GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 15 તરંગો

Gujarat Board GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 15 તરંગો Important Questions and Answers.

GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 15 તરંગો

પ્રશ્નોત્તર
પ્રશ્ન 1.
તરંગો એટલે શું? ઉદાહરણ સહિત સમજાવો.
ઉત્તર:
કોઈ દ્રવ્ય માધ્યમમાં સ્થિતિસ્થાપક બળો તેના ઘટકોને એકબીજા સાથે જકડી રાખે છે અને તેથી એક ઘટકની ગતિ બીજાને અસર કરે છે.

• જ્યારે શાંત પાણીમાં વિક્ષોભ ઉત્પન્ન કરવામાં આવે ત્યારે જે સ્થાને વિક્ષોભ ઉત્પન્ન થયો છે તે સ્થાનેથી વર્તુળો ઝડપથી બહારની તરફ ગતિ કરતા દેખાય છે. અહીં પાણી બહારની તરફ ગતિ કરતું નથી, પરંતુ વિક્ષોભ ગતિ કરે છે.
• જ્યારે આપણે બોલીએ છીએ ત્યારે ઉત્પન્ન થયેલો ધ્વનિ આપણાથી બહાર અને દૂર તરફ ગતિ કરે છે. અહીં હવા માધ્યમના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં જતી નથી, પરંતુ હવામાં આપણે ઊભો કરેલો વિક્ષોભ ગતિમાન હોય છે.
• વિક્ષોભની ભાત કે પ્રકાર (Pattern) જે સમગ્રપણે દ્રવ્યના વાસ્તવિક સ્થાન-ફેર કે વહન વિના ગતિ કરે છે. તેમને તરંગો કહે છે.
• વિક્ષોભનો પ્રકાર જે માહિતી ધરાવે છે, તે એકથી બીજા બિંદુએ પ્રસરણ પામે છે. માધ્યમમાં વિક્ષોભની ગતિને તરંગ કહે છે.
• તરંગો ઊર્જાનું વહન કરે છે. સૂર્યમાંથી ઉત્સર્જિત થતી વિકિરણ ઊર્જાઓ તરંગ સ્વરૂપે આપણા સુધી પહોંચે છે. સંદેશાવ્યવહારમાં જુદા જુદા પ્રકારના તરંગોનો ઉપયોગ થાય છે. જેના દ્વારા સંદેશાઓને દૂરના અંતર સુધી પહોંચાડી શકાય છે.

પ્રશ્ન 2.
તરંગોનું વર્ગીકરણ સમજાવો. પ્રત્યેક તરંગનાં ઉદાહરણ આપો.
ઉત્તર:
(i) યાંત્રિક તરંગો : જે તરંગોને પ્રસરણ માટે સ્થિતિસ્થાપક માધ્યમની જરૂર છે, તેવા તરંગોને યાંત્રિક તરંગો કહે છે.

• આવા તરંગોમાં ઘટક કણોનાં દોલનો થતા હોય છે અને તેઓ માધ્યમના સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મો પર આધારિત છે.
• આ તરંગો ન્યૂટનના નિયમોને અનુસરે છે. દા. ત., દોરી પરના તરંગો, પાણીની સપાટી પર પ્રસરતા તરંગો, ધ્વનિના તરંગો અને ધરતીકંપના તરંગો.

(ii) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો : આ પ્રકારના તરંગમાં અવકાશમાં વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો સાથે સંકળાયેલ વિક્ષોભ પ્રસરણ પામે છે. અવકાશમાં કણોને બદલે બધાં બિંદુઓ ૫૨ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતાના સંદેશો ‘દોલન’ કરે છે.

• વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના પ્રસરણ માટે માધ્યમની જરૂર નથી. તે શૂન્યાવકાશમાં પણ પ્રસરણ પામે છે.
• પ્રકાશના તરંગો, રેડિયો તરંગો, માઇક્રોવેવ તરંગો અને X-ray વગેરે એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનાં ઉદાહરણ છે.
• શૂન્યાવકાશમાં બધા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ એકસરખી c છે. c = 3 × 10⁸ m s^-1

(iii) દ્રવ્ય-તરંગો : દ્રવ્ય-તરંગો એ ગતિમાન ઇલેક્ટ્રૉન, પ્રોટોન, ન્યૂટ્રૉન અને બીજા મૂળભૂત કણો તેમજ અણુ અને પરમાણુઓ સાથે સંકળાયેલ છે. આ કણો દ્રવ્યની રચના કરતા હોવાથી તેને દ્રવ્ય-તરંગો કહે છે.
– આ તરંગની વિભાવના પરથી આધુનિક વૈજ્ઞાનિક ઉપકરણો બનાવવામાં આવ્યા છે. દા. ત., ઇલેક્ટ્રૉન સાથે સંકળાયેલ દ્રવ્ય-તરંગની વિભાવના પરથી ઇલેક્ટ્રૉન માઇક્રોસ્કોપ વિકસાવવામાં આવેલ છે.

પ્રશ્ન 3.
સ્પ્રિંગમાં તરંગ-પ્રસરણ કેવી રીતે થાય છે? સમજાવો.
ઉત્તર:
ખેંચાયેલી દોરી, સ્પ્રિંગ, હવા વગેરે જેવાં સ્થિતિસ્થાપક માધ્યમોમાં તરંગનું પ્રસરણ પ્રસંવાદી દોલનો સાથે સંકળાયેલ છે.

• આકૃતિ 15.1માં દર્શાવ્યા મુજબ એકબીજા સાથે જોડાયેલી સ્પ્રિંગો દર્શાવી છે. છેડા પરની સ્પ્રિંગને એકાએક ખેંચીને છોડી દેવામાં આવે, તો તેમાં વિક્ષોભ ઉત્પન્ન થાય છે અને આ વિક્ષોભ બીજા છેડા સુધી ગતિ કરે છે.

• પ્રથમ સ્પ્રિંગ તેની સંતુલિત લંબાઈમાંથી વિક્ષોભિત થાય છે. બીજી સ્પ્રિંગ તેની સાથે જોડેલી હોવાથી તે પણ ખેંચાય છે કે સંકોચાય છે. ત્યારબાદ ત્રીજી સ્પ્રિંગ પણ વિક્ષોભિત થાય છે અને આ રીતે પ્રક્રિયા આગળ વધે છે.
• આમ, વિક્ષોભ એક છેડેથી બીજા છેડે જાય છે. અહીં, સ્પ્રિંગના સ્થાનમાં ફેરફાર થતો નથી. પણ સ્પ્રિંગ તેના મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ નાનાં દોલનો કરી સ્થિર થઈ જાય છે અને વિક્ષોભ આગળ વધે છે.
• ઉદાહરણ તરીકે, સ્પ્રિંગ કપલિંગથી જોડાયેલા સ્થિર ટ્રેનના ડબ્બા સાથે જ્યારે એન્જિનનું જોડાણ થાય ત્યારે પ્રથમ ડબ્બાને ધક્કો લાગે છે અને છેલ્લા ડબ્બા સુધી જાય છે. અહીં, આખી ટ્રેન સમગ્ર રીતે સ્થાનાંતર કરતી નથી.
• આમ, તરંગ એ માધ્યમમાં આગળ વધતી કોઈ ભૌતિક ‘વસ્તુ’ નથી. ફક્ત તે વિક્ષોભની ગતિ છે.

પ્રશ્ન 4.
હવામાં ધ્વનિ-તરંગોનું પ્રસરણ કેવી રીતે થાય છે? સમજાવો.
ઉત્તર:
હવામાં જેમ જેમ ધ્વનિ-તરંગ પસાર થતું જાય તેમ તેમ તે હવાના નાના ભાગને સંકોચિત અથવા વિસ્તારિત કરે છે. આથી તે વિસ્તારની હવાની ઘનતામાં ફેરફાર થાય છે.

• ધારો કે, હવાના નાના વિભાગમાં δρ જેટલો ઘનતામાં ફેરફાર થાય છે. આ ફેરફારથી તે વિભાગમાં દબાણમાં δρ જેટલો ફેરફાર થાય છે.
• દબાણ એ એકમ ક્ષેત્રફળ પરનું બળ હોવાથી સ્પ્રિંગની જેમ જ વિક્ષોભને સમપ્રમાણમાં હોય તેવું પુનઃસ્થાપક બળ ઉદ્ભવે છે. અહીં, સ્પ્રિંગમાં થતું સંકોચન કે વિસ્તરણ એ હવાની ઘનતામાં થતો ઘટાડો કે વધારાને સમાન ભૌતિક રાશિ છે.
• આમ, હવામાં ધ્વનિ પ્રસરતો હોય ત્યારે હવાના અણુઓ પોતપોતાના મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ આગળ-પાછળ દોલન કરતા હોય છે.

• આથી જે વિભાગમાં સંકોચન થાય તે વિભાગના અણુઓ બાજુના વિભાગ તરફ બહાર ધકેલવાનું વલણ ધરાવે છે. તેથી બાજુના વિભાગમાં ઘનતા વધે છે અને દબાણમાં વધારો થાય છે, જેને સંઘનન (Compression) કહે છે.
• પ્રથમ વિભાગમાં અણુઓ દૂર દૂર હોય છે. તેથી હવાની ઘનતા ઘટે છે અને દબાણમાં ઘટાડો થાય છે, જેને વિઘનન (Rarefaction) કહે છે.
• વિઘનન રચાતું હોય ત્યાં આસપાસની હવા ધસી જતાં વિઘનનને બાજુના વિભાગમાં ખસેડી દે છે. આમ, સંઘનન અને વિઘનન એક વિભાગથી બીજા વિભાગ તરફ ગતિ કરે છે અને વિક્ષોભનું હવામાં પ્રસરણ શક્ય બને છે.

પ્રશ્ન 5.
ઘન પદાર્થોમાં તરંગનું પ્રસરણ સમજાવો.
ઉત્તર:
સ્ફટિકમય ઘન પદાર્થમાં પરમાણુઓ કે પરમાણુના સમૂહો આવર્ત લેટિસમાં ગોઠવાયેલા હોય છે. લેટિસમાંના પરમાણુઓને અંત્યબિંદુઓ તરીકે અને તેમની જોડ વચ્ચે સ્પ્રિંગ હોય તેમ ગણી શકાય.

• દરેક પરમાણુ કે પરમાણુ-સમૂહ આસપાસના પરમાણુઓ દ્વારા લાગતાં બળોને લીધે સંતુલનમાં હોય છે.
• જ્યારે તરંગનું પ્રસરણ થાય છે ત્યારે પરમાણુ તેના સંતુલિત સ્થાનેથી સ્થાનાંતર પામે છે. પરિણામે તેમાં પુનઃસ્થાપક બળ ઉદ્ભવે છે.
• આ બળ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ વિક્ષોભ બીજા પરમાણુ ૫૨ પહોંચે છે. આમ, ઘન પદાર્થોમાં તરંગનું પ્રસરણ થાય છે.

પ્રશ્ન 6.
લંબગત અને સંગત તરંગો સમજાવો.
ઉત્તર:
લંબગત તરંગો : જે તરંગમાં માધ્યમના ઘટક કણો તરંગની પ્રસરણ દિશાને લંબરૂપે દોલનો કરતાં હોય, તેવા તરંગને લંબગત તરંગ કહે છે.

• આકૃતિ 15.3માં દર્શાવ્યા અનુસાર દોરીને એક છેડેથી બાંધી બીજા છેડે ઉપર-નીચે એક આંચકો આપતા ઉત્પન્ન થયેલું સ્પંદન (વિક્ષોભ) પ્રસરતું દર્શાવ્યું છે.

• અહીં, દોરીના ઘટક કણો Y-દિશામાં દોલનો કરે છે. જ્યારે સ્પંદન X-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે.
• જો સ્પંદનના પરિમાણની સરખામણીએ દોરી ખૂબ લાંબી હોય, તો દોરીના બીજા છેડે પહોંચતા સ્પંદન મંદ પડી જાય છે. અહીં, દોરીના બીજા છેડેથી પરાવર્તિત થતું તરંગ અવગણી શકાય છે.
• જો દોરીને બાહ્ય બળ વડે સતત આવર્ત (sine આકાર) પ્રકારે દોલન કરાવવામાં આવે, તો આવા આકાર સતત ઉદ્ભવતા જાય છે અને આગળ વધતા જાય છે.
• આ બંને કિસ્સામાં દોરીનો ખંડ જ્યારે સ્પંદન કે તરંગ તેમનામાંથી પસાર થાય ત્યારે તે તેના સંતુલન સ્થાનની આસપાસ તરંગ ગતિની દિશાને લંબરૂપે દોલનો કરે છે. આ તરંગને નીચે પ્રમાણે બે રીતે જોઈ શકાય :
  1. સમયની કોઈ નિશ્ચિત ક્ષણે અવકાશમાં તરંગને ચિત્રિત કરતાં સમગ્રપણે અવકાશમાં તરંગનો આકાર મળે છે. (જુઓ આકૃતિ 15.4 (a)).
  2. દોરીના કોઈ એક ઘટક કણનું અથવા એક સ્થાન નિશ્ચિત કરીએ તો તે કણ સમય સાથે દોલન ગતિ કરતો જણાશે. (જુઓ આકૃતિ 15.4 (b)).

• આવા તરંગમાં ઉપર તરફના મહત્તમ સ્થાનાંતરોને શૃંગ (Crest) અને નીચે તરફના મહત્તમ સ્થાનાંતરોને ગર્ત (Trough) કહે છે.
• લંબગત તરંગ એ પ્રગામી તરંગ છે. તે માધ્યમના એક ભાગથી બીજા ભાગ સુધી પ્રસરે છે. અહીં માધ્યમ સમગ્રપણે ગતિ કરતું નથી, ફક્ત તેમાં ઉત્પન્ન થયેલો વિક્ષોભ જ ગતિ કરે છે.
  સંગત તરંગો : જે તરંગમાં માધ્યમના કણોનું સ્થાનાંતર (દોલન) તરંગની પ્રસરણ દિશા પર જ હોય તેવા તરંગને સંગત તરંગ કહે છે.
• આકૃતિ 15.5માં હવા ભરેલી લાંબી પાઇપના એક છેડે રહેલા પિસ્ટનને એકાએક આગળ-પાછળ ધકેલતાં નળીમાં રહેલી હવામાં એક સંઘનન અને એક વિઘનનનું સ્પંદન ઉત્પન્ન થાય છે.

• સંઘનન વિભાગમાં હવાના અણુઓ નજીક નજીક હોય છે, પરિણામે આ વિભાગમાં હવાની ઘનતા અને દબાણમાં વધારો થાય છે.
• વિઘનન વિભાગમાં હવાના અણુઓ છૂટા છૂટા હોય છે. આ વિભાગમાં હવાની ઘનતા અને દબાણમાં ઘટાડો થાય છે.
• પિસ્ટનને સતત ધકેલવાનું-ખેંચવાનું આવર્ત રીતે ચાલુ રાખવામાં આવે, તો પાઇપમાં sine આકારનું તરંગ ઉત્પન્ન થાય છે અને ક્રમિક રીતે સંઘનનો અને વિઘનનો માધ્યમમાં આગળ વધતા જાય છે. આ રીતે પાઇપની લંબાઈને સમાંતર તરંગ હવામાં પ્રસરણ પામે છે.
• લંબગત તરંગો એ પ્રગામી તરંગો છે. તેને દબાણના તરંગો પણ કહે છે.

પ્રશ્ન 7.
ઘન માધ્યમમાં લંબગત અને સંગત એમ બંને પ્રકારના તરંગોનું પ્રસરણ શક્ય છે અને તરલ માધ્યમમાં માત્ર સંગત તરંગોનું જ પ્રસરણ શક્ય છે.” સમજાવો.
ઉત્તર:
લંબગત તરંગમાં માધ્યમના કણો તરંગની ગતિને લંબરૂપે દોલનો કરે છે. જેનાથી આકારના ફેરફારો ઉદ્ભવે છે.

• લંબગત તરંગો માધ્યમમાં પ્રસરે છે ત્યારે માધ્યમનો દરેક ખંડ કે ઘટક આકાર વિકૃતિ અનુભવે છે. ઘન પદાર્થો આકાર પ્રતિબળને ટકાવી (ખમી) શકે છે. આ કારણથી લંબગત તરંગોનું પ્રસરણ ઘન પદાર્થો શક્ય બને છે.
• તરલ પદાર્થોને આકાર વિકૃતિ ન હોવાથી તેમાંથી લંબગત તરંગોનું પ્રસરણ થતું નથી.
• ઘન અને તરલ પદાર્થોને કદ સ્થિતિસ્થાપક અંક (Bulk modulus) હોય છે એટલે તેઓ દાબીય વિકૃતિ અનુભવી શકે છે.
• સંગત તરંગો દાબીય વિકૃતિ ઉત્પન્ન કરતા હોવાથી તેઓ ઘન, પ્રવાહી કે વાયુ એમ દરેક સ્થિતિસ્થાપક માધ્યમમાં પ્રસરણ પામી શકે છે.
• ઉદાહરણ તરીકે, સ્ટીલનો સળિયો લંબગત તેમજ સંગત તરંગોનું વહન કરી શકે છે. પરંતુ હવા ફક્ત સંગત તરંગોનું પ્રસરણ કરી શકે છે.
• આમ, ઘન માધ્યમમાં લંબગત અને સંગત એમ બંને પ્રકારના તરંગોનું પ્રસરણ શક્ય છે અને તરલ માધ્યમમાં માત્ર સંગત તરંગોનું પ્રસરણ શક્ય છે.

