GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 10 રેખાઓ Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 10 રેખાઓ Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 10 રેખાઓ Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
kની કંઈ કિંમત માટે રેખા
(k – 3) x – (4 – k) y + k² – 7k + 6 = 0
(a) X-અક્ષને સમાંતર થાય.
(b ) Y-અક્ષને સમાંતર થાય.
(c) ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થાય.
ઉત્તરઃ
અહીં, રેખાનું સમીકરણ
(k – 3) x – (4 – k) y + k² − 7k + 6 = 0 …..(1)
તેનો ઢાળ = \(\frac{-(k-3)}{-\left(4-k^2\right)}=\frac{k-3}{4-k^2}\)

(a) જો રેખા X-અક્ષને સમાંતર હોય, તો તેનો ઢાળ = 0
\(\frac{k-3}{4-k^2}\) = 0
∴ k – 3 = 0
∴ k = 3

(b) જો રેખા Y-અક્ષને સમાંતર હોય, તો તેના ઢાળનું અસ્તિત્વ નથી. તે માટે અહીં, 4 – k² = 0 લેવા પડે.
∴ k² = 4
∴ k = ± 2

(c) જો રેખા ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થાય, તો તેનું અચળ પદ શૂન્ય થાય.
∴ k² – 7k + 6 = 0
∴ (k – 6) (k – 1) = 0
∴ k = 6 અથવા = 1

પ્રશ્ન 2.
રેખા √3x + y + 2 = 0નું અભિલંબ સ્વરૂપ xcos θ + y sin θ = p હોય, તો θ અને pની કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, આપેલી રેખા √3x + y + 2 = 0 છે.
∴ √3x – y = 2
બંને બાજુ \(\sqrt{(-\sqrt{3})^2+(-1)^2}\) = 2 વડે ભાગતાં,
–\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)x – \(\frac{1}{2}\)y = 1
જે રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપ છે, જે xcos θ + Y sin θ = p આપેલ છે.

પ્રશ્ન 3.
જેના અક્ષો પર રચાતા અંતઃખંડોનો સરવાળો અને ગુણાકાર અનુક્રમે 1 અને – 6 હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, માગેલી રેખાના અક્ષો પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે a અને b છે.
∴ a + b = 1 …………(1)
અને ab = – 6 …… (2)
પરિણામ (2) પરથી b = \(-\frac{6}{a}\)
પરિણામ (1)માં મૂકતાં,
a – \(\frac{6}{a}\) = 1
a² – 6 = a
∴ a² – a – 6 = 0
∴ (a – 3) (a + 2) = 0
∴ a = 3 અથવા a = – 2
પરિણામ (1)માં વની કિંમત મૂકતાં,
જ્યારે a = 3 ત્યારે b = 1 – 3 = – 2
અને જ્યારે a = – 2 ત્યારે b = 1 − (– 2) = 3

હવે, અક્ષો પર અનુક્રમે a અને b અંતઃખંડ કાપતી રેખાનું સમીકરણ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1 પ્રમાણે,
માગેલી રેખાનું સમીકરણ \(\frac{x}{3}+\frac{y}{-2}=\) = 1 અને \(\frac{x}{-2}+\frac{y}{3}\) = 1
∴ 2x – 3y = 6 અને -3x + 2y = 6

પ્રશ્ન 4.
જી-અક્ષ પરનું કયું બિંદુ \(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\) = 1 રેખાથી 4 એકમ અંતરે આવેલ છે?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, Y-અક્ષ પરનું માગેલું બિંદુ P (0, y₁) છે.
આપેલી રેખાનું સમીકરણ \(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\)
એટલે કે 4x + 3y – 12 = 0 ….(1)

હવે, બિંદુ P (0, y₁)નું આ રેખાથી અંતર 4 એકમ છે.
∴ \(\left|\frac{4(0)+3 y_1-12}{\sqrt{4^2+3^2}}\right|\) = 4
∴ 3y₁ – 12 = ± 20
∴ 3y₁ – 12 = 20 અથવા 3y₁ – 12 = − 20
∴ 3y₁ = 32 અથવા 3y₁ = -8
y₁ = \(\frac{32}{3}\) અથવા y₁ = –\(\frac{8}{3}\)
આથી માગેલ બિંદુના યામ (0, \(\frac{32}{3}\)), (o, –\(\frac{8}{3}\)) છે.

