Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 2 સંબંધ અને વિધેયો Ex 2.1 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 2 સંબંધ અને વિધેયો Ex 2.1
પ્રશ્ન 1.
જો (\(\frac{x}{3}\) + 1, જy – \(\frac{2}{3}\)) = \(\left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right)\), તો x અને y શોધો.
ઉત્તરઃ
(\(\frac{x}{3}\) + 1, જy – \(\frac{2}{3}\)) = \(\left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right)\) અરીં, ક્રમયુક્ત જોડ સમાન છે. તેથી ક્રમવાર ઘટકો સમાન થાય.
પ્રશ્ન 2.
જો ગણ Aમાં ૩ ઘટકો હોય અને ગણ B = {3, 4, 5}, તો (A × B)ના ઘટકોની સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, n (A) = 3 છે.
B = {3, 4, 5} ∴ n (B) = 3
∴ n (A × B) = n (A) . n (B)
= 3.3
= 9
∴ A × B ના ઘટકોની સંખ્યા 9 છે.
પ્રશ્ન 3.
જો G = {7, 8} અને H = {5, 4, 2}, તો G × H અને H × G શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, G = {7, 8} અને H = {5, 4, 2}
∴ G × H = {(7, 5), (7, 4), (7, 2), (8, 5), (8, 4), (8, 2)}
અને H × G = {(5, 7), (5, 8), (4, 7), (4, 8), (2, 7), (2, 8)}
પ્રશ્ન 4.
નીચે આપેલાં વિધાનોમાંથી કયું વિધાન સત્ય છે અને કયું વિધાન અસત્ય છે, તે જણાવો તથા અસત્ય વિધાન સત્ય બને તે રીતે ફરીથી લખો :
(1) જો P = {m, n} અને 9 = {n, m}, તો P × 9 = {{m, n), (n, m}},
(2) જો A અને B અરિક્ત ગણો હોય, તો જ્યાં x ∈ A તથા y ∈ B હોય તેવી તમામ ક્રમયુક્ત જોડો (x, y)થી બનતો અરિક્ત ગણ A × B છે.
(3) જો A = {1, 2}, B = {3, 4}, તો A × (B ∩ Φ) = Φ.
ઉત્તરઃ
(1) જો P = {m, n} અને Q = {n, m}, તો P × Q = {(m, n), (n, m)}. આ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે અહીં,
P × Q = {(m, n), (m, m), (n, n), (n, m)} થાય.
(2) આપેલું વિધાન સત્ય છે.
(3) આપેલું વિધાન સત્ય છે.
પ્રશ્ન 5.
જો A = {– 1, 1}, તો A × A × A મેળવો.
ઉત્તરઃ
અહીં, A = {− 1, 1}
∴ A × A × A = {− 1, 1} × {−1, 1} × {−1, 1}
= {(-1, -1, -1), (−1, – 1, 1), (-1, 1, – 1), (-1, 1, 1), (1, −1, −1), (1, −1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1)}
પ્રશ્ન 6.
જો A × B = {{a, x), (a, પુ), (b, x), (b, g)}, તો A અને B શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, A × B = {{a, x), (a, u), (b, x), (b, y)}
∴ A = A × Bની ક્રમયુક્ત જોડના પ્રથમ ઘટકોનો ગણ
∴ A = {a, b}
B = A × Bની ક્રમયુક્ત જોડના બીજા ઘટકોનો ગણ
∴ B = {x, g}
પ્રશ્ન 7.
ધારો કે, A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5,6} અને D = {5, 6, 7, 8}, તો નીચેનાં પરિણામો ચકાસો :
(1) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
(2) A × C એ B × Dનો ઉપગણ છે.
ઉત્તરઃ
અહીં, A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6} D = {5, 6, 7, 8}.
(1) અહીં,, B ∩ C = {1, 2, 3, 4} ∩ {5, 6} = Φ
∴ ડા.બા. = A × (B ∩ C)
= A × Φ
= Φ
∴ જ.બા. = (A × B) ∩ (A × C)
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} ∩{(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}
= Φ
∴ ડા.બા. = જ.બા.
∴ A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
(2) A × C = {1, 2} × {5, 6}
= {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}
B × D = {1, 2, 3, 4} × {5, 6, 7, 8}
= {(1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
અહીં, A × Cનો દરેક સભ્ય B × Dનો પણ સભ્ય છે.
∴ A × C ⊂ B × D
પ્રશ્ન 8.
A = {1, 2} В = {3, 4}, તો A × B લબો. A × Bને કેટલા ઉપગણો હશે? તે તમામ ઉપગણોની યાદી બનાવો.
ઉત્તરઃ
અહીં, A = {1, 2} ✈ B = {3, 4}
∴ A × B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
અહીં, A × Bમાં 4 સભ્યો છે.
∴ A × Bના ઉપગણોની સંખ્યા = 24 = 16 થશે.
A × Bના ઉપગણો નીચે મુજબ છેઃ
Φ , {(1, 3)}, {(1, 4)}, {(2, 3)}, {(2, 4)}, {(1, 3), (1, 4)}, {(1, 3), (2, 3)}, {(1, 3), (2, 4)}, {(1, 4), (2, 3)}, {(1, 4), (2, 4))}, {(2, 3), (2, 4)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 3)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 4)}, (2, 4)}, {(1, 4), (2, {(1, 3), (2, 3), 3), (2, 4)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}.
પ્રશ્ન 9.
જો n (A) = 8 અને n (B) = 2 હોય તેવા બે ગણો A અને B હોય અને ભિન્ન ઘટકો x, y અને z માટે (x, 1), (y, 2) (z, 1) એ A × Bના ઘટકો હોય, તો A અને B શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, (x, 1) ∈ A × B ⇒ x ∈A અને 1 ∈ B
(Y, 2) ∈ A × B ⇒ y ∈ A અને 2 ∈ B
(z, 1) ∈ A × B ⇒ z ∈ A અને 1 ∈ B
વળી, n (A) = 3 અને n (B) = 2 આપેલ છે.
∴ A = {x, y, z} અને B = {1, 2}
પ્રશ્ન 10.
જો કાર્તેઝિય ગુણાકાર A × Aના ઘટકોની સંખ્યા 9 હોય અને તેમાંના બે ઘટકો (– 1, 0) અને (0, 1) હોય, તો A શોધો તથા A × Aના બાકીના ઘટકો લખો.
ઉત્તરઃ
અહીં, n (A × A) = 9 આપેલ છે.
∴ n (A) · n (A) = 9
∴ n (A) = 3
વળી, (– 1, 0) ∈ A × A ⇒ -1 = A અને 0 = A
(0, 1) ∈ A × A ⇒ 0 ∈ A અને 1 ∈ A
તથા n (A) = 3 છે.
∴ A = {− 1, 0, 1}
∴ A × A = {−1, 0, 1} x {−1, 0, 1}
= {(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, −1), (1, 0), (1, 1)} આથી (−1, 0) અને (0, 1) સિવાયના A × Aના અન્ય ઘટકો (– 1, −1), (−1, 1), (0, −1), (0, 0), (1, – 1), (1, 0), (1, 1) થશે.