ભૌતિક રાશિઓ પરથી મેળવેલ સાધિત ભૌતિક રાશિ છે. તેનો એકમ metre/second એ સાધિત એકમ છે.
• મૂળભૂત એકમો અને સાધિત એકમોના સમૂહને એકમપદ્ધતિ કહે છે. દા. ત., FPS, CGS, MKS અને SI એ જુદી જુદી એકમપદ્ધતિઓ છે.

પ્રશ્ન 2.
જુદી જુદી એકમપદ્ધતિઓનાં નામ આપો.
ઉત્તર:
મૂળભૂત ભૌતિક રાશિઓના એકમ નક્કી કરતી ચાર પદ્ધતિઓ નીચે મુજબ છે :

1. FPS એકમપદ્ધતિ (ફૂટ, પાઉન્ડ, સેકન્ડ પદ્ધતિ)
2. CGS એકમપદ્ધતિ (સેન્ટિમીટર, ગ્રામ, સેકન્ડ પદ્ધતિ)
3. MKS એકમપદ્ધતિ (મીટર, કિલોગ્રામ, સેકન્ડ પદ્ધતિ)
4. SI એકમપદ્ધતિ (આંતરરાષ્ટ્રીય એકમપદ્ધતિ અથવા સિસ્ટિમ ઇન્ટરનૅશનલ પદ્ધતિ)

પ્રશ્ન 3.
SI એકમપદ્ધતિની મૂળભૂત અને પૂરક ભૌતિક રાશિઓ કઈ કઈ છે? તેમના એકમો સંજ્ઞાઓ સહિત જણાવો.
ઉત્તર:
SI પદ્ધતિની મૂળભૂત ભૌતિક રાશિઓ, મૂળભૂત એકમો અને સંજ્ઞાઓ નીચે મુજબ છે :

ક્રમ	મૂળભૂત ભૌતિક રાશિ	એકમ	સંજ્ઞા
1.	લંબાઈ	મીટર	m
2.	દળ	કિલોગ્રામ	kg
3.	સમય	સેકન્ડ	S
4.	વિદ્યુતપ્રવાહ	ઍમ્પિયર	A
5.	થરમૉડાઇનેમિક તાપમાન	કૅલ્વિન	K
6.	જ્યોતિ તીવ્રતા	કેન્ડેલા	cd
7.	દ્રવ્યનો જથ્થો	મોલ	mol

SI પદ્ધતિની પૂરક રાશિઓ, તેમના એકમો અને સંજ્ઞા નીચે મુજબ છે :

ક્રમ	પૂરક ભૌતિક રાશિ	પૂરક એકમ	સંજ્ઞા
1.	સમતલકોણ (dθ)	રેડિયન (radian)	rad
2.	ઘનકોણ (dΩ)	સ્ટીરેડિયન (steradian)	sr

પ્રશ્ન 4.
SI એકમપદ્ધતિની પૂરક ભૌતિક રાશિઓ અને તેમના એકમોની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
SI એકમપદ્ધતિની બે પૂરક ભૌતિક રાશિઓ છે :
1. સમતલકોણ (dθ) અને
2. ઘનકોણ (dΩ).

1. સમતલકોણ : વર્તુળના ચાપની લંબાઈ અને ત્રિજ્યાના ગુણોત્તરને સમતલકોણ (dθ) કહે છે.

ત્રિજ્યા જેટલી લંબાઈના વર્તુળના ચાપે કેન્દ્ર સાથે આંતરેલા સમતલ- કોણને 1 રેડિયન કહે છે. તેને સંજ્ઞામાં ‘rad’ વડે દર્શાવાય છે.
એટલે કે, જો AB = r હોય, તો dθ = 1 rad.
યાદ રાખો : 1° = \(\frac{\pi}{180}\)rad અને 1 rad = \(\frac{180}{\pi}\) degree

2. ઘનકોણ : ગોળાના પૃષ્ઠ પરના ક્ષેત્રફળ (dA) એ ગોળાના કેન્દ્ર સાથે આંતરેલ કોણ અને તેની ત્રિજ્યા (૪)ના વર્ગના ગુણોત્તરને ઘનકોણ (dΩ) કહે છે. (જુઓ આકૃતિ 2.2)

1 મીટર ત્રિજ્યાવાળા ગોળાની સપાટી પરના 1m² ક્ષેત્રફળ વડે, તેના કેન્દ્ર સાથે અંતરાયેલા ઘનકોણને 1 સ્ટીરેડિયન કહે છે. તેને સંજ્ઞામાં ‘sr’ વડે દર્શાવાય છે.
જો dA 1m² અને r = 1m હોય, તો dΩ = 1 sr.
આ બંને ભૌતિક રાશિઓ પરિમાણ રહિત છે.

પ્રશ્ન 5.
SI પદ્ધતિના સાધિત એકમો એટલે શું? ઉદાહરણ સહિત સમજાવો.
ઉત્તર:
SI પદ્ધતિના સાત મૂળભૂત એકમો પરથી જુદી જુદી ભૌતિક રાશિઓના એકમો ઉપજાવવામાં આવે છે. આવા એકમોને સાધિત એકમો કહે છે.
દા. ત., (1) વેગનો SI પદ્ધતિમાં (સાધિત) એકમ

(2) પ્રવેગનો SI પદ્ધતિમાં (સાધિત) એકમ

SI એકમપદ્ધતિ વાપરવા માટેના વ્યવહારિક નિયમો :
SI પદ્ધતિના ઉપયોગ માટેના વ્યવહારિક નિયમો નીચે મુજબ છે :
(1) દરેક ભૌતિક રાશિનો એકમ તેના સંકેત મુજબ જ દર્શાવવો જોઈએ. દા. ત., મીટરનેm અને કિલોગ્રામને kg વડે
દર્શાવવા.

(2) એકમના સંકેતાક્ષરોની વચ્ચે કે અંતે પૂર્ણવિરામ મૂકવું નહિ. દા. ત., કિલોગ્રામ માટે k.g. કે kg. લખાય નહિ, પણ kg લખવું જોઈએ.

(૩) જ્યારે બહુવચનમાં એકમનો ઉપયોગ કરવાનો હોય ત્યારે સંજ્ઞામાં કોઈ ફેરફાર થવો જોઈએ નહિ. દા. ત., કોઈ તારની લંબાઈ 5 મીટર છે, તો તેને 5 ms ન લખાય, પણ 5 m લખાય.

(4) અંશ અને છેદમાં રહેલી ભૌતિક રાશિઓને એક જ ગુણોત્તર વડે દર્શાવવી જોઈએ. દા. ત., SI પદ્ધતિમાં પ્રવેગનો એકમ મીટર / સેકન્ડ2 છે. તેને m/s² અથવા ms^-2 લખાય, પરંતુ m/s/s ન લખાય.

(5) જો કોઈ એકમ વૈજ્ઞાનિકના નામે હોય અને તે એકમ આખો લખવો હોય, તો પ્રથમ અક્ષર કૅપિટલ લખવો નહિ. જો તે એકમને સંકેતરૂપે લખવો હોય, તો પ્રથમ અક્ષર કૅપિટલ જ રાખવો.
દા. ત., બળનો એકમ newton લખાય અને સંકેતમાં માત્ર N લખાય. ઊર્જાના એકમને joule અને સંકેતમાં J લખાય. દબાણના એકમને pascal અને સંકેતમાં Pa લખાય.

પ્રશ્ન 6.
લંબાઈ એટલે શું? નીચે દર્શાવેલ લંબાઈનું પ્રત્યક્ષ માપન કયાં સાધનોની મદદથી થઈ શકે છે?
(i) 10^-3 mથી 10²mની લંબાઈ
(ii) 10^-4 m લંબાઈનું ચોકસાઈપૂર્વક માપન
(iii) 10^-5 m લંબાઈનું ચોકસાઈપૂર્વક માપન
ઉત્તર:
અવકાશમાં આવેલાં બે બિંદુઓ વચ્ચેના જુદાપણાના અંતરને (Distance of separation) લંબાઈ કહે છે.
( i ) 10^-3mથી 10² mની લંબાઈનું પ્રત્યક્ષ માપન મીટરપટ્ટીથી થઈ શકે છે.
(ii) 10^-4m લંબાઈનું ચોકસાઈપૂર્વક માપન વર્નિયર કેલિપર્સ નામના સાધનની મદદથી કરી શકાય છે.
(iii) 10^-5 m લંબાઈનું ચોક્સાઈપૂર્વક માપન માઇક્રોમિટર સ્ક્રૂગેજ અથવા ફેરોમિટરની મદદથી કરી શકાય છે.

પ્રશ્ન 7.
દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ એટલે શું? દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ કોણ એટલે શું? ઉદાહરણ સહિત સમજાવો.
ઉત્તર:

કોઈ પદાર્થને વારાફરતી બે જુદી જુદી અવલોકન દિશાઓથી જોતાં, પડદા (પૃષ્ઠભૂમિ) પર તેના આભાસી સ્થાનમાં થતા ફેરફારને દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ (Parallax) કહે છે.

દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ સમજવા માટે એક પેન Pને આંખની સમક્ષ આંખથી D જેટલા અંતરે પકડો.

દીવાલ પરના કોઈ એક બિંદુ Oની સાપેક્ષે ડાબી આંખ બંધ રાખી જમણી આંખ R વડે જુઓ. ત્યારબાદ જમણી આંખ બંધ રાખી, ડાબી આંખ L વડે જુઓ. પહેલા કિસ્સામાં પેન P₁ સ્થાને અને બીજા કિસ્સામાં P₂ સ્થાને દેખાય છે. (જુઓ આકૃતિ 2.3) દીવાલ પરના બિંદુ Oની સાપેક્ષે
બંને કિસ્સામાં પેન્સિલનું આભાસી સ્થાન બદલાય છે. આ બાબતને દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ કહે છે.

બે અવલોકન સ્થાન (L અને R) વચ્ચેના અંતરને બેઝિઝ (પાયો) b કહે છે. આ ઉદાહરણમાં બેઝિઝ (Basis) એ બે આંખો વચ્ચેનું અંતર LR = b છે.

બે અવલોકન દિશાઓ વચ્ચેના કોણને દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ કોણ (Parallax angle) કહે છે. આકૃતિ 2.3માં ∠RPL = θ એ દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ કોણ છે.

પ્રશ્ન 8.
પૃથ્વીથી ગ્રહના અંતરમાપન માટે દષ્ટિસ્થાન-ભેદની રીત(Parallax method)નું વર્ણન કરો.
ઉત્તર:

ખૂબ જ મોટાં અંતરોના તથા અવકાશીય અંતરોના માપન માટે દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદની રીતનો ઉપયોગ થાય છે.

આ રીતમાં પૃથ્વીનાં કોઈ બે સ્થળો પરથી કોઈ એક ગ્રહનું એકસાથે નિરીક્ષણ કરી, અતિદૂરના તારાઓના સંદર્ભમાં નિરીક્ષણ દિશાઓ નક્કી કરવામાં આવે છે. (અતિદૂરના તારાને જુદા જુદા સ્થાન આગળથી અવકાશીય ટેલિસ્કોપની મદદથી જોવામાં આવે, તો તે તારાની દિશામાં સૂચક ફેરફાર થતો ન હોવાથી તેને સંદર્ભ દિશા તરીકે લેવામાં આવે છે.)

• આકૃતિ 2.4માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે કોઈ ગ્રહ Pનું પૃથ્વીથી અંતર માપવું છે. પૃથ્વી પર આવેલાં બે સ્થળો A અને B પરથી ગ્રહ Pનું એકસાથે અવલોકન કરવામાં આવે છે. A અને B સ્થળેથી અવલોકન (નિરીક્ષણ) દિશાઓ અનુક્રમે AP અને BP મળે છે.
• આ અવલોકન દિશાઓ વચ્ચેના ખૂણા ∠APB = θને દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ કોણ કહે છે.
• પૃથ્વીથી ગ્રહનું અંતર D, b કરતાં ઘણું મોટું હોવાથી \(\frac{b}{D}\) << 1 થશે. આથી ખૂણો θ અત્યંત નાનો મળે છે.
  ખૂણાની રેડિયનમાં વ્યાખ્યા અનુસાર,

[નોંધ : અહીં ‘θ’નું મૂલ્ય રેડિયનમાં લેવું.]

• આમ, દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ કોણના માપનથી મોટાં અંતરોનું માપન કરી શકાય છે.

પ્રશ્ન 9.
પૃથ્વી પરથી ગ્રહ(અથવા તારા)નું પરિમાણ અથવા કોણીય વ્યાસ(angular diameter)નું માપન કરવાની રીતનું વર્ણન કરો.
ઉત્તર:
પૃથ્વીથી D જેટલા અંતરે આવેલ ગ્રહના વ્યાસ(d)નું માપન કરવા માટે પૃથ્વી પરના કોઈ એક સ્થળેથી ટેલિસ્કોપની મદદથી ગ્રહના વ્યાસાંત બિંદુઓ A અને B પરનું અવલોકન કરવામાં આવે છે.

જો ગ્રહના વ્યાસ વડે પૃથ્વી પરના E સ્થળે અંતરાતો કોણ α હોય, તો
α = \(\frac{A B}{D}\)
∴ α = \(\frac{d}{D}\) રેડિયન
∴ ગ્રહનો વ્યાસ d = α · D ………….. (1)
અહીં, ‘α’ને ગ્રહનો કોણીય વ્યાસ (angular diameter) કહે છે. તેનું મૂલ્ય રેડિયનમાં મપાય છે.
જો પૃથ્વીથી ગ્રહનું અંતર D જાણીતું હોય, તો સમીકરણ (1)ની મદદથી ગ્રહનો વ્યાસ શોધી શકાય છે.

પ્રશ્ન 10.
ઑપ્ટિકલ માઇક્રોસ્કોપ દ્વારા અણુનું પરિમાણ કેમ માપી શકાતું નથી? આ માટે કેવા પ્રકારના સાધનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે?
ઉત્તર:
ઑપ્ટિકલ માઇક્રોસ્કોપ એ દશ્યપ્રકાશનાં તરંગોનો ઉપયોગ કરે છે. પ્રકાશ તરંગ પ્રકૃતિ ધરાવે છે અને તેની તરંગલંબાઈ 4000 Åથી 7000 Å છે. માઇક્રોસ્કોપનું વિભેદન એ ઉપયોગમાં લીધેલ તરંગલંબાઈ જેટલું હોય છે. આથી તેના દ્વારા 4000 Åથી નાના પરિમાણવાળા કણોનું વિભેદન કરી શકાતું નથી. આથી ઑપ્ટિકલ માઇક્રોસ્કોપ દ્વારા અણુનું પરિમાણ માપી શકાતું નથી.

ઇલેક્ટ્રૉન માઇક્રોસ્કોપમાં દશ્યપ્રકાશને બદલે ઇલેક્ટ્રૉન બીમનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રૉન બીમને યોગ્ય રીતે તૈયાર કરેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી પસાર કરી વસ્તુ પર કેન્દ્રિત કરવામાં આવે છે. અહીં, ઇલેક્ટ્રૉન કણ તરીકે નહિ પરંતુ તરંગ તરીકે વર્તે છે. ઇલેક્ટ્રૉનની તરંગલંબાઈ 1 A કરતાં પણ નાની હોય છે. આ રીતે તૈયાર કરેલા ઇલેક્ટ્રૉન માઇક્રોસ્કોપનું વિભેદન 0.68 જેટલું હોય છે. આ ઉપરાંત, ટનલિંગ માઇક્રોસ્કોપનું વિભેદન પણ 1 Ăની મર્યાદામાં હોય છે, જેની મદદથી અણુના પરિમાણનો અંદાજ મેળવી શકાય છે.

પ્રશ્ન 11.
ઓલિક ઍસિડ (Oleic acid)ના અણુના પરિમાણનો અંદાજ મેળવવાની રીત સમજાવો.
ઉત્તર:
ઓલિક ઍસિડ સાબુ જેવું પ્રવાહી છે. તેના અણુના પરિમાણનો અંદાજ મેળવવા માટે પાણીની સપાટી પર ઓલિક ઍસિડનું એકઆણ્વીય સ્તર બનાવવામાં આવે છે.

રીત : સૌપ્રથમ 1 cm³ ઓલિક ઍસિડને આલ્કોહોલમાં મિશ્ર કરી 20 cm³ દ્રાવણ બનાવો. આ દ્રાવણમાંથી 1 cm³ દ્રાવણ લઈ ફરીથી આલ્કોહોલમાં 20 cm³ દ્રાવણ બનાવો. આથી ઓલિક ઍસિડના પ્રતિ cm³ દીઠ દ્રાવણની સાંદ્રતા (\(\frac{1}{400}\)) cm³ થશે.

