This GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 7 યામ ભૂમિતિ covers all the important topics and concepts as mentioned in the chapter.
યામ ભૂમિતિ Class 10 GSEB Notes
→ પ્રાસ્તાવિકઃ ક બિંદુના યામઃ ધોરણ IXમાં આપણે શીખ્યાં કે સમતલમાં કોઈ બિંદુનું સ્થાન દર્શાવવા માટે આપણને પરસ્પર લંબ યામાક્ષોની
- જોડની જરૂર પડે છે. -અક્ષથી કોઈ બિંદુના અંતરને x-યામ
- અથવા કોટિ કહે છે. x-અક્ષથી કોઈ બિંદુના અંતરને y-યામ
- અથવા ભુજ કહે છે. x-અક્ષ પરના કોઈ પણ બિંદુના યામ (x, 0) સ્વરૂપમાં અને પ્ર-અક્ષ પરના કોઈ પણ બિંદુના યામ (0, y) સ્વરૂપમાં હોય છે. ઉગમબિંદુના યામ (0, 0) છે.
→ અંતરસૂત્રઃ કોઈ પણ બે બિંદુ A અને B વચ્ચેના અંતરને AB દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. Aથી Bનું અંતર (AB) અને Bથી તેનું અંતર (BA) એક જ રાશિ દર્શાવે છે. એટલે કે, AB = BA.
→ x-અક્ષ પર આવેલાં કોઈ પણ બે બિંદુ વચ્ચેનું અંતર તે બિંદુઓના x-અલના તફાવતના માનાંક (સંખ્યાત્મક મૂલ્ય) દ્વારા મળે છે. બીજા શબ્દોમાં, જો A (x1, 0) અને B (x2, 0) એ x-અક્ષ પર આવેલાં બે બિંદુઓ હોય, તો AB =|x2 – x1|
→ y-અક્ષ પર આવેલાં કોઈ પણ બે બિંદુ વચ્ચેનું અંતર તે બિંદુઓના x-અક્ષના તફાવતના માનાંક (સંખ્યાત્મક મૂલ્ય) દ્વારા મળે છે. બીજા શબ્દોમાં, જો A(0, y1) અને B (0, y2) એ y-અક્ષ પર આવેલાં બે બિંદુઓ હોય, તો AB = |y2 – y1.
→ અંતરસૂત્રઃ બિંદુઓ P (x1, y1) અને Q(x2, y2) અંતર PQ નીચેના સૂત્રથી મળે:
PQ = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
આ સૂત્રને અંતરસૂત્ર કહે છે.
નોંધઃ
- અંતર હંમેશાં અનુણ હોય. આથી આપણે માત્ર ધન વર્ગમૂળ જ લઈશું.
- બિંદુ P (x, y)નું ઉગમબિંદુ O (0, 0)થી અંતર PQ = \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) દ્વારા મળે.
- આપણે જાણીએ જ છીએ કે (a – b)2 = (b-a)2. આથી અંતરસૂત્ર નીચે મુજબ પણ લખી શકાય:
PQ = \(\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}\) - સરળતા ખાતર અંતરસૂત્રનો ઉપયોગ નીચેનાં સ્વરૂપે પણ કરી શકાય:
PQ = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2
→ અંતરના કેટલાક ગુણધર્મોઃ કોઈ પણ ત્રણ બિંદુઓ A, B અને C માટે,
- AB ≥ 0. એટલે કે, અંતર હંમેશાં અનુણ હોય છે.
- જો A = B હોય, તો અને તો જ AB = 0.
- જો AB + BC > AC, તો A, B અને C અસમરેખ બિંદુઓ છે.
- જો A, B અને C સમરેખ બિંદુ હોય અને બિંદુ B એ બિંદુઓ A અને Cની વચ્ચે હોય, તો AB + BC = AC.
→ ΔABCમાં જો
- AB = BC = CA, તો Δ ABC સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
- AB = BC ≠ CA, તો ΔABC સમદ્વિભુજ ત્રિકોણ છે.