પ્રશ્ન 5.
બિંદુઓ (cos θ, sin θ) અને (cos Φ, sin Φ)માંથી પસાર થતી રેખા પર ઊગમબિંદુમાંથી દોરેલા લંબનું લંબઅંતર શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A (cos θ, sin θ) અને B (cos Φ, sin Φ) આપેલાં બિંદુઓ છે.

પ્રશ્ન 6.
રેખાઓ x – 7y + 5 = 0 અને 3x + y =.0ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી અને Y-અક્ષને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તરઃ
અહીં, આપેલી રેખાઓ
x – 79 + 5 = 0 ………(1)
અને 3x + y = 0 …………..(2)
તેમનું છેદબિંદુ શોધવા માટે બંને સમીકરણો ઉકેલીએ.
તે માટે સમીકરણ (2)ને 7 વડે ગુણતાં,
21x + 7y = 0 ……….(3)
સમીકરણ (1) અને સમીકરણ (3)નો સરવાળો લેતાં,
22x + 5 = 0 ∴ x = \(\frac{-5}{22}\)
x = \(\frac{-5}{22}\) (2)માં મૂકતાં,
3(\(\frac{-5}{22}\)) + y = ૦ ∴ y = \(\frac{15}{22}\)
∴ બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ (\(-\frac{5}{22}, \frac{15}{22}\)) છે.
હવે, Y-અક્ષને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ x = a
આ રેખા, બિંદુ (\(-\frac{5}{22}, \frac{15}{22}\))માંથી પસાર થાય છે.
∴ અહીં, a = \(\frac{-5}{22}\)
આથી માગેલ રેખાનું સમીકરણ x = \(\frac{-5}{22}\)

પ્રશ્ન 7.
રેખા \(\frac{x}{4}+\frac{y}{6}\) = 1 અને Y-અક્ષના છેદબિંદુએ આપેલ રેખાને લંબ તેવી રેખાનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તરઃ
અહીં, રેખા \(\frac{x}{4}+\frac{y}{6}\) = 1, Y-અક્ષને બિંદુ P (0, 6)માં છેદે.
વળી, રેખા \(\frac{x}{4}+\frac{y}{6}\) = 1 એટલે કે
6x + 4y = 24નો ઢાળ \(\frac{-6}{4}=\frac{-3}{2}\)
માગેલ રેખા આ રેખાને લંબ હોવાથી તેનો ઢાળ \(\frac{2}{3}\) થશે અને
તે બિંદુ P (0, 6)માંથી પસાર થાય છે.
∴ માગેલ રેખાનું સમીકરણ y – 6 = \(\frac{2}{3}\)(x – 0)
∴ 3y – 18 = 2x
∴ 2x – 3y + 18 = 0

પ્રશ્ન 8.
રેખાઓ y − x = 0, x + y = 0 અને x – k = 0થી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
આપેલી રેખાઓ y − x = 0 …..(1)
x + y = 0 ………(2)
અને x – k = 0 ……(3)

અહીં, સ્પષ્ટ છે કે, રેખા (1) અને (2)નું છેદબિંદુ O (0, 0) છે.
હવે, સમીકરણ (3) પરથી x = k, સમીકરણ (2)માં મૂકતાં,
k + y = 0 ∴ y = -k
∴ રેખા (2) અને (3)નુંછેદબિંદુ A (k, − k) છે.
(3) પરથી x = k, (1)માં મૂકતાં,
y – k = 0 ∴y = k
∴ રેખાઓ (1) અને (3)નું છેદબિંદુ B (k, k) છે.
ΔOABનાં શિરોબિંદુઓ O (0, 0), A (k, − k), B (k, k) છે.
ΔOABનું ક્ષેત્રફળ
= \(\frac{1}{2}\)|0(-k – k) +k (k – 0) + k (0 + k)|
= \(\frac{1}{2}\)|0 + k² + k²|
= k² ચોરસ એકમ

