GSEB Solutions Class 11 Physics Chapter 14 દોલનો

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 14 દોલનો Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 14 દોલનો

GSEB Class 11 Physics દોલનો Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
નીચેનામાંથી કયાં ઉદાહરણો આવર્તગતિ દર્શાવે છે?
(a) એક તરવૈયો એક નદીના એક કિનારેથી બીજા કિનારે અને ત્યાંથી પરતની સફર પૂર્ણ કરે છે.
(b) એક મુક્ત રીતે લટકાવેલ ગજિયા ચુંબકને તેનીN – S દિશામાંથી સ્થાનાંતર આપી અને મુક્ત કરવામાં આવે છે.
(c) તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને ચાકગતિ કરતો હાઇડ્રોજન પરમાણુ
(d) એક ધનુષમાંથી છોડેલું તીર
ઉત્તર:
(a) તરવૈયાની ગતિ આવર્તગતિ નથી. તે આગળ- પાછળ ગતિ કરે છે, પરંતુ તેને ચોક્કસ સમયગાળો નથી તેમજ તે પુનરાવર્તિત ગતિ નથી.

(b) ચુંબકની ગતિ આવર્તગતિ છે. લટકાવેલ ચુંબકને N – S દિશામાં સ્થાનાંતર આપી મુક્ત કરતાં તે મધ્યમાન સ્થાનની આજુ- બાજુ દોલન ગતિ કરે છે. આ દોલનને ચોક્કસ સમયગાળો પણ છે. આમ સરળ આવર્તગતિ કરે છે.

(c) હાઇડ્રોજન પરમાણુ આવર્તગતિ કરે છે. તે તેના દ્રવ્યમાન- કેન્દ્રને અનુલક્ષીને ભ્રમણ કરે છે અને ચોક્કસ સમયગાળાને અંતે તેની ગતિ પુનરાવર્તિત થાય છે.

(d) તીરની ગતિ એ આવર્તગતિ નથી.

પ્રશ્ન 2.
નીચેનામાંથી કયાં ઉદાહરણો એ (લગભગ) સરળ આવર્તગતિ દર્શાવે છે અને ક્યા આવર્ત દર્શાવે છે, પરંતુ સરળ આવર્તગતિ દર્શાવતા નથી?
(a) પૃથ્વીની ધરીને અનુલક્ષીને તેનું ભ્રમણ
(b) U-ટ્યૂબમાં દોલિત પારાના સ્તંભની ગતિ
(c) એક બૉલબેરિંગને એક લીસી વક્ર વાટકીની અંદર સૌથી નિમ્નતમ બિંદુથી થોડાક ઉપરના બિંદુ પરથી છોડી દેવામાં આવે ત્યારની ગતિ
(d) તેની સંતુલન સ્થિતિને અનુલક્ષીને બહુપરમાણ્વિક અણુના સામાન્ય કંપનો
ઉત્તર:
(a) પૃથ્વીની ગતિ આવર્તગતિ છે, પરંતુ સરળ આવર્ત- ગતિ નથી, કારણ કે તે કોઈ બિંદુ પાસે આગળ-પાછળની ગતિ ધરાવતી નથી.

(b) પારાની ગતિ સરળ આવર્તગતિ છે. અહીં પારો તેના મધ્યમાન સ્થાનને અનુલક્ષીને ઉપર-નીચે તરફ ગતિ કરે છે.

(c) બૉલબેરિંગની ગતિ સરળ આવર્તગતિ છે, કારણ કે તે વાટકીની અંદરના નિમ્નતમ બિંદુને અનુલક્ષીને આગળ-પાછળ ગતિ કરે છે.

(d) બહુપરમાણ્વિક અણુઓનાં કંપનો આવર્તીય છે, પરંતુ સરળ આવર્તગતિ નથી. આવા અણુઓને ઘણી બધી પ્રાકૃતિક આવૃત્તિઓ હોય છે અને તેમની ગતિ આ સરળ આવર્તગતિઓના સંપાતીકરણને કારણે છે. આથી તેમની પરિણામી ગતિ આવર્તીય હોય છે, પરંતુ સરળ આવર્તગતિ નથી.