- AB ≠ BC ≠ CA, તો ΔABC વિષમભુજ ત્રિકોણ છે.
- AB2 + BC2 = AC2, તો ΔABC કાટકોણ ત્રિકોણ છે, જેમાં ∠B = 90° અને AC કર્ણ છે.
- AB = BC અને AB2 + BC2 = AC2, તો ΔABC સમદ્વિભુજ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
નોંધઃ અહીં, બાજુઓ AB, BC અને CAના સ્થાનની અદલા-બદલી થઈ શકે છે.
→ ચતુષ્કોણ ABCDમાં, જો
- ACનું મધ્યબિંદુ = BDનું મધ્યબિંદુ હોય અથવા AB = CD અને BC = AD હોય, તો ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
- AB = BC = CD = DA, તો ABCD સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
- AB = CD, BC = AD અને AC = BD, તો ABCD લંબચોરસ છે.
- AB = BC = CD = DA અને AC = BD, તો ABCD ચોરસ છે.
→ વિભાજન સૂત્ર : રેખાખંડ ABનું બિંદુ P દ્વારા વિભાજન આપેલ રેખાખંડ AB પર A અને B સિવાયનું કોઈ બિંદુ P હોય, તો બિંદુ P એ ABનું A તરફથી \(\frac{AP}{PB}\) ગુણોત્તરમાં અંત:વિભાજન કરે છે તેમ કહેવાય.
જો બિંદુ P રેખા AB પર હોય પરંતુ A અને Bની વચ્ચે ન હોય, એટલે કે રેખાખંડ AB પર ન હોય, તો બિંદુ P ABનું A તરફથી \(\frac{AP}{PB}\) ગુણોત્તરમાં બહિવિભાજન કરે છે તેમ કહેવાય.
P દ્વારા ABનું બહિવિભાજન આપણે આગળના વર્ગોમાં ભણીશું. આ વર્ષે આપણે ફક્ત અંતઃવિભાજનનો જ અભ્યાસ કરીશું.
→ વિભાજન સૂત્રઃ બિંદુઓ A (x1, y1) અને B (x2, y2)ને જોડતા રેખાખંડનું m1 : m2 ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતાં બિંદુ P (x, y)ના ધામ,
\(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\) દ્વારા મળે.
આ સૂત્ર વિભાજન સૂત્ર તરીકે ઓળખાય છે.
![→ વિભાજન સૂત્ર : રેખાખંડ ABનું બિંદુ P દ્વારા વિભાજન આપેલ રેખાખંડ AB પર A અને B સિવાયનું કોઈ બિંદુ P હોય, તો બિંદુ P એ ABનું A તરફથી \(\frac{AP}{PB}\) ગુણોત્તરમાં અંત:વિભાજન કરે છે તેમ કહેવાય. im-1 જો બિંદુ P રેખા AB પર હોય પરંતુ A અને Bની વચ્ચે ન હોય, એટલે કે રેખાખંડ AB પર ન હોય, તો બિંદુ P ABનું A તરફથી \(\frac{AP}{PB}\) ગુણોત્તરમાં બહિવિભાજન કરે છે તેમ કહેવાય. im-2 P દ્વારા ABનું બહિવિભાજન આપણે આગળના વર્ગોમાં ભણીશું. આ વર્ષે આપણે ફક્ત અંતઃવિભાજનનો જ અભ્યાસ કરીશું. → વિભાજન સૂત્રઃ બિંદુઓ A (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>) અને B (x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>)ને જોડતા રેખાખંડનું m<sub>1</sub> : m<sub>2</sub> ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતાં બિંદુ P (x, y)ના ધામ, \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\) દ્વારા મળે. આ સૂત્ર વિભાજન સૂત્ર તરીકે ઓળખાય છે. im-3 → જો P એ ABનું k: 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે, તો Pના યામ \(\left(\frac{k x_{2}+x_{1}}{k+1}, \frac{k y_{2}+y_{1}}{k+1}\right)\) થાય. → મધ્યબિંદુ સૂત્ર રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ રેખાખંડનું 1: 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. માટે, A (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>) અને B (x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>) ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુ Pના યામ \(\left(\frac{1 \cdot x_{1}+1 \cdot x_{2}}{1+1}, \frac{1 \cdot y_{1}+1 \cdot y_{2}}{1+1}\right)=\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\) થાય → ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર ત્રિકોણની ત્રણેય મધ્યગાઓ એક બિંદુમાં સંગામી થાય છે. ત્રિકોણની ત્રણેય મધ્યગાઓના સામાન્ય બિંદુને ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર કહે છે. ΔABCનાં શિરોબિંદુઓ A (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>) B (x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>) અને C (x<sub>3</sub>, y<sub>3</sub>) હોય, તો તે ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર ઉના ધામ \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) થાય. → ΔABCનું મધ્યકેન્દ્ર એ ΔABCની