Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.6 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.6
પ્રશ્નો 1 થી 6 માં આપેલાં સમીકરણોની સંહતિની સુસંગતતા ચકાસો :
પ્રશ્ન 1.
x + 2y = 2
2x + 3y = 3
ઉત્તરઃ
આપેલ સમીકરણ સંસ્કૃતિને શ્રેણિક સ્વરૂપમાં લખતાં,
AX = B.
જ્યાં A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\) અને B = \(\left[\begin{array}{l}
2 \\
3
\end{array}\right]\)
|A| = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{array}\right]\) = 3 – 4 = -1 ≠ 0.
∴ A-1 અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
∴ આપેલ સમીકરણ સંહિતને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
∴ આપેલ સમીકરણ સંહિત સુસંગત છે.
પ્રશ્ન 2.
2x – y = 5
x + y = 4
ઉત્તરઃ
આપેલ સમીકરણ સંસ્કૃતિને શ્રેણિક સ્વરૂપે લખતાં,
AX = B
જ્યાં A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & -1 \\
1 & 1
\end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\) તથા B = \(\left[\begin{array}{l}
5 \\
4
\end{array}\right]\)
|A| = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & -1 \\
1 & 1
\end{array}\right]\) = 2 + 1 = 3 ≠ 0.
∴ A-1 અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
∴ આપેલ સમીકરણ સંહતિને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
∴ આપેલ સમીકરણ સંસ્કૃતિ સુસંગત છે.
પ્રશ્ન 3.
x + 3y = 5
2x + 6y = 8
ઉત્તરઃ
આપેલ સમીકરણ સંસ્કૃતિને શ્રેણિક સ્વરૂપે લખતાં,
AX = B
જ્યાં A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
2 & 6
\end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\) તથા B = \(\left[\begin{array}{l}
5 \\
8
\end{array}\right]\)
|A| = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
2 & 6
\end{array}\right|\) = 6 – 6 = 0.
∴ A-1 નું અસ્તિત્વ નથી.
adj A શોધવા માટે ⇒
A11 = (-1)1+1 6 = 6
A12 = (-1)1+2 2 = -2
A21 = (-1)2+1 3 = -3
A22 = (-1)2+2 1 = 1
∴ આપેલ સમીકરણ સંસ્કૃતિને ઉકેલ મળતો નથી.
∴ આપેલ સમીકરણ સંહિત સુસંગત છે.
પ્રશ્ન 4.
x + y + z = 1
2x + 3y + 2z = 2
ax + ay + 2az = 4
ઉત્તરઃ
આપેલ સમીકરણ સંસ્કૃતિને શ્રેબ્રિક સ્વરૂપે લખતાં,
AX = B
= 1(6a – 2a) -1 (4a – 2a) + 1(2a – 3a)
= 4a – 2a – a
= a ≠ 0
: A-1 અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
∴ આપેલ સમીકરણ સંસ્કૃતિને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
∴ આપેલ સમીકરણ સંતિ સુસંગત છે.
પ્રશ્ન 5.
3x – y – 2z = 2
2y – z = -1
3x – 5y = 3
ઉત્તરઃ
આપેલ સમીકરણ સંહિતને શ્રેણિક સ્વરૂપે લખતાં,
AX = B
= 3(0 – 5) + 1(0 + 3) – 2(0 – 6)
= -15 + 3 + 12
= 0
adj A શોધવા માટે,
A11 = (-1)1+1 (-5) = -5
A12 = (-1)1+2 3 = -3
A13 = (-1)1+3 (-6) = -6
A21 = (-1)2+1 (-10) = 10
A22 = (-1)2+2 6 = 6
A23 = (-1)2+3 (-12) = 12
A31 = (-1)3+1 5 = 5
A32 = (-1)3+2 (-3) = 3
A33 = (-1)3+3 6 = 6
આપેલ સમીકરણ સંસ્કૃતને ઉકેલ મળતો નથી.
∴ આપેલ સમીકરણ સંહિત સુસંગત છે.
પ્રશ્ન 6.
5x – y + 4z = 5
2x + 3y+ 5z = 2
5x – 2y + 6z = -1
ઉત્તરઃ
આપેલ સમીકરણ સંહતિને શ્રેલિકનાં સ્વરૂપમાં દર્શાવતાં,
AX = B
જ્યાં A = \(\left[\begin{array}{ccc}
5 & -1 & 4 \\
2 & 3 & 5 \\
5 & -2 & 6
\end{array}\right]\) X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\) તથા B = \(\left[\begin{array}{c}
5 \\
2 \\
-1
\end{array}\right]\)
|A| = \(\left[\begin{array}{ccc}
5 & -1 & 4 \\
2 & 3 & 5 \\
5 & -2 & 6
\end{array}\right]\)
= 5(18 + 10) + 1(12 – 25) + 4(-4 – 15)
= 140 – 13 – 76
= 51 ≠ 0
∴ આપેલ સમીકરણ સંહિતને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
∴ આપેલ સમીકરણ સંપતિ સુસંગત છે.