પ્રશ્ન 8.
પાણીની સપાટી પર પ્રસરતા તરંગો વિશે માહિતી આપો.
ઉત્તર:
પાણીની સપાટી પર બે પ્રકારના તરંગો હોય છે :
(i) કેશિકા તરંગો (Capillary waves) અને
(ii) ગુરુત્વ તરંગો (Gravitational waves).

(i) કેશિકા તરંગો : આ તરંગો એ પાણીની સપાટી પરના સ્પંદનો (Ripples) છે. આ તરંગો ટૂંકી તરંગલંબાઈના છે, જેની તરંગલંબાઈ અમુક સેન્ટિમીટરથી વધુ હોતી નથી.
– આ તરંગોને ઉત્પન્ન કરનારું પુનઃસ્થાપક બળ એ પાણીનું પૃષ્ઠતાણ છે.

(ii) ગુરુત્વ તરંગો : આ તરંગોની તરંગલંબાઈ કેટલાક મીટરથી કેટલાક સેંકડો મીટરની હોય છે.

• આ તરંગોને ઉત્પન્ન કરનારું પુનઃસ્થાપક બળ એ ગુરુત્વ ખેંચાણ છે. જે પાણીની સપાટીને તેના સૌથી નીચા સ્તર પર રાખવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
• આ તરંગોમાં કણનાં દોલનો માત્ર સપાટી પર સીમિત નથી, પરંતુ છેક તળિયા સુધી ઘટતા કંપવિસ્તાર સાથે વિસ્તરે છે.
• પાણીના તરંગોમાં કણની ગતિ ઉપર-નીચે તેમજ આગળ-પાછળ પણ હોય છે.
• સમુદ્રમાંના તરંગો સંગત અને લંબગત બંને પ્રકારના તરંગોનું સંયોજન છે.
• સામાન્યતઃ લંબગત અને સંગત તરંગો એક જ માધ્યમમાં પણ જુદા જુદા વેગથી ગતિ કરે છે.

પ્રશ્ન 9.
પ્રગામી તરંગ એટલે શું? તેનું ગાણિતિક સ્વરૂપ કેવી રીતે મેળવી શકાય? તેના ગાણિતિક સ્વરૂપમાં આવતાં જુદાં જુદાં પદોનાં નામ દર્શાવો.
ઉત્તર:
જો માધ્યમમાં તરંગો આગળ ને આગળ સતત ગતિ કરતા હોય, તો તેવા તરંગોને પ્રગામી તરંગો કહે છે.

• તરંગ-પ્રસરણની ઘટનામાં ભાગ લેતા દરેક કણોના સ્થાનાંતર દરેક સમયે જાણી શકાય તો તરંગ-પ્રસરણની ઘટનાનું વર્ણન કરી શકાય.
• પ્રગામી તરંગના ગાણિતિક વર્ણન માટે કણના સ્થાન x અને સમયt બંને વિધેયની જરૂર પડે છે. આવા વિધેય દ્વારા દરેક ક્ષણે તરંગનો આકાર અને દરેક આપેલ સ્થાને માધ્યમના કણની ગતિ દર્શાવી શકાય.
• sine આકારના પ્રગામી તરંગને રજૂ કરવા માટે તેને અનુરૂપ વિધેય પણ sinusoidal પ્રકારનું હોવું જોઈએ.
• ધારો કે, એક લંબગત પ્રકારનું પ્રગામી તરંગ ધન X-દિશામાં ગતિ કરે છે. અહીં, માધ્યમના ઘટકોના સ્થાન x વડે અને સંતુલન સ્થાનથી સ્થાનાંતર પુ વડે દર્શાવતા sine આકારના પ્રગામી તરંગને નીચેના સમીકરણ વડે રજૂ કરી શકાય :
  y (x, t) = a sin (kx – ωt + Φ) ……….. (15.1)
  આ સમીકરણને sine અને cosine વિધેયના રેખીય સંયોજન તરીકે પણ દર્શાવી શકાય :
  y (x, t) = A sin (kx – ωt) + B cos (kx – ωt) ………….. (15.2)
  જ્યાં, a = \(\sqrt{A^2+B^2}\) અને Φ = tan^-1(/\(\frac{B}{A}\)).
• સમીકરણ (15.1)માં કોઈ નિશ્ચિત સમય t = t₀ લેતાં સ્થાનાંતર y, સ્થાન x સાથે sinusoidal રીતે બદલાય છે.
• આ જ રીતે, કોઈ નિશ્ચિત સ્થાન x = x₀ માટે સ્થાનાંતર એ sinusoidal રીતે સમય સાથે બદલાય છે.
• આથી કહી શકાય કે, જુદાં જુદાં સ્થાને માધ્યમના ઘટકો સરળ આવર્તગતિ કરે છે.
• સમીકરણ (15.1) એ ધન X-દિશામાં ગતિ કરતા sinusoidal તરંગને રજૂ કરે છે, કારણ કે જેમ t વધે તેમ ધન દિશામાં x વધે તો જ (kx – ωt + Φ) અચળ રહે.
• ઋણ X-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગને નીચે મુજબ રજૂ કરી શકાય : y (x, t) = a sin (kx + ωt + Φ)
  અહીં, y(x, t) = સ્થાન x અને સમય tના વિધેય તરીકે સ્થાનાંતર
  a = તરંગનો કંપવિસ્તાર
  ω = તરંગની કોણીય આવૃત્તિ
  k = કોણીય તરંગ-સંખ્યા
  kx + ωt + Φ = x સ્થાને, t સમયે કળા
  Φ = પ્રારંભિક કળા અથવા t = 0 સમયે x = 0 આગળ કળા

પ્રશ્ન 10.
જુદા જુદા સમયે મેળવેલ તરંગાકૃતિઓ પરથી તરંગની ગતિ સમજાવો.
ઉત્તર:
ધન X-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગનું સમીકરણ, y(x, t) = a sin (kx – ωt) છે.
આ સમીકરણમાં tના નિશ્ચિત મૂલ્ય માટે x₁, x₂, x₃, … સ્થાને આવેલા માધ્યમના કણોનું સ્થાનાંતર મેળવી તરંગાકૃતિ દોરી શકાય. આકૃતિ 15.6 (a)માં t = 0 સમયની તરંગાકૃતિ દર્શાવી છે.

• આકૃતિમાં શૃંગ એ મહત્તમ ધન સ્થાનાંતર (+a)નું બિંદુ અને ગર્ત એ મહત્તમ ઋણ સ્થાનાંતરનું બિંદુ દર્શાવે છે.
• આકૃતિ 15.6 (a)માં ‘જી’ દોરેલ શૃંગ એ સમય સાથે કેવી રીતે આગળ વધે છે તે જોઈશું. આ માધ્યમના કોઈ એક ઘટક કણ Pની દોલન ગતિ દ્વારા સમજી શકાય છે.
• t = 0 સમયે કણ P એ તેના દોલન પથના મહત્તમ ઋણ સ્થાન (-a) પર છે. આ સમયે ‘⊗’ દર્શાવેલ શૃંગ A₁ સ્થાને છે. (જુઓ આકૃતિ 15.6 (a))
• t = \(\frac{T}{4}\) સમયે કણ આવર્તગતિ કરીને તેના નિયતસ્થાને આવે છે. જ્યારે શૃંગ ગતિ કરીને A₂ સ્થાને જાય છે. (જુઓ આકૃતિ 15.6 (b))
• આકૃતિ 15.6 (c), (d), (e)માં જુદા જુદા સમયે કણ Aના દોલનના સ્થાન અને તેને અનુલક્ષીને શૃંગ (⊗)ના સ્થાન દર્શાવ્યા છે.
• જ્યારે કણ t = T સમયે એક દોલન પૂરું કરે છે ત્યારે શૃંગ પણ આગળ તરફ ગતિ કરીને અમુક અંતર કાપીને A₅ સ્થાને જાય છે.
• કણ A ના એક પૂર્ણ દોલન દરમિયાન શૃંગ અથવા ગર્ત એ તરંગની તરંગલંબાઈ (λ) જેટલું અંતર કાપે છે.
• આમ, માધ્યમનો કોઈ નિશ્ચિત સ્થાનનો કણ તેના મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ દોલન કરતો જાય તેમ તરંગ માધ્યમમાં આગળ ને આગળ વધતું જાય છે.

પ્રશ્ન 11.
તરંગના કંપવિસ્તાર અને કળાની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
+X દિશામાં ગતિ કરતા પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ, y (x, t) = a sin (kx – ωt + Φ) …………. (15.3)
કંપવિસ્તાર : ઉપરોક્ત સમીકરણમાં sine વિધેયનું મૂલ્ય +1 અને −1 વચ્ચે બદલાતું હોવાથી, સ્થાનાંતર y (x, t) એ +a અને -તની વચ્ચે બદલાય છે.

• અહીં, aને ધન અચળાંક તરીકે લેતા તે માધ્યમના કોઈ ઘટકનું તેના સંતુલન સ્થાનથી મહત્તમ સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
• સ્થાનાંતર y ધન કે ઋણ હોઈ શકે છે પણ a ધન છે. આમ, કોઈ ઘટક કણના મહત્તમ સ્થાનાંતરને તરંગનો કંપવિસ્તાર α કહે છે. તેને ‘A’ વડે પણ દર્શાવામાં આવે છે.
• કંપવિસ્તારનો SI એકમ metre (m) છે. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર M⁰L¹T⁰ છે.
  કળા : સમીકરણ (15.3)માં sine વિધેયના કોણાંક (kx – ωt + Φ)ને તરંગની કળા કહે છે.
• t = 0સમયે x = 0 આગળની કળા Φ ને મૂળ કળા અથવા પ્રારંભિક કળા કહે છે.
• X-અક્ષ ૫૨ ઉદ્ગમની અને પ્રારંભિક સમયની યોગ્ય પસંદગી દ્વારા Φ = 0 મેળવી શકાય. આથી સમીકરણ (15.3)ને વ્યાપક સ્વરૂપે નીચે મુજબ લખી શકાય :
  y (x, t) = a sin (x – ωt)
• કળાની મદદથી આપેલ કંપવિસ્તાર a માટે કોઈ પણ ક્ષણે અને કોઈ પણ સ્થાને તરંગનું સ્થાનાંતર જાણી શકાય છે.
• કળાનો SI એકમ rad છે.

પ્રશ્ન 12.
તરંગની તરંગલંબાઈ અને કોણીય તરંગ-સંખ્યા સમજાવી, તેને વ્યાખ્યાયિત કરો.
ઉત્તર:
તરંગલંબાઈ : તરંગ પર સમાન કળા ધરાવતાં બે બિંદુઓ વચ્ચેના લઘુતમ અંતરને તરંગની તરંગલંબાઈ કહે છે. તેને λ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

• તરંગ પર 2π કળા-તફાવત ધરાવતાં બે બિંદુઓ વચ્ચેના લઘુતમ અંતરને પણ તરંગલંબાઈ કહે છે.
• બે ક્રમિક શૃંગ અથવા બે ક્રમિક ગર્ત પરનાં બિંદુઓ સમાન કળામાં હોય છે. આથી તરંગલંબાઈ નીચે મુજબ પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય :
• બે ક્રમિક શૃંગ કે બે ક્રમિક ગર્ત વચ્ચેનાં અંતરને તરંગની તરંગલંબાઈ કહે છે.
  કોણીય તરંગ-સંખ્યા (k) :
  તરંગ-સમીકરણ,
  y (x, t) = a sin (kx – ωt + Φ)માં Φ = 0 લેતાં, t = 0 સમયે સ્થાનાંતર, y (x, 0) = a sin kx
• sine વિધેય દર 2π જેટલા કોણના તફાવતે તેના મૂલ્યનું પુનરાવર્તન કરે છે. આથી
  sin kx = sin (kx + 2nπ) = sin k[x + \(\frac{2 n \pi}{k}\)
  એટલે કે, x અને x + \(\frac{2 n \pi}{k}\) આગળનાં બિંદુઓ આગળ સ્થાનાંતર સમાન છે. જ્યાં, n = 1, 2, 3, …
• સમાન સ્થાનાંત૨ ધરાવતાં બિંદુઓ વચ્ચેનું લઘુતમ સ્થાનાંતર n = 1 લેવાથી મળે.
  તરંગલંબાઈ λ = (x + \(\frac{2 \pi}{k}\)) – x
  ∴ λ = \(\frac{2 \pi}{k}\) અથવા
  k = \(\frac{2 \pi}{\lambda}\)
• જ્યાં, kને કોણીય તરંગ-સંખ્યા અથવા પ્રસરણ અચળાંક (Propagation constant) અથવા તરંગ-સદિશ કહે છે. તેને નીચે મુજબ પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય :
  તરંગમાં એકમ અંતરમાં સમાવી શકાતા તરંગોની સંખ્યાના 2π ગણા મૂલ્યને કોણીય તરંગ-સંખ્યા k કહે છે.
• k નો SI એકમ rad m^-1 છે, પરંતુ વ્યવહારમાં m^-1 લઈ શકાય.

પ્રશ્ન 13.
તરંગ માટે આવર્તકાળ, કોણીય આવૃત્તિ અને આવૃત્તિની સમજૂતી આપી તેને વ્યાખ્યાયિત કરો.
ઉત્તર :
આવર્તકાળ : તરંગમાં કોઈ એક ખંડને એક દોલન પૂર્ણ કરતા લાગતા સમયને તરંગનો આવર્તકાળ T કહે છે.

• આકૃતિ 15.7માં નિશ્ચિત સ્થાને રહેલ દોરીનો ખંડ જ્યા૨ે તરંગ તેના પરથી પસાર થાય ત્યારે સમય સાથે કંપવિસ્તાર a અને આવર્તકાળ T સાથે દોલન કરતો દર્શાવ્યો છે.

• આ તરંગનું સ્થાનાંતરનું સમીકરણ,
  y (x, t) = a sin (kx – ωt + Φ)
  Φ = 0 હોય ત્યારે તરંગના ખંડની ગતિ x = ૦ આગળ જોઈએ, તો
  y (0, t) = a sin (- ωt)
  = -a sin ωt
• sine વિધેય T સાથે આવર્તીય છે.
  ∴ -a sin ωt = -a sin ω (t + T)
  = -a sin (ωt + ωT)
• sine વિધેય 2π અંતરાલે પુનરાવર્તન પામે છે. એટલે કે દોરીનો ખંડ એક દોલન પૂર્ણ કરી મૂળ સ્થાને આવે છે.
  ∴ ωT = 2π અથવા
  ω = \(\frac{2 \pi}{T}\)
  જ્યાં, ωને તરંગની કોણીય આવૃત્તિ કહે છે. તેનો SI એકમ rad s^-1 છે.
  આવૃત્તિ : એક સેકન્ડમાં થતા ખંડનાં દોલનોની સંખ્યાને તરંગની આવૃત્તિ v કહે છે.
  અથવા
  માધ્યમના નિશ્ચિત સ્થાનેથી એક સેકન્ડમાં પસાર થતા તરંગોની સંખ્યાને તરંગ-આવૃત્તિ કહે છે.
  v = \(\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2 \pi}\)
• vનો SI એકમ s^-1 અથવા hertz (Hz) છે.

પ્રશ્ન 14.
પ્રગામી તરંગની ઝડપનું સૂત્ર υ = λv મેળવો.
ઉત્તર:
પ્રગામી તરંગની ઝડપ મેળવવા માટે આકૃતિ 15.8માં દર્શાવેલ તરંગ પરના કોઈ નિશ્ચિત બિંદુ દા. ત., શૃંગની ગતિ જાણવી પડે.
ધારો કે, t સમયે તરંગ પરનું શૃંગ x₁ સ્થાને અને t + Δt સમયે x₂ સ્થાને છે. અહીં, Δt સમયમાં આખી તરંગ-ભાત x₂ – x₁ = Δx જેટલું અંતર ધન X-દિશામાં ખસે છે.
આથી તરંગ-ઝડપ υ = \(\frac{\Delta x}{\Delta t}\) ………. (15.4)

• તરંગ પર કોઈ પણ કળા ધરાવતું બિંદુ પણ આટલી જ ઝડપથી ગતિ કરતું હશે. નહિતર તરંગ-ભાત એકસમાન ન રહે.
  ∴ અચળ કળા ધરાવતા બિંદુની ગતિ,
  kx – ωt = અચળ દ્વારા અપાય છે.
• જેમ સમય ± બદલાય છે તેમ નિશ્ચિત કળા ધરાવતા બિંદુનું સ્થાન એવી રીતે બદલાવું જોઈએ જેથી કળા અચળ રહે. આમ,
  kx – ωt = k (x + Δx) – ω (t + Δt)
  ∴ kx – ωt = kx + kΔx – ωt + ωΔt
  ∴ kΔx – ωΔt = 0
  ∴ kΔx = ωΔt
  ∴ તરંગ-ઝડપ = υ = \(\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{\omega}{k}\) ………… (15.5)
• સમીકરણ (15.5)માં ω = \(\frac{2 \pi}{T}\) અને k = \(\frac{2 \pi}{\lambda}\) મૂકતાં,
  υ = (\(\frac{2 \pi}{T}\)) (\(\frac{\lambda}{2 \pi}\))
  ∴ υ = (\(\frac{\lambda}{T}\)) ………….. (15.6)
  પરંતુ, તરંગ-આવૃત્તિ v = \(\frac{1}{T}\) છે.
  ∴ υ = λ.v …………… (15.7)
• સમીકરણ (15.5), (15,6) અને (15.7) એ તરંગ-ઝડપનાં જુદાં જુદાં સ્વરૂપનાં સૂત્રો છે.
• સમીકરણ (15.6) દર્શાવે છે કે માધ્યમના કોઈ એક ઘટકને એક દોલન પૂર્ણ કરતા જે સમય લાગે છે તે દરમિયાન તરંગ-ભાત એક તરંગલંબાઈ (λ) જેટલું અંતર કાપે છે.
• યાંત્રિક તરંગની ઝડપ માધ્યમના જડત્વીય અને સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મો પર આધારિત છે.