બાજુઓનાં મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી મળતા ΔDEFનું પણ મધ્યકેન્દ્ર થાય. → ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ: ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = \(\frac{1}{2}\) × પાયો × વેધ → ક્ષેત્રફળ સૂત્ર: A (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>), B (x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>) અને C (x<sub>3</sub>, y<sub>3</sub>) શિરોબિંદુઓ ધરાવતાં ત્રિકોણ ABCનું ક્ષેત્રફળ \(\frac{1}{2}\)[x<sub>1</sub>(y<sub>2</sub> - y<sub>3</sub>) + x<sub>2</sub>(y<sub>3</sub> - y<sub>1</sub>) + x<sub>3</sub>(y<sub>1</sub> - y<sub>2</sub>)]ના મૂલ્યની સંખ્યાત્મક કિંમત જેટલું થાય. → જો ABCનું ક્ષેત્રફળ = 0 હોય, તો બિંદુઓ A, B અને C સમરેખ હોય. તેના પ્રતીપ તરીકે, જો બિંદુઓ A, B અને C સમરેખ હોય, તો તેઓ ΔABC ન રચે અને ABCનું ક્ષેત્રફળ = 0 થાય. આમ, આપેલ ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ છે તેમ સાબિત કરવા માટે તે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર શોધ્યા વગર તે બિંદુઓ દ્વારા બનતા કાલ્પનિક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય છે તેમ દર્શાવી શકાય. કે બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આપણે જેમાં સામાન્ય ક્ષેત્રફળ ન હોય તેવા ત્રિકોણીય પ્રદેશોમાં વિભાજન કરીએ અને તેનું ક્ષેત્રફળ આ પ્રદેશોનાં ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો કરવાથી મળે છે. → સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = \(\frac{1}{2}\) (સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો) × (તેમની વચ્ચેનું અંતર) → P (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>) અને Q (x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>) વચ્ચેનું અંતર \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) છે. → બિંદુ P(x, y)નું ઉગમબિંદુથી અંતર \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) છે. → A (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>) અને B (x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>)ને જોડતા રેખાખંડનું mx<sub>1</sub> : mx<sub>2</sub> ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતા બિંદુ P (x, y)ના યામ \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\) શાક → બિંદુઓ P (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>) અને Q(x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>)ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\) છે. → બિંદુઓ (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>) (x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>) અને (x<sub>3</sub>, y<sub>3</sub>)થી બનતા ત્રિકોણના મથકેન્દ્રના યામ \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) છે. → બિંદુઓ (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>) (x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>) અને (x<sub>3</sub>, y<sub>3</sub>)થી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે \(\frac{1}{2}\)[x<sub>1</sub>(y<sub>2</sub> - y<sub>3</sub>) + x<sub>2</sub>(y<sub>3</sub> - y<sub>1</sub>) + x<sub>3</sub>(y<sub>1</sub> - y<sub>2</sub>)] ની સંખ્યાત્મક કિંમત છે. → જો બિંદુઓ A, B અને C સમરેખ હોય, તો ΔABCનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થાય અને જો ΔABCનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોય, તો બિંદુઓ A, B અને C સમરખ થાય.](https://i0.wp.com/gsebsolutions.com/wp-content/uploads/2021/12/GSEB-Class-10-Maths-Notes-Chapter-7-યામ-ભૂમિતિ-3.png?resize=411%2C127&ssl=1)
→ જો P એ ABનું k: 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે, તો Pના યામ \(\left(\frac{k x_{2}+x_{1}}{k+1}, \frac{k y_{2}+y_{1}}{k+1}\right)\) થાય.
