GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 10 વર્તુળ

This GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 10 વર્તુળ covers all the important topics and concepts as mentioned in the chapter.

વર્તુળ Class 10 GSEB Notes

→ પ્રાસ્તાવિકઃ આપણે ધોરણ 9માં અભ્યાસ કર્યો છે એ પ્રમાણે એક સમતલના એક ચોક્કસ બિંદુ(કેન્દ્ર)થી અચળ અંતરે (ત્રિજ્યા) આવેલાં બિંદુઓનો સમૂહ વર્તુળ છે. આપણે વર્તુળ સંબંધિત જુદાં જુદાં પદો જેવાં કે જીવા, વૃત્તખંડ, વૃત્તાંશ, ચાપ વગેરેનો પણ અભ્યાસ કર્યો છે.

→ હવે જ્યારે કોઈ સમતલમાં વર્તુળ અને રેખા આપેલાં હોય ત્યારે ઊભી થતી જુદી જુદી પરિસ્થિતિઓ જોઈએ.

→ આકૃતિ (1)માં રેખા PQ અને વર્તુળને કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી. આ કિસ્સામાં રેખા PQ વર્તુળને છેદતી નથી એમ કહીશું.
આકૃતિ (2)માં રેખા PQ અને વર્તુળને બે સામાન્ય બિંદુઓ A અને B છે. આ વિકલ્પમાં રેખા PQને વર્તુળની છેદિકા કહે છે.
આકૃતિ (3)માં રેખા અને વર્તુળમાં ફક્ત એક જ બિંદુ A સામાન્ય છે. આ વિકલ્પમાં રેખાને વર્તુળનો સ્પર્શક કહે છે.

→ વર્તુળનો સ્પર્શક (વ્યાખ્યા) વર્તુળનો સ્પર્શક (tangent) વર્તુળને ફક્ત એક જ બિંદુમાં છેદતી એક રેખા છે.

→ Tangent શબ્દ લેટિન શબ્દ Tangere પરથી આવ્યો છે. તેનો અર્થ સ્પર્શવું એવો થાય છે અને તે ડેનિશ ગણિતશાસ્ત્રી થોમસ ફિનેકે 1583માં દાખલ કર્યો હતો.

→ વર્તુળ અને સ્પર્શકના સામાન્ય બિંદુને સ્પર્શબિંદુ કહે છે. આકૃતિ (3)માં સ્પર્શક PQ અને વર્તુળનું સામાન્ય બિંદુ A છે. આથી Aને સ્પર્શબિંદુ કહે છે. સ્પર્શક PQ વર્તુળને A બિંદુમાં સ્પર્શ છે, તેમ કહેવાય. સ્પર્શબિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રિજ્યાને સમાવતી રેખાને તે બિંદુએ વર્તુળનો અભિલંબ કહે છે.

→ વર્તુળ પરના દરેક બિંદુમાંથી વર્તુળને એક અને માત્ર એક જ સ્પર્શક હોઈ શકે.

→ વર્તુળ પર અસંખ્ય બિંદુઓ હોવાથી કોઈ પણ વર્તુળને અસંખ્ય સ્પર્શકો હોય.

→ વર્તુળના અંદરના ભાગમાં રહેલ બિંદુમાંથી વર્તુળને એક પણ સ્પર્શક ન હોય. ક વર્તુળના બહારના ભાગમાં આવેલ કોઈ પણ બિંદુમાંથી વર્તુળને બે સ્પર્શક દોરી શકાય.

→ જેમાં છેદિકાને અનુરૂપ જીવામાં બે અંત્યબિંદુઓ સંપાતિ હોય એવી છેદિકાનો વિશિષ્ટ કિસ્સો એ વર્તુળનો સ્પર્શક છે. મક વર્તુળની કોઈ છેદિકાને સમાંતર હોય તેવા વર્તુળના બેથી વધુ સ્પર્શકો ન હોઈ શકે. હકીકતમાં, વર્તુળની કોઈ આપેલ છેદિકાને સમાંતર હોય તેવા બરાબર બે સ્પર્શક હોય.

→ પ્રમેય: વર્તુળના કોઈ બિંદુએ દોરેલ સ્પર્શક, સ્પર્શબિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે.

→ સમતલના કોઈ બિંદુમાંથી વર્તુળના સ્પર્શકની સંખ્યા

→ વર્તુળની અંદર આપેલા બિંદુમાંથી વર્તુળને કોઈ સ્પર્શક ન મળે.