પ્રશ્નો 7 થી 14 માં આપેલાં સુરેખ સમીકરણની સંહતિનો ઉડેલ શ્રેણિકના ઉપયોગથી મેળવો :
પ્રશ્ન 7.
5x + 2y = 4
7x + 3y = 5
ઉત્તરઃ
આપેલ સમીકરણ સંહતિને પ્રેબ્રિક સ્વરૂપે દર્શાવતી,
AX = B
જ્યાં A = \(\left[\begin{array}{ll}
5 & 2 \\
7 & 3
\end{array}\right]\) X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\) તથા B = \(\left[\begin{array}{l}
4 \\
5
\end{array}\right]\)
હવે |A| = \(\left|\begin{array}{ll}
5 & 2 \\
7 & 3
\end{array}\right|\) = 15 -14 = 1 ≠ 0
∴ A-1 નું અસ્તિત્વ છે અને સમીકરણ સંસ્કૃતિને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
A11 = (-1)1+1 3 = 3
A12 = (-1)1+2 7 = -7
A21 = (-1)2+1 2 = -2
A22 = (-1)2+2 5 = 5
∴ x = 2, y = -3 (∵ બંને બાજુ સરખાવતાં)
પ્રશ્ન 8.
2x – y = -2
3x + 4y = 3
ઉત્તરઃ
આપેલ સમીકાને શ્રેણિક સ્વરૂપે દર્શાવતાં,
AX = B
જમાં A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & -1 \\
3 & 4
\end{array}\right]\) X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\) તથા B = \(\left[\begin{array}{c}
-2 \\
3
\end{array}\right]\)
હવે |A| = \(\left|\begin{array}{cc}
2 & -1 \\
3 & 4
\end{array}\right|\) = 8 – (-3) = 8 + 3 = 11 ≠ 0
∴ A-1 નું અસ્તિત્વ છે. તથા સમીકરણ સંહિતને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
A11 = (-1)1+1 4 = 4
A12 = (-1)1+2 3 = -3
A21 = (-1)2+1 (-1) = 1
A22 = (-1)2+2 2 = 2
પ્રશ્ન 9.
4x – 3y = 3
3x – 5y = 7
ઉત્તરઃ
આપેલ સમીકરણને શ્રેલિક સ્વરૂપે દર્શાવતાં,
AX = B
જયાં A = \(\left[\begin{array}{ll}
4 & -3 \\
3 & -5
\end{array}\right]\) X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\) તથા B = \(\left[\begin{array}{l}
3 \\
7
\end{array}\right]\)
|A| = \(\left|\begin{array}{ll}
4 & -3 \\
3 & -5
\end{array}\right|\) = -20 + 9 = -11 ≠ 0.
∴ A-1 નું અસ્તિત્વ છે. તથા સમીકરા સંહિતને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
A11 = (-1)1+1 (-5) = -5
A12 = (-1)1+2 3 = -3
A21 = (-1)2+1 (-3) = 3
A22 = (-1)2+2 4 = 4
∴ adj A = \(\left[\begin{array}{ll}
-5 & 3 \\
-3 & 4
\end{array}\right]\)
∴ A-1 = \(\frac{1}{|\mathrm{~A}|}\) adj A = \(\frac{1}{-11}\left[\begin{array}{cc}
-5 & 3 \\
-3 & 4
\end{array}\right]\)
હવે AX = B
∴ A-1AX = A-1B
∴ X = A-1B (∵ A-1A = I, IX = X)
પ્રશ્ન 10.
5x + 2y = 3
3x + 2y = 5
ઉત્તરઃ
આપેલ સમીકરણ સંસ્કૃતિને શ્રેણિક સ્વરૂપે દર્શાવતાં,
AX = B
જ્યાં A = \(\left[\begin{array}{ll}
5 & 2 \\
3 & 2
\end{array}\right]\) X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\) તથા B = \(\left[\begin{array}{l}
3 \\
5
\end{array}\right]\)
|A| = \(\left|\begin{array}{ll}
5 & 2 \\
3 & 2
\end{array}\right|\) = 10 – 6 = 4 ≠ 0.
