Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 8 દ્વિપદી પ્રમેય Ex 8.1 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 8 દ્વિપદી પ્રમેય Ex 8.1
પ્રશ્ન 1થી 5ની અભિવ્યક્તિઓનું વિસ્તરણ કરોઃ
પ્રશ્ન 1.
(1 – 2x)5
ઉત્તરઃ
(1 – 2x)5ને (a + b)n સાથે સરખાવતાં,
a = 1, b = -2x અને n = 4
આ કિંમતો દ્વિપદી પ્રમેયમાં મૂકતાં,
પ્રશ્ન 2.
\(\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{2}\right)^5\)
ઉત્તરઃ
પ્રશ્ન 3.
(2x – 3)6
ઉત્તરઃ
(2x – 3)6ને (a + b)n સાથે સરખાવતાં,
a = 2x, b = -3 અને 2n = 6
આ કિંમતો દ્વિપદી પ્રમેયમાં મૂકતાં,
= 1.64. x6.1 + 6 · (32x5) · (− 3) +15 · (16x) · (9) + 20 · (8x3) · (−27) + 15 · (4x2) (81) + 6 · (2x) (− 243) +1.1.729
= 64x6 – 576x5 + 2160x2 – 4320x3 +4860x2 – 2916x + 729
પ્રશ્ન 4.
\(\left(\frac{x}{3}+\frac{1}{x}\right)^5\)
ઉત્તરઃ
પ્રશ્ન 5.
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^6\)
ઉત્તરઃ
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી, નીચેનાની કિંમત શોધો : (પ્રશ્ન 6થી 9)
પ્રશ્ન 6.
(96)3
ઉત્તરઃ
(96)3 = (100 −4)3
= (102 + (− 4))3
= 1·106·1 + 3·104·(−4) + 3·102·16 + 1.1.(-64)
= 1000000 – 120000 + 4800-64
= 884736
પ્રશ્ન 7.
(102)5
ઉત્તરઃ
(102)5 = (100 + 2)5
= (102 + 2)5
= 1 · 1010. 1 + 5 · 108· 2 + 10 · 106.4 + 10 · 104 · 8 + 5 · 102 · 16 + 1·1·32
= 10000000000 + 1000000000 + 40000000 + 800000 + 8000 + 32
= 11040808032
પ્રશ્ન 8.
(101)4
ઉત્તરઃ
(101)4 = (100 + 1)4
= (102 + 1)4
= 1 · 108 · 1 + 4. 106. 1 + 6. 104. 1 +4102.1 + 1 · 1 · 1
= 100000000 + 4000000 + 60000 + 400 + 1
= 104060401
પ્રશ્ન 9.
(99)5
ઉત્તરઃ
(99)5 = (100 – 1)5
= (102 + (− 1))5
= 1 · 1010· 1 + 5 · 108 · (− 1) + 10 · 106 · 1 +10 104 (-1)+5 · 102 · 1 + 1 · 1 · (− 1 )
= 10000000000-500000000 + 10000000 – 100000 + 500 – 1
= 9509900499
પ્રશ્ન 10.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી, (1.1)10000 અથવા 1000 પૈકી કઈ સંખ્યા મોટી છે, તે નક્કી કરો.
ઉત્તરઃ
(1.1)10000
= (1 + 0.1)10000
= \(\left(\begin{array}{c}
10000 \\
0
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
10000 \\
1
\end{array}\right)\) (0. 1) + બાકી રહેલાં ધન પદોનો
= 1 + (10000) (0.1) + બાકી રહેલાં ધન પદોનો સરવાળો
= 1 + 1000 + બાકી રહેલાં ધન પદોનો સરવાળો > 1000 .
∴ (1.1)10000 એ 1000 કરતાં મોટી છે.
પ્રશ્ન 11.
(a + b)4 – (a – b)4 શોધો. તે પરથી (√3 + √2)4 – (√3 – √2)4નું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
(a + b)4 – (a – b)4
= [1 · a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1·ba] – [1. a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + 1·ba]
= 2 [4a3b + 4ab3]
= 8ab · (a2 + b2)
આમ, (a + b)2 – (a – b)2 = 8ab(a2 + b2) … (1)
હવે, (√3 + √2)4 – (√3 – √2)4શ્ર્વનું મૂલ્ય શોધવા માટે
a = √3, b = √2 સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
(√3+ √2)2 – (√3 – √2)4 = 8 √3 · √2. (3 + 2)
= 8.√6.5 = 40 √6
પ્રશ્ન 12.
(x + 1)6 + (x – 1)6 શોધો. તે પરથી અથવા અન્ય રીતે (√2 + 1)6 + (√2 – 1)6 મેળવો.
ઉત્તરઃ
(x + 1)6 + (x – 1)6
= 2 [x6 + 15x + 15x2 + 1]
આમ, (x + 1)6 + (x − 1)6 = 2 [x6 + 15x2 + 15x2 + 1] ……… (1)
હવે, (√2 + 1)6 + (√2 – 1)6 મેળવવા માટે, x = √2 સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
(√2 + 1)6 + (√2 – 1)6
= 2 [(√2 )6 + 15 (√2 )2 + 15 (√2 )2 + 1]
= 2 [8 + 15 (4) + 15 (2) + 1]
= 2[8 + 60 + 30 + 1]
= 2 [99]
= 198
∴ ( √2 + 1)6 + (√2 – 1)6 = 198
પ્રશ્ન 13.
બતાવો કે, ધન પૂર્ણાંક n માટે 9n+1 – 8n – 9 એ 64 વડે વિભાજ્ય છે.
ઉત્તરઃ
9n+1
= (1 + 8)n+1
હોવાથી,
9n+1 – 8n – 9 એ 64 વડે વિભાજ્ય છે.
પ્રશ્ન 14.
સાબિત ક્રો: \(\sum_{r=0}^n\)3r × nCr = 4n
ઉત્તરઃ