ત્યારબાદ મોટા પહોળા પાત્રમાં પાણી ભરી તેના પર લાયકોપોડિયમ પાવડરનો હલકો છંટકાવ કરો જેથી પાણીની સપાટી પર તેનું પાતળું સ્તર તૈયાર થશે. આ સ્તર પર તૈયાર કરેલા દ્રાવણના અમુક (n) બૂંદ મૂકતાં તે સપાટી પર પાતળા, મોટા અને લગભગ વર્તુળાકારે પ્રસરીને અણુની જાડાઈનું સ્તર બનાવે છે. દ્રાવણમાંથી આલ્કોહોલનું બાષ્પીભવન થતાં પાણી પર ફક્ત ઓલિક ઍસિડનું પાતળું સ્તર રહે છે. પારદર્શક કાગળ (Tracing paper) અને ગ્રાફપેપરની મદદથી ઓલિક ઍસિડના પાતળા સ્તરનું ક્ષેત્રફળ (A) નક્કી કરો.

ગણતરી : ધારો કે, પાણીની સપાટી પર દ્રાવણનાં n બુંદ નાખ્યાં છે. દરેક બુંદનું કદ V (cm³) હોય, તો
દ્રાવણનાં n બુંદનું કદ = nVcm³
n બુંદમાં ઓલિક ઍસિડનું કદ = nV × \(\frac{1}{400}\) cm³
જો ઓલિક ઍસિડના પાતળા સ્તરની જાડાઈ ‘t’ હોય, તો પાતળા સ્તરનું કદ = પાતળા સ્તરનું ક્ષેત્રફળ (A) × જાડાઈ (t)

જો આપણે સ્વીકારીએ કે તૈયાર થયેલ સ્તર એકઆણ્વીય સ્તર છે, તો સ્તરની જાડાઈ (t) એ ઓલિક ઍસિડના અણુનું પરિમાણ દર્શાવે છે. અહીં મળતી જાડાઈનું મૂલ્ય 10^-9mના ક્રમનું હોય છે.

પ્રશ્ન 12.
નીચેના એકમો કઈ ભૌતિક રાશિના છે? તેમને વ્યાખ્યાયિત કરો :
1. ઍસ્ટ્રોનોમિકલ યુનિટ (AU)
2. પ્રકાશવર્ષ (ly)
3. પાર્સેક (parsec)
ઉત્તર:
ઍસ્ટ્રોનોમિકલ યુનિટ, પ્રકાશવર્ષ અને પાર્સેક એ ત્રણેય મોટા અંતરો માપવા માટેના એકમો છે.

1. ઍસ્ટ્રોનોમિકલ યુનિટ (AU) : સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેના સરેરાશ અંતરને 1 AU કહે છે. આ એકમ ગ્રહોના અંતર માપવા માટે વપરાય છે.
1 AU = 1.496 × 10¹¹ m

2. પ્રકાશવર્ષ (ly) : પ્રકાશે શૂન્યાવકાશમાં એક વર્ષમાં કાપેલ અંતરને એક પ્રકાશવર્ષ (11y) કહે છે. તે અવકાશી પદાર્થો(તારા, ૉલેક્સી)ના અંતર માપવા માટે વપરાય છે.
1 ly = શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ × 1 વર્ષ
= 3 × 10⁸ × 365.25 × 24 × 60 × 60
= 9.467 × 10¹⁵ m

3. પાક (parsec) : તે ઍસ્ટ્રોનોમીમાં ખૂબ જ મોટાં અંતરો માપવા માટેનો વ્યવહારિક એકમ છે.
જે અંતરે પૃથ્વીની ભ્રમણકક્ષાની સરેરાશ ત્રિજ્યા વડે 1″(arc second) જેટલો ખૂણો અંતરાય છે, તે અંતરને 1 parsec કહે છે.
અથવા
1AU જેટલી ચાપ વડે જે અંતરે 1 સેકન્ડ જેટલો કોણ અંતરાતો હોય, તે અંતરને 1 પાર્સેક કહે છે. 1 parsec = 3.08 × 10¹⁶ m

આકૃતિ પરથી,

ઍસ્ટ્રોનોમિકલ યુનિટ, પ્રકાશવર્ષ અને પાર્સેક વચ્ચેનો સંબંધ :
1 AU 1.496 × 10¹¹ m
1 ly = 9.46 × 10¹⁵ m
1 parsec = 3.08 × 10¹⁶ m
\(\frac{1 \mathrm{ly}}{1 \mathrm{AU}}=\frac{9.46 \times 10^{15}}{1.496 \times 10^{11}}\) ≈ 6.3 × 10⁴
∴ 1 ly = = 6.3 × 10⁴ AU
હવે, \(\frac{1 \text { parsec }}{1 \mathrm{ly}}=\frac{3.08 \times 10^{16}}{9.46 \times 10^{15}}\) = 3.26
∴ 1 parsec = 3.26 ly
સ્પષ્ટ છે કે,, 1 AU < 1 ly < 1 parsec

લંબાઈ(અંતર)ના બીજા નાના તથા મોટા એકમો તથા તેનો મીટર સાથે સંબંધ :
1 fm (ફર્મી) = 10^-15m
1 Å (એંગસ્ટ્રોમ) = 10^-10 m
1 nm ((નેનોમીટર) ) = 10^-9 m
1 µm (માઇક્રોમીટર) = 10^-6m
1 mm (મિલિમીટર) = 10^-3 m
1 cm (સેન્ટિમીટર) = 10^-2 m
1 km (કિલોમીટર) = 10³ m
1 પ્રકાશવર્ષ = 9.5 × 10¹⁵ m
1 AU = 1.496 × 10¹¹ m
1 parsec (પાર્સેક) = 3.08 × 10¹⁶ m

પ્રશ્ન 13.
પદાર્થના દળ (Mass) અને વજન (Weight) વચ્ચેનો ભેદ સ્પષ્ટ કરો.
ઉત્તર:
દળ (mass): પદાર્થમાં રહેલા દ્રવ્યના જથ્થાને દળ કહે છે. દળ એ પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે. તે પદાર્થની અવકાશમાં સ્થિતિ, દબાણ કે તાપમાન પર આધારિત નથી.

પદાર્થનું દળ શોધવા સાદી તુલાના એક પલ્લામાં અજ્ઞાત દળનો પદાર્થ અને બીજા પલ્લામાં પ્રમાણભૂત પદાર્થને (જેનું દળ આપણે પ્રમાણભૂત કિલોગ્રામ ગણ્યું છે તેવા પદાર્થને અથવા તેના ગુણાંકમાં રહેલા કોઈ પદાર્થને) મૂકવામાં આવે છે. જ્યારે તુલા સમતોલ થાય ત્યારે આપણે એમ માનીએ છીએ કે બંને પદાર્થ પર પૃથ્વીનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (mg) સમાન છે, એટલે કે તેમના ગુરુત્વીય દળ સમાન છે તેમ કહેવાય.

ગુરુત્વાકર્ષણ બળ mgમાં જે દળ ભાગ ભજવે છે, તેને ગુરુત્વીય દળ કહે છે. આપેલ પદાર્થનું ગુરુત્વીય દળ બધાં સ્થળોએ સમાન હોય છે. પૃથ્વી પર સાદી તુલાથી પ્રમાણભૂત પદાર્થ વડે સમતોલ કરેલા પદાર્થને ચંદ્ર પર લઈ જવામાં આવે, તો ત્યાં પણ તુલા સમતોલમાં રહેશે. આ દર્શાવે છે કે, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ બદલાવાથી તેના ગુરુત્વીય દળમાં કોઈ ફેર પડતો નથી.
વજન (Weight) : પદાર્થ પર લાગતા પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને પદાર્થનું વજન કહે છે.

વજન W = દળ × ગુરુત્વપ્રવેગ
= mg

પદાર્થનું વજન જે-તે સ્થળના ગુરુત્વપ્રવેગ પર આધારિત હોય છે. દા. ત., કોઈ પદાર્થને પૃથ્વી પરથી ચંદ્ર પર લઈ જવામાં આવે, તો ચંદ્ર પર તેનું વજન પૃથ્વી પરના વજન કરતાં છઠ્ઠા ભાગનું નોંધાશે, કારણ કે ચંદ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગ gનું મૂલ્ય પૃથ્વી કરતાં છઠ્ઠા ભાગનું છે.

પ્રશ્ન 14.
યુનિફાઇડ ઍટોમિક માસ યુનિટ (u) વ્યાખ્યાયિત કરો. આ એકમ કોના માટે વાપરવામાં આવે છે?
ઉત્તર:
પરમાણુઓ અને અણુઓના દ્રવ્યમાન અતિ નાના હોવાથી કિલોગ્રામ (kg) એકમ સુવિધાભર્યો ન હોવાથી તેમના દ્રવ્યમાન યુનિફાઇડ ઍટોમિક માસ યુનિટ (u) વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રૉન સહિત કાર્બન સમસ્થાનિક \({ }_6^{12} \mathrm{C}\)ના એક પરમાણુના દળના 12મા ભાગને એક યુનિફાઇડ ઍટોમિક માસ યુનિટ કહે છે.
તેને ‘u’ અથવા ‘a.m.u.’ વડે દર્શાવાય છે.
1 u = 1 amu= \(\frac{1}{12}\) (\({ }_6^{12} \mathrm{C}\)ના એક પરમાણુનું દળ)
= 1.66 × 10^-27 kg
એક પ્રોટોન અથવા એક ન્યૂટ્રૉનનું દળ 1 amuના ક્રમનું હોય છે.

પ્રશ્ન 15.
1 kg બરાબર કેટલા amu થાય?
ઉત્તર:
1 amu = 1.66 × 10^-27 kg
∴ 1 kg = \(\frac{1}{1.66 \times 10^{-27}}\) amu = 6.024 × 10²⁶ amu

પ્રશ્ન 16.
પ્રોટોનનું દળ 1.67 × 10^-27 kg છે. કેટલા પ્રોટોન ભેગા થઈને 1g દળ બનાવશે?
ઉત્તર:

= 5.99 × 10²³ પ્રોટોન

પ્રશ્ન 17.
ટૂંક નોંધ લખો : ઍટોમિક ક્લૉક અથવા સીઝિયમ ઘડિયાળ
ઉત્તર:
સમયના માપન માટે ઘડિયાળનો ઉપયોગ કરવામાં આવે :
છે. આ માટે સમયના પરમાણ્વિક માનાંક(Atomic Standard of Time)નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે સીઝિયમ પરમાણુમાં થતાં આવર્ત દોલનો પર આધારિત છે. તેને સીઝિયમ ઘડિયાળ અથવા ઍટોમિક ક્લૉક કહે છે. તે રાષ્ટ્રીય માનાંક તરીકે વપરાય છે.

• સીઝિયમ ઍટોમિક ઘડિયાળમાં સીઝિયમ-133 પરમાણુની સંક્રાંતિને અનુલક્ષીને ઉત્સર્જિત વિકિરણનાં 9, 192, 631, 770 પૂર્ણ દોલનો માટેના સમયગાળાને એક સેકન્ડ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
• સીઝિયમ ઍટોમિક ઘડિયાળમાં સીઝિયમ પરમાણુના દોલનો સમયનું નિયમન કરે છે. આ ઘિડયાળ ખૂબ જ ચોકસાઈ ધરાવે છે.
• ભારતીય પ્રમાણભૂત સમય(Indian Standard Time-IST)ને જાળવી રાખવા માટે આવી ચાર ઘડિયાળો રાષ્ટ્રીય ભૌતિક પ્રયોગશાળા(NPL)માં રાખવામાં આવી છે. આ ઘડિયાળો દ્વારા સમયગાળો ‘સેકન્ડ’ અને ‘આવૃત્તિ’ના રાષ્ટ્રીય માનાંક જાળવી રાખવામાં આવે છે.
• આ ઘડિયાળોની સમય-માપનની અનિશ્ચિતતા ± 1 × 10^-13 (એટલે 10¹³માં 1 ભાગ) સુધીની હોય છે. આ ઘિડયાળો એક વર્ષમાં 3 μsથી વધુ આગળ કે પાછળ થતી નથી.

રસપ્રદ માહિતી
વિશ્વમાં મોટામાં મોટા અને સૂક્ષ્મમાં સૂક્ષ્મ પદાર્થોની લંબાઈના માપક્રમનો ગુણોત્તર 10⁴¹ છે. વિશ્વની ઘટનાઓ સાથે સંકળાયેલ સૌથી મોટા અને સૌથી નાના સમય-અંતરાલોનો ગુણોત્તર પણ 10⁴¹ છે.
આ ઉપરાંત, વિશ્વમાં મહત્તમ અને લઘુતમ દળ ધરાવતા પદાર્થોના દળોનો ગુણોત્તર પણ લગભગ (10⁴¹)² ક્રમનો છે.

પ્રશ્ન 18.
માપનમાં ચોકસાઈ અને સચોટતાનો અર્થ ઉદાહરણ સહિત સમજાવો.
ઉત્તર:
ચોકસાઈ (Accuracy) : કોઈ રાશિના માપનનું મૂલ્ય તે રાશિના સાચા મૂલ્યની કેટલી નજીક છે, તેને ચોકસાઈ કહે છે.

સચોટતા (Precision) : ભૌતિક રાશિનું માપન કેટલા વિભેદન (Resolution) અથવા સીમા સુધી કરવામાં આવ્યું છે, તેને સચોટતા કહે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, કોઈ સળિયાનો વ્યાસ 1.125 cmની નજીક છે. વર્નિયર કેલિપર્સનું વિભેદન 0.01 cm છે. આ સાધનથી વ્યાસ માપતાં તે 1.12 cm મળે છે. માઇક્રોમિટર સ્ક્રૂગેજનું વિભેદન 0.001 cm છે. તેના દ્વારા વ્યાસ માપતાં તે 1.138 cm મળે છે.

• અહીં, વર્નિયર કેલિપર્સથી માપેલ વ્યાસ વધુ ચોકસાઈવાળું કહેવાય, કારણ કે તે સાચા માપની વધુ નજીક છે, પરંતુ તેમાં સચોટતા ઓછી છે.
• માઇક્રોમિટર સ્ક્રૂગેજથી માપેલ વ્યાસ ઓછી ચોકસાઈ દર્શાવે છે, પરંતુ વધુ સચોટ છે.
• ભૌતિક રાશિના માપનમાં વધુમાં વધુ ચોકસાઈ અને વધુમાં વધુ સચોટતા હોવી જરૂરી છે.

પ્રશ્ન 19.
અવલોકનમાં ભૌતિક રાશિના માપનની ચોકસાઈ કઈ બાબતો પર આધારિત છે?
ઉત્તર:
ભૌતિક રાશિનું મૂલ્ય પ્રાયોગિક રીતે ચોકસાઈપૂર્વક માપવા માટે નીચેની બાબતો ધ્યાનમાં લેવી જરૂરી છે :

1. પ્રયોગકર્તાની કુશળતા,
2. પ્રયોગમાં ઉપયોગમાં લેવાતાં સાધનોની ગુણવત્તા,
3. પ્રયોગમાં ઉપયોગમાં લેવાયેલી પદ્ધતિ તથા
4. પ્રયોગના પરિણામ પર અસર કરતાં બાહ્ય અને આંતરિક પરિબળો.

પ્રશ્ન 20.
ત્રુટિ એટલે શું? ત્રુટિઓના ફક્ત પ્રકાર જણાવો.
ઉકેલ:
કોઈ પણ માપન સાધન દ્વારા કરવામાં આવે છે. આ માપન દરમિયાન તેના માપનમાં કેટલીક અચોક્કસતા ઉદ્ભવે છે. આથી તેનું સાચું મૂલ્ય માપી શકાતું નથી, પરંતુ માપનનું અંદાજિત મૂલ્ય મળે છે.

ભૌતિક રાશિના માપનમાં રહેલી અચોકસાઈને ત્રુટિ કહે છે.

માપનમાં ઉદ્ભવતી ત્રુટિઓને બે પ્રકારે વહેંચી શકાય :
(1) વ્યવસ્થિત ત્રુટિ (Systematic error)
(i) સાધનની ત્રુટિ (Instrumental error)
(ii) પ્રયોગપદ્ધતિને કારણે ઉદ્ભવતી ત્રુટિ
(Imperfection in experimental technique)
(iii) વ્યક્તિગત ત્રુટિ (Personal error)

(2) અવ્યવસ્થિત ત્રુટિ (Random error)

પ્રશ્ન 21.
ભૌતિક રાશિના માપનમાં ઉદ્ભવતી જુદા જુદા પ્રકારની ત્રુટિઓ સમજાવો.
અથવા
(i) ટૂંકનોંધ લખો : વ્યવસ્થિત ત્રુટિ અને તેના ઉદ્ગમો
(ii) અવ્યવસ્થિત ત્રુટિ સમજાવો.
ઉકેલ:
ભૌતિક રાશિના માપનમાં ઉદ્ભવતી ત્રુટિઓ મુખ્યત્વે બે પ્રકારની છે :
1. વ્યવસ્થિત ત્રુટિ (Systematic error) અને
2. અવ્યવસ્થિત ત્રુટિ (Random error)

1. વ્યવસ્થિત ત્રુટિ (Systematic error) : માપનમાં ઉદ્ભવતી ત્રુટિઓનાં ઉદ્ગમો કે કારણો જાણીતાં હોય તેવી ત્રુટિઓને વ્યવસ્થિત ત્રુટિ કહે છે. આ પ્રકારની ત્રુટિ પ્રયોગ દરમિયાન એક જ દિશામાં, એટલે કે ધન અથવા ઋણ જ હોય છે. આવી ત્રુટિઓ ધન અને ઋણ એમ બંને સાથે ન હોઈ શકે.