→ વર્તુળ પરના બિંદુએ વર્તુળનો એક અને માત્ર એક જ સ્પર્શક મળે.

→ વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળને બે સ્પર્શકો મળે.

→ સ્પર્શકની લંબાઈ વર્તુળની બહારના બિંદુ P અને Pમાંથી દોરેલ સ્પર્શકના વર્તુળ સાથેના સ્પર્શબિંદુને જોડતા રેખાખંડની લંબાઈને Pથી વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ કહે છે.

અહીં, રેખાખંડ PTની લંબાઈને બિંદુ માંથી વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ કહે છે.

→ વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે.

અહીં, O કેન્દ્રવાળા વર્તુળની બહારના ભાગમાં આવેલ બિંદુ Pમાંથી દોરેલા સ્પર્શકો વર્તુળને 9 અને Rમાં સ્પર્શે છે. આથી PQ = PR. પ્રમેય 10.2ને કાકબા શરત અનુસાર ΔPO ≅ ΔPOR દર્શાવીને સહેલાઈથી સાબિત કરી શકાય. ΔPOQ ≅ ΔPOR પરથી એમ પણ સાબિત થાય છે કે OP એ ∠RO તેમજ ∠RPOને દુભાગે છે. આ પરથી સાબિત થાય છે કે વર્તુળનું કેન્દ્ર તે વર્તુળની બહારના કોઈ બિંદુમાંથી દોરેલા બે સ્પર્શકો દ્વારા બનતા ખૂણાના દ્વિભાજક પર આવેલ હોય છે.

→ સમર્કન્નરી વર્તુળો (Concentric circles) : એક જ સમતલમાં આવેલાં સમાન કેન્દ્ર, પરંતુ ભિન્ન ત્રિજ્યા ધરાવતાં વર્તુળોને સમકેન્દ્રી વર્તુળો કહે છે.

→ બે વર્તુળોનો છેદ (Intersection of two circles) : કોઈ સંમતલમાં આપેલ બે વર્તુળોની ત્રિજ્યા r₁ અને r₂ હોય, તો તે બે વર્તુળોના છેદ માટે ત્રણ પરિસ્થિતિ (પાંચ શક્યતાઓ) શક્ય છે જેનો આધાર r₁, r₂ અને તે વર્તુળોના કેન્દો O₁ અને O₂ વચ્ચેના અંતર d પર રહેલ છે.
(1) બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓ A અને Bમાં છેદે છે.

અહીં, |r₁ – r₂| < d< r₁ + r₂

(2) બે વર્તુળો પરસ્પર બહારથી અથવા અંદરથી સ્પર્શે છે

જો d = r₁ + r₂ હોય, તો બે વર્તુળો પરસ્પર P બિંદુમાં બહારથી સ્પર્શે છે.
નોંધ લેશો કે તેમનું સ્પર્શબિંદુ હંમેશાં રેખાખંડ O₁ O₂ પર જ હોય.

જો d = |r₁ – r₂| હોય, તો બે વર્તુળો પરસ્પર P બિંદુમાં અંદરથી સ્પર્શે છે. નોંધ લેશો કે તેમનું સ્પર્શબિંદુ હંમેશાં રેખા છે,O₁ O₂ પર જ હોય.

(3) બે વર્તુળો છેદતા નથી.

જો d > r₁ + r₂ હોય, તો બે વર્તુળો પરસ્પર છેદતાં નથી. અહીં, દરેક વર્તુળ સંપૂર્ણતઃ બીજા વર્તુળના બહારના ભાગમાં હોય છે.

જો d < |r₁ – r₂|, તો બે વર્તુળો પરસ્પર છેદતાં નથી. અહીં, એક વર્તુળ સંપૂર્ણતઃ બીજા વર્તુળના અંદરના ભાગમાં હોય છે.

→ બે વર્તળના સામાન્ય સ્પર્શક (Common tangents to two circles) એવી રેખા કે જે આપેલ બંને વર્તુળો માટે સ્પર્શક હોય તેવી રેખાને તે વર્તુળોનો સામાન્ય સ્પર્શક કહે છે. સામાન્ય સ્પર્શક બે પ્રકારના હોય છે.
(1) બાહ્ય સામાન્ય સ્પર્શક:

જો બે વર્તુળોનાં કેન્દ્રો તેમના સામાન્ય સ્પર્શકની એક જ બાજુએ આવેલાં હોય, તો તેવા સામાન્ય સ્પર્શકને બાહ્ય સામાન્ય સ્પર્શક કહે છે.