પ્રશ્ન 9.
જો રેખાઓ 3x + y – 2 = 0, px + 2y – 3 = 0 અને 2x – y – 3 = 0 એક બિંદુમાંથી પસાર થતી હોય, તો P શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, આપેલ રેખાઓનાં સમીકરણો,
3x + y – 2 = 0 ……..(1)
px + 2y – 3 = 0 ….(2)
2x – y – 3 = 0 …….(3)
પ્રથમ રેખા (1) અને (3)નું છેદબિંદુ શોધીએ.
સમીકરણ (1) અને સમીકરણ (3)નો સરવાળો લેતાં,
5x – 5 = 0
x = 1 જેને સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
3 (1) + y – 2 = 0 ∴ y = – 1
∴ રેખા (1) અને (3)નું છેદબિંદુ (1, – 1) છે.
હવે, આપેલ ત્રણેય રેખાઓ એક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
આથી રેખા (2) પણ (1, − 1) માંથી પસાર થશે.
∴ x = 1 અને y = – 1ને પરિણામ (2)માં મૂકતાં,
p (1) + 2 (– 1 ) – 3 = 0
∴ p – 2 – 3 = 0
∴ p = 5

પ્રશ્ન 10.
જો રેખાઓ y = m₁x + c₁, y = m₂x + c₂ અને y = m₃x + c₃ સંગામી હોય તો સાબિત કરો કે, m₁ (c₂ – c₃) + m₂ (c₃ – c₁) + m₃ (c₁ – c₂) = 0.
ઉત્તરઃ
અહીં, આપેલ રેખાઓ,
y = m₁x + c₁ …………….(1)
y = m₂x + c₂ ………..(2)
y = m₃x + c₃ …………(3)
આ રેખાઓ સંગામી હોય, તો ત્રણેય રેખાઓ એક સામાન્ય બિંદુમાં છેદે.
પ્રથમ (1) અને (2)નું છેદબિંદુ શોધીએ.
સમીકરણ (1) અને સમીકરણ (2)ની બાદબાકી લેતાં,
0 = (m₁ – m₂) x + C₁ – C₂

રેખાઓ સંગામી હોવાથી આ બિંદુના x અને યામ રેખા (3)માં એટલે કે u = mgx + c3માં મૂકતાં,
\(\frac{m_1 c_2-m_2 c_1}{m_1-m_2}=-m_3\left(\frac{c_1-c_2}{m_1-m_2}\right)\) + C₃
∴ m₁c₂ – m₂c₁ = – m₃c₁ + m₃c₂ + m₁c₃ – m₂c₃
∴ (m₁c₂ – m₁c₃) + (m₂c₃ – m₂c₂) + (m₃c₁ – m₃c₂) = 0
∴ m₁(c₂ – c₃) + m₂(c₃ – c₁) + m₃(c₁ – c₂) = 0 આમ, માગેલ પરિણામ સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 11.
બિંદુ (3, 2)માંથી પસાર થતી અને રેખા x – 2y = 3 સાથે 45°નો ખૂણો બનાવતી રેખાનાં સમીકરણો મેળવો.
ઉત્તરઃ
બિંદુ (3, 2)માંથી પસાર થતી અને રેખા x – 2y = 3 સાથે 45°નો ખૂણો બનાવતી રેખાનો ઢાળ ધારો કે, m છે.
હવે, x – 2y = ૩નો ઢાળ = \(\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\)