આ ત્રુટિનાં કેટલાંક ઉદ્ગમો નીચે પ્રમાણે છે :
(i) સાધનની ત્રુટિ (Instrumental error) : આ પ્રકારની ત્રુટિ સાધનમાં રહેલી કોઈ ખામી કે સાધનના સ્કેલના ખામીયુક્ત કેલિબ્રેશન(અંકન)ને કારણે ઉદ્ભવે છે.
દા. ત., સ્પ્રિંગકાંટા પર વજન લટકાવ્યું ન હોય ત્યારે તેનું દર્શક શૂન્યાંક પર રહેવાને બદલે 1g પર હોય, તો દરેક અવલોકનમાં વ્યવસ્થિત રીતે 1 છુ જેટલું. માપ વધારે આવશે.
થરમૉમિટરમાં તાપમાનનું અંકન વ્યવસ્થિત થયેલું ના હોય અને તે STPએ ઉકળતા પાણીનું તાપમાન 100 °C ને બદલે 98°C દર્શાવે, તો થરમૉમિટર દરેક તાપમાનના માપનમાં 2°C જેટલું ઓછું તાપમાન દર્શાવશે.

(ii) પ્રયોગપદ્ધતિ અથવા પ્રયોગપદ્ધતિને કારણે ઉદ્ભવતી (Imperfection in Experimental technique or procedure) : ઉદાહરણ તરીકે થરમૉમિટરને બગલમાં મૂકીને શરીરનું તાપમાન માપવામાં આવે છે ત્યારે માપેલ તાપમાન શરીરના વાસ્તવિક તાપમાન કરતાં ઓછું જ હોય છે.
પ્રયોગ દરમિયાન બાહ્ય પરિબળો જેમ કે તાપમાન, દબાણ, પવનનો વેગ વગેરે પણ માપનમાં વ્યવસ્થિત ત્રુટિ ઉત્પન્ન કરે છે.

(iii) વ્યક્તિગત ત્રુટિ (Personal error) : પ્રયોગ દરમિયાન અવલોકન લેનાર વ્યક્તિની અવલોકન લેવાની ખાસિયત, સાધનોની અયોગ્ય ગોઠવણી અથવા પૂરતી સાવચેતી વગર વ્યક્તિગત બેદરકારીથી લીધેલ અવલોકનોને કારણે આ પ્રકારની ત્રુટિ ઉદ્ભવે છે.

• દા. ત., ગૅલ્વેનોમિટરના સ્કેલ પર દર્શકનું અવલોકન કરતી વખતે માથું દર્શકની ડાબી અથવા જમણી બાજુ રાખી અવલોકન લેવામાં આવે તો આ પ્રકારની ત્રુટિ ઉદ્ભવે છે. અહીં દષ્ટિસ્થાન-ભેદ દૂર ન થવાને કારણે ત્રુટિ ઉદ્ભવે છે.
• પ્રાયોગિક પદ્ધતિમાં ફેરફાર કરી, સારી ગુણવત્તાવાળાં સાધનોના ઉપયોગથી અને વ્યક્તિગત ખામીઓ દૂર કરી અવલોકનની વ્યવસ્થિત ત્રુટિને લઘુતમ કરી શકાય છે.
  error) : માપનમાં

2. અવ્યવસ્થિત ત્રુટિ (Random અનિયમિતરૂપે ઉદ્ભવતી ત્રુટિને અવ્યવસ્થિત ત્રુટિ કહે છે. તેનું મૂલ્ય ધન કે ઋણ તેમજ નાનું અથવા મોટું હોઈ શકે છે.

• પ્રયોગને અસર કરતાં પરિબળોમાં અનિયમિત ફેરફારોને કારણે અને આગાહી ન કરી શકાય તેવાં પરિબળો જેવાં કે તાપમાનમાં ફેરફાર, વૉલ્ટેજ સપ્લાયમાં ફેરફાર તેમજ અવલોકનકર્તા દ્વારા અવલોકન લેતી વખતે ઉદ્ભવેલ વ્યક્તિગત ત્રુટિઓને લીધે અવ્યવસ્થિત ત્રુટિ ઉદ્ભવે છે.
• દા. ત., કોઈ એક જ વ્યક્તિ કોઈ ભૌતિક રાશિનું માપન વારંવાર કરે, તો દરેક વખતે લેવાયેલાં માપનો જુદાં જુદાં હોઈ શકે છે.
• અહીં, ત્રુટિ ધન કે ઋણ બંને પ્રકારની હોઈ શકે છે. ઘણાં બધાં અવલોકનોનું સરેરાશ લઈ આ પ્રકારની ત્રુટિનો અંદાજ કાઢી શકાય છે.

પ્રશ્ન 22.
સાધનનું લઘુતમ માપ એટલે શું? લઘુતમ માપ ત્રુટિ સમજાવો.
ઉત્તર:
માપન માટેનાં સાધન વડે માપી શકાતાં નાનામાં નાના માપને તે સાધનનું લઘુતમ માપ (Least count) કહે છે. દા. ત., મીટરપટ્ટીમાં બે ક્રમિક નાના કાપા વચ્ચેનું અંતર 1 mm હોય છે. આથી મીટરપટ્ટીનું લઘુતમ માપ 1 mm કહેવાય.

• લઘુતમ માપ ત્રુટિ એ સાધનના વિભેદન અથવા લઘુતમ માપ સાથે સંકળાયેલ ત્રુટિ છે. આ સાધનોથી મપાયેલાં મૂલ્યો તેના લઘુતમ માપના મૂલ્ય સુધી જ સચોટ હોય છે.
• દા. ત., વર્નિયર કેલિપર્સનું લઘુતમ માપ 0.01 cm છે, એટલે કે તે આટલી ચોકસાઈ સુધીનું માપન કરી શકે છે. તેના અવલોકનમાં ઉદ્ભવતી ત્રુટિ તેના લઘુતમ માપથી અડધી હોય છે, એટલે કે વર્નિયર કેલિપર્સથી કરવામાં આવતા માપનમાં 0.005 cm જેટલી ત્રુટિ ઉદ્ભવે છે.
• લઘુતમ માપ ત્રુટિ એ વ્યવસ્થિત ત્રુટિ અને અવ્યવસ્થિત ત્રુટિ એમ બંને રીતે ઉદ્ભવે છે. વધુ સચોટતા ધરાવતાં સાધનો વાપરીને લઘુતમ માપ ત્રુટિ ઘટાડી શકાય છે.

પ્રશ્ન 23.
નિરપેક્ષ ત્રુટિ અને સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ સમજાવો.
ઉત્તર:
નિરપેક્ષ ત્રુટિ (Absolute error) : કોઈ ભૌતિક રાશિનાં સાચાં મૂલ્ય અને વ્યક્તિગત માપેલ મૂલ્યના (પ્રાયોગિક મૂલ્યના) તફાવતના માનને તે અવલોકનની નિરપેક્ષ ત્રુટિ કહે છે. તેને |Δa| વડે દર્શાવાય છે.

ધારો કે, કોઈ ભૌતિક રાશિ તનાં અવલોકનો a₁, a₂, a₃, …….. a_n છે. આ અવલોકનોનું સરેરાશ મૂલ્ય,
a_mean = \(\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\)
= \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i\)
અહીં, સરેરાશ મૂલ્ય a_meanને ભૌતિક રાશિના સાચા મૂલ્ય તરીકે લઈ શકાય, કારણ કે કોઈ પણ ભૌતિક રાશિનું વ્યક્તિગત માપન એ ભૌતિક રાશિના વાસ્તવિક મૂલ્યથી એટલું જ વધારે હોય છે, જેટલું વાસ્તવિક મૂલ્યથી ઓછું હોય છે.

• આથી પ્રત્યેક અવલોકનમાં મળતી ત્રુટિ, A d = 1 – amean
  Δ a₁ = a₁ – a_mean
  Δa₂ = a₂ – a_mean
  —————-
  —————–
  Δa_n = a_n – a_mean
• અહીં, કેટલાંક પરિણામોમાં Δa ધન અને કેટલાંક પરિણામોમાં Δα ઋણ મળશે. પરંતુ નિરપેક્ષ ત્રુટિ |Δa| હંમેશાં ધન હોય છે.
  સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ (Mean or Final absolute error) : તમામ અવલોકનોની નિરપેક્ષ ત્રુટિના સરેરાશને સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ અથવા ભૌતિક રાશિની અંતિમ નિરપેક્ષ ત્રુટિ કહે છે. તેને Δa_meanવડે દર્શાવાય છે.
  Δa_mean = \(\frac{\left|\Delta a_1\right|+\left|\Delta a_2\right|+\ldots+\left|\Delta a_n\right|}{n}\)
  ∴ Δa_mean = \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left|\Delta a_i\right|\)
• કોઈ ભૌતિક રાશિ aનાં અવલોકનોનું સરેરાશ મૂલ્ય a_mean અને સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ Δa_mean હોય, તો ભૌતિક રાશિ aનું માપન નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય :
  a = a_mean ± Δa_mean
  એટલે કે ભૌતિક રાશિ ‘a’નું પ્રાયોગિક મૂલ્ય (a_mean + Δa_mean) અને (a_mean – Δa_mean) વચ્ચે હોવાની સંભાવના છે.

પ્રશ્ન 24.
સાપેક્ષ ત્રુટિ અને પ્રતિશત ત્રુટિ સમજાવો.
ઉત્તર:
સાપેક્ષ ત્રુટિ (Relative error) : ભૌતિક રાશિના માપનની સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ (Δa_mean) અને સરેરાશ સાચા મૂલ્ય (a_mean)ના ગુણોત્તરને સાપેક્ષ ત્રુટિ (δa) કહે છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ δa = \(\frac{\Delta a_{\text {mean }}}{a_{\text {mean }}}\)
પ્રતિશત ત્રુટિ (Percentage error) : સાપેક્ષ ત્રુટિને ટકાવારીમાં દર્શાવવામાં આવે તો તેને પ્રતિશત ત્રુટિ કહે છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ (δa) = (\(\frac{\Delta a_{\text {mean }}}{a_{\text {mean }}}\)) × 100%

પ્રશ્ન 25.
ત્રુટિઓના સરવાળા અને બાદબાકીને કારણે અંતિમ પરિણામ ઉપર કેવી અસર થાય છે, તે સમજાવો.
અથવા
સાબિત કરો કે, ભૌતિક રાશિના સરવાળા કે બાદબાકીમાં મળતી મહત્તમ નિરપેક્ષ ત્રુટિ દરેક રાશિમાં મળતી નિરપેક્ષ ત્રુટિના સરવાળા બરાબર હોય છે.
ઉત્તર:
ધારો કે, ભૌતિક રાશિ A અને Bનું માપન કરવામાં આવે છે ત્યારે તેમનાં માપેલાં મૂલ્યો અનુક્રમે A અને B છે. તેમની નિરપેક્ષ ત્રુટિ અનુક્રમે ΔA અને ΔB હોય, તો તેમનાં પ્રાયોગિક મૂલ્યો નીચે મુજબ લખી શકાય :
Aનું પ્રાયોગિક મૂલ્ય = A ± ΔA
Bનું પ્રાયોગિક મૂલ્ય = B ± ΔB

• સરવાળા માટે, Z = A + B
• જો આ ભૌતિક રાશિના સરવાળા દરમિયાન મળતી નિરપેક્ષ ત્રુટિ ΔZ હોય, તો
  Z ± AZ = (A ± ΔA) + (B ± ΔB)
  = (A + B) ± (ΔA + ΔB)
  ∴ Zમાં ઉદ્ભવતી મહત્તમ નિરપેક્ષ ત્રુટિ,
  ΔZ = ΔA ± ΔB
• જો A અને B ભૌતિક રાશિનાં મૂલ્યોની બાદબાકી કરવાની હોય,
  તો Z = A – B
  ∴ Z ± ΔZ = (A ± ΔA) – (B ± ΔB)
  = (A – B) ± ΔA ∓ ΔB
  ∴ ±ΔZ = ± ΔA ∓ ΔB
  અહીં, ΔZનાં ચાર શક્ય મૂલ્યો (+ΔA – ΔB),
  (+ ΔA + ΔB), (-ΔA – ΔB) અને (-ΔA + ΔB) છે. આથી Zમાં મળતી મહત્તમ નિરપેક્ષ ત્રુટિ,
  ΔZ = ΔA + ΔB
• આથી કહી શકાય કે, “જ્યારે બે ભૌતિક રાશિઓનો સરવાળો કે બાદબાકી કરવામાં આવે ત્યારે તેના અંતિમ પરિણામમાં મળતી મહત્તમ નિરપેક્ષ ત્રુટિ, દરેક ભૌતિક રાશિમાં મળતી નિરપેક્ષ ત્રુટિના સરવાળા બરાબર હોય છે.”

પ્રશ્ન 26.
ત્રુટિઓના ગુણાકાર અને ભાગાકારને કારણે અંતિમ પરિણામ ઉપર કેવી અસર થાય છે, તે સમજાવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, A અને B ભૌતિક રાશિઓનાં માપેલાં મૂલ્યો A અને B છે. A અને Bનાં પ્રાયોગિક મૂલ્યો અનુક્રમે A ± Δ A તથા B ± ΔB છે.
જો Z = AB હોય, તો ………….. (1)
Z ± ΔZ = (A ± ΔA) (B ± ΔB)
= AB ± ΔA · B ± A · ΔB ± ΔA . ΔB …………. (2)
સમીકરણ (2) અને (1)નો ગુણોત્તર લેતાં,
\(\frac{Z \pm \Delta Z}{Z}\) = \(\frac{A B \pm \Delta A \cdot B \pm A \cdot \Delta B \pm \Delta A \cdot \Delta B}{A B}\)
∴ 1 ± \(\frac{\Delta Z}{Z}\) = 1 ± \(\frac{\Delta A}{A}\) ± \(\frac{\Delta B}{B}\) ± \(\frac{\Delta A \cdot \Delta B}{A B}\)
ΔA અને ΔB અત્યંત નાનાં પદો હોવાથી તેમનો ગુણાકાર અવગણતાં, Z માંની મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ
\(\frac{\Delta Z}{Z}=\frac{\Delta A}{A}+\frac{\Delta B}{B}\) …………. (3)
Zમાં મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ
= Aમાં મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ + B માં મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ

• આ જ રીતે, જો Z = \(\frac{A}{B}\) હોય, તો ઉપર મુજબનું પરિણામ મેળવી શકાય છે.
  \(\frac{\Delta Z}{Z}=\frac{\Delta A}{A}+\frac{\Delta B}{B}\)
• આથી કહી શકાય કે, “બે ભૌતિક રાશિઓનો ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવામાં આવે, તો અંતિમ પરિણામમાં ઉદ્ભવતી સાપેક્ષ ત્રુટિ ગુણકોની સાપેક્ષ ત્રુટિના સરવાળા જેટલી હોય છે.’

પ્રશ્ન 27.
ઘાતાંક ધરાવતી ભૌતિક રાશિના માપનમાં ઉદ્ભવતી પરિણામી ત્રુટિ સમજાવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, ભૌતિક રાશિ Z = A² છે.
∴ Z = A · A
∴ Z માં ઉદ્ભવતી સાપેક્ષ ત્રુટિ,
\(\frac{\Delta Z}{Z}=\frac{\Delta A}{A}+\frac{\Delta A}{A}\) = \(\frac{\Delta A}{A}\)
આથી A²માં મળતી સાપેક્ષ ત્રુટિ એ Aમાં મળતી સાપેક્ષ ત્રુટિથી બે ગણી છે. આથી વ્યાપક રીતે લખતાં,
જો Z = \(\frac{A^{\mathrm{p}} B^{\mathrm{q}}}{C^{\mathrm{r}}}\) હોય, તો
\(\frac{\Delta Z}{Z}\) = p \(\frac{\Delta A}{A}\) + q\(\frac{\Delta B}{B}\) + r\(\frac{\Delta C}{C}\)
Zમાં ઉદ્ભવતી સાપેક્ષ ત્રુટિ

પ્રશ્ન 28.
સાર્થક સંખ્યા અને સાર્થક અંક ઉદાહરણ સહિત સમજાવો.
ઉત્તર:
ભૌતિક રાશિના માપનમાં દર્શાવતાં પરિણામો એક સંખ્યા હોય છે. જેમાં બધા જ વિશ્વસનીય (Reliable) અંકો અને અચોક્કસ (Uncertain) અંકોનો સમાવેશ થાય છે. વિશ્વસનીય અંકો અને પ્રથમ અચોક્કસ અંક સાથે લખાતી સંખ્યાને સાર્થક સંખ્યા કહે છે. આ સંખ્યાના અંકોને સાર્થક અંકો (Significant figures) કહે છે.