નોંધ : આવૃત્તિ (v) ઉદ્ગમનો ગુણધર્મ છે. જ્યારે તરંગલંબાઈ λ માધ્યમનો ગુણધર્મ છે. તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં પ્રસરે ત્યારે આવૃત્તિ બદલાતી નથી, પણ તરંગલંબાઈ બદલાય છે.

પ્રશ્ન 15.
યાંત્રિક તરંગોના પ્રસરણ માટે માધ્યમના કયા ગુણધર્મો જરૂરી છે, તે સમજાવો. માધ્યમમાં તરંગનો વેગ કઈ બાબતો પર આધાર રાખે છે?
ઉત્તર:
માધ્યમમાં તરંગના પ્રસરણ દરમિયાન વિક્ષોભ પસાર થઈ ગયા બાદ કણો તેમના મૂળ સ્થાને (મધ્યમાન સ્થાને) પાછા આવે છે.
કણો દોલન કરીને તેમના મૂળ મધ્યમાન સ્થાને પાછા આવે તે માટે માધ્યમમાં પુનઃસ્થાપક બળ (Restoring force) અને તેથી માધ્યમની સ્થિતિસ્થાપકતા (Elasticity) આવશ્યક છે. (∵ માધ્યમના કણોમાં પુનઃસ્થાપક બળ તો જ ઉત્પન્ન થાય જો માધ્યમમાં સ્થિતિસ્થાપકતાનો ગુણ હોય.)

• વળી, તરંગની અસર હેઠળ વિક્ષોભ પામેલ વિભાગ કેટલું સ્થાનાંતર કરશે તે નક્કી કરવામાં માધ્યમનું જડત્વ (Inertia) ભાગ ભજવે છે.
• આમ, યાંત્રિક તરંગોના પ્રસરણ માટે માધ્યમની સ્થિતિસ્થાપકતા અને જડત્વ જરૂરી છે અને માધ્યમમાં તરંગોનો વેગ આ બે ગુણધર્મો વડે નક્કી થાય છે. આથી આ બે ગુણધર્મોને રજૂ કરતી અનુરૂપ ભૌતિક રાશિઓના રૂપમાં માધ્યમમાં તરંગ-વેગ મેળવી શકાય છે.
• દા. ત., તણાવવાળી દોરી જેવા માધ્યમમાં લંબગત તરંગનો વેગ બે બાબતો (1) દોરીની રેખીય દળ-ઘનતા દ્ઘ અને (2) દોરીમાંના તણાવ બળ T પર આધાર રાખે છે.

પ્રશ્ન 16.
પારિમાણિક વિશ્લેષણની મદદથી તણાવવાળી દોરી પર પ્રસરતા તરંગ-ઝડપનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
જ્યારે માધ્યમમાં વિક્ષોભ ઉત્પન્ન કરવામાં આવે છે ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતા પુનઃસ્થાપક બળ અને માધ્યમના જડત્વીય ગુણધર્મ (દળ-ઘનતા) દ્વારા યાંત્રિક તરંગની ઝડપ નક્કી થાય છે.

• દોરી પરના તરંગો માટે પુનઃસ્થાપક બળ T દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે અને જડત્વીય ગુણધર્મ રેખીય દળ-ઘનતા μ છે.
  આમ, તણાવવાળી દોરી પર લંબગત તરંગની ઝડપ નીચેની બે બાબતો પર આધાર રાખે છે :
  (1) દોરીની રેખીય દળ-ઘનતા μ (એટલે કે એકમ લંબાઈદીઠ દોરીનું દળ),
  [μ = ] (જડત્વનો ગુણધર્મ)
  (2) દોરીમાંના તણાવ બળ T (સ્થિતિસ્થાપકતાનો ગુણધર્મ)
  ∴ તરંગ-વેગ υ ∝ μ^a. T^b
  υ = kμ^a. T^b …….. (15.13)
  અહીં, k = પરિમાણ રહિત અચળાંક અને {a, b} ∈ R
• બંને બાજુએ પરિમાણો લખતાં,
  M⁰L¹T^-1 = [latex]\frac{M^1}{L^1}[/latex] [M¹L¹T^-2]^b
  M⁰L¹T^-1 = M^{a +b}L^-a+b T^-2b
• બંને બાજુએ પરિમાણો સરખાવતાં,
  a + b = 0; – a + b = 1 અને − 2b = – 1
  – 2b = – 1 ⇒ b = \(\frac{1}{2}\)
  bનું આ મૂલ્ય a + b = 0માં મૂકતાં,
  a + \(\frac{1}{2}\) = 0 ⇒ a = – \(\frac{1}{2}\)
• સમીકરણ (15.13)માં a અને bનાં મૂલ્યો મૂકતાં,
  υ = \(\mu^{-\frac{1}{2}} \cdot T^{\frac{1}{2}}\)
• પ્રાયોગિક તથા અન્ય અભ્યાસો પરથી k = 1 મળે છે.
  ∴ υ = \(T^{\frac{1}{2}} \cdot \mu^{-\frac{1}{2}}\)
  ∴ υ = \(\sqrt{\frac{T}{\mu}}\) …………. (15.14)
• આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે, સમાન તણાવ ધરાવતી જાડી દોરી કરતાં પાતળી દોરીમાં તરંગનો વેગ વધુ હોય છે.
• તરંગની ઝડપ તરંગની આવૃત્તિ કે કંપવિસ્તાર પર આધારિત નથી. 15.4.2 સંગત તરંગની ઝડપ (ધ્વનિની ઝડપ)

પ્રશ્ન 17.
સ્થિતિસ્થાપક માધ્યમમાં સંગત તરંગો(ધ્વનિ-તરંગો)ની ઝડપ માટેનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
સંગત તરંગમાં માધ્યમના ઘટકો તરંગ-પ્રસરણની દિશામાં આગળ-પાછળ દોલનો કરતાં હોય છે. ધ્વનિ-તરંગો હવાના નાના કદ ખંડોના સંઘનન અને વિઘનનના રૂપમાં ગતિ કરે છે.

• હવાના માધ્યમ માટે સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મ તરીકે કદ સ્થિતિસ્થાપક અંક તરીકે બલ્ક મૉડ્યુલસ (B) લેવામાં આવે છે તથા જડત્વીય ગુણધર્મ તરીકે દળ-ઘનતા ρ લેવામાં આવે છે.
• માધ્યમનો સ્થિતિસ્થાપક અંક B = – \(\frac{\Delta P}{\frac{\Delta V}{V}}\)
  ∴ B નું પારિમાણિક સૂત્ર [B] = M¹L^-1T^-2
  માધ્યમની દળ-ઘનતા ρ = \(\frac{m}{V}\)
  ρ નું પારિમાણિક સૂત્ર [ρ] = M¹L^-3T⁰
  ∴ [latex]\frac{B}{\rho}[/latex] = \(\frac{M^1 L^{-1} T^{-2}}{M L^{-3} T^0}\) = [L²T^-2] = [υ]²
• આમ, [latex]\frac{B}{\rho}[/latex]નું પારિમાણિક સૂત્ર અને ઝડપના વર્ગનું પારિમાણિક સૂત્ર સમાન છે.
  ∴ υ² ∝ \(\frac{B}{\rho}\)
  ∴ υ = C \(\sqrt{\frac{B}{\rho}}\)
  જ્યાં, C એ પારિમાણિક વિશ્લેષણનો અનિર્ણિક અચળાંક છે અને તેનું સચોટ મૂલ્ય પ્રાયોગિક રીતે C = 1 મળે છે.
  આમ, હવા જેવા માધ્યમમાં સંગત તરંગની ઝડપનું વ્યાપક સૂત્ર,
  υ = \(\sqrt{\frac{B}{\rho}}\) ……. (15.15)
• કોઈ ઘન સળિયા કે પટ્ટી જેવા રેખીય માધ્યમમાં સંગત તરંગોના પ્રસરણ દરમિયાન રેખીય (સંગત અથવા પ્રતાન) વિકૃતિ ઉદ્ભવે છે. આથી સ્થિતિસ્થાપક અંક તરીકે યંગ મૉડ્યુલસ (Y) લેવામાં આવે છે.
  ∴ υ = \(\sqrt{\frac{Y}{\rho}}\)
  જે સળિયામાં પસાર થતાં સંગત તરંગની ઝડપ છે.
  કેટલાંક માધ્યમોમાં ધ્વનિની ઝડપ

પ્રશ્ન 18.
વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ માટેનું ન્યૂટનનું સૂત્ર મેળવો અને તેમાં રહેલી ક્ષતિ જણાવો.
ઉત્તર:
વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર,
υ = \(\sqrt{\frac{B}{\rho}}\) ………… (15.16)
જ્યાં, B = વાયુનો બલ્ક મૉડ્યુલસ અને ρ = વાયુની ઘનતા

• અહીં, વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ શોધવા માટે આદર્શ વાયુ લઈશું. ન્યૂટને અનુમાન કર્યું કે, વાયુમાં ધ્વનિના પ્રસરણ દરમિયાન વાયુમાં ઉદ્ભવતા સંઘનન અને વિઘનનની ઘટના સમતાપી હોવી જોઈએ. આથી સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,
  PV = Nk_BT = અચળ …….. (15.17)
  જ્યાં, N એ V કદમાં અણુઓની સંખ્યા છે. k_B બોલ્ટ્સમૅન અચળાંક અને T વાયુનું તાપમાન (કેલ્વિનમાં) છે.
• સમતાપી ફેરફાર માટે,
  VΔP + PΔV = 0
  ∴ P = – \(\frac{\Delta P}{\Delta V / V}\) = B (બલ્ક મૉડ્યુલસની વ્યાખ્યા મુજબ)
  ∴ B = P
• સમીકરણ (15.16) પરથી આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ
  υ = \(\sqrt{\frac{P}{\rho}}\)
• આ સૂત્રને હવામાં ધ્વનિના વેગ માટેનું ન્યૂટનનું સૂત્ર કહે છે.
• STP(Standard Temperature and Pressure)એ હવાનું દબાણ P = 1.01 × 10⁵Pa અને STPએ હવાની ઘનતા
  
  = 280 ms^-1
  આમ, ન્યૂટનના સૂત્રથી મળતું ધ્વનિના વેગનું મૂલ્ય 280 ms છે. જ્યારે પ્રાયોગિક રીતે STPએ મળતું મૂલ્ય 331 ms−1 છે; જે દર્શાવે છે કે, ન્યૂટને કરેલી સમતાપીની પૂર્વધારણા સાચી નથી.

ન્યૂટને પોતાના સૂત્રમાં રહેલી લગભગ 16% જેટલી ત્રુટિ સમજાવવાનો નીચે પ્રમાણે પ્રયત્ન કર્યો હતો :
વાયુના દબાણ P અને ઘનતા ρની ખામી ભરેલી કિંમતો લગભગ 12 % જેટલી ત્રુટિ ઉપજાવે છે. આ ત્રુટિ સમજાવતાં ન્યૂટને જણાવ્યું કે વાયુના અણુઓ, ધ્વનિએ ગતિ દરમિયાન કાપેલ અવકાશનો \(\frac{1}{8}\) જેટલો જ ભાગ રોકે છે. વાયુના અણુઓએ રોકેલ અવકાશમાંથી ધ્વનિ ઝડપથી પસાર થાય છે પણ તેને અણુઓ વચ્ચેના આંતર અવકાશમાંનું અંતર કાપતાં સમય લાગે છે. વધારામાં તેણે જણાવ્યું કે વાયુમાં રહેલી પાણીની બાષ્પ ધ્વનિના પ્રસરણમાં કંઈ ભાગ ભજવતી નથી. ઉપરોક્ત ધારણાઓને આખરે ન્યાયયુક્ત ઠરાવી શકાઈ નહીં અને છેવટે લાપ્લાસે સાચી સમજૂતી રજૂ કરી.

પ્રશ્ન 19.
હવામાં ધ્વનિની ઝડપ માટે ન્યૂટનનું સૂત્ર લખો. ન્યૂટનના સૂત્રમાં લાપ્લાસે કરેલો સુધારો સમજાવો.
ઉત્તર:
વાયુમાં (હવામાં) ધ્વનિના ઝડપ માટેનું ન્યૂટનનું સૂત્ર, υ = \(\sqrt{\frac{P}{\rho}}\) …………. (15.18) છે.
જ્યાં, P = વાયુનું દબાણ; ρ = વાયુની ઘનતા

• ન્યૂટનની પૂર્વધારણા મુજબ ધ્વનિ-તરંગોના વાયુમાં પ્રસરણ દરમિયાન દબાણના ફેરફારો સમતાપી છે.
  લાપ્લાસનો સુધારો : લાપ્લાસે સૂચવ્યું કે, માધ્યમમાં જ્યાં સંઘનન રચાય છે તે ભાગનું તાપમાન વધે છે અને જ્યાં વિઘનન રચાય છે ત્યાં તાપમાન ઘટે છે. આથી ધ્વનિના પ્રસરણની ઘટના સમતાપીય ગણી શકાય નહીં.
• ધ્વનિ-તરંગોના પ્રસરણ દરમિયાન દબાણના ફેરફારો એટલા ઝડપી હોય છે કે ઉષ્માવહનને તાપમાન અચળ જાળવી રાખવાનો પૂરતો સમય મળતો નથી. આથી આ ફેરફારો સમતાપી નહિ પણ સમોષ્મી છે.
  આદર્શ વાયુની સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,
  PV^γ = અચળ

∴ B = γP

• આમ, સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે બલ્ક મૉડ્યુલસ (B) γP જેટલો હોય છે.
• વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ,
  υ = \(\sqrt{\frac{B}{\rho}}=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}\) ……….. (15.20)
• હવા માટે γનું મૂલ્ય \(\frac{7}{5}\) = 1.4 છે.
  ઉપરોક્ત સૂત્રમાં γ = 1.4 લઈને STPએ હવામાં ધ્વનિની ઝડપ,
  υ = \(\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}=\sqrt{\frac{1.4 \times 1.01 \times 10^5}{1.29}}\) = 331.0 ms^-1 મળે છે, જે પ્રાયોગિક મૂલ્ય સાથે મળતો આવે છે.

પ્રશ્ન 20.
તરંગોના સંપાતીકરણનો સિદ્ધાંત લખો અને સમજાવો. આ સિદ્ધાંતનું ગાણિતિક સ્વરૂપ જણાવો.
ઉત્તર:
તરંગોના સંપાતીકરણનો સિદ્ધાંત : જ્યારે બે કે વધુ તરંગો એકસાથે એક જ માધ્યમમાં ગતિ કરીને સંપાત થાય ત્યારે માધ્યમના તે ખંડનું સ્થાનાંતર દરેક તરંગથી થતાં સ્થાનાંતરોના બેજિક સ૨વાળા જેટલું હોય છે.

• આકૃતિ 15.9માં સમાન અને વિરુદ્ધ આકારનાં બે સ્પંદનો એકબીજા તરફ ગતિ કરે છે.

• જ્યારે માધ્યમના કોઈ એક ઘટક પાસે સ્પંદનો સંપાત થાય છે ત્યારે પરિણામી સ્થાનાંતર દરેક સ્પંદનથી થતા સ્થાનાંતરના બેજિક સરવાળા જેટલું હોય છે. અહીં, દરેક સ્પંદન એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જાણે બીજા સ્પંદન હાજર જ નથી. આ સ્પંદનો એકબીજાને વટાવી જાય પછી પણ પોતાનો આકાર જાળવી રાખે છે.
• આકૃતિ 15.9માં t = ૦ સમયે બે સ્પંદનો એકબીજા તરફ આવી રહ્યા છે.
• t = 1 s સમયે બંને સ્પંદનો સંપાત થવાની શરૂઆત કરે છે.
• t = 2 s સમયે બંને સ્પંદનો સંપાત થાય છે ત્યારે માધ્યમના ખંડનું સ્થાનાંતર શૂન્ય થાય છે. કારણ કે બંને સ્પંદનોના કંપવિસ્તારનો બેજિક સરવાળો (+ 0.5 cm – 0.5 cm) શૂન્ય થાય છે.
• t = 3 s અને t = 4 s સમયે બંને સ્પંદનો એકબીજાને વટાવીને પોતાનો આકાર જાળવી રાખીને આગળ નીકળી જાય છે.

સંપાતીકરણના સિદ્ધાંતનું ગાણિતિક સ્વરૂપ :
ધારો કે y₁ (x, t) અને y₂ (x, t) માધ્યમમાં બે તરંગ-વિક્ષોભને લીધે મળતા સ્થાનાંતર છે. જો તરંગો કોઈ વિસ્તારમાં એકસાથે આવી પહોંચે અને સંપાત થાય તો પરિણામી સ્થાનાંતર,
y (x, t) = y₁ (x, t) + y₂ (x, t)
– જો બે કે વધુ તરંગો માધ્યમમાં ગતિ કરતા સંપાત થાય, તો પરિણામી તરંગ-આકાર વ્યક્તિગત તરંગોના તરંગ-વિધેયોના સરવાળા જેટલું હોય છે. જો વિધેયો અનુક્રમે,
y₁ = f₁ (x – υt)
y₂ = f₂ (x – υt)
……………….
……………….
y_n = f_n (x – υt)
હોય, તો માધ્યમમાં પરિણામી તરંગ-વિધેય
y = f₁ (x – υt) + f₂ (x – υt) + …………… + f_n(x – υt)
= \(\sum_{i=1}^n f_{\mathrm{i}}(x-v t)\)
જ્યાં, i = 1, 2, 3, ………. n
ઉપરોક્ત સમીકરણ તરંગોના સંપાતીકરણના સિદ્ધાંતનું ગાણિતિક સ્વરૂપ છે.