∴ 2m – 1 = 2 + m અથવા 2m – 1 = – 2 – m
∴ m = ૩ અથવા 3m = – 1
∴ m = 3 અથવા m = \(\frac{-1}{3}\)
m = 3 લેતાં,
રેખાનું સમીકરણ y – 2 = 3 (x – 3)
∴ y – 2 = 3x – 9 ∴3x – y – 7 = 0
m = \(\frac{-1}{3}\) લેતાં,
∴ 3x – y – 7 = 0
રેખાનું સમીકરણ y – 2 = \(\frac{-1}{3}\) (x – 3)
∴ 3y – 6 = – x + 3 ∴ x + 3y – 9 = 0
આમ, માગેલ રેખાનાં સમીકરણ
3x – y – 7 = 0 અને x + 3y – 9 = 0
∴ 3x – y = 7 અને x + 3y = 9

પ્રશ્ન 12.
રેખાઓ 4x + 7y – 3 = 0 અને 2x – 3y + 1 = 0ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી અને અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ બનાવતી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, આપેલ રેખાઓ
4x + 7y – 3 = 0 …(1)
2x – 3y + 1 = 0 …(2)
સમીકરણ (2)ને 2 વડે ગુણતાં,
4x – 6y + 2 = 0 ..(3)
સમીકરણ (1) અને સમીકરણ (3)ની બાદબાકી લેતાં,
13y – 5 = 0
∴ y = \(\frac{5}{13}\) જેને સમીકરણ (2)માં મૂકતાં,
2x – 3(\(\frac{5}{13}\)) + 1 = 0
∴ 2x = \(\frac{15}{3}\) – 1 = \(\frac{2}{13}\)
∴ x = \(\frac{1}{13}\)
∴ રેખાઓનું છેદબિંદુ P = \(\left(\frac{1}{13}, \frac{5}{13}\right)\)

ધારો કે, માગેલી રેખાના અક્ષો પરના અંતઃખંડ a અને b છે. જે સમાન આપેલા છે.
∴ a = b
∴ રેખાનું સમીકરણ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1 અનુસાર,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1 [∵ પરિણામ (4) પ્રમાણે]
∴ x + y = b
આ રેખા બિંદુ P = \(\left(\frac{1}{13}, \frac{5}{13}\right)\) માંથી પસાર થાય છે.
\(\frac{1}{13}+\frac{5}{13}\) = b
∴ b = \(\frac{6}{13}\)
∴ માગેલ રેખાનું સમીકરણ x + y = \(\frac{6}{13}\)
એટલે કે 13x + 13y = 6

પ્રશ્ન 13.
સાબિત કરો કે ઊગબિંદુમાંથી પસાર થતી અને જી θ માપનો ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ \(\frac{y}{x}=\frac{m \pm \tan \theta}{1 \mp m \tan \theta}\) છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને y = mx + c સાથે θ માપનો ખૂણો બનાવતી રેખાનો ઢાળ m₁ છે
અહીં, y = mx + cત્નો ઢાળ m છે.
∴ tan θ = \(\left|\frac{m_1-m}{1+m_1 m}\right|\)
∴ \(\frac{m_1-m}{1+m_1 m}\) = ± tan θ
∴ m₁ – m = + tan θ(1 + m₁m)
∴ m₁ – m = ± tan θ ± m₁m tan θ
∴ m₁ – (±m₁ m tan θ) = m – tan θ
∴ m₁(1 ∓ m tan θ) = m ± tan θ
∴ m₁ = \(\frac{m \pm \tan \theta}{1 \mp m \tan \theta}\)
∴ માગેલ રેખાનું સમીકરણ y – 0 = m₁ (x – 0)
∴ y = \(\left(\frac{m \pm \tan \theta}{1 \mp m \tan \theta}\right)\)x
∴ \(\frac{y}{x}=\frac{m \pm \tan \theta}{1 \mp m \tan \theta}\)

પ્રશ્ન 14.
(– 1, 1) અને (5, 7)ને જોડતી રેખાનું આપેલ રેખા x + y = 4 કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરશે?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, (– 1, 1) અને (5, 7)ને જોડતી રેખાનું x + y = 4 રેખા બિંદુ P (x₁, y₁) આગળ k : 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

∴ 5k – 1 + 7k + 1 = 4k + 4
∴ 8k = 4
∴ k = \(\frac{1}{2}\)
આમ, માગેલ ગુણોત્તર 1: 2 છે.

