GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 11 શાંકવો Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 11 શાંકવો Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 11 શાંકવો Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
એક પરવલયાકાર પરાવર્તકનો વ્યાસ 20 સેમીનો છે અને ઊંડાઈ 5 સેમી છે. તેના નાભિના યામ શોધો.

ઉત્તરઃ
ધારો કે, પરવલયાકાર પરાવર્તકની અને, X-અક્ષ પર છે અને શિરોબિંદુ O (0, 0) છે.
∴ તેનું સમીકરણ y² = 4ax થશે અને નાભિ (a, 0) થશે. તથા AB એ પરાવર્તકનો વ્યાસ થશે; જ્યાં, ABની લંબાઈ 20 સેમી.
હવે, બિંદુ C એ ABનું મધ્યબિંદુ છે, જે પરવલયાકાર પરાવર્તકના અક્ષ પર છે.
હવે, પરાવર્તકની ઊંડાઈ 5 સેમી છે.
∴ અંતર OC = 5
∴ A(5, 10) અને B (5, − 10) થશે.
હવે, A તે y² = 4ax પર છે.
∴ 10² = 4a × 5
∴ 100 = 20a
∴ a = 5
∴ તેની નાભિ (a, 0) = (5, 0)
અને નાભિ એ આપેલ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ છે.

પ્રશ્ન 2.
એક કમાન પરવલયાકાર છે. તેનો અક્ષ શિરોલંબ છે. કમાન 10 મી ઊંચી અને પાયામાં 5મી પહોળી છે. તે પરવલયના શિરોબિંદુથી 2 મી દૂર કેટલી પહોળી હશે?

ઉત્તરઃ
ધારો કે, AOB એ પરવલયાકાર કમાન છે; જ્યાં ૦ શિરોબિંદુ છે, AB આધાર છે અને OY અક્ષ છે.
∴ તેનાં સમીકરણનું સ્વરૂપ x² = 4ay …………(1)
હવે, કમાનની ઊંચાઈ 10 મી છે અને પાયાની પહોળાઈ 5 મી છે.
∴ AB = 5 મી
∴ A (-\(\frac{5}{2}\) , 10) અને B (\(\frac{5}{2}\), 10) થશે, જે x² = 4ay પર આવેલા છે.
∴ \(\left( \pm \frac{5}{2}\right)^2\) = ha(10)
\(\frac{25}{4}\) = ha (10)
a = \(\frac{5}{32}\)
જે સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
x² = \(\frac{5}{8}\) મળે.
ધારો કે, કમાન QOPની પહોળાઈ 2 છે. જે શિરોબિંદુથી 2 મી દૂર છે.
∴ P (h, 2) થશે, જે પરવલય x² = \(\frac{5}{8}\)y પર આવેલું છે.
∴ h² = \(\frac{5}{8}\) × 2 = \(\frac{5}{4}\)
∴ h = \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
∴ 2h = √5
આમ, પરવલયનાં શિરોબિંદુથી 2 મી દૂર આવેલી કમાનની
પહોળાઈ = 2h = √5 મીટર = 2.23 મીટર (આશરે)

પ્રશ્ન 3.
તાર પર લટકતો એક સમાન ભારવાળો ઝૂલતો પુલ પરવલયાકારનો છે. શિરોલંબ તારથી પુલને ટકાવેલ સમક્ષિતિજ રસ્તો 100 મી લાંબો છે. સૌથી મોટો તાર 30 મી અને સૌથી નાનો તાર 6 મીનો છે. પુલના કેન્દ્રથી 18 મી દૂર આવેલા આધાર આપતા તારની લંબાઈ શોધો.

ઉત્તરઃ
ધારો કે, પરવલયાકાર પુલનું સૌથી નીચેનું બિંદુ તે પરવલયનું શિરોબિંદુ ૦ છે અને તેની અક્ષ શિરોલંબ છે.
ધારો કે, અક્ષો એ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબના છે. : આ પરવલયનાં સમીકરણનું સ્વરૂપ x² = 4ay થશે.
વળી, P (50, 24) આ પરવલય પર છે.
∴ 50² = 4a × 24
∴ 2500 = 96a
∴ a = \(\frac{625}{24}\)
∴ પરવલયનું સમીકરણ x² = \(\frac{625}{6}\) × y થશે.
ધારો કે, QR એ કેન્દ્રથી 18 મી દૂર આવેલા આધાર આપતા તારની લંબાઈ છે.
ધારો કે, QR એ X-અક્ષને Sમાં છેદે છે.
હવે, OSની લંબાઈ = 18 મીટર છે.
ધારો કે, QSની લંબાઈ h મીટર છે.
∴ Q (18, h) થશે, જે x² = \(\frac{625}{6}\)y પર આવેલ છે.
∴ 18² = \(\frac{625}{6}\) x h
∴ h = \(\frac{324 \times 6}{625}\) = 3.11 (આશરે)
: આધાર આપતા તારની લંબાઈ = QR = QS + SR
= 3.11 + 6
= 9.11 મીટર (આશરે)

પ્રશ્ન 4.
એક કમાન અર્ધઉપવલયાકારની છે, તે 8મી પહોળી અને કેન્દ્ર આગળ 2 મી ઊંચી છે, તો તેના એક છેડેથી 1.5 મી અંતરે આવેલા બિંદુ આગળ કમાનની ઊંચાઈ શોધો.