• દા. ત., સાદા લોલકના પ્રયોગમાં આવર્તકાળના માપનમાં વપરાતી ઘડિયાળનું લઘુતમ માપ 0.1 s છે. ધારો કે, આ દોલનોનો આવર્તકાળ 1.53 s માપવામાં આવે છે. અહીં, અંક 1 અને 5 વિશ્વસનીય અંકો છે. પરંતુ ઘિડયાળનું લઘુતમ માપ 0.1 s હોવાથી તે 0.1 s કરતાં નાનો સમય માપી શકે નહિ. આથી 1.53 s સંખ્યામાં અંક 3 અચોક્કસ છે. આમ, 1.53 સાર્થક સંખ્યામાં 1, 5 અને 3 એમ ત્રણ સાર્થક અંકો છે.
• જે માપનમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા વધારે હોય તે વધુ ચોકસાઈપૂર્વકનું માપન કહેવાય છે.

પ્રશ્ન 29.
સાર્થક અંકો નક્કી કરવાના નિયમો જણાવો.
ઉત્તર:
સાર્થક અંકો નક્કી કરવાના નિયમો નીચે મુજબ છેઃ
1. બધા જ શૂન્યેતર (શૂન્ય સિવાયના) અંકો સાર્થક અંકો છે.
દા. ત., 123.45 સાર્થક સંખ્યામાં 1, 2, 3, 4, 5 એમ પાંચ સાર્થક અંકો છે.

2. સંખ્યામાં જો દાંચિહ્ન હોય, તો તે ગમે ત્યાં હોય તોપણ બે શૂન્યેતર અંકોની વચ્ચેના બધા શૂન્યાંકો પણ સાર્થક અંકો છે. ત., 105.007 સાર્થક સંખ્યામાં 6 સાર્થક અંકો છે.
દા. ત., 12005 સાર્થક સંખ્યામાં 5 સાર્થક અંકો છે.

3. જો સંખ્યા 1 કરતાં નાની હોય, તો દશાંચિહ્નની જમણી તરફના; પરંતુ પ્રથમ શૂન્યેતર અંકની ડાબી તરફના અંકો સાર્થક અંકો નથી.
દા. ત., 0.001905 સંખ્યામાં લીટી દોરેલા શૂન્યો સાર્થક અંકો નથી. 1, 9, 0 અને 5 એમ ચાર સાર્થક અંકો છે.

4. દશાંશચિહ્ન સિવાયની સંખ્યામાં અંતિમ શૂન્યેતર અંકની જમણી તરફના શૂન્યાંકો સાર્થક અંક નથી.
દા. ત., 21500 mmમાં છેલ્લા બે શૂન્યો સાર્થક અંક નથી. સાર્થક અંકો 2, 1 અને 5 છે.

5. દશાંશચિહ્નવાળી સંખ્યામાં અંતિમ શૂન્યેતર અંક પછીના બધા જ શૂન્યાંકો સાર્થક અંકો છે.
દા. ત., 8.700 અને 0.08 7 0 0 બંને સંખ્યામાં 8, 7, 0 અને 0 એમ ચાર સાર્થક અંકો છે.

6. દશાંશચિહ્નવાળી સંખ્યામાં દશાંશચિહ્ન પછીના જમણી બાજુના બધા જ શૂન્યો સાર્થક અંક છે.
દા. ત., 152.00 cmમાં 1, 5, 2, 0 અને 0 એમ પાંચ સાર્થક અંકો છે.

7. જો સંખ્યા 1 કરતાં નાની હોય, તો દશાંશિચહ્નની ડાબી તરફના શૂન્યો સાર્થક અંક નથી.
દા. ત., 0.3450 સંખ્યામાં લીટી દોરેલ શૂન્ય સાર્થક અંક નથી.

8. માપનમાં એકમપદ્ધતિ બદલવાથી સાર્થક અંકોની સંખ્યા બદલાતી નથી, એટલે કે સાર્થક અંકોની સંખ્યા એકમપદ્ધતિ પર આધારિત નથી.
દા. ત., 15.9 cm, 0.159m અને 0.000159 km ત્રણેય સંખ્યામાં 1, 5 અને 9 એમ ત્રણ સાર્થક અંકો છે.

9. ગુણક અથવા ભાજક કે જે Round off (સંનિકટ) સંખ્યા ના હોય અથવા કોઈ માપનું ચોક્કસ મૂલ્ય ના દર્શાવતી હોય તે ચોક્કસ સંખ્યા છે. તેને અનંત સાર્થક અંકો હોય છે.
દા. ત., ત્રિજ્યા (r) = \(\frac{d}{2}\) અથવા પરિઘ = 2πr જેવાં સૂત્રોમાં કારક ‘2’ એ ચોક્કસ સંખ્યા છે. તેને 2.0 અથવા 2.00 અથવા 2.000 જરૂરિયાત મુજબ લખી શકાય છે, એટલે કે તેને અનંત સાર્થક અંકો છે.

પ્રશ્ન 30.
“માપનના એકમો બદલી સાર્થક સંખ્યામાં શૂન્યો વધારવામાં આવે, તો સાર્થક અંકોની સંખ્યા બદલાતી નથી.” સમજાવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, એક તારની લંબાઈ 25 m છે. તેના એકમો બદલતાં,
25 m = 2500 cm = 25000 mm = 0.025 km
અહીં, મૂળ સંખ્યા 25માં 2 અને 5 એમ બે સાર્થક અંકો છે. હવે એકમ બદલતાં નવી સંખ્યામાં શૂન્યો ફક્ત સ્થાનમૂલ્યો જ દર્શાવે છે. તેમજ સાર્થક અંક નક્કી કરવાના નિયમ અનુસાર દાંશિચહ્ન સિવાયની સંખ્યામાં અંતિમ શૂન્યેતર અંકની જમણી તરફના શૂન્યાંકો સાર્થક અંકો નથી.

છેલ્લા માપન 0.025માં દશાંશચહ્ન પછીના જમણી બાજુના અને પ્રથમ શૂન્યેતર અંક 2ની પહેલાંના શૂન્યો સાર્થક અંક નથી. આમ આ સંખ્યાને પણ ફક્ત બે સાર્થક અંકો છે.

આથી માત્ર સંખ્યાના એકમ બદલવાથી સાર્થક અંકોની સંખ્યા બદલાતી નથી.

પ્રશ્ન 31.
નીચે આપેલ સાર્થક સંખ્યામાં સાર્થક અંકો કેટલા છે?
1. 5395 N
2. 0.037 m
3. 7.0035 g cm^-3
4. 2.58 m
5. 6800 N
6. 0.00045 km
7. 17.500
8. 25.00
ઉત્તર:

ક્રમ	સાર્થક સંખ્યા	સાર્થક  અંકની સંખ્યા	સાર્થક અંકો
1.	5395	4	5, 3, 9, 5
2.	0.037	2	3, 7
3.	7.0035	5	7, 0, 0, 3, 5
4.	2.58	3	2, 5, 8
5.	6800	2	6, 8
6.	0.00045	2	4, 5
7.	17.500	5	1, 7, 5, 0, 0
8.	25.00	4	2, 5, 0, 0

પ્રશ્ન 32.
સાર્થક અંક નક્કી કરવાની વૈજ્ઞાનિક સંકેત પદ્ધતિ સમજાવો.
ઉત્તર:
આ પદ્ધતિમાં દરેક સંખ્યાને a × 10^bના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે. જ્યાં ‘a’ એ 1થી 10 વચ્ચેની કોઈ સંખ્યા અને ‘b’ એ 10નો ધન અથવા ઋણ ઘાતાંક છે. આપેલ સંખ્યાને દશાંશિચહ્નની ડાબી તરફ ફક્ત એક અંક રહે તે રીતે 10ની ઘાતમાં દર્શાવો. આ રીતે દર્શાવેલ સંખ્યામાં 10ની ઘાત સિવાય આવતા અંકો સાર્થક અંક છે.
દા. ત. , 125.3m = 1.253 × 10²mમાં ચાર સાર્થક અંકો (1, 2, 5, 3) છે. 0.007 kg = 7 × 10^-3 kgમાં એક સાર્થક અંક (7) છે. 4100 m² = 4.1 × 10³ m²માં બે સાર્થક અંક (4, 1) છે.
નોંધ : ધારો કે, એક સળિયાની લંબાઈનું માપન x = 5.100 m છે. અહીં છેલ્લા બે શૂન્યોનો ઉદ્દેશ માપનની સચોટતા દર્શાવવાનો છે. તેથી તે સાર્થક છે. આ સંખ્યાને ચાર સાર્થક અંકો છે.
આ માપનમાં જો એકમ બદલવામાં આવે, તો
x = 5.100 m = 510.0 cm = 5100 mm
= 0.005100 km
અહીં, સંખ્યા 5100 mmને ફક્ત બે સાર્થક સંખ્યા છે. જ્યારે આપેલ માપનને ચાર સાર્થક સંખ્યા છે. નિયમ મુજબ એકમ બદલવાથી સાર્થક અંકોની સંખ્યા બદલાવી જોઈએ નહીં. આવી મૂંઝવણ દૂર કરવા માટે ઉ૫૨ સમજાવ્યા મુજબની વૈજ્ઞાનિક સંકેત પદ્ધતિ વાપરવી જોઈએ.
x = 5.100 m = 5.100 × 10² cm
= 5.100 × 10³ mm = 5.100 × 10^-3 km
અહીં, દરેક સંખ્યામાં ચાર સાર્થક અંકો છે.
યાદ રાખો, વૈજ્ઞાનિક સંકેત પદ્ધતિમાં આધાર સંખ્યા (a)ના બધા જ શૂન્યાંકો સાર્થક અંક હોય છે.

પ્રશ્ન 33.
માપનની સંખ્યામાં અનિશ્ચિત અંકોને ‘round off’ કરવાના નિયમો જણાવો.
ઉત્તર:
સંન્નિકટ સંખ્યાઓની ગણતરીથી મેળવેલ પરિણામોમાં એક કરતાં વધુ અનિશ્ચિત અંકો હોય છે. તેને યોગ્ય સાર્થક અંકો સુધી round off કરવા જોઈએ. આ માટેના નિયમો નીચે મુજબ છેઃ

નિયમ 1 : આપેલ સંખ્યામાંથી જે અંક કાઢી નાખવાનો હોય, તે 5 કરતાં ઓછો હોય, તો તેની પહેલાંના અંકમાં કોઈ ફેરફાર કરવો નહિ.
દા. ત., x = 5.83 cmને round off કરતાં x = 5.8 cm લખાય.

નિયમ 2 : આપેલ સંખ્યામાંથી જે અંક કાઢી નાખવાનો હોય, તે 5 કરતાં વધુ હોય, તો તેની પહેલાંના અંકમાં 1 ઉમેરવો.
દા. ત., x = 5.87 cmને round off કરતાં x = 5.9 cm લખાય.

નિયમ 3 : આપેલ સંખ્યામાંથી જે અંક કાઢી નાખવાનો હોય તે અંક 5 હોય, તો તેની પહેલાંનો અંક એકી હોય, તો તેમાં 1 ઉમેરવો અને જો તેની પહેલાંનો અંક બેકી હોય, તો તેમાં કંઈ ઉમેરવું નહિ.
દા. ત., x = 5.75 cmને round off કરતાં x = 5.8 cm થાય. x = 5.85 cmને round off કરતાં x = 5.8 cm થાય.

• અટપટી અથવા જિટલ લાંબી ગણતરી હોય ત્યારે મધ્યવર્તી પદોમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા કરતાં એક અંક વધુ રાખીને યોગ્ય સાર્થક અંક સુધી round off કરવું જોઈએ.
• ઘણા બધા સાર્થક અંક ધરાવતી સંખ્યાને ચોક્કસ કિસ્સાઓમાં જરૂરિયાત પ્રમાણે સાર્થક અંકોની સંખ્યા મર્યાદિત કરી ઉપયોગમાં લેવી જોઈએ.
  દા. ત., πનું મૂલ્ય = 3.1415926… છે, જેને અનેક સાર્થક અંકો છે. જરૂરિયાત મુજબ નું મૂલ્ય 3.142 અથવા 3.14 લઈ શકાય છે.

જો સંખ્યા a × 10_bના સ્વરૂપમાં હોય અને તેનું સંન્નિકટ મૂલ્ય દર્શાવવા માટે તેને round off કરી શકાય છે. જો a ≤ 5 હોય ત્યારે 1 અને 5 < a ≤ 10 હોય ત્યારે 10 લઈને સંખ્યાનું round off કરી શકાય. અને સંખ્યાના અંદાજિત મૂલ્યને 10^bના સ્વરૂપે દર્શાવી શકીએ છીએ. અહીં, 10ની ઘાત ‘b’ ભૌતિક રાશિના માનનો ક્રમ દર્શાવે છે.

દા. ત., પૃથ્વીનો વ્યાસ (1.28 × 10⁷m) છે, એટલે કે તે 10⁷ mના ક્રમનો છે તેમ કહેવાય અને તેના માનનો ક્રમ 7 છે. હાઇડ્રોજન પરમાણુનો વ્યાસ 1.06 × 10^-10m, એટલે કે તે 10^-10 mક્રમનો છે અને તેના માનનો ક્રમ -10 છે.

પ્રશ્ન 34.
સાર્થક સંખ્યાઓના ગુણાકાર-ભાગાકાર કરતી વખતે કયા મુદ્દાઓ ધ્યાનમાં રાખવા જોઈએ?
ઉત્તર:
સાર્થક સંખ્યાઓના ગુણાકાર-ભાગાકાર કરતી વખતે નીચેના મુદ્દાઓ ધ્યાનમાં રાખવા જોઈએ :
(1) આપેલ સંખ્યાઓના ગુણાકાર કે ભાગાકારથી મળતાં અંતિમ પરિણામમાં એટલા જ સાર્થક અંક રાખવા જોઈએ જેટલા મૂળ સંખ્યાઓ પૈકીની જે સંખ્યામાં લઘુતમ સાર્થક અંક હોય.
દા. ત., 2.613 m × 1.2 m = 3.1356 m² થાય, પરંતુ આપેલ સંખ્યાઓમાં લઘુતમ સાર્થક અંકો ધરાવતી સંખ્યા 1.2 છે, જેને બે સાર્થક અંકો છે. આથી ગુણનફળને બે અંકો સુધી round off કરવું જોઈએ. ∴ 2.613m × 1.2 m = 3.1 m²

(2) જે સંખ્યાઓને ગુણવાની-ભાગવાની હોય તેમાંની જે સંખ્યા માપન દર્શાવતી ન હોય, તો તે સંખ્યા ચોક્કસ હોય છે. તેમજ કોઈ ભૌતિક સમીકરણમાં આવતી પૂર્ણાંક અથવા અપૂર્ણાંક સંખ્યા પણ ચોક્કસ હોય છે.
દા. ત., υ² – υ₀² = 2ax સમીકરણમાં અંક 2 તેમજ \(\frac{1}{2}\) mυ²માં અંક \(\frac{1}{2}\) ચોક્કસ છે, તેને અનંત સાર્થક અંકો છે. આવા કિસ્સાઓમાં ગુણાકાર-ભાગાકાર કરતી વખતે ચોક્કસ સંખ્યાના સાર્થક અંકો ધ્યાનમાં લેવા નહિ.

પ્રશ્ન 35.
સાર્થક સંખ્યાઓના સરવાળા-બાદબાકી કરતી વખતે કયા મુદ્દાઓ ધ્યાનમાં રાખવા જોઈએ?
ઉત્તર:
સાર્થક સંખ્યાઓના સરવાળા-બાદબાકી કરતી વખતે નીચેના મુદ્દાઓ ધ્યાનમાં રાખવા જોઈએ :
(1) આપેલ સાર્થક સંખ્યાઓ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવતી હોય, તો તેમના સરવાળા-બાદબાકી સામાન્ય સરવાળા-બાદબાકીની રીતે જ કરવા.

