This GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 15 સંભાવના covers all the important topics and concepts as mentioned in the chapter.
સંભાવના Class 10 GSEB Notes
→ પ્રાસ્તાવિકઃ એક પ્રાયોગિક સંભાવના આપણે ઘટનાઓની પ્રાયોગિક સંભાવનાઓનો અભ્યાસ ધોરણ IXમાં કર્યો છે. તે પ્રયોગોનાં પ્રત્યક્ષ પરિણામો પર આધારિત હતી. પ્રાયોગિક સંભાવના એ પ્રયોગ દરમિયાન અમુક ચોક્કસ ઘટના કેટલી વાર ઉદ્ભવી તે સંખ્યા અને પ્રયોગના કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
→ અઢારમી સદીના ફ્રેન્ચ પ્રકૃતિશાસ્ત્રી કોસ્ટ દ બફફને (Comte de Buffon) એક સિક્કાને 4040 વખત ઉછાળ્યો અને 2048 વખત છાપ મેળવી. આ કિસ્સામાં છાપ મેળવવાની પ્રયોગાત્મક સંભાવના 3088 હતી. એટલે કે, 0.507. બ્રિટનના જે. ઈ. કેરિચે .E.Kerrich) સિક્કાને 10000 વખત ઉછાળતાં 5067 વખત છાપ મેળવી. આ કિસ્સામાં છાપ મેળવવાની પ્રયોગાત્મક સંભાવના છે \(\frac{5067}{10000}\) = 0.5067 હતી. આંકડાશાસ્ત્રી કાર્લ પિયર્સન (Karl Pearson) 24000 વખત સિક્કાને ઉછાળ્યો. તેણે 12012 વખત છાપ મેળવી. આમ, તેણે છાપ મળવાની પ્રયોગાત્મક સંભાવના 0.5005 મેળવી હતી.
→ સંભાવના –પ્રશિષ્ટ અભિગમઃ આપણે જાણીએ છીએ કે, સિક્કાને યાદચ્છિક રીતે ઉછાળતાં આપણને ફક્ત બે જ શક્ય પરિણામો મળે છેછાપ (H) અથવા કાંટો (T). જે સિક્કા માટે એવું કોઈ જ કારણ નથી કે તે બીજી બાજુ કરતાં એક બાજુ પર વધુ વખત નીચે પડે તેવા સિક્કાને સમતોલ સિક્કો કહે છે. યાદચ્છિક શબ્દનો અર્થ મુક્તપણે, કોઈ પણ પૂર્વગ્રહ કે વિઘ્ન વિના એવો થાય છે. આ સંજોગોમાં બંને પરિણામો – છાપ અને કાંટો – સમસંભાવી છે તેમ કહેવાય છે. સમસંભાવી પરિણામોના અન્ય ઉદાહરણ માટે ધારો કે, આપણે એક પાસાને એક વાર ફેંકીએ છીએ. આપણા માટે પાસાનો અર્થ હંમેશાં સમતોલ પાસો એવો કરીશું. શક્ય પરિણામો 1, 2, 3, 4, 5, 6 છે. પ્રત્યેક સંખ્યા પાસા ઉપર દેખાય તેવી શક્યતા સમાન છે. તેથી પાસાને ફેંકવાનાં સમસંભાવી પરિણામો 1, 2, 3, 4, 5 અને 6 છે.
→ પરંતુ ધારો કે, એક થેલામાં 5 કાળા અને 7 સફેદ દડા છે અને તેમાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. આ સંજોગોમાં દડો કાળો હોય અને દડો સફેદ હોય તે પરિણામો સમસંભાવી નથી, કારણ કે સફેદ દડાની સંખ્યા વધુ છે. પરંતુ થેલામાંથી કોઈ પણ રંગનો દડો લેવાનું પરિણામ સમસંભાવી છે. સિક્કા અને પાસાના પ્રયોગમાં બધાં જ પરિણામો સમસંભાવી છે, પરંતુ બધા જ પ્રયોગો માટે જરૂરી નથી કે પરિણામો સમસંભાવી હોય. આ પ્રકરણમાં હવે પછીથી આપણે ધારી લઈશું કે, બધા જ પ્રયોગોનાં પરિણામો સમસંભાવી છે.
→ સૈદ્ધાંતિક (પ્રશિષ્ટ) સંભાવના ઘટના Eની સૈદ્ધાંતિક સંભાવના (પ્રશિષ્ટ સંભાવના પણ કહેવાય છે), P (E) તરીકે દર્શાવાય છે અને તેને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: ઘટના E માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા
પ્રયોગનાં શક્ય તમામ પરિણામોની સંખ્યા
અહીં, આપણે ધારી લઈએ છીએ કે, પ્રયોગનાં બધાં જ પરિણામો સમસંભાવી છે.
→ પ્રાથમિક ઘટનાઃ જે ઘટના પ્રયોગનું માત્ર એક જ પરિણામ ધરાવતી હોય તેને પ્રાથમિક ઘટના કહે છે. પ્રયોગની તમામ પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંભાવનાનો સરવાળો 1 છે.
→ પૂરક ઘટના ઘટના “A નહીં ને ઘટના Aની પૂરક ઘટના કહે છે અને તેને A દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. કોઈ પણ ઘટના Aની સંભાવના તથા તે ઘટનાની પૂરક ઘટના Aની સંભાવનાનો સરવાળો હંમેશાં 1 થાય. ઘટના A તથા A બંનેને એકબીજાની
→ પૂરક ઘટના કહે છે. કે કોઈ પણ ઘટના A માટે, P (A) + P (Ā) = 1.