પ્રશ્ન 21.
તણાવવાળી દોરી પર પ્રસરતા સમાન આવૃત્તિ અને સમાન કંપવિસ્તાર પરંતુ અલગ પ્રારંભિક કળા ધરાવતા બે હાર્મોનિક તરંગોના સંપાતીકરણથી મળતા પરિણામી સ્થાનાંતરનું સમીકરણ મેળવો. આ પરથી સહાયક અને વિનાશક વ્યતિકરણ સમજાવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, દોરી પર પ્રસરતા બે પ્રગામી હાર્મોનિક તરંગોની કોણીય આવૃત્તિ (ω), કોણીય તરંગ-સંખ્યા (k), તરંગલંબાઈ (λ) અને કંપવિસ્તાર (a) સમાન છે. આ બંને તરંગો વચ્ચે માત્ર પ્રારંભિક કળાનો તફાવત છે.

• આ બંને તરંગોની ઝડપ સમાન છે અને તરંગો ધન X-દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા છે. આ તરંગોને
  y₁ (x, t) = a sin (kx – ωt) ………. (15.21)
  y₂ (x, t) = a sin (kx – ωt + Φ) ……. (15.22)
  વડે રજૂ કરી શકાય.
• સંપાતપણાના સિદ્ધાંત પરથી પરિણામી સ્થાનાંતર,
  y (x, t) = y₁ (x, t) + y₂ (x, t)
  = a sin (ωt – kx) + a sin (ωt – kx + Φ)
  = sin A + sin B = 2 sin (\(\frac{A+B}{2}\)) cos (\(\frac{A-B}{2}\)) અનુસાર,
  y (x, t) = a[2 sin[latex]\frac{(k x-\omega t)+(k x-\omega t+\phi)}{2}[/latex] cos \(\frac{\phi}{2}\)
  ∴ y (x, t) = 2a cos \(\frac{\phi}{2}\) sin (kx – ωt + \(\frac{\phi}{2}\) ……….. (15.23)
• સમીકરણ (15.23) એ પરિણામી સ્થાનાંતર દર્શાવે છે. આ સમીકરણ ધન X-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરતું પ્રગામી હાર્મોનિક તરંગ છે. જેની આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ મૂળ તરંગો જેટલી જ છે. પરંતુ તેનો પ્રારંભિક કળા \(\frac{\phi}{2}\) છે. આ તરંગનો કંપવિસ્તાર,
  A (Φ) = 2a cos \(\frac{\phi}{2}\) …………… (15.24)

(1) સંપાત થતા બંને તરંગો સમાન કળામાં હોય એટલે કે Φ = 0 હોય ત્યારે કંપવિસ્તાર,
A = 2a cos 0 = 2a
પરિણામી સ્થાનાંતર,
y (x, t) = 2a sin (kx – ωt) ………… (15.25)
આ કિસ્સામાં પરિણામી તરંગનો કંપવિસ્તાર 2૰ થાય છે. આમ, જે બિંદુએ પરિણામી તરંગનો કંપવિસ્તાર બમણો થાય છે. એટલે કે સંપાત થતા તરંગો એકબીજાની સહાયકારી સ્થિતિમાં હોય તે બિંદુએ સહાયક વ્યતિકરણ રચાયું તેમ કહેવાય. (જુઓ આકૃતિ 15.10(a))

(2) સંપાત થતા બે તરંગો વચ્ચે કળા-તફાવત = Φ = π હોય, તો પરિણામી કંપવિસ્તાર,
A = 2a cos \(\frac{\pi}{2}\) = 0
પરિણામી તરંગનું સ્થાનાંતર, y (x, t) = 0.
એટલે કે તરંગ દરેક સ્થાને બધા સમય માટે શૂન્ય સ્થાનાંતર ધરાવે છે.
આમ, જે બિંદુએ તરંગનો કંપવિસ્તાર શૂન્ય અથવા ન્યૂનતમ થાય તે બિંદુએ સંપાત થતા તરંગો એકબીજાની વિનાશકારી સ્થિતિમાં હોય છે. આ બિંદુએ વિનાશક વ્યતિકરણ રચાયું છે તેમ કહેવાય.

પ્રશ્ન 22.
તરંગોનું પરાવર્તન અને વક્રીભવન ક્યારે થાય? સમજાવો.
ઉત્તર:
જ્યારે કોઈ તરંગ કે સ્પંદન કોઈ સીમા પર પહોંચે અને જો સીમા પાસે બીજુ માધ્યમ દૃઢ હોય, તો સ્પંદન કે તરંગ પરાવર્તન પામે છે. પડઘા પડવાની ઘટના એ દૃઢ દીવાલ આગળથી થતા તરંગના પરાવર્તનનું ઉદાહરણ છે.

• પરાવર્તિત તરંગો પરાવર્તનના સામાન્ય નિયમોનું પાલન કરે છે.
• જો સીમા સંપૂર્ણ દઢ ન હોય અથવા તે બે જુદાં જુદાં સ્થિતિસ્થાપક માધ્યમોની આંતરસપાટી હોય, તો સપાટી આગળથી તરંગનો થોડો ભાગ પરાવર્તન પામે છે અને બાકીનો ભાગ બીજા માધ્યમમાં પસાર થાય છે.
• જો માધ્યમોની આંતરસપાટી પર તરંગ ત્રાંસી રીતે આપાત થાય, તો બીજા માધ્યમમાં તરંગનું વક્રીભવન થાય છે. આ તરંગને વક્રીભૂત તરંગ કહે છે.
• વક્રીભૂત તરંગો વક્રીભવનના સ્નેલના નિયમનું પાલન કરે છે.

પ્રશ્ન 23.
દૃઢ સીમા આગળથી પરાવર્તન પામતા તરંગની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
જ્યારે કોઈ સ્પંદન કે તરંગ સીમા પાસેના દૃઢ માધ્યમ દ્વારા પરાવર્તન પામે ત્યારે સીમા દ્વારા કોઈ ઊર્જાનું શોષણ થતું નથી. એમ ધારીએ તો પરાવર્તિત તરંગનો આકાર આપાત તરંગ જેવો જ રહે છે. પરંતુ પરાવર્તન વખતે π અથવા 180°નો કળાનો ફેરફાર અનુભવે છે. આકૃતિ 15.11માં આ પરિસ્થિતિ દર્શાવી છે.

• સંપાતપણાના સિદ્ધાંત અનુસાર આ તો જ શક્ય બને જો પરાવર્તિત અને આપાત તરંગ વચ્ચે કળાનો તફાવત π હોય, જેથી વિક્ષોભનું દઢ સીમા પર સ્થાનાંતર બધા સમય માટે શૂન્ય થાય.
• ગતિશાસ્ત્ર મુજબ, સ્પંદન જ્યારે દીવાલ પર પહોંચે છે ત્યારે દોરી દીવાલ પર બળ લગાડે છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, દીવાલ દોરી પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે. તેનાથી π જેટલો કળા-તફાવત ધરાવતું પરાવર્તિત સ્પંદન ઉત્પન્ન થાય છે. એટલે કે આપાત તરંગનો આકાર ઊલટાઈ જાય છે અને શૃંગનું ગર્તરૂપે અને ગર્તનું શૃંગરૂપે પરાવર્તન થાય છે.
• ધારો કે, ધન X-દિશામાં ગતિ કરતા આપાત પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ,
  y_i (x, t) = a sin (kx – ωt) છે.
  દઢ સીમા પરથી પરાવર્તિત તરંગનું સમીકરણ,
  y_r (x, t) = a sin (kx + ωt + π)
  = – a sin (kx + ωt)
  આ દર્શાવે છે કે, પરાવર્તિત તરંગ ઋણ X-દિશામાં ગતિ કરે છે.

પ્રશ્ન 24.
મુક્ત આધાર પાસેથી તરંગનું પરાવર્તન સમજાવો.
ઉત્તર:
આકૃતિ 15.12માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે દોરીનો એક છેડો ખૂબ જ હળવી રિંગ સાથે બાંધેલ છે. આ રિંગ ઊભા રાખેલા સળિયા પર ઘર્ષણ રહિત સરકી શકે છે. અહીં, દોરીની સીમા ગતિ કરવા મુક્ત ગણાય.

• દોરીના બીજા છેડે ઉત્પન્ન કરેલ તરંગ રિંગ પાસે પહોંચે છે ત્યારે રિંગ દૃઢ આધાર સાથે બાંધેલી ન હોવાથી તે ઉપર તરફ ધકેલાય છે. આથી તેની સાથે બાંધેલી દોરી પણ ઉપર તરફ ખેંચાય છે.
• દોરીના આ મુક્ત છેડેથી આપાત તરંગનું પરાવર્તન થાય છે. આ પરાવર્તિત તરંગની કળા અને કંપવિસ્તાર આપાત તરંગના જેટલા જ હોય છે.
• આ સ્થિતિમાં રિંગ પરના બંને તરંગો (આપાત અને પરાવર્તિત) સાથે જ હોવાથી રિંગનું સળિયા પર સ્થાનાંતર આપાત તરંગના કંપવિસ્તારથી બમણું હોય છે.
• અહીં, પરાવર્તિત તરંગનો આકાર ઊલટાતો નથી. આથી શૃંગ એ થંગરૂપે અને ગર્ત એ ગર્તરૂપે જ પરાવર્તન પામે છે.
• જો આપાત તરંગનું સમીકરણ,
  y_i = a sin (kx – ωt)
  હોય, તો મુક્ત છેડેથી પરાવર્તિત તરંગનું સમીકરણ,
  y_r = a sin (kx + ωt + 0) = a sin (kx + ωt) થશે.

પ્રશ્ન 25.
સ્થિત-તરંગો એટલે શું? બે છેડે જડિત કરેલ દોરીમાં ઉદ્ભવતા સ્થિત-તરંગનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તર:
સ્થિત-તરંગો : સમાન કંપવિસ્તારવાળા અને સમાન આવૃત્તિઓ(સમાન તરંગલંબાઈ)વાળા પણ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા અને સંપાતીકરણ અનુભવતા તરંગોની સમાસ અસરરૂપે મળતા તરંગો પ્રગામીપણાનો ગુણધર્મ ગુમાવી બેસે છે. આ રીતે રચાતા સમાસ તરંગો માધ્યમમાં સ્થિર-ભાત ઉપજાવે છે. આવા તરંગોને સ્થિત-તરંગો કહે છે.

• બંને છેડેથી જડિત કરેલી દોરીમાં ઉત્પન્ન કરેલ તરંગનું બંને દૃઢ આધાર આગળથી વારંવાર પરાવર્તન થાય છે. જ્યાં સુધી તરંગની એક સ્થાયી ભાત રચાય ત્યાં સુધી આવું ચાલ્યા કરે છે. આવી તરંગ-ભાતને સ્થિત-તરંગ કહે છે.
• ધારો કે, ધન X-દિશામાં પ્રસરતું તરંગ,
  y₁ (x, t) = a sin (kx – ωt) છે.
  અને પરાવર્તન પામીને ઋણ X-દિશામાં પ્રસરતું તરંગ,
  y₂ (x, t) = a sin (kx + ωt) છે.
  અહીં, બંને તરંગોનો કંપવિસ્તાર અને તરંગલંબાઈ સમાન છે.
• સંપાતપણાના સિદ્ધાંત અનુસાર દોરી પરનું પરિણામી તરંગ,
  y (x, t) = y₁ (x, t) + y₂ (x, t)
  = a [sin (kx – ωt) + cos (kx + ωt)]
  sin (A + B) + sin (A – B) = 2 sin A sin B અનુસાર,
  y (x, t) 2a sin kx cos ωt ………. (15.26)
• ઉપરોક્ત સમીકરણ એ સ્થિત-તરંગનું વ્યાપક સમીકરણ છે.
• આ સમીકરણમાં kx અને ωt પદો જુદાં જુદાં આવે છે, પણ (kx – ωt) જેવા સંયોજિતરૂપે આવતા નથી. આથી એ પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ નથી.
• આ તરંગનો કંપવિસ્તાર 2a sin kx છે. જે x પર આધાર રાખે છે. આથી આ તરંગમાં બિંદુએ બિંદુએ કંપવિસ્તાર બદલાય છે. પરંતુ આપેલ સ્થાને કંપવિસ્તાર નિશ્ચિત હોય છે.
• આ તરંગમાં દોરીનો દરેક ખંડ એકસમાન કોણીય આવૃત્તિ છ અથવા આવર્તકાળથી દોલનો કરે છે. અર્થાત્ તરંગના જુદા જુદા વિભાગો સમાન કળામાં દોલનો કરે છે.
• આમ, દોરી સમગ્રપણે જુદાં જુદાં બિંદુઓએ જુદા જુદા કંપવિસ્તાર સાથે સમાન કળામાં દોલનો કરે છે.
• તરંગ-ભાત દોરી પર જમણી કે ડાબી તરફ ખસતી નથી. આથી તેને સ્થિત-તરંગ કહે છે. આવા તરંગો દ્વારા ઊર્જાનું વહન થતું નથી.

પ્રશ્ન 26.
સ્થિત-તરંગનું સમીકરણ લખો. આ તરંગ પરનાં નિસ્યંદ અને પ્રસ્પંદબિંદુઓની સમજૂતી આપો અને તેમના સ્થાન શોધવા માટે જરૂરી સૂત્રો મેળવો.
ઉત્તર:
સ્થિત-તરંગનું સમીકરણ,
y = 2a sin kx cos ωt …………. (15.27)
આ તરંગનો કંપવિસ્તાર = 2a sin kx ……. (15.28)

• સમીકરણ (15.27) દર્શાવે છે કે દોરીનો દરેક ખંડ સમાન કોણીય આવૃત્તિ ω થી દોલન કરે છે, પરંતુ તેમનો કંપવિસ્તાર x ૫૨ આધાર રાખે છે. તેથી જુદા જુદા બિંદુએ કંપવિસ્તાર બદલાય છે, પરંતુ આપેલ સ્થાને કંપવિસ્તાર નિશ્ચિત હોય છે.
• દોરી પર જે બિંદુઓએ કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોય તેને નિસ્યંદબિંદુઓ (Nodes) કહે છે. જે બિંદુઓએ કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય તે બિંદુઓને પ્રસ્પંદબિંદુઓ (Antinodes) કહે છે.
• નિસ્યંદબિંદુઓ : નિસ્યંદબિંદુઓએ કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોય છે.
  ∴ 2a sin kx = 0
  ∴ sin kx = 0
  ∴ kx = nπ જ્યાં, n = 0, 1, 2, 3, …, n
  ∴ \(\frac{2 \pi}{\lambda}\) x = nx (∵ k = \(\frac{2 \pi}{\lambda}\))
  x = \(\frac{n \lambda}{2}\) જ્યાં, n = 0, 1, 2, …,n ……… (15.29)
  આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે, x = 0થી x = \(\frac{\lambda}{2}\), λ, \(\frac{3 \lambda}{2}\), …, \(\frac{n \lambda}{2}\) અંતરોએ આવેલાં બિંદુઓ નિસ્યંદબિંદુઓ છે.
• બે ક્રમિક નિસ્યંદબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર \(\frac{\lambda}{2}\) હોય છે.
• પ્રસ્પંદબિંદુઓ : આ બિંદુઓએ કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય છે. આથી 2a sin kxમાં |sin kx| = 1 હોય, તો કંપવિસ્તાર મહત્તમ મળે છે. જે 2a હોય છે.
  |sin kx| = 1
  ∴ kx = (n + \(\frac{1}{2}\))π જ્યાં, n = 0, 1, 2, …, n
  ∴ \(\frac{2 \pi}{\lambda}\) x = (n + \(\frac{1}{2}\))π (∵ k = \(\frac{2 \pi}{\lambda}\))
  ∴ x = (n + \(\frac{1}{2}\))\(\frac{\lambda}{2}\)
  અથવા x = (2n + 1) \(\frac{\lambda}{4}\) જ્યાં, n = 0, 1, 2, 3, ……, n
• આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે, x = 0થી x = \(\frac{\lambda}{4}\), \(\frac{3 \lambda}{4}\), \(\frac{5 \lambda}{4}\), …… વગેરે બિંદુઓએ પ્રસ્પંદબિંદુઓ મળે છે.
• બે ક્રમિક પ્રમ્પંદબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર \(\frac{\lambda}{2}\) હોય છે.
• અનુક્રમે આવતાં નિસ્યંદબિંદુ અને પ્રસ્પંદબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર \(\frac{\lambda}{4}\) હોય છે.
• આકૃતિ 15.13માં દોરી પરના સ્થિત-તરંગમાં નિસ્યંદબિંદુઓ અને પ્રસ્પંદબિંદુઓના સ્થાન દર્શાવ્યા છે.