(2) આપેલ સંખ્યાઓના સરવાળા-બાદબાકીમાં તે સંખ્યાઓમાંથી લઘુતમ દશાંશસ્થાનો ધરાવતી સંખ્યામાં જેટલા દશાંશસ્થાનો હોય તેટલાં જ દશાંશસ્થાનો અંતિમ પરિણામમાં રાખવા.
દા. ત., l₁ = 15.365 m અને l₂ = 0.8 m હોય, તો l = l₁ + l₂ 15.365 + 0.8 = 16.165 m થાય. પરંતુ l₂ = 0.8 mમાં દશાંશસ્થાન પછી એક જ સાર્થક સંખ્યા છે. આથી l = 16.165 mને round off કરી l = 16.2 m વડે દર્શાવાય.

પ્રશ્ન 36.
નીચેનાં સમીકરણોના અંતિમ પરિણામને યોગ્ય સાર્થક અંકો સુધી round off કરોઃ
(i) 5.2 kg + 3.33 kg + 10.456 kg
(ii) 25.35 cm – 12.2 cm
(iii) 75.5 × 125.2 × 0.51
(iv) \(\frac{2.51 \times 10^{-4} \times 1.81 \times 10^7}{0.4463}\)
ઉત્તર:
(i) 5.2 kg + 3.33 kg + 10.456 kg = 18.986 kg = 19.0 kg
(પ્રથમ દશાંશસ્થાન સુધી round off કરતાં)

(ii) 25.35 cm – 12.2 cm = 13.15 cm = 13.2 cm
(પ્રથમ દશાંશસ્થાન સુધી round off કરતાં)

(iii) 75.5 × 125.2 × 0.51 = 4820.826 = 4800
(બે સાર્થક અંકો સુધી round off કરતાં)

(iv) \(\frac{2.51 \times 10^{-4} \times 1.81 \times 10^7}{0.4463}\) = 10.1795 × 10³
= 10.2 × 10³
(ત્રણ સાર્થક અંક સુધી round off કરતાં)

પ્રશ્ન 37.
અંકગણિતીય ગણતરીનાં પરિણામોમાં અનિશ્ચિતતા (ત્રુટિ) નક્કી કરવાના નિયમો ઉદાહરણ સહિત સમજાવો.
ઉત્તર:
આપેલ રાશિની ગાણિતિક ગણતરીમાં અનિશ્ચિતતા અથવા ત્રુટિ નક્કી કરવાના નિયમો નીચે આપેલ ઉદાહરણો પરથી સમજી શકાય :

(1) એક મીટરપટ્ટીથી લંબચોરસ તકતીની લંબાઈ અને પહોળાઈ માપતાં તે અનુક્રમે 15.8 cm અને 10.2 cm મળે છે. અહીં, દરેક માપનમાં ત્રણ સાર્થક અંકો છે અને દશાંચિહ્ન પછી એક સ્થાન સુધી ચોક્કસ છે. આથી લંબાઈ lને નીચે મુજબ લખી શકાય :
l = (15.8 ± 0.1) cm = 15.8 cm ± (\(\frac{0.1}{15.8}\) ×100)%
= 15.8 cm ± 0.6%
આ જ રીતે પહોળાઈ,
b = (10.2 ± 0.1) cm = 10.2 cm ± (\(\frac{0.1}{10.2}\) × 100)%
= 10.2 cm ± 1 %

લંબચોરસ તકતીનું ક્ષેત્રફળ,
A = l × b = 15.8 cm × 10.2 cm 161.16 cm²

ત્રુટિઓના સંયોજનના નિયમ અનુસાર, લંબચોરસ તકતીના ક્ષેત્રફળના સૂત્ર A = l × b પરથી, ક્ષેત્રફળમાં મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ,
\(\frac{\Delta A}{A}=\frac{\Delta l}{l}+\frac{\Delta b}{b}\)
= \(\frac{0.1}{15.8}+\frac{0.1}{10.2}\)
= (0.006329 + 0.009804) = 0.01613
∴ ΔA = (0.01613) × A
= (0.01613) × 161.16 = 2.599 cm²
આમ, લંબચોરસ તકતીનું ક્ષેત્રફળ
A = (161.16 ± 2.599) cm²
અહીં l અને bના પ્રાયોગિક માપનમાં લઘુતમ સાર્થક અંકો ત્રણ છે તથા તેમનું માપન કરતાં સાધન(મીટરપટ્ટી)નું લઘુતમ માપ 0.1 cm હોવાથી લઘુતમ માપ ત્રુટિ (Least count error) 0.1 cm થાય. તેથી ત્રુટિને માત્ર એક સાર્થક અંક જ હોવો જોઈએ.

આમ, ક્ષેત્રફળના માપનને round off કરતાં, તે નીચે મુજબ લખી શકાય :
A = (161 ± 3) cm²
અહીં, લંબચોરસ તકતીના ક્ષેત્રફળની ગણતરીમાં અનિશ્ચિતતા અથવા ત્રુટિ 3 cm² છે.

પ્રતિશત ત્રુટિના પદમાં ક્ષેત્રફળ A :
A = (161.16 ± 2.599) cm²
= 161.16 ± (\(\frac{2.599}{161.16}\)) × 100)%
= 161.16 ± (0.0161 × 100) %
= 161.16 ± 1.613%
= 161.16 ± 1.6 % (વધુ સાચી રીતે દર્શાવતાં)
નોંધ : (Aમાં પ્રતિશત ત્રુટિ) = (1માં પ્રતિશત ત્રુટિ) + (bમાં પ્રતિશત ત્રુટિ)
= (0.6%) + (1%) = 1.6%

(2) જો કોઈ પ્રાયોગિક મૂલ્યોનો ગણ n સાર્થક અંકો સુધી દર્શાવેલ હોય, તો મૂલ્યોના સંયોજનથી મળતા પરિણામમાં પણ n સાર્થક અંકો જ માન્ય છે. પરંતુ જો મૂલ્યોની બાદબાકી કરવામાં આવે તો સાર્થક અંકોની સંખ્યા ઘટે છે.
દા. ત., x = 12.5 cm અને y = 9.09 cm છે. આ બંને સંખ્યાને ત્રણ સાર્થક અંકો છે.
હવે, x – y = 12.5 – 9.09 = 3.41 cm, જેને પણ ત્રણ સાર્થક અંકો છે.
પરંતુ સાર્થક અંકોના સરવાળા-બાદબાકીના અંતિમ પરિણામમાં લઘુતમ સાર્થક અંકોની સંખ્યા નહિ પણ લઘુતમ દશાંશસ્થાનો ધરાવતી સંખ્યા જોવાય છે. 12.5 cmવાળી સંખ્યાને દશાંશસ્થાન પછી એક અંક છે. આથી અંતિમ પરિણામ 3.41 cmને પણ દશાંશસ્થાન પછી એક જ અંક હોવો જોઈએ.
આમ, x – y = 3.41 cm = 3.4 cm

અહીં, સ્પષ્ટ છે કે પ્રાયોગિક મૂલ્યોને ત્રણ સાર્થક અંક છે, પરંતુ તેમની બાદબાકીને ફક્ત બે સાર્થક અંક છે.

(3) n સાર્થક અંક સહિત દર્શાવેલ સાર્થક સંખ્યાની સાપેક્ષ ત્રુટિ માત્ર n પર આધારિત નથી. પરંતુ તે સંખ્યા પર પણ આધારિત છે.
દા. ત., m₁ = (1.01 ± 0.01)g અને
m₂ = (9.37 ± 0.01)g છે. અહીં, બંને માપનમાં 0.01 g સુધીની ચોકસાઈ છે.
1.01 gમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ = \(\frac{\Delta m_1}{m_1}\) = ± \(\frac{0.01}{1.01}\) × 100 = ± 1 %
9.37 gમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ \(\frac{\Delta m_2}{m_2}\) = ± \(\frac{0.01}{9.37}\) × 100 = ± 1 %
આમ, સાપેક્ષ ત્રુટિ સંખ્યા પર આધારિત છે.

(4) બહુપદીય ગણતરી(Multistep calculation)માં વચગાળાનાં (મધ્યવર્તી) પરિણામોની ગણતરી કરતી વખતે, ઓછા સચોટવાળા માપનના સાર્થક અંકોની સંખ્યા કરતાં એક સાર્થક અંક વધારે રાખી ગણતરી કરવી જોઈએ.
દા. ત., x = 9.58 ને ત્રણ સાર્થક અંકો છે.
x નું વ્યસ્ત લેતાં, \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{1}{9.58}\)
= 0.10438
= 0.104 (ત્રણ અંક સુધી round off કરતાં)
હવે, 0.104નું વ્યસ્ત લઈ તેના મૂલ્યને ત્રણ અંક સુધી round off કરતાં 9.62 મળે છે, જે મૂળ સંખ્યા 9.58 કરતાં ઘણું અલગ છે.
પરંતુ = \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{1}{9.58}\) = 0.10438 ને એક સાર્થક અંક વધુ રાખીને એટલે કે ચાર સાર્થક અંક સુધી round off કરતાં \(\frac{1}{x}\) = 0.1044 મળે. તેના વ્યસ્તને ત્રણ સાર્થક અંક સુધી round off કરતાં 9.58 મળે.
આમ, વચગાળાની ગણતરીઓમાં એક સાર્થક અંક વધુ રાખીને, round offની પ્રક્રિયામાં વધારાની ત્રુટિ નિવારી શકાય છે.

પ્રશ્ન 38.
ભૌતિક જગતનાં સાત પરિમાણ વિશે ઉદાહરણ સહિત સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
કોઈ ભૌતિક રાશિની પ્રકૃતિ તેનાં પરિમાણ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે. સાધિત એકમો દ્વારા વ્યક્ત થતી બધી ભૌતિક રાશિને સાત મૂળભૂત રાશિઓનાં પદમાં આપી શકાય છે. આ મૂળ સાત રાશિઓને ભૌતિક જગતના સાત પરિમાણ કહે છે. તેને ચોરસ કૌંસ ([ ]”)માં લખાય છે.

લંબાઈનું પરિમાણ = [L], દળનું પરિમાણ = [M]
સમયનું પરિમાણ = [T], વિદ્યુતપ્રવાહનું પરિમાણ = [A]
થરમૉડાઇનેમિક તાપમાનનું પરિમાણ = [K]
જ્યોતિ તીવ્રતાનું પરિમાણ = [cd]
દ્રવ્યના જથ્થાનું પરિમાણ = [mol]

કોઈ પણ ભૌતિક રાશિને વ્યક્ત કરવા માટે મૂળભૂત રાશિઓ પર મૂકવામાં આવતા ઘાતાંકોને ભૌતિક રાશિના પરિમાણ કહે છે.
દા. ત.,
(1) લંબચોરસ તકતીના કદને લંબાઈ, પહોળાઈ અને જાડાઈ એમ ત્રણ લંબાઈના ગુણાકાર દ્વારા વ્યક્ત કરાય છે. આથી કદનું પરિમાણ [V] = [L] × [L] × [L] = [L]³ = [L]³. આમ, કદને લંબાઈમાં ત્રણ પરિમાણ છે. દળનું પરિમાણ શૂન્ય [M⁰] અને સમયનું પરિમાણ [T⁰] શૂન્ય છે.

(2) બળને દ્રવ્યમાન અને પ્રવેગના ગુણાકાર સ્વરૂપે લખી શકાય.
બળ = દળ × પ્રવેગ = દળ × (પ્રવેગની વ્યાખ્યા અનુસાર)
બળના પરિમાણ [F] = \(\frac{[\mathrm{M}][\mathrm{L}]}{[\mathrm{T}]^2}\) = [MLT^-2]
અહીં, બળ એ દળમાં 1, લંબાઈમાં 1 અને સમયમાં – 2 પરિમાણ ધરાવે છે.

પ્રશ્ન 39.
પારિમાણિક સૂત્ર અને પારિમાણિક સમીકરણ એટલે શું? ઉદાહરણ આપી સમજાવો.
ઉત્તર:
આપેલ ભૌતિક રાશિને કેટલી અને કઈ મૂળભૂત રાશિઓ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે, તે દર્શાવતા સમીકરણને તે ભૌતિક રાશિનું પારિમાણિક સૂત્ર કહે છે.

દા. ત., કદનું પારિમાણિક સૂત્ર [M⁰L³T⁰] અને પ્રવેગનું પારિમાણિક સૂત્ર [M⁰LT^-2] છે.

• કોઈ ભૌતિક રાશિને તેના પારિમાણિક સૂત્ર સાથે લખવાથી મળતા સમીકરણને તે ભૌતિક રાશિનું પારિમાણિક સમીકરણ કહે છે.
• પારિમાણિક સમીકરણ એ ભૌતિક રાશિને મૂળભૂત રાશિઓના પરિમાણના પદોમાં નિરૂપણ કરેલ હોય છે.
  દા. ત., બળનું પારિમાણિક સમીકરણ,
  [બળ] = [F] = [MLT^-2]
  ઘનતાનું પારિમાણિક સમીકરણ, [ઘનતા] = [] = [M L^-3 T⁰]

પ્રશ્ન 40.
નીચે દર્શાવેલ ભૌતિક રાશિઓનાં પારિમાણિક સૂત્રો મેળવો : (i) પાવર (ii) પૃષ્ઠતાણ ( iii ) પ્લાંક અચળાંક (iv) ઉષ્મા-ઊર્જા (v) બોલ્ટ્સમૅન અચળાંક (vi) વિદ્યુતભાર (vii) વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત
ઉત્તર:

પારિમાણિક વિશ્લેષણ માટે અગત્યના મુદ્દાઓ :

1. સમાન પરિમાણો ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓના જ સરવાળા અથવા બાદબાકી થઈ શકે.
2. જ્યારે બે અથવા વધારે ભૌતિક રાશિઓના રિમાણોનો ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવામાં આવે ત્યારે તેમના પરિમાણો સાથે બીજગણિતીય સંજ્ઞાઓની જેમ જ ગણતરી કરવામાં આવે છે. અંશ અને છેદના સમાન પરિમાણો રદ કરી શકીએ છીએ.
3. સમીકરણની બંને બાજુએ દર્શાવતી ભૌતિક રાશિની સંજ્ઞાઓમાં સમાન પરિમાણ હોવા જોઈએ.
4. સમીકરણમાં ત્રિકોણમિતીય, લઘુગુણકીય અને ચરઘાતાંકીય વિધેયો પરિમાણ રહિત હોવા જોઈએ.
5. એક ચોક્કસ અંક, સમાન ભૌતિક રાશિનો ગુણોત્તર એ પરિમાણ રહિત છે. દા. ત., ખૂણો (θ) એ ચાપ અને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર છે. બંનેને લંબાઈના સમાન પરિમાણ છે. આથી તે પરિમાણ રહિત છે. આ જ રીતે વક્રીભવનાંક એ બે જુદા જુદા માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપનો ગુણોત્તર છે. આથી તે પરિમાણ રહિત છે.

પ્રશ્ન 41.
પારિમાણિક વિશ્લેષણ એટલે શું? તેના ઉપયોગો જણાવો.
ઉત્તર:
પારિમાણિક સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ભૌતિક વિજ્ઞાનના અમુક પ્રશ્નોના ઉકેલ મેળવવાની પદ્ધતિને પારિમાણિક વિશ્લેષણ (Dimensional analysis) કહે છે.
પારિમાણિક વિશ્લેષણના ઉપયોગો :

1. બે જુદી જુદી એકમપદ્ધતિના કોઈ ભૌતિક રાશિના એકમો વચ્ચેનો સંખ્યાત્મક સંબંધ મેળવવો.
2. ભૌતિક રાશિઓને સાંકળતા સમીકરણની યથાર્થતા પારિમાણિક વિશ્લેષણ વડે ચકાસવી.
3. કોઈ ભૌતિક રાશિનું અન્ય ભૌતિક રાશિઓ સાથે સંબંધ દર્શાવતું સમીકરણ મેળવવું.

પ્રશ્ન 42.
પરિમાણનો સુસંગતતાનો નિયમ જણાવો. તેનો આધાર શું છે?
ઉત્તર:
કોઈ પણ ભૌતિક રાશિનાં મૂલ્યો(માન)નો સરવાળો, બાદબાકી અથવા સરખામણી ત્યારે જ કરી શકાય, જ્યારે તેમના પરિમાણ સમાન હોય.