∴ A-1 નું અસ્તિત્વ છે તથા સમીકરણ સંહિતને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
A11 = (-1)1+1 2 = 2
A12 = (-1)1+2 3 = -3
A21 = (-1)2+1 2 = -2
A22 = (-1)2+2 5 = 5
બંને બાજુનાં શ્રેણિકોને સરખાવતાં,
x = -1 તથા y = 4.
પ્રશ્ન 11.
2x + y + z = 1
x – 2y – z = \(\frac{3}{2}\)
3y – 5z = 9
ઉત્તરઃ
આપેલ સમીકરણ સંસ્કૃતિને શ્રેબ્રિક સ્વરૂપે દર્શાવતાં, AX = B
પ્રશ્ન 12.
x – y + z = 4
2x + y – 3z = 0
x + y + z = 2
ઉત્તરઃ
આપેલ સમીકરણ સંહતિને શ્રેણિક સ્વરૂપે દર્શાવતાં, AX = B
જ્યાં A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
2 & 1 & -3 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\) X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\) તથા B = \(\left[\begin{array}{l}
4 \\
0 \\
2
\end{array}\right]\)
|A| = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
2 & 1 & -3 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right|\)
= 1(1 + 3) + 1(2 + 3) + 1(2 – 1)
= 4 + 5 + 1
= 10 ≠ 0
∴ A-1 નું અસ્તિત્વ છે તથા સમીકરણ સંસ્કૃતિને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
A11 = (-1)1+1 4 = 4
A12 = (-1)1+2 5 = -5
A13 = (-1)1+3 1 = 1
A21 = (-1)2+1 (-2) = 2
A22 = (-1)2+2 0 = 0
A23 = (-1)2+3 2 = -2
A31 = (-1)3+1 2 = 2
A32 = (-1)3+2 (-5) = 5
A33 = (-1)3+3 (3) = 3
બંને બાજુનાં શ્રેણિકોને સરખાવતાં,
x = 2, y = -1 તથા z = 1.
પ્રશ્ન 13.
2x + 3y + 3z = 5
x – 2y + z = -4
3x – y – 2x = 3
ઉત્તરઃ
આપેલ સીકરણ સંસ્કૃતિને શ્રેણિક સ્વરૂપે દર્શાવતાં, AX = B
જ્યાં A = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 3 \\
1 & -2 & 1 \\
3 & -1 & -2
\end{array}\right]\) X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\) તથા B = \(\left[\begin{array}{c}
5 \\
-4 \\
3
\end{array}\right]\)
|A| = \(\left|\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 3 \\
1 & -2 & 1 \\
3 & -1 & -2
\end{array}\right|\)
= 2(4 + 1) – 3(-2 – 3) + 3(-1 + 6)
= 10 + 15 + 15
= 40 ≠ 0
∴ A-1 નું અસ્તિત્વ છે તથા આપેલ સમીકરણ સંહતિને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
A11 = (-1)1+1 5 = 5
A12 = (-1)1+2 (-5) = 5
A13 = (-1)1+3 5 = 5
A21 = (-1)2+1 (-3) = 3
A22 = (-1)2+2 (-13) = -13
A23 = (-1)2+3 (-11) = 11
A31 = (-1)3+1 9 = 9
A32 = (-1)3+2 (-1) = 1
A33 = (-1)3+3 (-7) = -7
બંને બાજુનાં શ્રેણિકોને સરખાવતાં,
x = 1, y = 2 તથા z = -1.
પ્રશ્ન 14.
x + y + z = 7
3x + 4y – 5z = -5
2x – y + 3z = 12
ઉત્તરઃ
આપેલ સમીકરણ સંતિને શ્રેણિક સ્વરૂપે દર્શાવતાં, AX = B
જ્યાં A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 2 \\
3 & 4 & -5 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right]\) X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\) તથા B = \(\left[\begin{array}{c}
7 \\
-5 \\
12
\end{array}\right]\)
|A| = \(\left|\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 3 \\
1 & -2 & 1 \\
3 & -1 & -2
\end{array}\right|\)
= 1(12 – 5) – 1(9 + 10) + 2(-3 – 8)
= 7 + 19 – 22
= 4 ≠ 0
∴ A-1 નું અસ્તિત્વ છે. તથા આપેલ સમીકરાને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
A11 = (-1)1+1 7 = 7
A12 = (-1)1+2 19 = -19
A13 =(-1)1+3 (-11) = -11
A21 = (-1)2+1 (-1) = 1
A22 = (-1)2+2 (-1) = -1
A23 = (-1)2+3 (1) = -1
A31 = (-1)3+1 (-3) = -3
A32 = (-1)3+2 (-11) = 11
A33 = (-1)3+3 (7) = 7
બંને બાજુનાં શ્રેણિકોનાં ઘટકોને સરખાવતાં,
x = 2, y = 1 તથા z = 3.