પ્રશ્ન 3.
આકૃતિ 14.33 એ કોઈ કણની રેખીય ગતિ માટે x – tના ચાર આલેખોને દર્શાવે છે. કયા આલેખો આવર્તગતિ દર્શાવે છે? ગતિનો આવર્તકાળ (આવર્તગતિના કિસ્સામાં) શું છે?

ઉત્તર:
(a) આકૃતિ (a) એ આવર્તય ગતિ દર્શાવતું નથી, કારણ કે તેની ગતિ પુનરાવર્તિત નથી. તેમજ પદાર્થ પોતાના મધ્યમાન સ્થાને પાછો આવતો નથી.

(b) આકૃતિ (b) એ આવર્તય ગતિ દર્શાવે છે, કારણ કે ચોક્કસ સમયને અંતરે વિધેય પુનરાવર્તિત થાય છે. આ ગતિનો આવર્તકાળ, T = 1 – (-1) = 2 s છે.

(c) આકૃતિ (c) આવર્તગતિ દર્શાવતું નથી, કારણ કે x – t આલેખમાં સમયગાળા (1 – 4), (4 – 7), (7 – 10) અને (10 – 13)s દરમિયાન તેની પુનરાવર્તિત ગતિ એકસમાન નથી.

(d) આકૃતિ (d) આવર્તય ગતિ દર્શાવે છે. તેનો આવર્તકાળ, T = (1 – (-1)) = 2 s છે.

પ્રશ્ન 4.
નીચેના સમયનાં વિધેયોમાંથી કયા (a) સરળ આવર્તગતિ (b) આવર્ત પરંતુ સરળ આવર્તગતિ ન હોય અને (c) બિનઆવર્તગતિ દર્શાવે છે? આવર્તગતિના દરેક કિસ્સામાં આવર્તકાળ આપો. (કોઈ ધન અચળાંક ω માટે) :
(a) sin ωt – cos ωt
(b) sin³ ωt
(c) 3 cos (\(\frac{\pi}{4}\) – 2ωt)
(d) cos ωt + cos 3ωt + cos 5ωt
(e) exp (- ω² t² )
(f) 1 + ωt + ω²t²
ઉત્તર:
જે વિધેય પોતે સમયના નિયમિત અંતરાલો પર પુનરાવર્તન કરે છે, તેને આવર્તગતિ (Periodic motion) કહેવામાં આવે છે. જો આ વિધેયને sin (ωt ± Φ) અથવા cos (ωt ± Φ)ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય તો તે વિધેય સરળ આવર્તગતિ દર્શાવે છે.

(a) sin ωt – cos ωt
= √2(\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)sin ωt – \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) cos ωt
√2 (sin ωt cos\(\frac{\pi}{4}\) – cos ωt sin\(\frac{\pi}{4}\)
= √2 sin(ωt – \(\frac{\pi}{4}\)
આમ, આ વિધેય સરળ આવર્તગતિ દર્શાવે છે.
હવે, ω = \(\frac{2 \pi}{T}\) પરથી સ.આ.ગ.નો આવર્તકાળ T = \(\frac{2 \pi}{\omega}\)

(b) sin³ ωt = \(\frac{1}{4}\)(3 sin ωt – sin ωt)
(∵ sin 3θ = 3 sin θ – 4 sin³θ)
\(\frac{3}{4}\) sin ωt – \(\frac{1}{4}\) sin 3 ωt
અહીં, sin ωt અને sin 3 ωt બંને વિધેયો સરળ આવર્તગતિ દર્શાવે છે, પરંતુ sin³ωt આ બંને વિધેયોનું સંયોજન હોવાથી તે સરળ આવર્તગતિ દર્શાવતું નથી. તે ફક્ત આવર્તગતિ દર્શાવે છે. તેનો આવર્તકાળ T = \(\frac{2 \pi}{\omega}\) છે.

(c) 3 cos(\(\frac{\pi}{4}\) – 2ωt) = 3 cos(- (2 ωt – \(\frac{\pi}{4}\)
= 3 cos (2 ωt – \(\frac{\pi}{4}\)) (∵ cos (- θ) = cos θ)
આ વિધેય સરળ આવર્તગતિ દર્શાવે છે. તેનો આવર્તકાળ T = \(\frac{2 \pi}{2 \omega}=\frac{\pi}{\omega}\) છે.