→ મધ્યબિંદુ સૂત્ર રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ રેખાખંડનું 1: 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. માટે, A (x1, y1) અને B (x2, y2) ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુ Pના યામ
\(\left(\frac{1 \cdot x_{1}+1 \cdot x_{2}}{1+1}, \frac{1 \cdot y_{1}+1 \cdot y_{2}}{1+1}\right)=\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\) થાય
→ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર ત્રિકોણની ત્રણેય મધ્યગાઓ એક બિંદુમાં સંગામી થાય છે. ત્રિકોણની ત્રણેય મધ્યગાઓના સામાન્ય બિંદુને ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર કહે છે. ΔABCનાં શિરોબિંદુઓ A (x1, y1) B (x2, y2) અને C (x3, y3) હોય, તો તે ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર ઉના ધામ \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) થાય.
→ ΔABCનું મધ્યકેન્દ્ર એ ΔABCની બાજુઓનાં મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી મળતા ΔDEFનું પણ મધ્યકેન્દ્ર થાય.
→ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = \(\frac{1}{2}\) × પાયો × વેધ
→ ક્ષેત્રફળ સૂત્ર: A (x1, y1), B (x2, y2) અને C (x3, y3) શિરોબિંદુઓ ધરાવતાં ત્રિકોણ ABCનું ક્ષેત્રફળ \(\frac{1}{2}\)[x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)]ના મૂલ્યની સંખ્યાત્મક કિંમત જેટલું થાય.
→ જો ABCનું ક્ષેત્રફળ = 0 હોય, તો બિંદુઓ A, B અને C સમરેખ હોય. તેના પ્રતીપ તરીકે, જો બિંદુઓ A, B અને C સમરેખ હોય, તો તેઓ ΔABC ન રચે અને ABCનું ક્ષેત્રફળ = 0 થાય.
આમ, આપેલ ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ છે તેમ સાબિત કરવા માટે તે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર શોધ્યા વગર તે બિંદુઓ દ્વારા બનતા કાલ્પનિક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય છે તેમ દર્શાવી શકાય. કે બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આપણે જેમાં સામાન્ય ક્ષેત્રફળ ન હોય તેવા ત્રિકોણીય પ્રદેશોમાં વિભાજન કરીએ અને તેનું ક્ષેત્રફળ આ પ્રદેશોનાં ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો કરવાથી મળે છે.
→ સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ
= \(\frac{1}{2}\) (સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો) × (તેમની વચ્ચેનું અંતર)
→ P (x1, y1) અને Q (x2, y2) વચ્ચેનું અંતર \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) છે.
→ બિંદુ P(x, y)નું ઉગમબિંદુથી અંતર \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) છે.
→ A (x1, y1) અને B (x2, y2)ને જોડતા રેખાખંડનું mx1 : mx2 ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતા બિંદુ P (x, y)ના યામ \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\) શાક
→ બિંદુઓ P (x1, y1) અને Q(x2, y2)ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\) છે.
→ બિંદુઓ (x1, y1) (x2, y2) અને (x3, y3)થી બનતા ત્રિકોણના મથકેન્દ્રના યામ \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) છે.
→ બિંદુઓ (x1, y1) (x2, y2) અને (x3, y3)થી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે
\(\frac{1}{2}\)[x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)] ની સંખ્યાત્મક કિંમત છે.
→ જો બિંદુઓ A, B અને C સમરેખ હોય, તો ΔABCનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થાય અને જો ΔABCનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોય, તો બિંદુઓ A, B અને C સમરખ થાય.