પ્રશ્ન 15.
બિંદુ (1, 2)નું રેખા 4 + 79 + 5 = 0થી રેખા 2x – y = 0ની દિશામાં અંતર શોધો.

ઉત્તરઃ
અહીં, બિંદુ (1, 2), 2x – y = 0 પર આવેલું છે. માગેલું અંતર શોધવા માટે આપેલ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધીએ.
અહીં, 2x – y = 0
4x + 7y + 5 = 0
સમીકરણ (1)ને 7 વડે ગુણતાં,
14x – 7y = 0
હવે, સમીકરણ (2) + સમીકરણ (3) લેતાં, 18x + 5 = 0
∴ x = \(\frac{-5}{18}\) જેને (1)માં મૂકતાં,
2(\(\frac{-5}{18}\)) – y = 0 ∴ y = \(\frac{-5}{9}\)

પ્રશ્ન 16.
બિંદુ (– 1, 2)માંથી પસાર થતી રેખાની દિશા શોધો કે જેથી તેનું રેખા x + y = 4 સાથેનું છેદબિંદુ (– 1, 2)થી 3 એકમ અંતર હોય.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, માગેલી રેખા X-અક્ષની ધન દિશા સાથે 6 ખૂણો બનાવે છે. આથી રેખાનો ઢાળ = tan θ અને રેખા (− 1, 2) બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
∴ રેખાનું સમીકરણ y – y₁ = m (x – x₁) અનુસાર,
y – 2 = tan θ(x + 1)
∴ y – 2 = \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)(x + 1)
∴ \(\frac{x+1}{\cos \theta}=\frac{y-2}{\sin \theta}\) = r
જ્યાં, r એ બિંદુ (x, y)નું (– 1, 2)થી અંતર છે.
∴ x = r cos θ − 1 અને y = r sin θ + 2
હવે, આ બિંદુ રેખા x + y = 4 પર આવેલું હોય, તો તે બે રેખાઓનું છેદબિંદુ થાય અને r = 3
∴ x = 3 cos θ – 1 અને y = 3 sin θ + 2
જેને x + y = 4માં મૂકતાં,
(3 cos θ – 1) + (3 sin θ + 2) = 4
∴ sin θ + cos θ = 1
∴ (sin θ + cos θ)² = 1
sin²θ + cos²θ + 2 sin θ cos θ = 1
∴ 1 + sin 2θ = 1
∴ sin 2θ = 0
∴ sin 2θ = sin θ અથવા sin 2θ = sin π
∴ 2θ = 0 અથવા 2θ = π
∴ θ = 0 અથવા θ = \(\frac{\pi}{2}\)
આથી માગેલી રેખા X-અક્ષની ધન દિશા સાથે 0° અથવા 90નો ખૂણો બનાવે છે.
આમ, માગેલી રેખા X-અક્ષ અથવા Y-અક્ષને સમાંતર છે.

પ્રશ્ન 17.
કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણનાં અંત્યબિંદુઓ (1, 3) અને (– 4, 1) હોય, તો કાટકોણ બનાવતી બાજુઓને સમાવતી રેખાનાં સમીકરણો મેળવો.

ઉત્તરઃ
ધારો કે, A (1, 3) અને C (– 4, 1) કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણનાં અંત્યબિંદુઓ છે.
અહીં, આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે કાટકોણ ત્રિકોણ ABC અને ABC બને.
(1) કાટકોણ ત્રિકોણ ABCમાં AB શિરોલંબ રેખા બને.
BC જે A (1, 3)માંથી પસાર થાય છે.
આથી રેખા ABનું સમીકરણ x = 1
થાય અને BC સમક્ષિતિજ રેખા બને, જે C (−4, 1)માંથી પસાર થાય છે.
આથી રેખા BCનું સમીકરણ u = 1 થાય.