પ્રશ્ન 27.
સાબિત કરો કે, બંને છેડે જડિત આધાર સાથે બાંધેલી L લંબાઈની દોરીમાં ઉદ્ભવતા તરંગની શક્ય તરંગલંબાઈઓ λ_n = \(\frac{2 L}{n}\) હોય છે. જ્યાં, n = 1, 2, 3,
ઉત્તર:
બંને છેડે જડિત આધાર સાથે બાંધેલી તણાવવાળી દોરીમાં ઉદ્ભવતા સ્થિત-તરંગનું સમીકરણ,
y (x, t) = 2a sin kx cos ωt …….. (15.30)

• આ સમીકરણમાં આવતા પદ sin kx પરથી સ્પષ્ટ છે કે, દોરીના x = 0 છેડાનું બધા જ સમયે સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય છે.
• દોરીનો બીજો છેડો (x = L પાસે) દૃઢ આધાર સાથે બાંધેલો છે. તેથી તેનું સ્થાનાંતર (y) પણ બધા જ સમયે શૂન્ય થવું જોઈએ.
• આમ, સીમા શરત એ છે કે x = 0 અને x = L એ નિસ્યંદ- બિંદુઓના સ્થાન છે.
• x = L એ નિસ્યંદબિંદુ હોવાથી,
  sin kx sin kL = 0
  ∴ kL = π, 2π, …, nπ
  આમ, kL = nπ જ્યાં, n = 1, 2, 3, …
  ∴ \(\frac{2 \pi}{\lambda}\)L = nπ (∵ k = \(\frac{2 \pi}{\lambda}\))
  ∴ λ_n = \(\frac{2 L}{n}\) જ્યાં, n = 1, 2, 3,…
• ઉપરોક્ત સમીકરણ એ દોરી પરના સ્થિત-તરંગોની તરંગલંબાઈઓ દર્શાવે છે.
  આમ, દોરી પર ઉદ્ભવતા તરંગની શક્ય તરંગલંબાઈઓ 2L, L, \(\frac{2 L}{3}\), … હોય છે. આપેલ લંબાઈની દોરીમાં ગમે તે તરંગલંબાઈના સ્થિત-તરંગો મેળવી શકાતા નથી.

પ્રશ્ન 28.
તણાવવાળી L લંબાઈની દોરીમાં ઉદ્ભવતા સ્થિત-તરંગની શક્ય તરંગલંબાઈનું સૂત્ર લખો. આ પરથી દોરીનાં નોર્મલ મોડ્સનાં દોલનોની ચર્ચા કરો.
ઉત્તર:
દોરી પર ઉત્પન્ન થતાં સ્થિત-તરંગોની શક્ય તરંગલંબાઈ,
λ_n = \(\frac{2 L}{n}\) ……….. (15.31)
જ્યાં, L = દોરીની લંબાઈ અને n = 1, 2, 3,… છે.

• આમ, દોરી પર ઉત્પન્ન થતાં સ્થિત-તરંગોની શક્ય એવી આવૃત્તિ,
  V_n = \(\frac{υ}{\lambda_{\mathrm{n}}}\) ……… (15.32)
  સમીકરણ (15.31) અને (15.32) પરથી,
  V_n = \(\frac{n υ}{2 L}\) ……. (15.33)
  અથવા V_n = \(\frac{n}{2 L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}\) (∵ υ = \(\sqrt{\frac{T}{\mu}}\) = તરંગની ઝડપ)
• સમીકરણ (15.33) એ દોરીના તંત્રની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિઓ દર્શાવે છે. આ આવૃત્તિ સાથે થતાં દોલનોને તંત્રનાં દોલનોના નોર્મલ મોડ્સ કહે છે.
• સમીકરણ (15.33)માં n = 1 મૂકતાં,
  V₁ = \(\frac{υ}{2 L}\)
  જે તંત્રની લઘુતમ પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ છે. તેને મૂળભૂત મોડ અથવા પ્રથમ હાર્મોનિક કહે છે.

n = 2 લેતાં,
V₂ = \(\frac{2 υ}{2 L}=\frac{υ}{L}\)
∴ V₂ = 2V₁
V₂ને દ્વિતીય હાર્મોનિક અથવા પ્રથમ ઓવરટોન કહે છે.
n = 3 લેતાં,
V₃ = \(\frac{3 υ}{2 L}\) = 3V₁
V₃ને તૃતીય હાર્મોનિક અથવા દ્વિતીય ઓવરટોન કહે છે.
આ જ રીતે nમા ક્રમની હાર્મોનિક આવૃત્તિ માટે,
V_n = \(\frac{n υ}{2 L}\) = nV₁
જ્યાં, n = 1, 2, 3,… એ દોરીથી રચાતા ગાળાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે.

• આકૃતિ 15.14માં બંને છેડે ડિત કરેલી તણાવવાળી દોરીના પ્રથમ ત્રણ હાર્મોનિક દર્શાવ્યા છે.
• દોરી માત્ર આમાંની કોઈ એક આવૃત્તિથી દોલન કરે તે જરૂરી નથી. સામાન્ય રીતે દોરીનું દોલન જુદા જુદા મોડ્સ સંપાત થયા હોય તેવું છે. જેમાંના કેટલાક મોડ્સ વધુ પ્રબળતાથી અને કેટલાક ઓછી પ્રબળતાથી ઉત્તેજિત થયેલા હોય છે.

પ્રશ્ન 29.
સ્થિત-તરંગ અને પ્રગામી હાર્મોનિક તરંગ વચ્ચેનો તફાવત દર્શાવતા ચાર મુદ્દાઓ લખો.
અથવા
સ્થિત-તરંગની ચાર વિશેષતાઓ લખો.
ઉત્તર:
સ્થિત-તરંગ નીચે જણાવેલી વિશેષતાઓ ધરાવે છે :

1. સ્થિત-તરંગ ઉત્પન્ન કરવા માટેનું જરૂરી માધ્યમ બંધિત હોવું જોઈએ.
   જ્યારે પ્રગામી હાર્મોનિક તરંગના પ્રસરણ માટે માધ્યમ ખુલ્લું હોવું જોઈએ. અર્થાત્ દોરીના બંને છેડાઓ દૃઢ આધાર સાથે જિડત કરેલા ન હોવા જોઈએ.
2. પ્રગામી હાર્મોનિક તરંગમાં દરેક કણ પરથી ગર્ત અને શૃંગ વારાફરતી પસાર થાય છે.
   જ્યારે સ્થિત-તરંગમાં પ્રસ્પંદબિંદુઓ અને નિસ્યંદબિંદુઓ હોય છે.
3. સ્થિત-તરંગમાં બધા કણોના કંપવિસ્તાર સમાન નથી.
   જ્યારે પ્રગામી હાર્મોનિક તરંગમાં બધા કણોનાં દોલનોનો કંપવિસ્તાર સમાન હોય છે.
4. સ્થિત-તરંગમાં એક ગાળામાં બધા કણોની કળા કોઈ પણ ક્ષણે સમાન હોય છે.
   જ્યારે પ્રગામી તરંગોમાં બે ક્રમિક કણો વચ્ચે પણ કળા-તફાવત હોય છે.
5. સ્થિત-તરંગમાં ઊર્જાનું વહન થતું નથી.
   જ્યારે પ્રગામી તરંગમાં ઊર્જાનું વહન થાય છે.

પ્રશ્ન 30.
ઓપન પાઇપ અને ક્લોઝ્ડ પાઇપમાં સ્થિત-તરંગોની રચના સમજાવો.
ઉત્તર:
જેમ દોરીમાં નિશ્ચિત આવૃત્તિવાળા લંબગત તરંગોનું પરાવર્તન થતાં, આપાત અને પરાવર્તિત તરંગોના સંપાતીકરણ રચાય છે તેવી જ રીતે નળીમાં રહેલા હવાના સ્તંભમાં પણ નિશ્ચિત આવૃત્તિવાળા સંગત તરંગોના નળીના છેડેથી થતાં પરાવર્તનના કારણે સ્થિત-તરંગો રચાય છે.

• નળીઓ બે પ્રકારની હોય છે :
  1. જે નળીમાં બંને છેડા ખુલ્લા હોય તેવી નળીને ઓપન પાઇપ (Open pipe) કહે છે. દા. ત., વાંસળી
  2. જે નળીમાં એક છેડો ખુલ્લો અને બીજો છેડો બંધ હોય તેવી નળીને ક્લોઝ્ડ પાઇપ કહે છે. દા. ત., ક્લેરિનેટ વાંસળી, ક્લેરિનેટ, ટ્રમ્પેટ જેવી ઓર્ગન પાઇપ્સમાં સ્થિત-તરંગો રચાય છે.
• જેમ દોરીના કિસ્સામાં જડિત છેડે હંમેશાં નિસ્યંદબિંદુ જ હોય છે. એવી રીતે પાઇપના બંધ છેડેથી સંગત તરંગનું પરાવર્તન એવી રીતે થાય છે કે તે છેડો નિસ્યંદબિંદુ જ બને.
• જો સંગત તરંગની તરંગલંબાઈની સરખામણીમાં પાઇપ સાંકડો હોય, તો ખુલ્લા છેડે (કે તેની સહેજ બહાર) પ્રસ્પંદબિંદુ મળે છે.

પ્રશ્ન 31.
એક છેડો ખુલ્લો અને બીજો છેડો બંધ હોય તેવી ક્લોઝ્ડ પાઇપમાં રચાતા સ્થિત-તરંગની શક્ય તરંગલંબાઈનું સૂત્ર મેળવો અને દર્શાવો કે, સ્થિત-તરંગમાં ફક્ત મૂળભૂત મોડના એકી પૂર્ણાંક હાર્મોનિક શક્ય છે.
ઉત્તર:
અંશતઃ પાણીથી ભરેલી કાચની નળી એ ક્લોઝ્ડ પાઇપનું ઉદાહરણ છે. પાણીના સંપર્કમાંનાં છેડે નિસ્યંદબિંદુ અને ખુલ્લા છેડે પ્રસ્પંદબિંદુ મળે છે.

• નિસ્યંદબિંદુ આગળ દબાણના ફેરફારો મહત્તમ હોય છે, પણ સ્થાનાંતર લઘુતમ (શૂન્ય) હોય છે.
• પ્રસ્પંદબિંદુ આગળ દબાણનો ફેરફાર લઘુતમ અને સ્થાનાંતર મહત્તમ હોય છે.
• નળીની લંબાઈ L લેતાં, પાણીના સંપર્કના છેડાને x = 0 લેતાં નિસ્યંદબિંદુની શરતનું પાલન થાય છે. જો બીજો છેડો x = L હોય અને તે પ્રસ્પંદબિંદુ હોય, તો
  x = (n + \(\frac{1}{2}\))\(\frac{\lambda}{2}\) જ્યાં, n = 0, 1, 2, 3 …
  ∴ L = (n + \(\frac{1}{2}\))\(\frac{\lambda}{2}\)
  λ_n = \(\frac{2 L}{\left(n+\frac{1}{2}\right)}=\frac{4 L}{2 n+1}\) જ્યાં, n = 0, 1, 2,
  આ સમીકરણ ક્લોઝ્ડ પાઇપમાં ઉદ્ભવતા સ્થિત-તરંગની શક્ય તરંગલંબાઈઓ દર્શાવે છે.
• તંત્રના નોર્મલ મોડ્સ – પ્રાકૃતિક આવૃત્તિઓ
  V_n = (n + \(\frac{1}{2}\))\(\frac{υ}{2 L}\) ( ∵ λV = υ પરથી)
  અથવા V_n (2n + 1)\(\frac{υ}{2 L}\) , જ્યાં, n = 0, 1, 2, 3,
  υ એ તરંગની ઝડપ છે.

• 1. n = 0 લેતાં,
     V₁ = \(\frac{υ}{4 L}\)
     અહીં, V₁ને મૂળભૂત મોડ અથવા પ્રથમ હાર્મોનિક કહે છે.
  2. n = 1 લેતાં,
     V₂ = (2 + 1)\(\frac{υ}{4 L}=\frac{3 υ}{4 L}[latex]
     ∴ V₂ = 3v₁ (∵ V₁ = [latex]\frac{υ}{4 L}\) )
     V₂ ને તૃતીય હાર્મોનિક અથવા પ્રથમ ઓવરટોન કહે છે.
  3. n = 2 લેતાં,
     V₃ = \(\frac{5 υ}{4 L}\) = 5V₁
     આમ, ક્લોઝ્ડ પાઇપમાં ઉદ્ભવતી ઉચ્ચ આવૃત્તિઓ માત્ર એકી સંખ્યાની હાર્મોનિક્સ છે. અર્થાત્ મૂળભૂત મોડના એકી ગુણાંક 3v₁, 5v₁, 7v₁, … વગેરે છે. આ આવૃત્તિઓને નળીની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિઓ કહે છે.
• આકૃતિ 15.15માં મૂળભૂત મોડ, ત્રીજી હાર્મોનિક અને પાંચમી હાર્મોનિક દર્શાવેલ છે.

પ્રશ્ન 32.
ક્લોઝ્ડ પાઇપમાં અનુનાદ ક્યારે ઉદ્ભવે?
ઉત્તર:
ક્લોઝ્ડ પાઇપની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિઓ v₁, 3v₁, 5v₁, … છે. જ્યાં, v₁ \(\frac{υ}{4 L}[latex] મૂળભૂત આવૃત્તિ.
જ્યારે બાહ્ય આવૃત્તિ આ પ્રાકૃતિક આવૃત્તિઓમાંથી કોઈ એકની નજીક હોય, તો તંત્ર અનુનાદ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 33.
જરૂરી આકૃતિ દોરી ઓપન પાઇપ માટે સ્થિત-તરંગોની તરંગલંબાઈનું સૂત્ર મેળવો અને તેની મદદથી v_n = nv₁ સાબિત કરો.
અથવા
ઓપન પાઇપમાં મળતા હાર્મોનિકની ચર્ચા કરી દર્શાવો કે, ઓપન પાઇપ માટે દરેક હાર્મોનિક શક્ય છે.
ઉત્તર:

ઓપન પાઇપના બંને ખુલ્લા છેડા આગળ વાયુ મુક્ત રીતે કંપી શકે છે. આથી ઓપન પાઇપમાં બંને છેડે પ્રસ્પંદબિંદુ રચાય છે.

• જેમ દોરીમાં રચાતા સ્થિત-તરંગોના કિસ્સામાં બે પ્રસ્પંદબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર [latex]\frac{\lambda}{2}\), λ, \(\frac{3 \lambda}{2}\), … \(\frac{n \lambda}{2}\) (જ્યાં n = 1, 2, 3, …) છે. તેમ L લંબાઈની ઓપન પાઇપમાં સ્થિત-તરંગભાત મેળવવા માટે તરંગલંબાઈ λ એવી હોય કે જેથી, L = \(\frac{n \lambda}{2}\) થાય તો જ નળીમાં સ્થિત-તરંગભાત મળે.
  L = \(\frac{n \lambda}{2}\) પરથી,
  λ_n = \(\frac{2 L}{n}\) જ્યાં; n = 1, 2, 3,…. (15.34)
• ઉપરના સમીકરણ (15.34)માં nનાં જુદાં જુદાં મૂલ્યો મૂકવાથી ઓપન પાઇપમાં સ્થિત-તરંગભાત મેળવવા માટે શક્ય તરંગ- લંબાઈઓ શોધી શકાય છે.
• ઓપન પાઇપમાં સ્થિત-તરંગોની આવૃત્તિ,
  V_n = \(\frac{υ}{\lambda_{\mathrm{n}}}=\frac{n υ}{2 L}\) ………… (15.35)
  જ્યાં, υ એ તરંગની ઝડપ છે.
  1. સમીકરણ (15,35)માં n = 1 મૂકતાં,
     V₁ = \(\frac{υ}{2 L}\) ………….. (15.36)
     અહીં, V₁ને મૂળભૂત આવૃત્તિ અથવા પ્રથમ હાર્મોનિક કહે છે, (જુઓ આકૃતિ 15.16 (a)) જે ક્લોઝ્ડ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ કરતાં બમણી છે. (∵ V₁ = \(\frac{υ}{4 L}\))
  2. n = 2 લેતાં,
     V₂ = \(\frac{2 υ}{2 L}=\frac{υ}{L}\) = 2v₁
     V₂ને દ્વિતીય હાર્મોનિક અથવા પ્રથમ ઓવરટોન કહે છે. (જુઓ આકૃતિ 15.16 (b))
     આમ, સમીકરણ (15.85)માં nનાં જુદાં જુદાં મૂલ્યો લઈને તૃતીય, ચતુર્થ, … હાર્મોનિક્સ મેળવી શકાય છે. વ્યાપકરૂપે ઓપન પાઇપમાં nમી હાર્મોનિક અથવા (n – 1)માં ઓવરટોન માટે,
     V_n = \(\frac{n υ}{2 L}\) = nV₁
     જ્યાં n = 1, 2, 3, …
• આમ, ઓપન પાઇપ માટે દરેક હાર્મોનિક (V₁, 2V₁, 3V₁, …) શક્ય છે.

પ્રશ્ન 34.
સ્પંદ એટલે શું? એકમ સમયમાં રચાતા સ્પંદની સંખ્યાનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
સ્પંદ એ તરંગોના વ્યતિકરણથી ઉદ્ભવતી રસપ્રદ ઘટના છે. જ્યારે લગભગ નજીકની હોય (પણ સમાન ન હોય) તેવી આવૃત્તિના બે હાર્મોનિક તરંગોને એક જ સમયે સાંભળવામાં આવે છે, ત્યારે આપણે તેના જેવી (બે નજીકની આવૃત્તિની સરેરાશ) આવૃત્તિનો ધ્વનિ સાંભળીએ છીએ. આ સાથે ધ્વનિની તીવ્રતામાં ધીમે ધીમે વધારો અને ઘટાડો (મહત્તમ અને લઘુતમ) સંભળાય છે.