પ્રશ્ન 15.
જો A = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & -3 & 5 \\
3 & 2 & -4 \\
1 & 1 & -2
\end{array}\right]\) હોય, તો A-1 શોધો, A-1 ના ઉપયોગથી નીચેની સમીકરણ સંહતિ ઉકેલો.
2x – 3y + 5z = 11
3x + 2y – 4z = -5
x + y – 2z = -3
ઉત્તરઃ
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & -3 & 5 \\
3 & 2 & -4 \\
1 & 1 & -2
\end{array}\right]\)
A11 = (-1)1+1 0 = 0
A12 = (-1)1+2 (-2) = 2
A13 = (-1)1+3 (1) = 1
A21 = (-1)2+1 1 = -1
A22 = (-1)2+2 (-9) = -9
A23 = (-1)2+3 (5) = -5
A31 = (-1)3+1 (2) = 2
A32 = (-1)3+2 (-23) = 23
A33 = (-1)3+3 (13) = 13
આપેલ સમીકાને શ્રેણિક સ્વરૂપે દર્શાવતાં, AX = B
જ્યાં A = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & -3 & 5 \\
3 & 2 & -4 \\
1 & 1 & -2
\end{array}\right]\) X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\) B = \(\left[\begin{array}{l}
11 \\
-5 \\
-3
\end{array}\right]\)
અહીં |A| = -1 ≠ 0
∴ A-1 નું અસ્તિત્વ છે. આપેલ સમીકરણ સંહતિને અન્ય ઉકેલ મળે છે.
AX = B
∴ A-1 AX = A-1B
∴ X = A-1B (∵ A-1A = I, IX = X)
∴ શ્રેણિકોનાં બંને બાજુના અનુરૂપ ઘટકો સરખાવતાં,
x = 1, y = 2 તથા z = 3.
પ્રશ્ન 16.
4 કિગ્રા ડુંગળી, 3 કિગ્રા ઘઉં અને 2 કિગ્રા. ચોખાની કિંમત ₹ 60 છે. 2 કિા ડુંગળી, 4 ક્રિયા ઘઉં અને 6 કિગ્રા ચોખાની કિંમત ₹ 90 છે. 6 કિગ્રા ડુંગળી, 2 કિગ્રા ઘઉં અને 3 કિગ્રા ચોખાની કિંમત ₹ 70 છે. શ્રેણિકની રીતે દરેક વસ્તુનો પ્રતિકિગ્રા ભાવ શોધી.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, 1 કિંમા ડુંગળીનો ભાવ ₹ x
1 કિગ્રા ઘઉંનો ભાવ ₹ y
1 કિગ્રા. ચોખાનો ભાવ ₹ z
∴ 4x + 3y + 2z = 60
∴ 2x + 4y + 6z = 90
∴ 6x + 2y + 3z = 70
∴ \(\left[\begin{array}{lll}
4 & 3 & 2 \\
2 & 4 & 6 \\
6 & 2 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
60 \\
90 \\
70
\end{array}\right]\)
∴ AX = B
∴ |A| = \(\left[\begin{array}{lll}
4 & 3 & 2 \\
2 & 4 & 6 \\
6 & 2 & 3
\end{array}\right]\)
= 4(12 – 12) – 3(6 – 36) + 2(4 – 24)
= 0 + 90 – 40
= 50 ≠ 0
∴ A-1 નું અસ્તિત્વ છે.
A11 = (-1)1+1 0 = 0
A12= (-1)1+2 (-30) = 30
A13 = (-1)1+3 (-20) = -20
A21 = (-1)2+1 (5) = -5
A22 = (-1)2+2 0 = 0
A23 = (-1)2+3 (-10) = 10
A31 = (-1)3+1 10 = 10
A32 = (-1)3+2 (20) = -20
A33 = (-1)3+3 10 = 10
બંને બાજુનાં શ્રેણિકોનાં ઘટકોને સરખાવતાં,
x = 5, y = 8, z = 8.
∴ 1 કિ.ગ્રા. ડુંગળીની કિંમત ₹ 5
∴ 1 કિ.મા. ઘઉંની કિંમત ₹ 8
∴ 1 કિ.મ. ચોખાની કિંમત ₹ 8