(d) cos ωt + cos 3 ωt + cos 5 ωt
અહીં, cos ωt, cos 3 ωt અને cos 5 ωt સરળ આવર્તગતિ દર્શાવે છે, પરંતુ તેમનું સંયોજન સરળ આવર્તગતિ દર્શાવતું નથી. તે ફક્ત આવર્તગતિ છે. આ આવર્તગતિનો આવર્તકાળ T = \(\frac{2 \pi}{\omega}\).

(e) exp(- ω²t²)
આ ચરઘાંતાકીય વિધેય છે. જેમાં t વધતાં વિધેયનું મૂલ્ય ઘટે છે અને t → ∞ થાય ત્યારે તે શૂન્ય થાય છે. આમ, આ પુનરાવર્તિત વિધેય નથી. એટલે કે તે બિનઆવર્તીય ગતિ છે.

(f) 1 + ωt + ωt²
આ વિધેયમાં t વધતા, વિધેયનું મૂલ્ય વધે છે. t → ∞ થાય ત્યારે તેનું મૂલ્ય પણ અનંત થાય છે. આમ, આ પુનરાવર્તિત વિધેય નથી. એટલે કે તે બિનઆવર્તય ગતિ છે.

પ્રશ્ન 5.
એક કણ 10 cm દૂર એવાં બે બિંદુઓ, A અને Bની વચ્ચે રેખીય સરળ આવર્તગતિ કરે છે. Aથી Bની દિશાને ધન લો અને વેગ, પ્રવેગ અને બળની સંજ્ઞા આપો. જ્યારે તે કણ
(a) A છેડા પર હોય
(b) B છેડા પર હોય
(c) ABના મધ્યબિંદુ પર A તરફ જતી દિશામાં
(d) Bથી 2 cm દૂર A તરફ જતાં
(e) Aથી 3 cm દૂર B તરફ જતાં અને
(f) Bથી 4 cm દૂર A તરફ જતાં
ઉત્તર:
દાખલામાં વર્ણવેલ પરિસ્થિતિ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે :

યાદ રાખો કે, સરળ આવર્તગતિ કરતાં કણ પર લાગતું બળ અને પ્રવેગ હંમેશાં મધ્યમાન સ્થાન (O) તરફ હોય છે. આકૃતિમાં Aથી B તરફની દિશાને ધન લેવામાં આવી છે.

પ્રશ્ન 6.
કણના પ્રવેગ a અને સ્થાનાંતર x વચ્ચેના નીચેના સંબંધોમાંથી કયા સરળ આવર્તગતિ ધરાવે છે?
(a) a = 0.7x
(b) a = – 200x²
(c) a = – 10x
(d) a = 100x³
ઉત્તર:
સરળ આવર્તગતિમાં પ્રવેગ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. a = -ω²x આપેલાં સમીકરણોમાં સમીકરણ (c) એ આ સમીકરણને સંતોષે છે. આથી તે સરળ આવર્તગતિ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 7.
સરળ આવર્તગતિ કરતા કણની ગતિને સ્થાનાંતર વિધેય x(t) = A cos (ωt + Φ) દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે.
જો કણનું પ્રારંભિક (t = 0) સ્થાન 1 cm હોય અને તેનો પ્રારંભિક વેગ ω cm/s હોય, તો તેનો કંપવિસ્તાર અને પ્રારંભિક કળા શોધો. કણની કોણીય આવૃત્તિ એ πs^-1 છે. જો cosine વિધેયના સ્થાને સ.આ.ગ.ને વર્ણવવા માટે આપણે sine વિધેય x = B sin (ω t + α ) પસંદ કરીએ, તો ઉપર્યુક્ત પ્રારંભિક શરતો સાથે કણનો કંપવિસ્તાર અને પ્રારંભિક કળા શું થશે?
ઉત્તર:
(a) t = 0 4 x = 1 cm, υ = ω cm s^-1, ω = лs^-1
x = A cos (ωt + Φ)
∴ 1 A cos (ω (0) + Φ)
∴ A cos Φ = 1 ……. (1)
કણનો વેગ υ = \(\frac{d x}{d t}=\frac{d}{d t}\) (A cos (ωt + Φ))
∴ υ = – A ω sin (ωt + Φ)
t = ૦ સમયે υ = ω છે.
∴ ω = -A ω sin (ω (0) + (Φ)
∴ A sinΦ = – 1 ……. (2)
સમીકરણ (1) અને (2)નો વર્ગ કરી સરવાળો કરતાં,
A² (cos²Φ+ sin²Φ) = 1² + 1²
∴ A² = 2
∴ A = √2 cm
સમીકરણ (2)ને (1) વડે ભાગતાં,
\(\frac{\sin \phi}{\cos \phi}=\frac{-1}{1}\)
∴ tan Φ = – 1
∴ Φ = tan (- 1) = \(\frac{3 \pi}{4}\) અથવા \(\frac{7 \pi}{4}\) rad