આમ, ધ્વનિની તીવ્રતા આવર્ત રીતે મહત્તમ કે લઘુતમ બનવાની ઘટનાને સ્પંદ (Beats) કહે છે.

• સ્પંદની આવૃત્તિ બે નજીકની આવૃત્તિઓના તફાવત જેટલી હોય છે.
• લંબગત હાર્મોનિક તરંગનું સમીકરણ,
  y = a sin (kx – ωt + Φ)
  સંગત તરંગો માટે સ્થાનાંતર yને બદલે s લખતા,
  તેમજ x = 0 સ્થાને કળા Φ = \(\frac{\pi}{2}\) લઈએ, તો
  s = a sin (k(0) – ωt + \(\frac{\pi}{2}\)
  = a cos ωt
• ધારો કે, t સમયે લગભગ સમાન એવી બે કોણીય આવૃત્તિ ω₁ અને ω₂ (ω₁ > ω₂) તથા સમાન કંપવિસ્તારવાળા બે હાર્મોનિક તરંગો સંપાત થાય છે.
  S₁ = a cos ω₁t
  S₂ = a cos ω₂t
• સંપાતપણાના સિદ્ધાંત અનુસાર પરિણામી સ્થાનાંતર,
  S = S₁ + S₂
  = a cos ω₁t + a cos ω₂t
  = a (cos ω₁t + cos ω₂t)
  cos A + cos B = 2 cos \(\frac{A-B}{2}\) cos \(\frac{A+B}{2}\) નો ઉપયોગ કરતાં,
  S = 2a cos(\(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}\)) t cos(\(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}\))t ……… (15.37)
  ∴ S = 2a cos ω_bt cos ω_at ………… (15.38)
  જ્યાં, ω_a = \(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}\) = સ્પંદની કોણીય આવૃત્તિ
  અને ω_b = \(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}\) = કંપવિસ્તારની કોણીય આવૃત્તિ કહે છે.
• જો |ω₁ – ω₂| << ω₁, ω₂ હોય, તો ω_a >> ω_b થાય અને પરિણામી તરંગ સરેરાશ કોણીય આવૃત્તિ ω_aથી દોલનો કરે છે. પરંતુ તેનો કંપવિસ્તાર cos ω_bt સમય સાથે અચળ નથી.
• જ્યારે cos ω_bt = ± 1 હોય ત્યારે કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય છે. એટલે કે પરિણામી તરંગની તીવ્રતા 2ω_b = ω₁ – ω₂ થી વધે-ઘટે છે.
  2ω_b = ω₁ – ω₂
  ∴ 2(\(\frac{2 \pi}{T}\)) = 2πV₁ – 2πV₂
  ∴ T = \(\frac{2}{V_1-v_2}\)
  આમ, એક આવર્તકાળ (T) જેટલા સમયમાં cosine વિધેય બે વાર મહત્તમ મૂલ્યો અને બે વાર શૂન્ય મૂલ્યો ધારણ કરે છે.

આથી એકમ સમયમાં કંપવિસ્તારનું વિધેય V₁ – V₂ વખત મહત્તમ મૂલ્ય અને V₁ – V₂ વખત લઘુતમ મૂલ્ય ધારણ કરે છે. ધ્વનિના તરંગો માધ્યમના જે વિસ્તારમાં સંપાત થાય ત્યાં પણ એકમ સમયમાં ધ્વનિની પ્રબળતા V₁ – V₂ વખત મહત્તમ છે. V₁ – V₂ને સ્પંદની આવૃત્તિ કહે છે.
∴ સ્પંદની આવૃત્તિ V_b = V₁ – V₂ .

• સ્પંદ સ્પષ્ટ રીતે સંભળાય તે માટે V_b એ 6થી 7 કરતાં વધુ ન હોવી જોઈએ.
• આકૃતિ 15.17માં V₁ = 18 Hz અને V₂ = 16 Hz આવૃત્તિના સંપાતીકરણથી ઉદ્ભવતાં સ્પંદને દર્શાવેલ છે. જેમાં એકમ સમયમાં સ્પંદની સંખ્યા બે છે. (V_b = 2 Hz)

પ્રશ્ન 35.
ડૉપ્ટર અસર એટલે શું? ઉદાહરણ સહિત તેની સમજૂતી આપો. આ ઘટનાનું વિશ્લેષણ કઈ કઈ પરિસ્થિતિમાં થાય છે, તે જણાવો.
ઉત્તર:
જ્યા૨ે ધ્વનિ-ઉદ્ગમ કે નિરીક્ષક (શ્રોતા) કે બંને હવાના માધ્યમની સાપેક્ષે અને એકબીજાની સાપેક્ષે ગતિ કરે છે ત્યારે નિરીક્ષક (શ્રોતા) દ્વારા અનુભવાતી ધ્વનિની આવૃત્તિ, ઉદ્ગમ દ્વારા ઉત્સર્જાતી ધ્વનિની આવૃત્તિ કરતાં જુદી હોય છે. આ ઘટનાને ડૉપ્લર અસર કહે છે.

ઉદાહરણ : સાયરન આપણી તરફ (નિરીક્ષક (શ્રોતા) તરફ) ધસી આવતી હોય તો તેના ધ્વનિની આવૃત્તિ, વધારે અનુભવાતાં આપણને ધ્વનિ વધારે તીક્ષ્ણ લાગે છે.

સાયરન બરાબર આપણી પાસેથી પસાર થાય ત્યારે આવૃત્તિ, મૂળ ઉત્સર્જાતી આવૃત્તિ જેટલી જ અનુભવાય છે.

સાયરન આપણાથી દૂર જાય છે ત્યારે અનુભવાતી આવૃત્તિ, મૂળ આવૃત્તિ કરતાં ઓછી હોઈને ધ્વનિ (અવાજ) ઓછો તીક્ષ્ણ લાગે છે.

• ગતિ સાથે સંબંધિત આવૃત્તિનો ફેરફાર થવાની ઘટનાને ડૉપ્લર અસર કહે છે. આ ઘટનાની સૌપ્રથમ સમજૂતી ઑસ્ટ્રિયન વૈજ્ઞાનિક જૉહ્ન કિશ્ચિયન ડૉપ્લર દ્વારા આપવામાં આવી હતી.
• આવૃત્તિમાં ફેરફારનું વિશ્લેષણ ત્રણ પરિસ્થિતિમાં કરી શકાય :
  1. નિરીક્ષક સ્થિર અને ધ્વનિ-ઉદ્ગમ ગતિમાં હોય,
  2. નિરીક્ષક ગતિમાં હોય અને ઉદ્ગમ સ્થિર હોય અને
  3. નિરીક્ષક અને ઉદ્ગમ બંને ગતિમાં હોય.
• પરિસ્થિતિ (1) અને (2) એકબીજાથી જુદી છે, કારણ કે તે નિરીક્ષક અને માધ્યમ વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ પર આધારિત છે.
• ડૉપ્ટર અસર વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોમાં પણ જોવા મળે છે. પરંતુ
  તેમના પ્રસરણ માટે માધ્યમની જરૂર નથી. આથી પરિસ્થિતિ (1) અને (2) એકબીજાથી અલગ પડતી નથી. બંને પરિસ્થિતિમાં ડૉપ્લર શિફ્ટ સમાન હોય છે.

પ્રશ્ન 36.
ધ્વનિ-ઉદ્ગમ ગતિમાં હોય અને નિરીક્ષક સ્થિર હોય તેવા કિસ્સામાં નિરીક્ષકને સંભળાતી આવૃત્તિનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, સ્થિર માધ્યમમાં નિરીક્ષક (O) સ્થિર છે અને ધ્વનિ-ઉદ્ગમ (S) એ υ_S જેટલા વેગથી નિરીક્ષકથી દૂર જઈ રહ્યું છે.

• •→ ધ્વનિ-ઉદ્ગમમાંથી ઉદ્ભવતા તરંગની આવૃત્તિ v, આવર્તકાળ T₀ અને તેનો વેગ υ છે.
• → એક રૂઢિ તરીકે નિરીક્ષક (O)થી ઉદ્ગમ (S) તરફની દિશામાંના વેગને ધન અને તેનાથી વિરુદ્ધ દિશામાંના વેગને ઋણ લેવામાં આવે છે.
  ધ્વનિનો વેગ બધી બાજુ પ્રસરતો હોવાથી તેનો વેગ છ હંમેશાં ધન લેવામાં આવે છે.
• 
• આકૃતિ 15.18માં દર્શાવ્યા મુજબ t = ૦ સમયે ધ્વનિ-ઉદ્ગમ (S) નિરીક્ષક (O)થી L અંતરે આવેલ બિંદુ S₁ પર છે અને t = 0 સમયે તે એક શૃંગ ઉત્પન્ન કરે છે.
  આ શૃંગ તે નિરીક્ષક પાસે t₁ = \(\frac{L}{v}\) સમયે પહોંચશે.
• υ_S વેગથી ગતિ કરતું ઉદ્ગમ t = T₀ સમયે υ_ST₀, અંતર કાપીને
  નિરીક્ષકથી (L + υ_ST₀) અંતરે આવેલા બિંદુ S₂ પર પહોંચે છે.
• T₀ સમય બાદ ઉદ્ગમ બીજુ શૃંગ ઉત્પન્ન કરે છે. જે υ વેગથી (υ_ST₀) જેટલું અંતર કાપીને t₂ સમયે નિરીક્ષક પાસે પહોંચે છે.
  ∴ t₂ = T₀ + \(\frac{L+υ_{\mathrm{S}} T_0}{υ}\) …… (15.39)
• આ જ પ્રમાણે nT₀ સમયે ઉદ્ગમ (n + 1)મું શૃંગ ઉત્પન્ન કરશે અને આ શૃંગ નિરીક્ષક પાસે t_{n +1} સમયે પહોંચશે.
  t_{n +1} = nT₀ + \(\frac{L+n υ_{\mathrm{S}} T_0}{υ}\) ………… (15.40)
• આમ (t_{n +1} – t₁) સમયગાળામાં નિરીક્ષક પાસે n શૃંગ પહોંચતા હોય, તો આ તરંગનો આવર્તકાળ,

• પરંતુ, V₀ = \(\frac{1}{T_0}\) = ઉદ્ગમ અને નિરીક્ષક સ્થિર હોય ત્યારે નિરીક્ષકને સંભળાતી આવૃત્તિ.
  V = \(\frac{1}{T}\) = ઉદ્ગમ નિરીક્ષકથી દૂર ગતિ કરતું હોય ત્યારે નિરીક્ષકને સંભળાતી આવૃત્તિ.
  સમીકરણ (15.41)ને આવૃત્તિના પદમાં લખતાં,
  \(\frac{1}{υ}=\frac{1}{υ_0}\)(1 + \(\frac{υ_{\mathrm{S}}}{υ}\))
  ∴ V = V₀ (1 + \(\frac{υ_{\mathrm{S}}}{υ}\))^-1
• તરંગની ઝડપ υની સાપેક્ષે છઙ υ_S નાનું હોય, તો દ્વિપદી વિસ્તરણમાં ઊંચી ઘાતોને અવગણતાં,
  V = V₀ (1 – \(\frac{υ_{\mathrm{S}}}{υ}\)) ………… (15.42)
  અથવા V = V₀ (\(\frac{υ-υ_{\mathrm{S}}}{υ}\))
• આમ, સમીકરણ (15.42) પરથી સ્પષ્ટ છે કે ઉદ્ગમ નિરીક્ષકથી દૂર જતું હોય ત્યારે નિરીક્ષકને મૂળ આવૃત્તિ કરતાં ઓછી આવૃત્તિ સંભળાય છે.
• જો ઉદ્ગમ (S) એ નિરીક્ષક તરફ ગતિ કરતું હોય, તો રૂઢિ પ્રમાણે સમીકરણ (15.42)માં υ_Sને સ્થાને – υ_S મૂકતાં,
  V = V₀ (1 + \(\frac{υ_{\mathrm{S}}}{υ}\)) ……….. (15.43)
  અથવા V = V₀ (\(\frac{υ+υ_{\mathrm{S}}}{υ}\))
  આમ, જો ઉદ્ગમ નિરીક્ષક તરફ ગતિ કરતું હોય ત્યારે નિરીક્ષકને મૂળ આવૃત્તિ કરતાં ઊંચી આવૃત્તિ સંભળાય છે.

પ્રશ્ન 37.
નિરીક્ષક ગતિમાં હોય અને ઉદ્ગમ સ્થિર હોય તે કિસ્સામાં નિરીક્ષકને સંભળાતી આવૃત્તિનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, નિરીક્ષક υ_O જેટલા વેગથી સ્થિર ઉદ્ગમ તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે. અહીં ગતિમાન નિરીક્ષકની નિર્દેશ-ફ્રેમમાં ઉદ્ગમ અને માધ્યમ υ_O વેગથી નિરીક્ષકની નજીક આવી રહ્યા છે. એટલે કે ઉદ્ગમના તરંગો υ_O + υ જેટલા વેગથી નિરીક્ષક નજીક આવે છે. જ્યાં, υ એ ધ્વનિતરંગની ઝડપ છે.

• હવે, પ્રથમ અને (n + 1)મા શૃંગના આગમન વચ્ચેનો સમયગાળો,

• સમીકરણ (15.45) દર્શાવે છે કે નિરીક્ષક એ સ્થિર ઉદ્ગમ તરફ ગતિ કરે ત્યારે નિરીક્ષકને સંભળાતી આવૃત્તિ, ઉદ્ગમની મૂળ આવૃત્તિ કરતાં વધુ હોય છે.
• જો નિરીક્ષક, સ્થિર ઉદ્ગમથી દૂર ગતિ કરતો હોય, તો સમીકરણ (15.45)માં υ_O ને બદલે – υ_O લેવું પડે.
  ∴ નિરીક્ષકને સંભળાતી આવૃતિ,
  V = V₀ [1 – \(\frac{υ_{\mathrm{O}}}{υ}\)] = V₀ [latex]\frac{υ-υ_{\mathrm{O}}}{υ}[/latex] ………… (15.46)
  આમ, નિરીક્ષકને સંભળાતી આવૃત્તિ, ઉદ્ગમની મૂળ આવૃત્તિ કરતાં ઓછી હોય છે.

પ્રશ્ન 38.
ધ્વનિ-ઉદ્ગમ અને નિરીક્ષક બંને ગતિમાં હોય તે કિસ્સામાં નિરીક્ષકને અનુભવાતી આવૃત્તિનું વ્યાપક સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, t = 0 સમયે નિરીક્ષક O₁ સ્થાને અને ધ્વનિ- ઉદ્ગમ S₁ સ્થાને છે. નિરીક્ષક υ_O અને ઉદ્ગમ υ_S વેગથી એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે. અહીં, આપણે રૂઢિ પ્રમાણે નિરીક્ષકથી ઉદ્ગમ તરફના વેગને ધન લઈશું.

• t = 0 સમયે ઉદ્ગમ v આવૃત્તિવાળું, T₀ આવર્તકાળવાળું તરંગ (પ્રથમ શૃંગ) ઉત્પન્ન કરે છે. ધ્વનિતરંગનો વેગ υ છે. આ સમયે O₁ અને S₁ વચ્ચેનું અંતર L છે. (O₁S₁ = L)
• નિરીક્ષક ગતિમાં હોવાથી નિરીક્ષકની સાપેક્ષે તરંગનો વેગ υ + υ_O થશે. આથી પ્રથમ શૃંગ નિરીક્ષક પાસે
  t₁ = \(\frac{L}{v+v_{\mathrm{O}}}\) …………. (15.47)
  સમયે પહોંચશે.
• t = T₀ સમયે નિરીક્ષક અને ઉદ્ગમ બંને ગતિ કરીને અનુક્રમે O₂ અને S₂ સ્થાને પહોંચે છે. નિરીક્ષક અને ઉદ્ગમ વચ્ચેનું નવું અંતર,
  O₂S₂ = (O₁S₁ – O₁O₂) + S₁S₂
  = (L – υ_OT₀) + υ_ST₀
  = L + (υ_S – υ_O) T₀ ……….. (15.48)
• t = T₀ સમયે ઉદ્ગમ S₂ સ્થાને બીજું શૃંગ ઉત્પન્ન કરે છે. આ બીજું શૃંગ O₂S₂ જેટલું અંતર (υ + υ_O) જેટલી ઝડપે કાપે છે. આથી બીજા શૃંગને નિરીક્ષક પાસે પહોંચતા લાગતો સમય,
  t₂ = T₀ + \(\frac{L+\left(υ_{\mathrm{S}}-υ_{\mathrm{O}}\right) T_0}{υ+υ_{\mathrm{O}}}\) ………….. (15.49)
• આ જ રીતે nT₀ સમયે ઉદ્ગમ (n + 1)મું શૃંગ ઉત્પન્ન કરશે.
  જે નિરીક્ષક પાસે t_{n + 1} સમયે પહોંચશે.
  t_{n + 1} nT₀ + \(\frac{L+n\left(υ_{\mathrm{S}}-υ_{\mathrm{O}}\right) T_0}{υ+υ_{\mathrm{O}}}\) ………… (15.50)
• t_{n + 1} – t₁ સમયગાળામાં n શૃંગ નિરીક્ષક પાસે પહોંચતા હોવાથી આ તરંગનો આવર્તકાળ,

જ્યાં, V = નિરીક્ષકને અનુભવાતી આવૃત્તિ અને
V₀ = ઉદ્ગમની મૂળ આવૃત્તિ છે.