• દા. ત., વેગના મૂલ્યને બળના મૂલ્યમાં ઉમેરી ના શકાય તેમજ વિદ્યુતપ્રવાહને થરમૉડાઇનેમિક તાપમાનમાંથી બાદ ન કરી શકાય. આ સિદ્ધાંતો પર આધારિત પરિમાણનો સુસંગતતાનો નિયમ (The Principle of Homogeneity of Dimension) નીચે મુજબ છે :
• પરિમાણનો સુસંગતતાનો નિયમ ઃ આ નિયમ અનુસાર, કોઈ પણ ભૌતિક સમીકરણની બંને બાજુનાં પદોનાં પારિમાણિક સૂત્રો સમાન હોય, તો તે સમીકરણ પારિમાણિક દૃષ્ટિએ સુસંગત છે તેમ કહેવાય.
• એટલે કે આપેલ સમીકરણનાં બંને બાજુનાં પદોના પારિમાણિક સૂત્રમાં M, L અને Tના ઘાત સમાન હોવા જોઈએ. જો આ ઘાતો સમાન ના હોય, તો સમીકરણ ખોટું છે તેમ સાબિત થાય.
  ઉદાહરણ : અચળ પ્રવેગ ‘a’થી ગતિ કરતા કણે t સમયમાં કાપેલ અંતર,
  x = x₀ + υ₀t + \(\frac{1}{2}\) at²
  જ્યાં, x₀ એ કણનું પ્રારંભિક સ્થાન અને υ₀ એ કણનો પ્રારંભિક
  વેગ છે. આ સમીકરણ પારિમાણિક દૃષ્ટિએ સુસંગત છે કે કેમ તે આપણે ચકાસવું છે.
• આપેલ સમીકરણના દરેક પદનાં પારિમાણિક સૂત્રો લખતાં,
  [x] = [L]
  [x₀] = [L]
  [υ₀t] = [LT^-1] [T] = [L]
  [\(\frac{1}{2}\) at²] = [L^-2] [T²] = [L]
• આપેલ સમીકરણના બંને બાજુઓના પદના પારિમાણિક સૂત્ર સમાન છે. આથી આ સમીકરણ પારિમાણિક દૃષ્ટિએ સાચું છે.
  [સમીકરણનું પારિમાણિક સૂત્ર લખતી વખતે તેમાં આવતા પદોના ગુણક કે સહગુણકને ધ્યાનમાં લેવા નહિ.]
• જો કોઈ સમીકરણ પારિમાણિક દષ્ટિએ સુસંગત ના હોય, તો તે ખોટું છે તેમ સાબિત થાય છે. પરંતુ સુસંગત સમીકરણ સાચું છે તેમ પણ સાબિત થતું નથી.

પ્રશ્ન 43.
“પારિમાણિક દષ્ટિએ સુસંગત સમીકરણ વાસ્તવિક રીતે સાચું ન પણ હોઈ શકે, પરંતુ પારિમાણિક દષ્ટિએ વિસંગત સમીકરણ ખોટું જ સમીકરણ છે.” ઉદાહરણ આપી સમજાવો.
ઉત્તર:
પરિમાણના સુસંગતતાના નિયમ અનુસાર ભૌતિક સમીકરણની બંને બાજુનાં પદોનાં પારિમાણિક સૂત્રોમાં M, L અને Tની ઘાતો સમાન હોય, તો તે પારિમાણિક દૃષ્ટિએ સુસંગત છે તેમ કહેવાય; પરંતુ જો M, L અને Tની ઘાતો સમાન ના હોય, તો પારિમાણિક દૃષ્ટિએ વિસંગત છે અને સમીકરણ ખોટું છે તેમ સાબિત થાય.
દા. ત., કણની ગતિ-ઊર્જા K = m²υ³ સમીકરણથી અપાય છે.
[K] = [M L² T^-2]
[m²υ³] = [M]²[L T^-1]³ = [M²L³T^-3]
અહીં, [K] ≠ [m²υ³]
આથી આપેલ સમીકરણ પારિમાણિક દૃષ્ટિએ વિસંગત અને ખોટું છે તેમ સાબિત થાય છે.

હવે, બીજું ઉદાહરણ જોઈએ. ધારો કે, કણની ગતિ-ઊર્જા
K = (\(\frac{3}{16}\))mυ² વડે અપાય છે.
[K] = [M L² T^-2]
[mυ²] = [M][L T^-1]² = [M L²T^-2]
અહીં સમીકરણની બંને બાજુનાં પદોનાં પારિમાણિક સૂત્રો સમાન છે, એટલે કે પારિમાણિક દૃષ્ટિએ સુસંગત છે, પરંતુ સમીકરણ સત્ય છે તેમ સાબિત થતું નથી, કારણ કે કણની ગતિ-ઊર્જાનું સાચું સમીકરણ K = \(\frac{1}{2}\)mυ² છે.

આ જ રીતે જો કાર્ય = ટૉર્ક લખવામાં આવે, તો બંને ભૌતિક રાશિનાં પારિમાણિક સૂત્રો સમાન છે; પરંતુ આપેલ સમીકરણ યોગ્ય નથી, કારણ કે કાર્ય અદિશ રાશિ છે, જે ઊર્જા દર્શાવે છે. ટૉર્ક સદિશ રાશિ છે, જે પદાર્થમાં ચાકગતિ ઉત્પન્ન કરે છે.

પ્રશ્ન 44.
વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા પદાર્થ પર લાગતાં કેન્દ્રગામી બળ F = \(\frac{m v^2}{r}\) સૂત્રની પારિમાણિક દૃષ્ટિએ સુસંગતતા તપાસો. જ્યાં, r = વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા, υ = પદાર્થનો રેખીય વેગ અને m = પદાર્થનું દળ છે.
ઉત્તર:
વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા પદાર્થ પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ F = \(\frac{m v^2}{r}\) છે. આ સમીકરણની સુસંગતતા ચકાસીએ.
સમીકરણની ડાબી બાજુ માટે,
[F ] = [M¹L¹T^-2]
સમીકરણની જમણી બાજુ માટે,
\(\left[\frac{m v^2}{r}\right]=\frac{[m][v]^2}{[r]}\)
= \(\frac{\left[\mathrm{M}^1\right]\left[\mathrm{L}^1 \mathrm{~T}^{-1}\right]^2}{\left[\mathrm{~L}^1\right]}\)
= [M¹L¹T^-2]
આમ, [F] = [\(\frac{m v^2}{r}\)[ હોવાથી, આપેલ સમીકરણ પારિમાણિક દૃષ્ટિએ સુસંગત છે.

પ્રશ્ન 45.
પારિમાણિક વિશ્લેષણની મદદથી કોઈ ભૌતિક રાશિનું અન્ય ભૌતિક રાશિઓ સાથે સંબંધ દર્શાવતું સમીકરણ કેવી રીતે મેળવી શકાય? યોગ્ય ઉદાહરણ વડે સમજાવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, સાદા લોલકના આવર્તકાળનું સમીકરણ મેળવવું છે. સાદા લોલકનો આવર્તકાળ (T) નીચેની બાબતો પર આધારિત હોઈ શકે :
(1) લોલકની લંબાઈ (l)
(2) લોલકના ગોળાના દળ (m)
(3) સ્થળ આગળના ગુરુત્વપ્રવેગ (g)
ધારો કે l, m, gના થાત અનુક્રમે a, b અને c છે. લોલકનો આવર્તકાળ T ∝ l^a
∝ m^b
∝ g^c
∴ T ∝ l^am^bg^c
∴ T = k l^am^bg^c …………. (1)
જ્યાં, k સપ્રમાણતા અચળાંક છે. k પરિમાણ રહિત છે.
a, b, c ∈ R.
સમીકરણ (1)ની બંને બાજુઓનાં પદોના પારિમાણિક સૂત્ર મૂકતાં,
[M⁰L⁰T¹] = [M⁰L¹T⁰]^a × [M¹L⁰T⁰]^b × [M⁰L¹T^-2]^c
∴ [M⁰L⁰T¹] = [L^a] × [M^p] × [L^CT^-2C]
∴ [M⁰L⁰T¹] = [M^bL^{a + c} T^-2c]
સમીકરણની બંને બાજુના M, L અને Tના ઘાત સરખાવતાં,
b = 0
a + c = 0
-2c = 1
∴ c = – \(\frac{1}{2}\)
a + c = 0
∴ a = -c = – (-\(\frac{1}{2}\)) = + \(\frac{1}{2}\)
a, b, cનાં મૂલ્યો સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
T = \(k l^{\frac{1}{2}} m^0 g^{-\frac{1}{2}}\)
∴ T = k\(\sqrt{\frac{l}{g}}\)
kનું મૂલ્ય પ્રયોગથી નક્કી કરાય છે, જે 2π છે.
∴ લોલકનો આવર્તકાળ T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\)

પ્રશ્ન 46.
પારિમાણિક વિશ્લેષણની મદદથી બે જુદી જુદી એકમ- પદ્ધતિઓના એકમો વચ્ચેનો સંખ્યાત્મક સંબંધ કેવી રીતે મેળવી શકાય ? ઉદાહરણ સહિત સમજાવો.
ઉત્તર:
એકમપદ્ધતિ બદલવાથી કોઈ પણ ભૌતિક રાશિની માત્રા બદલાતી નથી.

ધારો કે, કોઈ એક ભૌતિક રાશિ Q નું u₁ એકમપદ્ધતિમાં મૂલ્ય n₁ અને u₂ એકમપદ્ધતિમાં મૂલ્ય n₂ છે.
∴ Q = n₁u₁ = n₂u₂
ધારો કે, Qનું પારિમાણિક સૂત્ર M^aL^bT^c છે. કોઈ એક એકમ- પદ્ધતિમાં તેના મૂળભૂત એકમો M₁, L₁ અને T₁ છે. બીજી એકમપદ્ધતિમાં M₂, L₂ અને T₂ છે.
પ્રથમ એકમપદ્ધતિ માટે, Q = n₁ [M₁^a L₁^b T₁^c]
બીજી એકમપદ્ધતિ માટે Q = n₂[M₂^a L₂^b T₂^c]
હવે, Q = n₁ [M₁^a L₁^b T₁^c] = n₂[M₂^a L₂^b T₂^c]
∴ n₂ = n₁[latex]\frac{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}[/latex]^a [latex]\frac{\mathrm{L}_1}{\mathrm{L}_2}[/latex]^b [latex]\frac{\mathrm{T}_1}{\mathrm{T}_2}[/latex]^c

આમ, જો કોઈ એક એકમપદ્ધતિમાં Qનું મૂલ્ય n₁ જાણતાં હોઈએ તો બીજી એકમપદ્ધતિમાં તેનું મૂલ્ય n₂ શોધી શકાય.
ઉદાહરણ : MKS પદ્ધતિમાં બળનો એકમ newton (N) છે અને CGS પદ્ધતિમાં બળનો એકમ dyne છે. આપણે newton અને dyne વચ્ચેનો સંબંધ મેળવવો છે.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર [F] = M₁L₁T_-2 છે.
∴ a = 1, b = 1 અને c = – 2 થશે.
MKS પદ્ધતિમાં, M₁ = 1 kg, L₁ = 1m, T₁ = 1s,
n₂ = ? (dyne)

10³ × 10² = 10⁵
∴ 1 newton = 10⁵ dyne

પ્રશ્ન 47.
પારિમાણિક વિશ્લેષણની મદદથી joule અને erg વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો.
ઉત્તર:
MKS પદ્ધતિમાં કાર્યનો એકમ joule (J) છે.
CGS પદ્ધતિમાં કાર્યનો એકમ erg છે.
કાર્યનું પારિમાણિક સૂત્ર [W] = [M¹L²T^-2
∴ a = 1, b = 2, c = 2.
MKS પદ્ધતિમાં, M₁ = 1 kg = 1000 g, L₁ = 1m = 100 cm, T₁ = 1s અને n₁ = 1 joule
CGS પદ્ધતિમાં , M₂ = 1 g, L₂ = 1 cm, T₂ = 1 s, n₂ = ? (erg)
∴ n₂ = n₁ [latex]\frac{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}[/latex]^a [latex]\frac{\mathrm{L}_1}{\mathrm{L}_2}[/latex]^b [latex]\frac{\mathrm{T}_1}{\mathrm{T}_2}[/latex]^c
= 1[latex]\frac{1000}{1}[/latex]¹ [latex]\frac{100}{1}[/latex]² [latex]\frac{1}{1}[/latex]^-2 = 10⁷
∴ 1 joule = 10⁷ erg

પ્રશ્ન 48.
પારિમાણિક વિશ્લેષણની મર્યાદાઓ જણાવો.
ઉત્તર:
(1) પારિમાણિક સમીકરણમાં M, L, Tનાં ઘાતવાળાં પદોની સરખામણી કરતાં વધુમાં વધુ ત્રણ જ સમીકરણો મળે છે. તેમનો ઉકેલ મેળવીને ત્રણ ભૌતિક રાશિ સાથેની ઘાતનાં ત્રણ અજ્ઞાત મૂલ્યો મેળવી શકાય છે. પણ કોઈ સમીકરણમાં ત્રણ કરતાં વધુ રાશિઓ હોય, તો સમીકરણનું નિશ્ચિત સ્વરૂપ મેળવી શકાતું નથી.

(2) ભૌતિક રાશિના સમીકરણમાં આવતા પરિમાણ રહિત અંક વિશે માહિતી મળતી નથી.
દા. ત., લોલકના આવર્તકાળના સૂત્ર T = k\(\sqrt{\frac{l}{g}}\) માં kનું મૂલ્ય ફક્ત પ્રાયોગિક રીતે નક્કી કરી શકાય છે.

(3) ચરઘાતાંકીય, ત્રિકોણમિતીય અને લૉગ વિધેય ૫૨ આધારિત સમીકરણો મેળવી શકાતાં નથી.
દા. ત., sin ω t માં ω t અને e^-kxમાં kx પરિમાણ રહિત છે.

(4) જો સમીકરણમાં આવતા સપ્રમાણતા અચળાંકને કોઈ એકમ હોય, તો આ પદ્ધતિ ઉપયોગી બનતી નથી.
દા. ત., F = G\(\frac{m_1 m_2}{r^2}\) માં અચળાંક G ને Nm²kg^-2 એકમ હોવાથી આવાં સમીકરણો મેળવી શકાતાં નથી.
(5) જે સમીકરણમાં એક કરતાં વધુ પદો આવતાં હોય તેવાં સમીકરણ મેળવી શકાતાં નથી. દા. ત., x = x₀ + v₀t + \(\frac{1}{2}\)at²

હેતુલક્ષી પ્રશ્નોત્તર
નીચેના પ્રશ્નોના ટૂંકમાં ઉત્તર આપો :

પ્રશ્ન 1.
એકમ એટલે શું?
ઉત્તર :
કોઈ પણ ભૌતિક રાશિનું માપન એક નિશ્ચિત, આધારભૂત, યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ આંતરરાષ્ટ્રીય માન્યતાપ્રાપ્ત પ્રમાણભૂત માપ સાથે સરખામણી કરવામાં આવે છે. ભૌતિક રાશિના આ પ્રમાણિત માપને એકમ કહે છે.

પ્રશ્ન 2.
મૂળભૂત ભૌતિક રાશિ અને મૂળભૂત એકમ કોને કહેવાય?
ઉત્તર:
અનેક રાશિઓ પૈકી ઓછામાં ઓછી એવી ભૌતિક રાશિઓ પસંદ કરવામાં આવે છે કે જેમની મદદથી બીજી ભૌતિક રાશિઓ ઉપજાવી શકાય. આ રીતે પસંદ કરેલ ઓછામાં ઓછી ભૌતિક રાશિઓને મૂળભૂત ભૌતિક રાશિઓ કહે છે.

મૂળભૂત ભૌતિક રાશિઓના એકમને મૂળભૂત એકમ કહે છે.

પ્રશ્ન 3.
SI એકમપદ્ધતિની પૂરક ભૌતિક રાશિઓ કઈ કઈ છે? તેના એકમો જણાવો.
ઉત્તર:
SI એકમપદ્ધતિની બે પૂરક ભૌતિક રાશિઓ છે.

1. સમતલકોણ (dθ), તેનો એકમ radian (rad) છે.
2. ઘનકોણ (dΩ), તેનો એકમ steradian (sr) છે.

પ્રશ્ન 4.
ઘનકોણની વ્યાખ્યા આપો.
ઉત્તર:
ગોળાના પૃષ્ઠ પરના ક્ષેત્રફળ (dA) એ ગોળાના કેન્દ્ર સાથે આંતરેલ કોણ અને તેની ત્રિજ્યા (r)ના ગુણોત્તરને ઘનકોણ કહે છે.
ઘનકોણ (dΩ) = \(\frac{d A}{r^2}\)

પ્રશ્ન 5.
‘કેન્ડેલા’એ કઈ ભૌતિક રાશિનો એકમ છે?
ઉત્તર:
‘કેન્ડેલા’એ જ્યોતિ તીવ્રતાનો એકમ છે.