ઉત્તરઃ
ધારો કે, ABA’ એ આપેલ અર્ધઉપવલયાકારની કમાન છે, જ્યાં AA’ = 8 મી અને OB =2 મી છે. આ કમાન તે ઉપવલય
\(\) = 1નો એક ભાગ છે.
∴ 2a = 8 અને b = 2
∴ a = 4 અને b = 2
∴ ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}\) = 1 …..(1)

આપણે P બિંદુ આગળ કમાનની ઊંચાઈ શોધવાની છે.
જ્યાં, AM = 1.5 મી છે.
ધારો કે, PM = h
હવે, OM = OA – AM
∴OM = 4 – 1.5 = 2.5 મી
∴ P (2.5, h) થશે, જે \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}\) = 1 પર છે.

∴ h = 1.56 મી (આશરે)
આમ, માગેલી ઊંચાઈ 1.56 મીટર (આશરે) હશે.

પ્રશ્ન 5.
12 મી લંબાઈનો સળિયો એવી રીતે ખસે છે કે જેથી તેનાં અંત્યબિંદુઓ યામાક્ષો પર રહે. X-અક્ષ પરનાં અંત્યબિંદુથી ૩ મી દૂર આવેલા સળિયા પરના બિંદુ નો બિંદુંગણ શોધો.

ઉત્તરઃ
ધારો કે, AB સળિયો છે, જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ X-અક્ષ સાથે θ ખૂણો બનાવે છે.
ધારો કે, P (x, પુ) તે આ સળિયા પરનું એક એવું બિંદુ છે કે જ્યાં AP = 3 સેમી
હવે, AB = 12 સેમી આપેલ છે.
∴ PB = AB – AP = 12 – 3 = 9 સેમી
ધારો કે, બિંદુ માાંથી X અને Y અક્ષો પરનાં લંબ અનુક્રમે PM અને PN છે.
∴ કાટકોણ ત્રિકોણ PMAમાં,
sin θ = \(\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{AP}}=\frac{y}{3}\)
અને કાટકોણ ત્રિકોણ PNBમાં,
cos θ = \(\frac{\mathrm{PN}}{\mathrm{PB}}=\frac{x}{9}\)
હવે, cos²θ + sin²θ = 1
\(\left(\frac{x}{9}\right)^2+\left(\frac{y}{3}\right)^2\) = 1
∴ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}\) = 1 જે બિંદુ ના બિંદુગણનું સમીકરણ છે.

બીજી રીતઃ

ધારો કે, AB સળિયો છે. જેનું એક અંત્યબિંદુ A (1, 0) X-અક્ષ પર અને બીજું અંત્યબિંદુ B (0, b) Y-અક્ષ પર છે. હવે, AB = 12 સેમી
∴ \(\sqrt{(a-0)^2+(0-b)^2}\) = 12
∴ a² + b² = 144 ………..(1)
ધારો કે, P (x, u) એ આ સળિયા પરનું એવું બિંદુ છે કે જેથી AP = 3 સેમી
∴ PB = AB – AP = 12 – 3 = 9 સેમી
∴ P બિંદુ એ રેખાખંડ ABનું 3 : 9 અર્થાત્ 1 : ૩ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.

પ્રશ્ન 6.
પરવલય x² = 12yના શિરોબિંદુ અને નાભિલંબના અંત્યબિંદુથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ઉત્તરઃ
અહીં, પરવલયનું સમીકરણ x² = 12y છે.
તેને x² = 4ay સાથે સરખાવતાં,
4a = 12 ∴ a = 3
∴ તેની નાભિ S (0, a) = S (0,3) થશે અને નાભિલંબનાં અંત્યબિંદુઓ L (2a, a) અને L₁(– 2a, a)
એટલે કે, L 6, 3) અને L₁(– 6, 3) થશે.
∴ LL₁ની લંબાઈ = 6 + 6 = 12 અને OSની લંબાઈ = 3
∴ ત્રિકોણOLL₁નું ક્ષેત્રફળ
= \(\frac{1}{2}\) × LL‚ની લંબાઈ × OSની લંબાઈ
= \(\frac{1}{2}\) × 12 × 3
= 18 ચો એકમ

પ્રશ્ન 7.
એક માણસ રમતના મેદાનમાં અંકિત કેડી પર એવી રીતે દોડે કે જેથી બે ધજાના દંડાના અંતરનો સરવાળો અચળ 10મી રહે છે. જો બંને ધજાના દંડા વચ્ચેનું અંતર 8 મી હોય, તો માણસના ગતિમાર્ગનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, સ્પષ્ટ છે કે રમતનું મેદાન એ ઉપવલય આકારનું છે અને બે ધ્વજદંડો તે તેની નાભિઓ છે. જો a અને b તે અર્ધપ્રધાન અક્ષ અને અર્ધગૌણ અક્ષની લંબાઈઓ હોય, તો નાભિ અંતરોનો સરવાળો = 2a
= 10
∴ a = 5 અને બે નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર = 2ae = 8
∴ ae = 4

હવે, a = 5 અને ae = 4
∴ a² = 25 અને a²e² = 16
હવે, b² = a (1 – e²) પ્રમાણે
b² = a² – a²e² = 25 – 16 = 9
∴ માણસનો ગતિમાર્ગ જે ઉપવલયાકાર છે, તેનું સમીકરણ
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1
∴ \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}\) = 1

પ્રશ્ન 8.
એક સમબાજુ ત્રિકોણ પરવલય y² = 4x માં અંતર્ગત છે, તેનું એક શિરોબિંદુ પરવલયનું શીર્ષ છે, તો ત્રિકોણની બાજુઓનાં માપ શોધો.

ઉત્તરઃ
ધારો કે, પરવલય y² = 4axમાં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણ એ ΔOPQ છે.
ધારો કે, તેની બાજુનું માપ l છે.
∴ OP = l
અને ∠POR = 30°
ધારો કે, P (x, y) છે.

∴ l = 8√3 a થશે.
આમ, ત્રિકોણની દરેક બાજુનું માપ 8√3a થશે.