• સમીકરણ (15.51) એ ડૉપ્ટર અસરનું વ્યાપક સૂત્ર છે.
•  જો નિરીક્ષક અને ઉદ્ગમ બંને એકબીજા તરફ ગતિ કરતા હોય ત્યારે V_S = -V_S લેવું પડે. આ સમયે નિરીક્ષકને સંભળાતી આવૃત્તિ,
  V = V₀ (\(\frac{v+v_{\mathrm{O}}}{v-v_{\mathrm{S}}}\))
  આ બંને કિસ્સામાં નિરીક્ષકનો વેગ અને ઉદ્ગમનો વેગ ધ્વનિના વેગ υ કરતાં ઓછો ધારેલ છે.

પ્રશ્ન 39.
સાબિત કરો કે, સ્થિર ઉદ્ગમ તરફ υ’ ઝડપથી ગતિ કરતા નિરીક્ષક દ્વારા અનુભવાતી આભાસી આવૃત્તિ એ સ્થિર નિરીક્ષક તરફ υ’ વેગથી ગતિ કરતા ઉદ્ગમ દ્વારા અનુભવાતી આવૃત્તિ કરતાં વધારે હોય છે.
ઉત્તર:
પ્રથમ કિસ્સામાં υ_S = 0, υ_O = + υ’
ગતિ કરતા નિરીક્ષક દ્વારા અનુભવાતી આવૃત્તિ,
V’ = V₀ (\(\frac{υ+υ_{\mathrm{O}}}{υ+υ_{\mathrm{S}}}\)) = V₀ (\(\frac{υ+υ^{\prime}}{υ}\)) ……….. (15.52)
બીજા કિસ્સામાં, υ_O = 0, υ_S = – υ’
સ્થિર નિરીક્ષક દ્વારા અનુભવાતી આવૃત્તિ,
V” = V₀ (\(\frac{υ+υ_{\mathrm{O}}}{υ+υ_{\mathrm{S}}}\)) = V₀ (\(\frac{υ}{υ-υ^{\prime}}\)) …………. (15.53)
સમીકરણ (15.52) અને (15.53)નો ગુણોત્તર લેતાં,
\(\frac{v^{\prime}}{v^{\prime \prime}}=\frac{υ+υ^{\prime}}{υ-υ^{\prime}}\)
અહીં (υ + υ’) > (υ – υ’) હોવાથી v’ > v′′ થશે.

પ્રશ્ન 40.
ડૉપ્ટર અસરના વ્યવહારિક ઉપયોગો જણાવો.
ઉત્તર:
ડૉપ્ટર અસરના વ્યવહારિક ઉપયોગો નીચે પ્રમાણે છે :

1. ગતિમાન પદાર્થનો વેગ જાણી શકાય છે. તેનો વિવિધ ક્ષેત્રોમાં ઉપયોગ થાય છે. જેમ કે લશ્કરી, તબીબી વિજ્ઞાન, ખગોળવિજ્ઞાન વગેરેમાં.
2. રસ્તા પર ગતિ કરતા વાહનની over-speed ચકાસવા માટે ડૉપ્લર અસરનો ઉપયોગ થાય છે.
3. ડૉપ્લર શિફ્ટની મદદથી વિમાનની ઝડપ અને દિશા જાણી શકાય છે લશ્કરમાં દુશ્મન વિમાનની પરખ કરવા માટે તેનો ઉપયોગ થાય છે.
4. ખગોળવિજ્ઞાની ડૉપ્લર શિફ્ટની મદદથી તારાઓનો વેગ માપે છે.
5. તબીબો ડૉપ્ટર શિફ્ટનો ઉપયોગ હૃદયના ધબકારા અને શરીરના વિવિધ ભાગોમાં રક્તવહનના અભ્યાસ માટે કરે છે.
   આ માટે તેઓ અલ્ટ્રાસોનિક તરંગો શરીરમાં દાખલ કરે છે. તેમાંથી કેટલાક તરંગો પરાવર્તિત થાય છે. જે રક્તની ગતિ, દ્રવ્યના વાલ્વના ધબકારા તેમજ ગર્ભમાંના બાળકના હૃદયના ધબકારા વગેરેની માહિતી આપે છે, જેને સોનોગ્રાફી કહે છે.
   આ પરાવર્તિત તરંગોની મદદથી હૃદયનું ચિત્ર ઊપજાવવામાં આવે છે, તેને ઇકોકાર્ડિયોગ્રામ કહે છે.

હેતુલક્ષી પ્રશ્નોત્તર
નીચેના પ્રશ્નોના ટૂંકમાં ઉત્તર આપો :

પ્રશ્ન 1.
“આવૃત્તિ એ તરંગની મૂળભૂત લાક્ષણિકતા છે.” શા માટે?
ઉત્તર :
જ્યા૨ે તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં પ્રસરે છે, ત્યારે તેની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે. પરંતુ તેની આવૃત્તિમાં ફેરફાર થતો નથી. આથી તે તરંગની મૂળભૂત લાક્ષણિકતા છે.

પ્રશ્ન 2.
પ્રગામી તરંગો દ્વારા શેનું વહન થાય છે?
ઉત્તર:
પ્રગામી તરંગો દ્વારા ઊર્જાનું વહન થાય છે.

પ્રશ્ન 3.
લંબગત અને સંગત તરંગોમાં માધ્યમના કણો કઈ દિશામાં દોલનો કરતા હોય છે?
ઉત્તર:
લંબગત તરંગમાં માધ્યમના કણો તરંગ-પ્રસરણની દિશાને લંબ એવી દિશામાં દોલનો કરે છે, જ્યારે સંગત તરંગમાં માધ્યમના કણો તરંગ-પ્રસરણની દિશામાં દોલનો કરતા હોય છે.

પ્રશ્ન 4.
‘સ્ટીલના સળિયામાં લંબગત અને સંગત બંને તરંગોની ઝડપ સમાન હશે.’ શા માટે?
ઉત્તર:
સ્ટીલનો સળિયો કદ અને આકાર સ્થિતિસ્થાપક અંકો બંને ધરાવતો હોવાથી લંબગત અને સંગત બંને પ્રકારના તરંગો તેમાંથી પ્રસરે છે, પરંતુ તેમની ઝડપ અલગ અલગ હોય છે, કારણ કે તેઓ જુદા જુદા સ્થિતિસ્થાપક અંકોથી ઉદ્ભવે છે.

પ્રશ્ન 5.
સૂર્ય પર થતા વિસ્ફોટના અવાજો પૃથ્વી પર શા માટે સંભળાતા નથી?
ઉત્તર:
સૂર્ય અને પૃથ્વીની વચ્ચે કોઈ માધ્યમ આવેલ નથી, એટલે કે શૂન્યાવકાશ છે. ધ્વનિ-તરંગોને પ્રસરણ માટે માધ્યમ જરૂરી છે. આથી વિસ્ફોટના અવાજો પૃથ્વી પર સંભળાતા નથી.

પ્રશ્ન 6.
ધ્વનિના તરંગો, વાયુ કરતાં ઘન પદાર્થોમાં કેમ ઝડપથી પ્રસરે છે?
ઉત્તર:
ધ્વનિના તરંગની ઝડપ υ = \(\sqrt{\frac{B}{\rho}}\)

ઘન પદાર્થોની ઘનતા (ρ) વાયુઓની ઘનતા કરતાં મોટી હોય છે. પણ ઘન પદાર્થનો બલ્ક મૉડ્યુલ્સ (B) પણ ઘણું મોટું હોય છે. આથી ધ્વનિ-તરંગ વાયુ કરતાં ઘન માધ્યમમાં ઝડપથી પ્રસરે છે.

પ્રશ્ન 7.
યાંત્રિક તરંગના પ્રસરણ માટે માધ્યમના કયા ગુણધર્મો જરૂરી છે?
ઉત્તર:
યાંત્રિક તરંગોના પ્રસરણ માટે માધ્યમમાં સ્થિતિસ્થાપકતા અને જડત્વ જરૂરી છે.

પ્રશ્ન 8.
દબાણના તરંગો કોને કહેવાય?
ઉત્તર:
સંગત તરંગોના પ્રસરણ દરમિયાન માધ્યમના જુદા જુદા વિભાગોનું દબાણ, સમય અને સ્થાન સાથે બદલાતું જતું હોવાથી આવા તરંગોને દબાણના તરંગો કહે છે.

પ્રશ્ન 9.
માધ્યમના તાપમાન સાથે તેમાં પ્રસરતા તરંગની ઝડપ કેવી રીતે બદલાય છે?
ઉત્તર:
તરલ માધ્યમમાં પ્રસરતા તરંગની ઝડપ, υ = \(\sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}\)
આથી υ ∝√T
આમ, તરંગની ઝડપ એ તાપમાનના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં બદલાય છે.

પ્રશ્ન 10.
જો તારમાં રહેલું તણાવ બળ ચાર ગણું કરવામાં આવે, તો તારમાં તરંગની ઝડપમાં શો ફેરફાર થશે?
ઉકેલ:
તારમાં પ્રસરતા તરંગની ઝડપ,
υ = \(\sqrt{\frac{T}{\mu}}\)
હવે, તણાવ ચાર ગણું કરતાં,
υ’ = \(\sqrt{\frac{4 T}{\mu}}\) = 2 \(\sqrt{\frac{T}{\mu}}\)
υ’ = 2υ
આમ, તરંગ-ઝડપ બમણી થશે.

પ્રશ્ન 11.
માધ્યમમાં દબાણમાં થતો ફેરફાર તેમાંથી પસાર થતા તરંગની ઝડપ પર શું અસર કરશે?
ઉત્તર:
જો તાપમાન અચળ રાખીને વાયુનું દબાણ (P) બદલવામાં આવે, તો વાયુની ઘનતા ρ પણ સમપ્રમાણમાં બદલાતી હોવાથી \(\frac{P}{\rho}\) અચળ રહે છે.
આથી υ = \(\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}\) અનુસાર વાયુની ઝડપ પણ બદલાશે નહિ.

પ્રશ્ન 12.
પ્રવાહી કે વાયુમાં લંબગત તરંગોનું પ્રસરણ શા માટે શક્ય નથી?
ઉત્તર:
લંબગત તરંગોમાં માધ્યમના ઘટકોનાં દોલનોથી આકારમાં વિકૃતિ ઉદ્ભવે છે, જે પ્રવાહી કે વાયુમાં શક્ય નથી. તેથી લંબગત તરંગો ઘન માધ્યમમાં જ પ્રસરી શકે છે.

પ્રશ્ન 13.
ધ્વનિની ઝડપ ઠંડા પ્રદેશો કે ગરમ પ્રદેશોમાં વધુ હશે?
ઉત્તર:
ધ્વનિની ઝડપ υ ∝√T હોવાથી ગરમ પ્રદેશોમાં તેની ઝડપ વધુ હશે.

પ્રશ્ન 14.
“ચોમાસાના દિવસોમાં ધ્વનિ લાંબા અંતર સુધી સાંભળી શકાય છે.” શા માટે?
ઉત્તર:
ચોમાસાના દિવસોમાં હવામાં ભેજનું પ્રમાણ વધારે હોય છે. આથી હવાની ઘનતા ઘટે છે. પરિણામે ધ્વનિ-તરંગની ઝડપ વધે છે અને તે લાંબા અંતર સુધી સાંભળી શકાય છે.

પ્રશ્ન 15.
વાયુમાં ધ્વનિના વેગના ન્યૂટનના સૂત્રમાં લાપ્લાસે શું સુધારો સૂચવ્યો?
ઉત્તર:
ન્યૂટનના મત અનુસાર, ધ્વનિ-પ્રસરણની ઘટના સમતાપી છે. લાપ્લાસે સૂચવ્યું કે, ધ્વનિ-પ્રસરણ દરમિયાન દબાણના ફેરફારો એટલા ઝડપી હોય છે કે ઉષ્માવહનને તાપમાન અચળ જાળવી રાખવાનો સમય મળતો નથી. આથી આ ફેરફાર સમતાપી નહિ પણ સમોષ્મી ગણવા જોઈએ.

પ્રશ્ન 16.
એક પ્રગામી તરંગની તરંગલંબાઈ λ અને આવૃત્તિ V હોય, તો t સેકન્ડમાં તરંગે કાપેલું અંતર કેટલું થશે?
ઉકેલ:
તરંગનો વેગ υ = Vλ
જો તરંગ t સમયમાં x જેટલું અંતર કાપે, તો
υ = \(\frac{x}{t}\)
∴ \(\frac{x}{t}\)= Vλ
∴ તરંગે કાપેલ અંતર x = Vλt

પ્રશ્ન 17.
એક તરંગનું તરંગ-સમીકરણ y = 5sin(0.01 x – 2t) છે. જ્યાં, x અને y એ cmમાં છે. આ તરંગની ઝડપ કેટલી હશે?
ઉકેલ:
y = 5 sin (0.01 x – 2t)ને y = A sin (kx – ωt)
સાથે સરખાવતાં,
ω = 2rad/s, k=0.01 rad cm^-1
તરંગ-ઝડપ υ = \(\frac{\omega}{k}=\frac{2}{0.01}\)
= 200 cm s^-1

પ્રશ્ન 18.
એક તરંગની તરંગલંબાઈ 2 m છે, તો તેની કોણીય તરંગ-સંખ્યા કેટલી થાય?
ઉકેલ:
કોણીય તરંગ-સંખ્યા k = \(\frac{2 \pi}{\lambda}=\frac{2 \pi}{2}\) = 3.14m^-1

પ્રશ્ન 19.
1 m તરંગલંબાઈ ધરાવતા તરંગમાં 0.5 m અંતરે આવેલા બે કણોનાં દોલનો વચ્ચેનો કળા-તફાવત કેટલો હશે?
ઉકેલ:
λ = 1 m, x = 0.5 m
x અંતરે આવેલા બે કણો વચ્ચેનો કળા-તફાવત,
Φ = \(\frac{2 \pi}{\lambda}\) x
= \(\frac{2 \pi}{1}\) × 0.5 = π rad

પ્રશ્ન 20.
એક તરંગમાં 10 cm અંતરે આવેલા બે કણો વચ્ચેનો કળા-તફાવત \(\frac{\pi}{2}\)rad હોય, તો તરંગની તરંગલંબાઈ કેટલી હશે?
ઉકેલ:
x = 10 cm = 0.1 m, Φ = \(\frac{\pi}{2}\) rad
હવે, Φ = \(\frac{2 \pi}{\lambda}\) · x પરથી,
λ = \(\frac{2 \pi}{\phi}\) · x = \(\frac{2 \pi}{\pi / 2}\) × 0.1 = 0.4 m

પ્રશ્ન 21.
દોરી પર પ્રસરતું તરંગ જ્યારે જડિત આધારથી પરાવર્તિત થાય, તો તેની કળામાં કેટલો ફેરફાર થાય?
ઉત્તર:
જ્યા૨ે દોરી પર પ્રસરતું તરંગ જડિત આધાર પરથી પરાવર્તિત થાય ત્યારે તેની કળામાં π rad જેટલો વધારો થાય છે.

પ્રશ્ન 22.
સ્થિત-તરંગમાં નિસ્યંદબિંદુ અને પ્રસ્પંદબિંદુનો કંપવિસ્તાર કેટલો હશે?
ઉત્તર:
સ્થિત-તરંગમાં નિસ્યંદબિંદુનો કંપવિસ્તાર શૂન્ય અને પ્રસ્પંદબિંદુનો કંપવિસ્તાર 2a જેટલો હોય છે.

પ્રશ્ન 23.
સ્થિત-તરંગમાં ક્રમિક નિસ્યંદબિંદુ અને પ્રપંદબિંદુ વચ્ચેનું અંતર 5cm હોય, તો બે ક્રમિક પ્રપંદબિંદુ વચ્ચેનું અંતર કેટલું હશે?
ઉકેલ:
નિસ્યંદબિંદુ અને પ્રસ્પંદબિંદુ વચ્ચેનું અંતર = \(\frac{\lambda}{4}\) = 5cm
∴ λ = 20cm
બે ક્રમિક પ્રમ્પંદબિંદુ વચ્ચેનું અંતર =\(\frac{\lambda}{2}\)
= \(\frac{20}{2}\)
= 10 cm

પ્રશ્ન 24.
ક્લોઝ્ડ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ 300 Hz છે, તો તેના દ્વિતીય ઓવરટોનની આવૃત્તિ કેટલી હશે?
ઉકેલ:
ક્લોઝ્ડ પાઇપ માટે V₁ = 300Hz
દ્વિતીય ઓવરટોનની આવૃત્તિ V₃ = 5V₁
= 5 × 300
= 1500 Hz

પ્રશ્ન 25.
તરંગો માટે સંપાતપણાનો સિદ્ધાંત લખો.
ઉત્તર:
જ્યા૨ે બે કે વધુ તરંગો એક જ માધ્યમમાં ગતિ કરીને સંપાત થાય ત્યારે માધ્યમના તે ખંડનું સ્થાનાંતર દરેક તરંગથી થતા સ્વતંત્ર સ્થાનાંતરોના બેજિક સરવાળા જેટલું હોય છે.