પ્રશ્ન 6.
1 radian બરાબર કેટલી ડિગ્રી (Degree) થાય?
ઉત્તર:
πrad = 180°
∴ 1 rad = \(\frac{180^{\circ}}{\pi}=\frac{180 \times 7}{22}\) = 57.3°

પ્રશ્ન 7.
1 મૅટ્રિક ટન બરાબર કેટલા ક્વિન્ટલ થાય?
ઉત્તર:

∴ 1 મૅટ્રિક ટન = 10 ક્વિન્ટલ

પ્રશ્ન 8.
કાર્ય અથવા ઊર્જાના એકમને SI એકમપદ્ધતિના મૂળભૂત એકમોમાં દર્શાવો.
ઉત્તર:
SI એકમપદ્ધતિમાં કાર્યનો એકમ J (Joule) છે.
કાર્ય = બળ × અંતર
= (દળ × પ્રવેગ) × અંતર

J = \(\frac{\mathrm{kg} \mathrm{m}^2}{\mathrm{~s}^2}\) = kg m²s^-2

પ્રશ્ન 9.
nm, mN અને Nm વચ્ચેનો તફાવત જણાવો.
ઉત્તર:
nm એટલે nanometre 1 nm = 10^-9m
mN એટલે milli newton 1 mN 10^-3 N
N m એટલે newton metre, જે કાર્યનો એકમ છે.

પ્રશ્ન 10.
શું ખૂણાનું માપ લંબાઈના એકમ પર આધારિત છે?
ઉત્તર:
ના, કારણ કે
θ (radian) =
આમ, θ એ બે લંબાઈનો ગુણોત્તર છે. આથી તે લંબાઈના એકમ પર આધારિત નથી.

પ્રશ્ન 11.
ગ્રહનો કોણીય વ્યાસ (α) એટલે શું?
ઉત્તર:
ગ્રહનાં વ્યાસાંત બિંદુઓ વડે પૃથ્વી પરના કોઈ એક અવલોકન સ્થળે આંતરાતો ખૂણો તે ગ્રહનો કોણીય વ્યાસ (α) કહે છે.

પ્રશ્ન 12.
1 AU વ્યાખ્યાયિત કરો.
ઉત્તર:
સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેના સરેરાશ અંતરને 1 AU કહે 9. (1 AU = 1.496 × 10¹¹ m) આપો.

પ્રશ્ન 13.
parsec કંઈ ભૌતિક રાશિનો એકમ છે? તેની વ્યાખ્યા
ઉત્તર :
parsec એ ઍસ્ટ્રોનોમીમાં ખૂબ જ મોટાં અંતરો માપવા માટેનો વ્યવહારિક એકમ છે.
વ્યાખ્યા : જે અંતરે પૃથ્વીની ભ્રમણકક્ષાની સરેરાશ ત્રિજ્યા વડે 1″ (arc second) જેટલો ખૂણો અંતરાય છે, તે અંતરને 1 parsec કહે છે.

પ્રશ્ન 14.
ન્યુક્લિયસનું પરિમાણ માપવા માટે કયો એકમ વપરાય છે?
ઉત્તર :
ન્યુક્લિયસનું પરિમાણ માપવા માટે fermi એકમ વપરાય છે. 1 fermi = 10^-15 m.

પ્રશ્ન 15.
1 m બરાબર કેટલા પ્રકાશવર્ષ (ly) થાય?
ઉત્તર:
1 ly = 9.46 × 10¹⁵m
અથવા 9.46 × 10¹⁵m = 1 ly
∴ 1 m = \(\frac{1}{9.46 \times 10^{15}}\)ly = 1.057 × 10^-16 ly

પ્રશ્ન 16.
સ્ટીલનો યંગ મૉડ્યુલસ 1.9 × 10¹¹ N m^-2 છે, તેને dyne cm^-2માં દર્શાવો.
ઉત્તર:
Y = 1.9 × 10¹¹ \(\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^2}\)
= 1.9 × 10¹¹ \(\frac{10^5 \text { dyne }}{(100 \mathrm{~cm})^2}\)
= 1.9 × 10¹² dyne cm^-2

પ્રશ્ન 17.
શું પદાર્થને શૂન્ય દળ અને શૂન્ય વજન હોઈ શકે?
ઉત્તર:
ના, કોઈ પણ પદાર્થનું દળ (m) શૂન્ય ના હોઈ શકે, પરંતુ તેનું વજન (W) શૂન્ય હોઈ શકે. પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર વુનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવાથી ત્યાં પદાર્થનું વજન શૂન્ય હોય છે.

પ્રશ્ન 18.
ત્રુટિ એટલે શું?
ઉત્તર:
ભૌતિક રાશિના માપનમાં રહેલી અચોકસાઈને ત્રુટિ કહે છે.

પ્રશ્ન 19.
માપનમાં ચોકસાઈ અને સચોટતા વચ્ચેનો ભેદ જણાવો.
ઉત્તર:
ચોકસાઈ : કોઈ રાશિના માપનનું મૂલ્ય તે રાશિના સાચા મૂલ્યની કેટલી નજીક છે, તેને ચોકસાઈ કહે છે.
સચોટતા : ભૌતિક રાશિનું માપન કેટલા વિભેદન અથવા સીમા સુધી કરવામાં આવ્યું છે, તેને સચોટતા કહે છે.

પ્રશ્ન 20.
નીચે આપેલા લંબાઈના કયા માપનમાં સૌથી વધુ સચોટતા અને ક્યા માપનમાં સૌથી ઓછી સચોટતા છે?
(i) l = 5 cm
(ii) l = 5.00 cm
(iii) l = 5.000 cm
(iv) l = 5.0000 cm
ઉત્તર:
l = 5.0000 cm માપનની સૌથી વધુ સચોટતા છે, કારણ કે તેનું માપન 0.0001 cm લઘુતમ માપ શક્તિવાળા સાધનથી કરવામાં આવ્યું છે.
l = 5 cm માપનની સૌથી ઓછી સચોટતા છે, કારણ કે તેનું માપન 1 cm લ.મા.શ.વાળા સાધનથી કરેલું છે.

પ્રશ્ન 21.
નીચેનામાંથી લંબાઈનું કયું માપન સૌથી વધુ સચોટ છે અને કયું માપન સૌથી વધુ ચોક્કસ છે?
(i) 3.00 mm
(ii) 2.00 cm
(iii) 2.00 m
(iv) 20.00 m
ઉત્તર:

લંબાઈ (l)	લઘુતમ માપ (Δl)	સાપેક્ષ ત્રુટિ (Δl/l)
(i) 3.00 mm	0.01 mm	0.0033
(ii) 2.00 cm	0.01 cm	0.005
(iii) 2.00 m	0.01 m	0.005
(iv) 20.00 m	0.01 m	0.0005

ઉપરના કોષ્ટક પરથી સ્પષ્ટ છે કે, 20.00 mના માપનમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ 0.0005 એ લઘુતમ છે, આથી તે સૌથી વધુ ચોક્કસ (Accurate) છે. જ્યારે 8.00 mm માપન એ સૌથી ઓછી લઘુતમ માપ શક્તિ (0.01 mm) ધરાવતા સાધનથી માપેલું છે. આથી તે સૌથી વધુ સચોટ (Precise) છે.

પ્રશ્ન 22.
ભૌતિક સમીકરણમાં આવતી કઈ રાશિનું ચોકસાઈપૂર્વક માપન કરવું જોઈએ?
ઉત્તર:
ભૌતિક સમીકરણમાં જે ભૌતિક રાશિને મહત્તમ ઘાતાંક (દા. ત., n ઘાત) હોય તેનું ચોકસાઈપૂર્વક માપન કરવું જોઈએ, કારણ કે તેનાં અંતિમ પરિણામમાં ત્રુટિ n ગણી થાય છે.

પ્રશ્ન 23.
વ્યવસ્થિત ત્રુટિ કઈ રીતે ઓછી કરી શકાય?
ઉત્તર:
પ્રયોગપદ્ધતિમાં સુધારો કરી, સારી ગુણવત્તાવાળાં સાધનો વાપરી તેમજ વ્યક્તિગત નબળાઈઓ દૂર કરી માપનમાં ઉદ્ભવતી વ્યક્તિગત ત્રુટિ ઓછી કરી શકાય.

પ્રશ્ન 24.
સાદા લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\) છે.
સાદા લોલકથી g માપવાના પ્રયોગમાં કઈ ભૌતિક રાશિનું માપન વધુ ચોકસાઈપૂર્વક કરવું જોઈએ?
ઉત્તર:
T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\)
∴ g = 4π²\(\frac{l}{T^2}\)
∴ g માં આંશિક ત્રુટિ = \(\frac{\Delta l}{l}\) + 2 \(\frac{\Delta T}{T}\)
અહીં, આવર્તકાળની આંશિક ત્રુટિ બે વડે ગુણાતી હોવાથી આવર્તકાળનું માપન ચોકસાઈપૂર્વક કરવું જોઈએ.

પ્રશ્ન 25.
6.0 અને 6.000 વચ્ચેનો ભેદ જણાવો.
ઉત્તર:
માપન 6.0ને બે સાર્થક અંકો છે, જ્યારે 6.000ને ચાર સાર્થક અંકો છે. એટલે કે 6.0 માપન એ દશાંચિહ્ન પછીના પ્રથમ સ્થાન સુધી ચોક્કસ છે, જ્યારે 6.000 માપન એ દશાંશચિહ્ન પછીના ત્રણ સ્થાન સુધી ચોક્કસ છે.

પ્રશ્ન 26.
ત્રણ સાર્થક અંકો સુધી round off કરોઃ
(i) 35.8673 m
(ii) 0.05236 m
ઉત્તર:
(i) 35.9 m
(ii) 0.0524 m

પ્રશ્ન 27.
સમીકરણ A = 4πr²માં 4ને કેટલા સાર્થક અંકો હશે?
ઉત્તર:
આપેલ સમીકરણમાં એ ચોક્કસ સંખ્યા છે. ચોક્કસ સંખ્યાને અનંત સાર્થક અંકો હોય છે. તેને 4 અથવા 4.0 અથવા 4.00 અથવા 4.000 … વડે પણ દર્શાવી શકાય.

પ્રશ્ન 28.
જો θ₁ = 25.5 ± 0.1 °C ; θ₂ = 35.3 ± 0.1 °C
હોય, તો θ₁ – θ₂ શોધો.
ઉત્તર:
θ₁ – θ₂ = (25.5 ± 0.1) – (35.3 ± 0.1)
= ((25.5 – 35.3) ± (0.1 + 0.1)) °C
= (- 9.8 ± 0.2) °C

પ્રશ્ન 29.
એક પદાર્થનું દળ 225 ± 0.05gછે. આ માપમાં પ્રતિશત ત્રુટિ શોધો.
ઉત્તર:
m = (225 ± 0.05) g
આથી mમાં પ્રતિશત ત્રુટિ = \(\frac{\Delta m}{m}\) × 100
= \(\frac{0.05}{225}\) × 100
= 0.022 %

પ્રશ્ન 30.
સાર્થક અંકોને ધ્યાનમાં રાખી નીચેના સમીકરણનું અંતિમ પરિણામ મેળવો :
3.84 + 0.0239 – 0.568
ઉત્તર:
3.84 + 0.0239 – 0.568 = 3.2959
અહીં, 3.84 સંખ્યાને દશાંશસ્થાન બાદ બે અંકો છે. આથી બે અંકો સુધી round off કરતાં,
અંતિમ પરિણામ = 3.30.

પ્રશ્ન 31.
0.00000629 સંખ્યાને વૈજ્ઞાનિક સંકેત પદ્ધતિમાં દર્શાવો.
ઉત્તર:
0.00000629 = 6.29 × 10^-6

પ્રશ્ન 32.
સાદા લોલકના આવર્તકાળ માપવાના પ્રયોગમાં તેનું સરેરાશ મૂલ્ય 1.935 s મળે છે. આ માપનમાં બધી જ નિરપેક્ષ ત્રુટિનું સરેરાશ મૂલ્ય 0.23 s છે. લોલકના આવર્તકાળને યોગ્ય સાર્થક અંક વડે દર્શાવો.
ઉત્તર:
સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ 0.23 s છે, જેને બે સાર્થક અંકો છે. આથી આવર્તકાળના મૂલ્યને પણ બે સાર્થક અંક હોવા જોઈએ. 1.935 sને બે સાર્થક અંક સુધી round off કરતાં, T = 1.9 s.

પ્રશ્ન 33.
પારિમાણિક સૂત્ર એટલે શું?
ઉત્તર:
આપેલ ભૌતિક રાશિને કેટલી અને કઈ મૂળભૂત રાશિઓ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે, તે દર્શાવતા સમીકરણને ભૌતિક રાશિનું પારિમાણિક સૂત્ર કહે છે.

પ્રશ્ન 34.
પરિમાણ એટલે શું?
ઉત્તર:
આપેલ ભૌતિક રાશિને વ્યક્ત કરવા માટે મૂળભૂત રાશિઓ પર મૂકવામાં આવતા ઘાતાંકોને તે ભૌતિક રાશિના પરિમાણ કહે છે.

પ્રશ્ન 35.
ભૌતિક રાશિ ઘનતામાં દળ, લંબાઈ અને સમયનું પરિમાણ કેટલું છે?
ઉત્તર:
ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર [M¹L^-3T⁰] છે.
આથી ભૌતિક રાશિ ઘનતામાં દળનું પરિમાણ 1, લંબાઈનું પરિમાણ – 3 અને સમયનું પરિમાણ શૂન્ય છે.

પ્રશ્ન 36.
પરિમાણનો સુસંગતતાનો નિયમ જણાવો.
ઉત્તર:
કોઈ પણ ભૌતિક સમીકરણની બંને બાજુનાં પદોનાં પારિમાણિક સૂત્રો સમાન હોય, તો તે સમીકરણ પારિમાણિક દૃષ્ટિએ સુસંગત છે તેમ કહેવાય.

પ્રશ્ન 37.
શું દરેક ભૌતિક રાશિને પરિમાણ હોય છે? જો ‘ના’ તો ત્રણ પરિમાણ રહિત ભૌતિક રાશિનાં નામ આપો.
ઉત્તર:
ના, દરેક ભૌતિક રાશિને પરિમાણ હોતા નથી. દા. ત., સમતલકોણ, સાપેક્ષ ઘનતા, વક્રીભવનાંક વગેરે પરિમાણ રહિત ભૌતિક રાશિઓ છે.

પ્રશ્ન 38.
શું કોઈ ભૌતિક રાશિને એકમ હોય, પરંતુ તે પરિમાણ રહિત હોય?
ઉત્તર:
હા. દા. ત., સમતલકોણ – જેનો એકમ radian છે, પરંતુ તે પરિમાણ રહિત છે.

પ્રશ્ન 39.
એકમ રહિત અને પરિમાણ રહિત કોઈ એક ભૌતિક રાશિનું નામ આપો.
ઉત્તર:
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક – જે એકમ રહિત અને પરિમાણ રહિત ભૌતિક રાશિ છે કે તે બે જુદાં જુદાં માધ્યમોમાં પ્રકાશની ઝડપનો ગુણોત્તર દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 40.
કેવા પ્રકારનાં સમીકરણો પારિમાણિક વિશ્લેષણની મદદથી મેળવી શકાતાં નથી ?
ઉત્તર:
ચરઘાતાંકીય, ત્રિકોણમિતીય અને લૉગ વિધેય પર આધારિત સમીકરણો પારિમાણિક વિશ્લેષણની મદદથી મેળવી શકાતાં નથી.

પ્રશ્ન 41.
ઉષ્મા-ઊર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર લખો.
ઉત્તર:
[M¹L² T^-2]

પ્રશ્ન 42.
[M⁰L⁰A¹T¹] કઈ ભૌતિક રાશિનું પારિમાણિક સૂત્ર છે?
ઉત્તર:
વિદ્યુતભાર

પ્રશ્ન 43.
F = G\(\frac{m_1 m_2}{r^2}\) સૂત્ર પારિમાણિક વિશ્લેષણની રીતથી મેળવી શકાય? શા માટે?
ઉત્તર:
F = G\(\frac{m_1 m_2}{r^2}\) સૂત્ર પારિમાણિક વિશ્લેષણની રીતથી મેળવી શકાય નહિ, કારણ કે આ સૂત્રમાં આવેલ સપ્રમાણતા અચળાંક G એકમ ધરાવે છે.

પ્રશ્ન 44.
પારિમાણિક સૂત્ર M^aL^bT^c માં જો a = 1, b = 1 અને c = – 2 હોય, તો તે કઈ ભૌતિક રાશિ હશે?
ઉત્તર:
બળ

પ્રશ્ન 45.
બે ભૌતિક રાશિનાં નામ જણાવો, જેનું પારિમાણિક સૂત્ર [M L² T^-2] હોય.
ઉત્તર:
કાર્ય અને ટૉર્ક.