(b) t = 0 સમયે x = 1 cm, પ્રારંભિક વેગ υ = ωcms^-1
અને ω = лs^-1
x = B sin (ωt + α)
∴ 1 = B sin (ω(0) + α)
∴ B sin α = 1 ………… (3)
વેગ υ = \(\frac{d x}{d t}\)
= \(\frac{d}{d t}\)(B sin (ωt + α))
= + B ω cos (ωt + α)
t = 0 સમયે υ = ω cm s^-1 છે.
∴ ω = + B ω cos (ω (0) + α)
∴ B cos α = 1 ………. (4)
સમીકરણ (3) અને (4) પરથી,
B²(sin²α + cos²α) = 1² + 1²
∴ B² = 2 ∴ B = √2 cm
સમીકરણ (3) અને (4)નો ગુણોત્તર લેતાં,
\(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{1}{1}\) = 1
∴ tan α = 1
∴ α = tan^-1(1)
∴ α = \(\frac{\pi}{4}\) અથવા \(\frac{5 \pi}{4}\) rad

પ્રશ્ન 8.
સ્પ્રિંગ બૅલેન્સમાં જે સ્કેલ છે તે 0થી 50 kg સુધીનો છે. સ્કેલની લંબાઈ 20 cm છે. આ કાંટા પર લટકાવવામાં આવેલ એક પદાર્થને સ્થાનાંતરિત કરીને મુક્ત કરવામાં આવે છે, તો તે 0.6sના આવર્તકાળ સાથે દોલિત થાય છે. આ પદાર્થનું વજન કેટલું હશે?
ઉકેલ:
y = 20 cm = 0.2 m, m = 50 kg, g = 9.8 m s^-2, T = 0.60 s
અહીં, સ્પ્રિંગના છેડે 50 kgનું દળ લટકાવતાં સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં 20 cm જેટલો વધારો થાય છે.
સ્પ્રિંગ-અચળાંક,
k = \(\frac{F}{y}=\frac{m g}{y}=\frac{50 \times 9.8}{0.2}\)
∴ k = 2450 N m^-1
ધારો કે, પદાર્થનું દળ M છે અને તેને સ્પ્રિંગના છેડે લટકાવતાં તે દોલન કરે છે. દોલનનો આવર્તકાળ,
T = 2π\(\sqrt{\frac{M}{k}}\)
∴ 0.60 2 × 3.14\(\sqrt{\frac{M}{2450}}\)
∴ M = (\(\frac{0.60}{2 \times 3.14}\))² × 2450
∴ M = 22.36 kg
પદાર્થનું વજન W = Mg = (22.36) (9.8)
∴ W = 219.128 N × 219 N

પ્રશ્ન 9.
આકૃતિ 14.35માં બતાવ્યા પ્રમાણે 1200 Nm^-1નો સ્પ્રિંગ-અચળાંક ધરાવતી એક સ્પ્રિંગને એક સમક્ષિતિજ ટેબલ પર ગોઠવેલ છે. આ સ્પ્રિંગના મુક્ત છેડા પર 3 kg જેટલું દ્રવ્યમાન જોડેલ છે. આ દ્રવ્યમાનને એક બાજુ 2.0 cmના અંતર સુધી ખેંચીને મુક્ત કરવામાં આવે છે.