આથા P(Ā) = 1 – P(A) તથા P(A) = 1 – P(Ā).
→ જ અશક્ય ઘટના જે ઘટના ઉદ્ભવવી અશક્ય છે, તેવી ઘટનાને અશક્ય ઘટના કહે છે. અશક્ય ઘટનાની સંભાવના 0 છે. દા. ત., પાસો ઉછાળવાના પ્રયોગમાં 8 મેળવવો એ અશક્ય ઘટના છે. ચોક્કસ ઘટના અથવા નિશ્ચિત ઘટના: જે ઘટના ચોક્કસપણે અથવા નિશ્ચિતપણે ઉદ્ભવે તેમ હોય તેવી ઘટનાને ચોક્કસ ઘટના અથવા નિશ્ચિત ઘટના કહે છે. ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના 1 છે. દા. ત., પાસો ઉછાળવાના પ્રયોગમાં 7થી નાની સંખ્યા મેળવવાની ઘટના એ ચોક્કસ ઘટના છે.
→ કોઈ પણ ઘટના Eની સંભાવના P (E) માટે 0 ≤ P (E) ≤ 1 હંમેશાં સાચું છે.
→ હવે, ચાલો આપણે પત્તાની રમત સાથે સંકળાયેલ ઉદાહરણ લઈએ. પત્તાં રમવાની થોકડી 52 પત્તા ધરાવે છે. તેમને એક ભાતનાં 13 પત્તાં હોય તેવા 4 સમૂહમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. પ્રત્યેક પતું કાળી , લાલ , ચોકટ અથવા ફુલ્લી નું હોય છે. કાળી અને ફુલ્લીનાં પત્તાં કાળા રંગના, જ્યારે લાલ અને ચોકટનાં પત્તાં લાલ રંગના હોય છે. પ્રત્યેક સમૂહમાં એક્કો, રાજા, રાણી, ગુલામ, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 અને 2નાં પત્તાં હોય છે. રાજા, રાણી અને ગુલામનાં પત્તાંઓને મુખમુદ્રા પત્તાં (Face cards) કહે છે.
→ તે જ રીતે, બે સમતોલ પાસા ફેંકવાના પ્રયોગમાં કુલ 36 સમસંભાવી પ્રાથમિક ઘટનાઓ હોય છે તથા ત્રણ સમતોલ પાસા ફેંકવાના પ્રયોગમાં કુલ 216 સમસંભાવી પ્રાથમિક ઘટનાઓ હોય છે.
→ એવા ઘણા પ્રયોગો છે કે, જેના પરિણામો આપેલ બે સંખ્યાઓ વચ્ચેની ગમે તે સંખ્યા હોય, અથવા જેનાં પરિણામો વર્તુળ અથવા લંબચોરસની અંદરનું પ્રત્યેક બિંદુ હોય, વગેરે. શું હવે તમે તમામ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા ગણી શકો છો? તમે જાણો છો કે, આ શક્ય નથી કારણ કે બે સંખ્યાઓ વચ્ચે અસંખ્ય (અનંત) સંખ્યાઓ હોય છે અથવા વર્તુળની અંદર અનંત બિંદુઓ હોય છે. તેથી સૈદ્ધાંતિક સંભાવનાની જે વ્યાખ્યા તમે અત્યારે (અહીં સુધી શીખ્યાં, તે વર્તમાન સ્વરૂપમાં લાગુ કરી શકાશે નહીં. આવા પ્રયોગોમાં લંબાઈ, અંતર અને ક્ષેત્રફળ એ સાનુકૂળ પરિણામો તથા શક્ય તમામ પરિણામોને રજૂ કરે છે.”
→ પ્રાયોગિક સંભાવના અને સૈદ્ધાંતિક સંભાવના વચ્ચેનો તફાવત
→ ઘટના Eની સૈદ્ધાંતિક સંભાવના, સંકેત P (E) વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપણે ધારી લઈએ છીએ કે, પ્રયોગનાં બધાં જ પરિણામો સમસંભાવી છે.
→ ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના 1 છે.
→ અશક્ય ઘટનાની સંભાવના 0 છે.
→ ઘટના Eની સંભાવના એ સંખ્યા P (E) છે તથા તે 0 ≤ P (E) ≤ 1
→ માત્ર એક જ પરિણામ ધરાવતી ઘટનાને પ્રાથમિક (મૂળભૂત) ઘટના કહે છે. પ્રયોગની તમામ પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 થાય છે.
→ કોઈ પણ ઘટના E માટે P (E) + P (Ē) = 1, E એ ઘટના ‘E’ નહીં દર્શાવે છે. E અને Ē પૂરક ઘટનાઓ કહેવાય છે.
→ ઘટનાની પ્રાયોગિક અથવા પ્રયોગમૂલક સંભાવના એ હકીકતમાં જે બન્યું છે તેના પર આધારિત છે અને ઘટનાની સૈદ્ધાંતિક સંભાવના, ચોક્કસ ધારણાઓના આધાર પર શું ઘટિત થશે તેની આગાહી કરવાના પ્રયત્નો કરે છે. જેમ પ્રયોગ કરવાના પ્રયત્નોની સંખ્યા વધતી જાય છે તેમ આપણે અપેક્ષા રાખી શકીએ કે, પ્રાયોગિક અને સૈદ્ધાંતિક સંભાવનાઓ લગભગ સમાન થાય છે.