પ્રશ્ન 46.
F = a + bx સૂત્રમાં a અને bનાં પારિમાણિક સૂત્ર જણાવો. જ્યાં, F એ બળ અને x અંતર દર્શાવે છે.
ઉત્તર:
પારિમાણિક સુસંગતતાના નિયમ અનુસાર,
[F] = [a] = [bx]
∴ [a] = [F] = M L T^-2
અને [b] = [latex]\frac{F}{x}[/latex] = [\(\frac{\mathrm{M} \mathrm{L} \mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{~L}}\) ] = [M T^-2]

પ્રશ્ન 47.
x = at + bt² સમીકરણમાં x એ meterમાં અને t એ hoursમાં હોય, તો a અને b ના એકમો જણાવો.
ઉત્તર:
પારિમાણિક સુસંગતાના નિયમ અનુસાર,
[x] = [at] = [bt²]
∴ [a] = [latex]\frac{x}{t}[/latex]
∴ વનો એકમ = \(\frac{m}{h}\)

[b] = [latex]\frac{x}{t^2}[/latex]
∴ b નો એકમ = \(\frac{m}{h^2}\)

પ્રશ્ન 48.
\(\sqrt{\lambda g}\) એ કઈ ભૌતિક રાશિ દર્શાવે છે? જ્યાં, 2 એ તરંગલંબાઈ અને g એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
ઉત્તર:
[latex]\sqrt{\lambda g}[/latex] = [latex]\sqrt{[\mathrm{L}]\left[\mathrm{LT}^{-2}\right]}[/latex]
= \(\left[\mathrm{L}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right]^{\frac{1}{2}}\) = [LT^-1]
\(\sqrt{\lambda g}\) નું પારિમાણિક સૂત્ર એ ઝડપ અથવા વેગના પારિમાણિક સૂત્ર જેવું છે. આથી તે ઝડપ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 49.
y = A sin (ωt – kx) સૂત્રમાં ω અને kનું પારિમાણિક સૂત્ર જણાવો. જ્યાં, x એ અંતર અને t એ સમય દર્શાવે છે.
ઉત્તર:
y = A sin (ωt – kx)માં sine વિધેય એ પરિમાણ રહિત છે. આથી,
[ω] = [latex]\frac{1}{t}[/latex] = [latex]\frac{1}{T}[/latex] = T^-1
[k] = [latex]\frac{1}{x}[/latex] = [latex]\frac{1}{L}[/latex] = L^-1

પ્રશ્ન 50.
દર્શાવો કે, ઊર્જા-ઘનતા અને દબાણનાં પારિમાણિક સૂત્રો સમાન છે.
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 51.
વર્નિયર કેલિપર્સના મુખ્ય સ્કેલ પર 1 mmના કાપા દર્શાવેલા છે. વર્નિયર સ્કેલના 20 કાપા બરાબર મુખ્ય સ્કેલના 16 કાપા છે. આ વર્નિયર કેલિપર્સની લઘુતમ માપ શક્તિ કેટલી?
ઉત્તર:
વર્નિયર સ્કેલના 20 કાપા = 16 mm
∴ વર્નિયર સ્કેલના એક કાપાનું મૂલ્ય (VSD) = \(\frac{16}{20}\) = 0.8mm
લઘુતમ માપ શક્તિ = (મુખ્ય સ્કેલના બે કાપા વચ્ચેનું અંતર) – (વર્નિયર સ્કેલના બે કાપા વચ્ચેનું અંતર)
= 1 mm – 0.8 mm
= 0.2 mm

પ્રશ્ન 52.
વર્નિયર કેલિપર્સની લઘુતમ માપ શક્તિ 0.05 mm છે. તેના મુખ્ય સ્કેલ પર 1 cmમાં 10 કાપા આપેલા છે. વર્નિયર સ્કેલ પર કુલ કાપાની સંખ્યા કેટલી હશે?
ઉત્તર:
મુખ્ય સ્કેલના એક કાપાનું મૂલ્ય = \(\frac{1 \mathrm{~cm}}{10}\)
= 0.1 cm
= 1 mm

\(\frac{1 \mathrm{~mm}}{0.05 \mathrm{~mm}}\) = 20 કાપા

પ્રશ્ન 53.
એક સ્ક્રૂગેજની પીચ 1 mm અને વર્તુળાકાર સ્કેલ પર 50 કાપા છે. ગેજના બંને છેડા સંપર્કમાં લાવતા વર્તુળાકાર સ્કેલનો 44મો કાપો સંદર્ભરેખા સાથે સંપાત થાય છે અને મુખ્ય સ્કેલનો શૂન્ય દેખાતો નથી. આ સ્ક્રૂગેજની ત્રુટિ કેટલી?
ઉત્તર:
ક્રૂગેજની લઘુતમ માપ શક્તિ = \(\frac{1 \mathrm{~mm}}{50}=\frac{1}{50}\)mm
ફ્રૂગેજની ત્રુટિ = – (50 – 44) × \(\frac{1}{50}\)mm = – \(\frac{6}{50}\)

નીચેનાં વિધાનો ખરાં છે કે ખોટાં તે જણાવો :

(1) ભૌતિક રાશિઓ જ્યોતિ તીવ્રતા, વિદ્યુતપ્રવાહ અને ઘનકોણ એ SI એકમપદ્ધતિની મૂળભૂત રાશિઓ છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(2) SI એકમપદ્ધતિમાં સમતલકોણનો એકમ સ્ટીરેડિયન છે અને તેની સંજ્ઞા dΩ છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(3) સમતલકોણ અને ઘનકોણ બંને ભૌતિક રાશિઓ પરિમાણ રહિત છે.
ઉત્તર:
ખરું

(4) 1 atm = 1.013 × 10⁵Pa
ઉત્તર:
ખરું

(5) \(\frac{1 \mu \mathrm{m}}{1 \mathrm{fm}}\) = 10⁹
ઉત્તર:
ખરું

(6) ખૂબ જ સૂક્ષ્મ અંતરો, જેમ કે અણુના પરિમાણના માપન માટે સ્ક્રૂગેજ જેવા સાધનનો ઉપયોગ થાય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(7) ઇલેક્ટ્રૉન માઇક્રોસ્કોપની વિભેદનશક્તિ 0.6 Å જેટલી હોય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(8) સૂર્ય અને ચંદ્ર વચ્ચેના સરેરાશ અંતરને 1 AU કહે છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(9) પાર્સેક એ અંતરનો એકમ છે.
ઉત્તર:
ખરું

(10) કોઈ રાશિના માપનનું મૂલ્ય તે રાશિના સાચા મૂલ્યની કેટલી નજીક છે, તેને સચોટતા કહે છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(11) ભૌતિક રાશિનું માપન કેટલા વિભેદન અથવા સીમા સુધી કરવામાં આવ્યું છે, તેને સચોટતા કહે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(12) દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદને કારણે અવલોકનમાં ઉદ્ભવતી ત્રુટિ એ વ્યક્તિગત ત્રુટિ છે.
ઉત્તર:
ખરું

(13) કોઈ ભૌતિક રાશિના સાચા મૂલ્ય અને વ્યક્તિગત માપેલ મૂલ્યના તફાવતને તે અવલોકનની નિરપેક્ષ ત્રુટિ કહે છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(14) દશાંશચિહ્ન સિવાયની સંખ્યામાં અંતિમ શૂન્યેતર અંકની જમણી તરફના શૂન્યાંકો સાર્થક અંકો છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(15) સંખ્યાઓના ગુણાકાર કે ભાગાકારથી મળતા અંતિમ પરિણામમાં એટલા જ સાર્થક અંક રાખવા જોઈએ. જેટલા મૂળ સંખ્યાઓ પૈકીની સંખ્યામાં લઘુતમ સાર્થક અંક હોય.
ઉત્તર:
ખરું

(16) સાર્થક સંખ્યા 5.055 અને 0.005055માં સાર્થક અંકોની સંખ્યા અનુક્રમે 4 અને 6 છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(17) (3.20 + 4.80) × 10⁵ માં સાર્થક અંકોની સંખ્યા 3 છે.
ઉત્તર:
ખરું

(18)
1.23 cm × 2.345 cm માપના લંબચોરસનું સાર્થક અંકમાં ક્ષેત્રફળ 2.884 cm² થાય.
ઉત્તર:
ખોટું

(19) એક સળિયાની લંબાઈ (10.15 ± 0.05) cm છે. આવા બે સળિયાની કુલ લંબાઈ (20.30 ± 0.10) cm થાય.
ઉત્તર:
ખરું

(20) ગલનગુપ્ત ઉષ્માનું પારિમાણિક સૂત્ર M¹L²T^-2 છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(21) વેગમાન અને બળનો આઘાત આ બંને ભૌતિક રાશિનાં પારિમાણિક સૂત્રો સમાન છે.
ઉત્તર:
ખરું

(22) કોણીય વેગમાન અને રેખીય વેગમાનના ગુણોત્તરનું પારિમાણિક સૂત્ર L₁ છે.
ઉત્તર:
ખરું

(23) બળ = સમીકરણમાં ભૌતિક રાશિ Xનું પારિમાણિક સૂત્ર M²L^-2T^-2 છે.
ઉત્તર:
ખરું

ખાલી જગ્યાઓ પૂરો :

(1) SI એકમપદ્ધતિમાં સમતલકોણનો એકમ ……………….. છે.
ઉત્તર:
રેડિયન

(2) CGS પદ્ધતિમાં 100 g દળ ધરાવતા કણનું વજન …………………. થાય.
ઉત્તર:
9.8 × 10⁴ dyne

(3) 1° = ……………….. સેકન્ડ
ઉત્તર:
3600

(4) 1″= ………………. rad.
ઉત્તર:
4.85 × 10^-4

(5) પ્રકાશવર્ષ એ …………………… ભૌતિક રાશિનો એકમ છે.
ઉત્તર:
અંતર

(6) ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક અચળાંકનો SI એકમ ………………….. છે.
ઉત્તર:
Nm² kg^-2

(7) સ્ટિફન બોલ્ટ્સમૅન અચળાંક (σ)નો SI એકમ ……………………. છે.
ઉત્તર:
W m^-2 K^-4

(8) પ્રકાશીય વિકિરણની તરંગલંબાઈ 0.00005 m = ……………………. micron થાય.
ઉત્તર:
50

(9) 10 amu = ………………. kg.
ઉત્તર:
1.66 × 10^-26

(10) \(\frac{\text { volt }}{\text { metre }}\) એ ……………………. ભૌતિક રાશિનો એકમ છે.
ઉત્તર:
વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા

(11) જો x = ab^-1 હોય અને Δa અને Δb અનુક્રમે a અને bના માપનમાં રહેલ ત્રુટિ દર્શાવતા હોય, તો ના માપનમાં મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ …………………… થાય.
ઉત્તર:
(\(\frac{\Delta a}{a}+\frac{\Delta b}{b}\)) × 100

(12) જો Z = A³ હોય, તો Zમાં ઉદ્ભવતી સાપેક્ષ ત્રુટિ ……………………. થાય.
ઉત્તર:
3\(\frac{\Delta A}{A}\)

(13) r ત્રિજ્યાના ગોળાનું કદ V = \(\frac{4}{3}\)πr³ છે. Vના માપનમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ \(\frac{\Delta V}{V}\) = ………………….
ઉત્તર:
3\(\frac{\Delta r}{r}\)

(14) ગતિ-ઊર્જા K અને રેખીય વેગમાન P વચ્ચેનો સંબંધ K = \(\frac{P^2}{2 m}\) છે. જો દળ m અચળ રહેતું હોય, તો Kના માપનમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ ………………………. થશે.
ઉત્તર:
2\(\frac{\Delta p}{p}\)

(15) એક પદાર્થના દળ અને વેગનું માપન કરતાં અવલોકનમાં ઉદ્ભવતી પ્રતિશત ત્રુટિ અનુક્રમે 2% અને 3% છે, તો તેની ગતિ-ઊર્જાના માપનમાં ઉદ્ભવતી મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ
………………… થશે.
ઉત્તર:
8%

(16) જો L = 2.381 cm અને B = 2.1 cm હોય, તો સાર્થક અંકોના સંદર્ભમાં L + B = …………………. cm.
ઉત્તર:
4.4

(17) સાર્થક અંકના સંદર્ભમાં 107.88 × 0.610 = ………………… .
ઉત્તર:
65.8

(18) 0.0543માં સાર્થક અંકોની સંખ્યા ……………………. છે.
ઉત્તર:
3

(19) 20.200માં સાર્થક અંકોની સંખ્યા ……………………. છે.
ઉત્તર:
5

(20) ઘનકોણનું પારિમાણિક સૂત્ર ………………………… છે.
ઉત્તર:
M⁰L⁰T⁰

(21) ઉષ્મા-ઊર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર ……………………. છે.
ઉત્તર:
M¹L²T^-2

(22) જો C અને R અનુક્રમે કૅપેસિટન્સ અને અવરોધ હોય, તો RCનું પારિમાણિક સૂત્ર ………………………. થશે.
ઉત્તર:
M⁰L⁰T¹

(23) વિકિરણની તીવ્રતાનું પારિમાણિક સૂત્ર …………………….. છે.
ઉત્તર:
M¹L⁰T^-3

(24) y = A sin (ω (\(\frac{x}{v}\) – k)) વડે રજૂ થતાં તરંગ-સમીકરણમાં υ રેખીય વેગ અને ω કોણીય વેગ હોય, તો k નું પારિમાણિક સૂત્ર …………………… થશે.
ઉત્તર:
M⁰L⁰T¹

(25) CGS એકમપદ્ધતિમાં લાકડાની ઘનતા 0.5g/cc છે, તો MKS એકમપદ્ધતિમાં તેનું મૂલ્ય …………………. થશે.
ઉત્તર:
500

(26) જો લંબાઈના એકમને x મીટર તરીકે સ્વીકારીએ, તો ક્ષેત્રફળ 1m² = ………………. .
ઉત્તર:
\(\frac{1}{x^2}\)

(27) કોઈ એક ભૌતિક રાશિનું સૂત્ર (\(\frac{\pi}{3}\)x² – y²) z છે. જ્યાં; x, y અને z લંબાઈ દર્શાવે છે. આ ભૌતિક રાશિ …………………….. છે.
ઉત્તર:
કદ

(28) પદાર્થ પર લાગતું બળ F = A cos Bx + C sin Dt સૂત્રથી અપાય છે. જ્યાં, x મીટરમાં અને t સેકન્ડમાં છે, તો Bx નું પારિમાણિક સૂત્ર …………………..
થશે.
ઉત્તર:
M⁰L⁰T⁰

યોગ્ય જોડકાં જોડો :

પ્રશ્ન 1.

વિભાગ A (એકમ)	વિભાગ B (ભૌતિક રાશિ)
1. અઁગસ્ટ્રોમ ( Å)	P. ધનકોણ
2. u (amu)	q. જ્યોતિ તીવ્રતા
3. સ્ટીરેડિયન (Sr)	r. અંતર
4. કેન્ડેલા (cd)	s. દળ

ઉત્તર:
(1 – r), (2 – s), (3 – p), (4 – q).

વિભાગ A (એકમ)	વિભાગ B (ભૌતિક રાશિ)
1. અઁગસ્ટ્રોમ ( Å)	r. અંતર
2. u (amu)	s. દળ
3. સ્ટીરેડિયન (Sr)	P. ધનકોણ
4. કેન્ડેલા (cd)	q. જ્યોતિ તીવ્રતા

પ્રશ્ન 2.

વિભાગ A (ભૌતિક રાશિ)	વિભાગ B (પારિમાણિક સૂત્ર)
1. સાપેક્ષ ઘનતા	p. M1L2T-2
2. ટૉર્ક	q. M1L0T-2
3. પૃષ્ઠતાણ	r. M0L0A1T1
4. વિદ્યુતભાર	s. M0L0T0

ઉત્તર :
(1 – s), (2 – p), (3 – q), (4 – r).

વિભાગ A (ભૌતિક રાશિ)	વિભાગ B (પારિમાણિક સૂત્ર)
1. સાપેક્ષ ઘનતા	s. M0L0T0
2. ટૉર્ક	p. M1L2T-2
3. પૃષ્ઠતાણ	q. M1L0T-2
4. વિદ્યુતભાર	r. M0L0A1T1

પ્રશ્ન 3.

વિભાગ A (ભૌતિક અચળાંક)	વિભાગ B (SI એકમ)
1. સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષી અચળાંક (G)	p. M1L2T-2K-1
2. બોલ્ટ્સમૅન અચળાંક (kB)	q. Js
3. પ્લાન્ક અચળાંક (h)	r. Nm2 kg-2
4. ડાઇઇલેક્ટ્રિક અચળાંક	s. એકમ રહિત

ઉત્તર :
(1 – r), (2 – p), (3 – q), (4 – s).

વિભાગ A (ભૌતિક અચળાંક)	વિભાગ B (SI એકમ)
1. સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષી અચળાંક (G)	r. Nm2 kg-2
2. બોલ્ટ્સમૅન અચળાંક (kB)	p. M1L2T-2K-1
3. પ્લાન્ક અચળાંક (h)	q. Js
4. ડાઇઇલેક્ટ્રિક અચળાંક	s. એકમ રહિત