(2) આંતરિક સામાન્ય સ્પર્શક:

જો બે વર્તુળોનાં કેન્દ્રો તેમના સામાન્ય સ્પર્શકની વિરુદ્ધ બાજુએ આવેલાં હોય, તો તેવા સામાન્ય સ્પર્શકને આંતરિક સામાન્ય સ્પર્શક કહે છે.

→ બે વર્તુળોના સ્પર્શબિંદુએ સામાન્ય સ્પર્શકઃ

જ્યારે બે વર્તુળો પરસ્પર એક બિંદુએ બહારથી અથવા અંદરથી સ્પર્શતા હોય, ત્યારે તેમના સ્પર્શબિંદુમાંથી તેમને એક સામાન્ય સ્પર્શક હોય છે.

→ જો બે વર્તુળો પૈકી એક વર્તુળ સંપૂર્ણતઃ બીજા વર્તુળના અંદરના ભાગમાં હોય, તો તેમને એક પણ સામાન્ય સ્પર્શક નથી.


→ સામાન્ય સ્પર્શકની લંબાઈ (Length of common tangent) : બે વર્તુળોનો સામાન્ય સ્પર્શક જો વર્તુળોને A અને B બિંદુએ સ્પર્શતો હોય, તો રેખાખંડ ABને સામાન્ય સ્પર્શકની લંબાઈ કહે છે અને તેને સામાન્ય રીતે થી દર્શાવાય છે.

→ સામાન્ય સ્પર્શકની લંબાઈ (l), બે કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર (d) તથા બે વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ(r₁ અને r₂)ના માપ વચ્ચે સંબંધ હોય છે. જુદી જુદી પરિસ્થિતિ અનુસાર આપણે તે સંબંધને રજૂ કરતાં સમીકરણ મેળવી શકીએ.

→ ત્રિકોણનું અંતઃવૃત્ત (Incircle of a triangle) : ત્રિકોણની અંદર સમાયેલ અને ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓને સ્પર્શતા વર્તુળને ત્રિકોણનું અંતઃવૃત્ત કહે છે.

ત્રિકોણના અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા અને કેન્દ્રને અનુક્રમે અંતઃત્રિજ્યા અને અંત:કેન્દ્ર કહે છે.

→ કાટકોણ ત્રિકોણ ABCમાં જો ∠B કાટખૂણો હોય, તો ΔABCની અંતઃત્રિજ્યા r = \(\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}-\mathrm{AC}}{2}\)

→ જો કોઈ ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ વ, b અને c હોય, તો તે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ, ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા અને ત્રિકોણની અર્ધપરિમિતિ વચ્ચે નીચે પ્રમાણેનો સંબંધ હોય છે :

→ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = rs, જ્યાં = ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા અને s = ત્રિકોણની અર્ધપરિમિતિ = \(\frac{a+b+c}{2}\)

→ એક છેદિકાના ખંડોનો ગુણાકાર (Product of secant segments) :

જો કોઈ વર્તુળની બે છેદિકાઓ AB અને CD વર્તુળની બહારના ભાગમાં બિંદુ Pમાં છે, તો PA × PB = PC × PD.

→ છેદિકા અને સ્પર્શકનો સંબંધ (Secant – Tangent relation) :

O કેન્દ્રિત વર્તુળનો સ્પર્શક PTનું સ્પર્શબિંદુ T છે તથા Pમાંથી પસાર થતી છેદિકા વર્તુળને બિંદુઓ A અને Bમાં છેદે છે, તો PT² = PA × PB.

→ વર્તુળના સ્પર્શકનો અર્થ. હોય છે.

→ સ્પર્શબિંદુમાંથી વર્તુળની ત્રિજ્યાને દોરેલો સ્પર્શક ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે.

→ વર્તુળના બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ સમાન હોય છે.

→ વર્તુળની ત્રિજ્યા, વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી દોરેલ સ્પર્શકની લંબાઈ તથા તે બહારના બિંદુ અને વર્તુળના કેન્દ્ર વચ્ચેના અંતરનો સંબંધ.

→વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી દોરેલ બે સ્પર્શકો તથા સ્પર્શબિંદુઓમાંથી દોરેલ બે ત્રિજ્યાઓ વડે બનતા ચક્રીય ચતુષ્કોણના ગુણધર્મો.

→ વર્તુળને પરિગત હોય તેવા ત્રિકોણ અને ચતુષ્કોણ.

→ સામાન્ય સ્પર્શક અને તેના પ્રકાર.