(i) દોલનની આવૃત્તિ, (ii) દ્રવ્યમાનનો મહત્તમ પ્રવેગ અને (iii) દ્રવ્યમાનની મહત્તમ ઝડપ શોધો.
ઉકેલ:
k = 1200 N m^-1, m = 3 kg,
A = 2.0 cm = 2 × 10^-2 m

(i) દોલનની આવૃત્તિ,
v = \(\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{1200}{3.0}}\)
∴ v = 3.18 ≈ 3.2 s^-1

(ii)દોલનની કોણીય આવૃત્તિ,
ω = \(\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{1200}{3}}\) = 20 s^-1
પદાર્થનો મહત્તમ પ્રવેગ a_max = ω²A
= (20)² × 2 × 10^-2
= 8 m s^-2

(iii) પદાર્થની મહત્તમ ઝડપ,υ_max = ωA
= 20 × 2 × 10^-2
= 0.4 m s^-1

પ્રશ્ન 10.
સ્વાધ્યાય પ્રશ્ન (9)માં, ચાલો આપણે જ્યારે સ્પ્રિંગ ખેંચાયેલી ના હોય ત્યારની દ્રવ્યમાનની સ્થિતિને x = 0 લઈએ અને ડાબાથી જમણી તરફની દિશાને X-અક્ષની ધન દિશા તરીકે લઈએ. દોલન કરતાં આ દ્રવ્યમાન આપણે જ્યારે સ્ટૉપવૉચ શરૂ કરીએ (t = 0) તે ક્ષણે આ દ્રવ્યમાન
(a) મધ્યમાન સ્થાને
(b) મહત્તમ ખેંચાયેલી સ્થિતિ પર અને
(c) મહત્તમ સંકોચિત સ્થિતિ પર હોય તે દરેક કિસ્સા માટે xને tના વિધેય તરીકે દર્શાવો.
સ.આ.ગ. માટેનાં આ વિધેયો આવૃત્તિમાં, કંપવિસ્તારમાં અથવા પ્રારંભિક કળામાં બીજા કરતાં કેવી રીતે અલગ પડે છે?
દરેક કિસ્સામાં, પરિભ્રમણ કરતા કણ Pના ત્રિજ્યા સદિશના x પ્રક્ષેપને અનુરૂપ સરળ આવર્તગતિ મેળવો.
ઉકેલ:
k = 1200 N m^-1, m = 3 kg, A = 2 cm
સ.આ.ગ.ની કોણીય આવૃત્તિ,
ω = \(\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{1200}{3}}\)
∴ ω = 20 rad s^-1

(a) t = 0 સમયે પદાર્થ મધ્યમાન સ્થાનેથી ગતિની શરૂઆત કરે તે કિસ્સામાં સ.આ.ગ.નું સ્થાનાંતર,
x = A sin ωt
∴ x = 2 sin 20 t cm

(b) t = 0 સમયે પદાર્થ મહત્તમ ખેંચાયેલ સ્થિતિ પર હોય એટલે કે દોલનપથના ધન અંતિમ સ્થાન (+ A) પર હોય, તો તેની પ્રારંભિક કળા \(\frac{\pi}{2}\)rad હોય છે.
∴ x = A sin (ωt + \(\frac{\pi}{2}\))
= 2 sin (20t + \(\frac{\pi}{2}\))
અથવા x = 2 cos 20 t cm

(c) t = 0 સમયે પદાર્થ મહત્તમ સંકોચિત સ્થિતિ પર હોય ત્યારે સ્થાનાંતર A ઋણ થશે અને ગતિની પ્રારંભિક કળા \(\frac{3 \pi}{2}\) rad હશે.
∴ x = A sin (ωt + \(\frac{3 \pi}{2}\))
= 2 sin (20t + \(\frac{3 \pi}{2}\))
અથવા x = – 2 cos 20 t cm

પ્રશ્ન 11.
આકૃતિઓ 14.36 બે વર્તુળમય ગતિઓ દર્શાવે છે. પ્રત્યેક આકૃતિમાં વર્તુળની ત્રિજ્યા, પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ, પ્રારંભિક સ્થિતિ અને પરિભ્રમણ દિશા (એટલે કે ઘડિયાળના કાંટાની ગતિની દિશામાં કે ઘડિયાળના કાંટાની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં) દર્શાવવામાં આવેલ છે.
દરેક કિસ્સામાં, પરિભ્રમણ કરતાં કણ Pના ત્રિજ્યા સદિશના X-પ્રક્ષેપને અનુરૂપ સરળ આવર્તગતિ મેળવો.