(2) કાટકોણ ત્રિકોણ ABCમાં BC શિરોલંબ રેખા થાય, જે C (– 4, 1)માંથી પસાર થાય છે.
આથી રેખા B’Cનું સમીકરણ x = – 4 થાય અને AB′ સમક્ષિતિજ રેખા થાય જે A (1, 3)માંથી પસાર થાય છે.
આથી રેખા AB’નું સમીકરણ y = 3 થાય.
આમ, કાટકોણ બનાવતી બાજુઓને સમાવતી રેખાનાં સમીકરણો
(1) x = 1 અને y = 1 અને
(2)x = – 4 અને y = 3

પ્રશ્ન 18.
બિંદુ (3, 8)નું રેખા x + 3 = 7ને સાપેક્ષ પ્રતિબિંબ મેળવો. અહીં રેખાનો સાદા અરીસા તરીકે વિચાર કરો.

ઉત્તરઃ
ધારો કે, B (h, k) બિંદુ A (3, 8)નું રેખા x + 3y = 7ને સાપેક્ષ પ્રતિબિંબ છે.
અહીં, રેખા x + 3y = 7 ……..(1)
અહીં, રેખા AB અને રેખા x + 3y = 1 એકબીજીને લંબ છે
અને
અહીં, રેખા x + 3y = 7, રેખા ABને લંબ થશે અને તેને બિંદુમાં Cમાં દુભાગે છે.
∴ હવે, રેખા x + 3y = 7 ના ઢાળ
∴ રેખા ABનો ઢાળ = 3 અને તે A (3, 8)માંથી પસાર થાય છે.
∴ રેખા ABનું સમીકરણ y − y₁ = m (x – x₁) અનુસાર,
y – 8 = 3 (x – 3)
y – 8 = 3x – 9
∴ 3x – y = 1 ………….(2)
હવે, રેખાઓ સમીકરણ (1) અને સમીકરણ (2)નું છેદબિંદુ Cના
યામ શોધીએ. સમીકરણ (2)ને 3 વડે ગુણતાં,
9x – 3y = 3 ….(3)
સમીકરણ (1) + (2) લેતાં,
10 x = 10
∴ x = 1 જેને (2)માં મૂકતાં,
3 (1) − y = 1
∴ y = 2
∴ C (1, 2) મળે.
હવે, C એ રેખાખંડ ABનું મધ્યબિંદુ થાય.
∴ 1 = \(\frac{h+3}{2}\) અને 2 = \(\frac{k+8}{2}\)
∴ h + 3 = 2 અને k + 8 = 4
∴ h = − 1 અને k = – 4
∴ B (− 1, − 4) મળે.
આમ, બિંદુ (3, 8)નું રેખા x + 3y = 7ને સાપેક્ષ પ્રતિબિંબ (– 1, −4) છે.

પ્રશ્ન 19.
જો રેખાઓ y = 3x + 1 અને 2y = x + 3, રેખા y = mx + 4 સાથે સમાન માપનો ખૂણો બનાવતી હોય, તો mનું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, આપેલી રેખાઓ y = 3x + 1 અને 2y = x + 3 એટલે કે 3x – y + 1 = 0 અને x – 2y + 3 = 0 છે. જેમના ઢાળ અનુક્રમે \(\frac{-3}{-1}\) = ૩ અને \(\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\) છે.

આ બંને રેખાઓ, રેખા y = x + 4 કે જેનો ઢાળ m છે. તેની સાથે સમાન માપનો ખૂણો બનાવે છે.

(m – 3) (2 + m) = -(2m – 1) (1 + 3m)
∴m² – m – 6 = – (6m² – m – 1)
∴ m² – m – 6 = – 6m² + m + 1
∴ 7m² – 2m – 7 = 0
∴ m = \(\frac{2 \pm \sqrt{4-4 \times 7 \times(-7)}}{2(7)}=\frac{2 \pm 10 \sqrt{2}}{14}=\frac{1 \pm 5 \sqrt{2}}{7}\)
આમ, m = \(\frac{1 \pm 5 \sqrt{2}}{7}\)