પ્રશ્ન 26.
ઓપન પાઇપમાં પાંચમી હાર્મોનિકની આવૃત્તિ 600 Hz છે, તો ત્રીજી હાર્મોનિકની આવૃત્તિ કેટલી હશે?
ઉકેલ:
ઓપન પાઇપમાં પાંચમી હાર્મોનિક માટે,
\(\frac{5 υ}{2 L}\) = 600 Hz ∴ \(\frac{υ}{2 L}\) = 120 Hz
∴ ત્રીજી હાર્મોનિકની આવૃત્તિ = \(\frac{3 υ}{2 L}\) = 3 × 120 = 360 Hz

પ્રશ્ન 27.
વ્યવહારમાં સ્પંદની ઘટનાનો કોઈ એક ઉપયોગ જણાવો.
ઉત્તર:
કલાકારો સ્પંદની ઘટનાનો ઉપયોગ તેમનાં વાજિંત્રો એકબીજા સાથે ટ્યૂન કરવા માટે કરે છે. તેઓ ત્યાં સુધી ટ્યૂન કરતા જાય છે, જ્યાં સુધી સંવેદી કાનમાં સ્પંદ ન સંભળાય.

પ્રશ્ન 28.
ધ્વનિ-ઉદ્ગમની આવૃત્તિ 440Hz છે. જો ધ્વનિ-ઉદ્ગમ અને શ્રોતાનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય હોય, તો શ્રોતાને કઈ આવૃત્તિ સંભળાશે?
ઉત્તર:
જો ધ્વનિ-ઉદ્ગમ અને શ્રોતાનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય હોય, તો શ્રોતાને ધ્વનિ-ઉદ્ગમની જ આવૃત્તિ સંભળાશે, એટલે કે તેને 440Hzની આવૃત્તિ સંભળાશે.

પ્રશ્ન 29.
એક માધ્યમમાં λ તરંગલંબાઈવાળું તરંગ υ ઝડપથી ગતિ કરતું બીજા માધ્યમમાં દાખલ થાય છે ત્યારે તેની ઝડપ 2υ થાય છે,
તો બીજા માધ્યમમાં તેની તરંગલંબાઈ કેટલી હશે?
ઉકેલ:
તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં પ્રવેશે, તો તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે. ધારો કે, બીજા માધ્યમમાં તેની તરંગલંબાઈ λ’ છે.
V = V’
\(\frac{v}{\lambda}=\frac{2 v}{\lambda^{\prime}}\)
∴ λ’ = 2 λ

પ્રશ્ન 30.
સ્થિતિસ્થાપક તરંગનું સ્થાનાંતર
y = 3 sin ωt + 4 cosωt વિધેયથી આપવામાં આવે છે. જ્યાં, y એ cm અને t સેકન્ડમાં છે, તો તરંગનો કંપવિસ્તાર કેટલો હશે?
ઉકેલ:
y = 3 sinωt + 4 cosωt
y = A sinωt + B cosωtનો કંપવિસ્તાર,
a = \(\sqrt{A^2+B^2}\)
આપેલ તરંગ માટે, A = 3 cm, B = 4 cm છે.
∴ તરંગનો કંપવિસ્તાર a = \(\sqrt{A^2+B^2}\)
= \(\sqrt{3^2+4^2}\) = 5 cm

પ્રશ્ન 31.
પાણીની સપાટી પર કયા બે પ્રકારના તરંગો હોય છે?
ઉત્તર:
પાણીની સપાટી પર કેશિકા તરંગો અને ગુરુત્વ તરંગો એમ બે પ્રકારના તરંગો હોય છે.

નીચેનાં વિધાનો ખરાં છે કે ખોટાં તે જણાવો :

(1) લંબગત તરંગો એવા તરંગો છે, જેમાં માધ્યમના કણો તરંગ- પ્રસરણની દિશામાં દોલનો કરે છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(2) ધ્વનિ-તરંગો ઊર્જાનું વહન કરે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(3) પ્રગામી તરંગ એવું તરંગ છે કે, જે માધ્યમના એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી ગતિ કરે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(4) પ્રગામી તરંગની તરંગલંબાઈ λ એ આપેલા સમયે સમાન કળાવાળાં બિંદુઓ વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર છે.
ઉત્તર:
ખરું

(5) યાંત્રિક તરંગોને પ્રસરવા માટે સ્થિતિસ્થાપક માધ્યમની જરૂર નથી.
ઉત્તર:
ખોટું

(6) ચામાચીડિયું અલ્ટ્રાવાયોલેટ તરંગો ઉત્પન્ન કરે છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(7) સ્ટીલના સળિયામાં લંબગત તેમજ સંગત બંને પ્રકારના તરંગોનું પ્રસરણ થાય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(8) કંપન કરતા ક્વાર્ટ્ઝ સ્ફટિકથી હવામાં લંબગત તરંગો ઉત્પન્ન થાય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(9) દોરી પર પ્રસરતા તરંગની ઝડપ દોરીની લંબાઈ તેમજ દોરીના દળ પર આધાર રાખે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(10) 25 °C તાપમાને હવામાં ધ્વનિની ઝડપ 331 m s^-1 છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(11) લાપ્લાસના મત અનુસાર, વાયુમાં ધ્વનિ-પ્રસરણની ઘટના સમોષ્મી નહિ, પરંતુ સમતાપી હોવી જોઈએ.
ઉત્તર:
ખોટું

(12) વાતાવરણમાં ભેજ વધતાં ધ્વનિની ઝડપ વધે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(13) સ્થિત-તરંગો ઊર્જાનું વહન કરે છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(14) બંધનળીમાં રચાતા સ્થિત-તરંગમાં ફક્ત મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી પૂર્ણાંક હાર્મોનિક જ શક્ય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(15) બંધનળીમાં ઉદ્ભવતી પાંચમી હાર્મોનિકને દ્વિતીય ઓવરટોન કહે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(16) સ્પંદની ઘટનામાં ધ્વનિની પ્રબળતા V₁ – V₂ વખત મહત્તમ અને V₁ + V₂ વખત ન્યૂનતમ થાય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(17) અવલોકનકાર અને ધ્વનિ-ઉદ્ગમ માધ્યમની સાપેક્ષે એક જ દિશામાં સમાન ઝડપથી ગતિ કરે ત્યા૨ે ડૉપ્ટર અસ૨ અનુભવાતી નથી.
ઉત્તર:
ખરું

(18) સ્થિર ધ્વનિ-ઉદ્ગમ તરફ υ’ ઝડપથી ગતિ કરતાં અવલોકનકાર દ્વારા અનુભવાતી આભાસી આવૃત્તિ એ સ્થિર અવલોકનકાર તરફ υ’ વેગથી ગિત કરતાં ઉદ્ગમ આગળ અનુભવાતી આવૃત્તિ સમાન હોય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(19) સમુદ્રમાંના તરંગો સંગત અને લંબગત બંને પ્રકારના તરંગોનું સંયોજન છે.
ઉત્તર:
ખરું

ખાલી જગ્યા પૂરો :

(1) યાંત્રિક તરંગો ………………….. નું વહન કરે છે.
ઉત્તર:
ઊર્જા

(2) એક સ્વરકાંટો 1 sમાં 256 વાર ધ્રુજારી અનુભવે છે. જો માધ્યમમાં ધ્વનિની ઝડપ 330 m s^-1 હોય, તો સ્વરકાંટાથી ઉત્પન્ન થતાં તરંગની તરંગલંબાઈ ………………… m હશે.
ઉત્તર:
1.29

(3) ધ્વનિ-તરંગની તરંગલંબાઈ 1.5 m છે. 6m અંતરે આવેલા કણો વચ્ચેનો કળા-તફાવત ………………….. rad હશે
ઉત્તર:
8π

(4) માધ્યમમાંથી y = a sin (ωt – kx) તરંગ પસાર થાય ત્યારે માધ્યમના કણોનો મહત્તમ વેગ ……………….. હશે.
ઉત્તર:
aω

(5) એક તરંગ માટે તરંગ-સદિશ π rad m^-1 હોય, તો તેની તરંગ-સંખ્યા ……………… m^-1.
ઉત્તર:
1/2

(6) જ્યારે 300 Hz આવૃત્તિવાળો ધ્વનિ માધ્યમમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે કણનું મહત્તમ સ્થાનાંતર 0.1 cm છે. આ ણનો મહત્તમ વેગ ……………… cm s^-1 હશે.
ઉત્તર:
60π

(7) તરંગ-પ્રસરણમાં ભાગ લેતા બે ક્રમિક કણો વચ્ચેનું અંતર λ હોય, તો તેમની વચ્ચેનો કળા-તફાવત ………………. rad હશે.
ઉત્તર:
2π

(8) ધ્વનિ-તરંગોમાં બે ક્રમિક સંઘનન અને વિઘનન વચ્ચેનું અંતર ………………… હોય છે.
ઉત્તર:
\(\frac{\lambda}{2}\)

(9) ધ્વનિ-તરંગ હવામાં પ્રસરણ પામે ત્યારે હવાના દબાણ અને કદમાં થતો ફેરફાર …………………… હોય છે.
ઉત્તર:
સમોષ્મી

(10) દોરી પર ઉત્પન્ન થતું સ્થિત-તરંગ n-ગાળા (Loops) રચે છે, તો દોરી પર નિસ્યંદબિંદુઓ અને પ્રસ્પંદબિંદુઓની સંખ્યા ………………. અને …………….. હશે.
ઉત્તર:
n + 1, n

(11) + X-દિશામાં ગતિ કરતું આપાત તરંગ y₁ = a sin (kx – ωt) હોય, તો દૃઢ આધાર પાસેથી પરાવર્તન પામીને -X-દિશામાં
ગતિ કરતાં પરાવર્તિત તરંગનું સમીકરણ y₂ = …………………. થશે.
ઉત્તર:
– a sin (kx + ωt)

(12) વાયુમાં ધ્વનિ-તરંગની ઝડપ તાપમાનના …………………. ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ઉત્તર:
વર્ગમૂળ

(13) દોરી પરના સ્થિત-તરંગની તરંગલંબાઈ 0.5 m છે. આ સ્થિત- તરંગમાં બે ક્રમિક પ્રપંદબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર ……………….. m હશે.
ઉત્તર:
0.25

(14) 1 mની લંબાઈની દોરી પર ચોથી હાર્મોનિકવાળું સ્થિત-તરંગ ઉદ્ભવે છે. આ તરંગમાં ક્રમિક પ્રમ્પંદબિંદુ અને નિસ્યંદબિંદુ વચ્ચેનું અંતર …………….. m હશે.
ઉત્તર:
0.125

(15) y = 10 sin (100 t) cos (0.01 x) mથી રજૂ થતાં સ્થિત- તરંગના ઘટક-તરંગોની ઝડપ …………………….. હશે.
ઉત્તર:
10⁴ m s^-1

(16) આપેલ લંબાઈના તન્ય તારમાં પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ 320 Hz છે, તો પ્રથમ હાર્મોનિક આવૃત્તિ ……………… Hz.
ઉત્તર:
160

(17) ડૉપ્ટર અસરમાં જ્યારે ધ્વનિ-ઉદ્ગમ, નિરીક્ષક તરફ ગતિ કરે ત્યારે તેની તરંગલંબાઈ ………………. છે.
ઉત્તર:
ઘટે

(18) ધ્વનિ-તરંગમાં સ્થાનાંતરનું નિસ્યંદબિંદુએ દબાણનું …………….. છે.
ઉત્તર:
પ્રસ્પંદબિંદુ

(19) ધ્વનિ-ઉદ્ગમ અને શ્રોતા સમાન ઝડપથી એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા નજીક આવે ત્યારે શ્રોતાને અનુભવાતી આવૃત્તિમાં ……………………. થશે અને એકબીજાથી દૂર જાય ત્યારે શ્રોતાને અનુભવાતી આવૃત્તિમાં ………………….. થશે.
ઉત્તર:
વધારો, ઘટાડો

(20) માધ્યમના એક બિંદુએ 25 Hz આવૃત્તિ અને 28 Hz આવૃત્તિવાળા બે તરંગો સંપાત થાય છે. આ બિંદુએ એકમ સમયમાં ધ્વનિની પ્રબળતા ……………….. વખત મહત્તમ બનશે.
ઉત્તર:
3

(21) પાણીની સપાટી પરના કેશિકા તરંગોને ઉત્પન્ન કરનારું પુનઃસ્થાપક બળ એ પાણીનું ………………….. છે.
ઉત્તર:
પૃષ્ઠતાણ

જોડકાં જોડો : (Matrix Match)

પ્રશ્ન 1.

કૉલમ A	કૉલમ B
1. O2 વાયુમાં પ્રસરતા તરંગો	p. લંબગત તરંગો
2. કાચના સળિયામાં પ્રસરતા પ્રકાશના તરંગો	q. સંગત તરંગો તરંગો
3. બંને છેડે જિડત દોરી પરના તરંગો	r. લંબગત તેમજ સંગત
4. લોખંડના સળિયામાં પ્રસરતા તરંગો	s. સ્થિત-તરંગો

ઉત્તર:
(1 – q), (2 – p), (3 – s), (4 – r).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. O2 વાયુમાં પ્રસરતા તરંગો	q. સંગત તરંગો તરંગો
2. કાચના સળિયામાં પ્રસરતા પ્રકાશના તરંગો	p. લંબગત તરંગો
3. બંને છેડે જિડત દોરી પરના તરંગો	s. સ્થિત-તરંગો
4. લોખંડના સળિયામાં પ્રસરતા તરંગો	r. લંબગત તેમજ સંગત

પ્રશ્ન 2.

કૉલમ A	કૉલમ B
1. તરંગ પરના ક્રમિક પ્રમ્પંદબિંદુ અને નિસ્યંદબિંદુ વચ્ચેનું અંતર	p. \(\frac{3 \lambda}{2}\)
2. તરંગ પરના બે ક્રમિક ગર્ત વચ્ચેનું અંતર	q. \(\frac{\lambda}{4}\)
3. તરંગમાંના બે ક્રમિક સંઘનન અને વિઘનન વચ્ચેનું અંતર	r. \(\frac{\lambda}{4}\)
4. તૃતીય હાર્મોનિક ધરાવતી બંધનળીમાં બંધ છેડા અને ખુલ્લા છેડા વચ્ચેનું અંતર	s. λ
5. તૃતીય હાર્મોનિક ધરાવતી ખુલ્લી નળીમાં બંને ખુલ્લા છેડા વચ્ચેનું અંતર	t. \(\frac{3 \lambda}{4}\)

ઉત્તર:
(1 – q), (2 – s), (3 – r), (4 – t), (5- p).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. તરંગ પરના ક્રમિક પ્રમ્પંદબિંદુ અને નિસ્યંદબિંદુ વચ્ચેનું અંતર	q. \(\frac{\lambda}{4}\)
2. તરંગ પરના બે ક્રમિક ગર્ત વચ્ચેનું અંતર	s. λ
3. તરંગમાંના બે ક્રમિક સંઘનન અને વિઘનન વચ્ચેનું અંતર	r. \(\frac{\lambda}{4}\)
4. તૃતીય હાર્મોનિક ધરાવતી બંધનળીમાં બંધ છેડા અને ખુલ્લા છેડા વચ્ચેનું અંતર	t. \(\frac{3 \lambda}{4}\)
5. તૃતીય હાર્મોનિક ધરાવતી ખુલ્લી નળીમાં બંને ખુલ્લા છેડા વચ્ચેનું અંતર	p. \(\frac{3 \lambda}{2}\)

પ્રશ્ન 3.
તરંગ-સમીકરણ y = A sin 2π (ax + bt + \(\frac{1}{8}\)) હોય, તો યોગ્ય જોડકાં જોડો. દરેક અચળાંક SI એકમમાં છે.

કૉલમ A	કૉલમ B
1. તરંગની આવૃત્તિ	p. \(\frac{b}{a}\) એકમ
2. તરંગની તરંગલંબાઈ	q. \(\frac{\pi}{4}\) rad
3. તરંગની ઝડપ	r. b એકમ
4. તરંગની પ્રારંભિક કળા	s. \(\frac{\pi}{2}\) rad
5. \(\frac{1}{4 a}\) અંતરે બે બિંદુઓ વચ્ચેનો કળા-તફાવત	t. \(\frac{1}{a}\) એકમ

ઉત્તર:
(1 – r), (2 – t), (3 – p), (4 – q), (5 – s).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. તરંગની આવૃત્તિ	r. b એકમ
2. તરંગની તરંગલંબાઈ	t. \(\frac{1}{a}\) એકમ
3. તરંગની ઝડપ	p. \(\frac{b}{a}\) એકમ
4. તરંગની પ્રારંભિક કળા	q. \(\frac{\pi}{4}\) rad
5. \(\frac{1}{4 a}\) અંતરે બે બિંદુઓ વચ્ચેનો કળા-તફાવત	s. \(\frac{\pi}{2}\) rad

પ્રશ્ન 4.
એક તરંગ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં પ્રસરણ પામે છે.

કૉલમ A	કૉલમ B
1. તરંગની આવૃત્તિ	p. વધશે
2. તરંગની ઝડપ	q. બદલાશે
3. તરંગની તરંગલંબાઈ	r. બદલાશે નહિ
4. તરંગનો કંપવિસ્તાર	s. વધશે અથવા ઘટશે

ઉત્તર:
(1 – r), (2 – p), (3 – q), (4 – s).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. તરંગની આવૃત્તિ	r. બદલાશે નહિ
2. તરંગની ઝડપ	p. વધશે
3. તરંગની તરંગલંબાઈ	q. બદલાશે
4. તરંગનો કંપવિસ્તાર	s. વધશે અથવા ઘટશે