પ્રશ્ન 20.
જો એક ચલ બિંદુ P (x, y)ના રેખાઓ x + y − 5 = 0 અને 3x – 2y + 7 = 0થી લંબઅંતરોનો સરવાળો હંમેશાં 10 રહે, તો સાબિત કરો કે બિંદુ Pનો પથ એક રેખા છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બિંદુ P (x, y)માંથી રેખાઓ x + y − 5 = 0 અને 3x – 2y + 7 = 0 પરના લંબ અનુક્રમે PM અને PM’ છે. હવે, લંબઅંતરોનો સરવાળો હંમેશાં 10 રહે છે.
∴ PM + PM’ = 10
હવે, બિંદુ (x₁, y₁)થી રેખા Ax + B + C = 0નું લંબઅંતર \(\frac{\mathrm{A} x_1+\mathrm{B} y_1+\mathrm{C}}{\sqrt{\mathrm{A}^2+\mathrm{B}^2}}\) થાય. તે અનુસાર,

જે x અને પુમાં કુલ ચાર રેખીય સમીકરણોનો ગણ દર્શાવે છે. આમ, બિંદુ નો પથ એક રેખા છે.

પ્રશ્ન 21.
સમાંતર રેખાઓ 9x + 6y − 7 = 0 અને 3x + 2y + 6 = 0થી સમાન અંતરે આવેલી રેખાનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તરઃ
અહીં, સમાંતર રેખાઓનાં સમીકરણ 9x + 6y – 7 = 0
એટલે કે 3x + 2y – \(\frac{7}{3}\) = 0 ………..(1)
અને 3x + 2y + 6 = 0 ………..(2)
હવે, આ બંને રેખાઓથી સમાન અંતરે આવેલી રેખા પણ તે રેખાઓને સમાંતર હશે.
હવે, આપેલી રેખાઓને સમાંતર કોઈ પણ રેખાનું સમીકરણ
3x + 2y + k = 0 …(3)
બે સમાંતર રેખાઓ Ax + By + C₁ = 0 અને
Ax + By + C₂ = 0 વચ્ચેનું અંતર \(\left|\frac{\mathrm{C}_1-\mathrm{C}_2}{\sqrt{\mathrm{A}^2+\mathrm{B}^2}}\right|\) થાય.
માગેલી રેખા 3x + 2g + k = 0 એ રેખાઓ
3x + 2y – \(\frac{7}{3}\) = 0 અને 3x + 2y + 6 = 0થી સમાન અંતરે આવેલી છે.
∴ \(\left|\frac{k-\left(-\frac{7}{3}\right)}{\sqrt{3^2+2^2}}\right|=\left|\frac{k-6}{\sqrt{3^2+2^2}}\right|\)
∴ k + \(\frac{7}{3}\) = ± (k – 6)
∴ k + \(\frac{7}{3}\) = k – 6 અથવા k + \(\frac{7}{3}\) = -(k – 6)
∴ \(\frac{7}{3}\) = -6, જે શક્ય નથી.
અથવા k + \(\frac{7}{3}\) = -k + 6
∴ 2k = \(\frac{11}{3}\) ∴ k = \(\frac{11}{6}\)
kનું મૂલ્ય સમીકરણ (3)માં મૂકતાં,
3x + 2g + \(\frac{11}{6}\) = 0
એટલે કે 18x + 12y + 11 = 0 જે માગેલી રેખાનું સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 22.
બિંદુ (1, 2)માંથી પસાર થતું પ્રકાશનું એક કિરણ બિંદુ Aથી X-અક્ષ પર પરિવર્તિત થાય છે અને પરિવર્તિત કિરણ બિંદુ (5, 3)માંથી પસાર થાય છે, તો બિંદુ Aના યામ શોધો.

ઉત્તરઃ
ધારો કે, A (x, 0) છે.
આકૃતિ પરથી પિરવર્તિત કિરણનો ઢાળ = \(\frac{3}{5-x}\)
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ધારો કે, પ્રકાશનું કિરણ X-અક્ષ પર θ ખૂણે આપાત થાય છે. આથી પરિવર્તિત કિરણ પણ X-અક્ષની ધન દિશા સાથે 6 ખૂણો બનાવે.
∴ પરિવર્તિત કિરણનો ઢાળ = tan θ
∴ tan θ = \(\frac{2-0}{1-x}\)
અહીં, આપાતિકરણનો X-અક્ષની ધન દિશા સાથેનો ખૂણો π – θ થાય.
∴ આપાતિકરણનો ઢાળ tan (π – θ) = \(\)
∴ – tan θ = \(\frac{2}{1-x}\)
∴ tan θ = \(\frac{2}{x-1}\)
પરિણામ (1) અને પરિણામ (2) પરથી,
\(\frac{3}{5-x}=\frac{2}{x-1}\)
∴ 3x – 3 = 10 – 2x
∴ 5x = 13
∴ x = \(\frac{13}{5}\)
∴ બિંદુ Aના યામ (\(\frac{13}{5}\), ૦) છે.

પ્રશ્ન 23.
સાબિત કરો કે, બિંદુઓ (\(\sqrt{a^2-b^2}\), 0) અને (-\(\sqrt{a^2-b^2}\), 0) થી રેખા \(\frac{x}{a}\)cos θ + \(\frac{y}{b}\) sin θ = 1નાં લંબઅંતરોનો ગુણાકાર b² છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, p₁ અને p₂ એ બિંદુઓ A(\(\sqrt{a^2-b^2}\), 0) અને B(-\(\sqrt{a^2-b^2}\), 0)નાં રેખા \(\frac{x}{a}\)cos θ + \(\frac{y}{b}\) sin θ = 1 થી લંબઅંતરો છે.

પ્રશ્ન 24.
એક વ્યક્તિ સમીકરણો 2x – 3y + 4 = 0 અને 3x + 4y − 5 = 0 દ્વારા દર્શાવતા સીધા રસ્તાઓના સંગમબિંદુ પર ઊભો છે અને તે સમીકરણ 6x – 7y + 8 = 0 દ્વારા દર્શાવતા સીધા રસ્તા પર ન્યૂનતમ સમયમાં પહોંચવા માગે છે, તો તે જે માર્ગને અનુસરે તેનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તરઃ
પ્રથમ બે રસ્તાઓનું સંગમબિંદુ એટલે કે આપેલી બે રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધીએ.
અહીં, 2x – 3 + 4 = 0 ……(1)
અને 3x + 49 – 5 = 0 ……(2)
સમીકરણ (1)ને 4 વડે અને સમીકરણ (2)ને 3 વડે ગુણતાં,
8x – 12y + 16 = 0
અને 9x + 12y – 15 = 0
સરવાળો લેતાં,
17x + 1 = 0
∴ x = \(\frac{-1}{17}\) મળે, જેને સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
2(\(\frac{-1}{17}\)) – 3y + 4 = 0
\(\frac{-1}{17}\) + 4 = 3y
∴ 3y = \(\frac{66}{17}\)
∴ y = \(\frac{22}{17}\)
આમ, આપેલી બે રેખાઓનું છેદબિંદુ A (\(\frac{-1}{17}, \frac{22}{17}\)) મળે.
હવે, વ્યક્તિને રસ્તાઓનાં સંગમબિંદુથી 6x – 7y + 8 = 0 દ્વારા દર્શાવાતા સીધા રસ્તા પર ન્યૂનતમ સમયમાં પહોંચવા માટે બિંદુ
Aથી રેખા 6x – 7y + 8 = 0ને લંબદિશામાં જવું પડે.

હવે, 6x – 7y + 8 = ૦નો ઢાળ = \(\frac{-6}{-7}=\frac{6}{7}\)
∴ તેને લંબરેખાનો ઢાળ \(-\frac{7}{6}\)
આથી વ્યક્તિ જે માર્ગને અનુસરે તે રસ્તાનું એટલે કે રેખાનું
સમીકરણ y – y₁ = m (x – x₁) અનુસાર,

∴ 119x + 102y = 125