ઉકેલ:

(a) આકૃતિ (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ ધારો કે, કણ t = 0 સમયે P સ્થાને અને t = t સમયે P′ સ્થાને છે. ત્રિજ્યાના સદિશ દ્વારા અંતરાતો કોણ θ,
θ = ωt = \(\frac{2 \pi}{T}\).t
પરંતુ T = 2 s છે.
∴ θ = \(\frac{2 \pi}{2}\) t = π t rad
આ કણનું X-અક્ષ પરનું સ્થાળાંતર એટલે OP’નો X-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ,
– x (t) = OP’ cos(\(\frac{\pi}{2}\) – θ) (સ્થાનાંતર Oથી ડાબી બાજુ છે.)
= 3 sin θ
∴ x (t) = – 3 sin π t cm

(b) આકૃતિ (b)માં દર્શાવ્યા મુજબ ધારો કે, કણ t સમયમાં P સ્થાનથી P′ સ્થાન પર જાય છે. આ સમય દરમિયાન ત્રિજ્યાના સદિશ દ્વારા અંતરાતો કોણ θ,
θ = ωt = \(\frac{2 \pi}{T}\).t
પરંતુ T = 4 s છે.
∴ θ = \(\frac{2 \pi}{4}\) t = \(\frac{\pi}{2}\) t rad
આ કણનું X-અક્ષ પરનું સ્થાનાંતર એટલે OP′નો X-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ,
– x (t) = OP’ cos θ
– x (t) = 2 cos \(\frac{\pi}{2}\)t
∴ x (t) = – 2 cos \(\frac{\pi}{2}\) t m

પ્રશ્ન 12.
નીચેની પ્રત્યેક સરળ આવર્તગતિ માટે અનુરૂપ સંદર્ભ વર્તુળ દોરો. કણનું પ્રારંભિક (t = 0) સ્થાન, વર્તુળની ત્રિજ્યા અને ભ્રમણ ગતિ કરતા કણની કોણીય ઝડપ દર્શાવો. સરળતા માટે ભ્રમણની દિશાને દરેક કિસ્સામાં ઘડિયાળના કાંટાની ગતિની વિરુદ્ધ લઈ શકાય છે. (x cmમાં છે અને t એ sમાં છે.)
(a ) x = – 2 sin (3t + \(\frac{\pi}{3}\))
(b) x = cos(\(\frac{\pi}{6}\) – t)
(c ) x = 3 sin (2πt + \(\frac{\pi}{4}\)
(d ) x = 2 cos π t
ઉકેલઃ
(a) x = – 2 sin (3t + \(\frac{\pi}{3}\))
= 2 cos (3t + \(\frac{\pi}{3}\) + \(\frac{\pi}{2}\))
x = 2 cos (3t + \(\frac{5 \pi}{6}\))
x = A cos (ωt + Φ₀) સાથે સરખાવતાં,
A = 2 cm, ω = 3 rad s^-1, Φ₀ = \(\frac{5 \pi}{6}\)
આ સ.આ.ગ. માટે સંદર્ભ વર્તુળ આકૃતિ (a)માં દર્શાવ્યું છે.

(b) x = cos (\(\frac{\pi}{6}\) – t) = cos (- (t – \(\frac{\pi}{6}\)))
∴ x = cos t – \(\frac{\pi}{6}\) (∵ cos (θ) = cos θ)
x = A cos (ωt + Φ₀) સાથે સરખાવતાં,
A = 1 cm, ω = 1 rad s^-1, Φ₀ = – \(\frac{\pi}{6}\) rad
આ માટેનું સંદર્ભ વર્તુળ આકૃતિ (b)માં દર્શાવ્યું છે.

(c) x = 3 sin (2πt + \(\frac{\pi}{4}\))
= 3 cos (2лt + \(\frac{3 \pi}{2}\) + \(\frac{\pi}{4}\))
= 3 cos (2лt + \(\frac{7 \pi}{4}\)
x = A cos (ωt + Φ₀) સાથે સરખાવતાં,
A = 3 cm, ω = 2π rad s ^-1,Φ₀ = \(\frac{7 \pi}{4}\) rad
આપેલ સમીકરણ માટે સંદર્ભ વર્તુળ આકૃતિ (c)માં દર્શાવેલ છે.

(d) x = 2 cos πt
x = A cos (ωt + Φ₀) સાથે સરખાવતાં,
A = 2 cm, ω = π rad s^-1, Φ₀ = 0
આ માટેનું સંદર્ભ વર્તુળ આકૃતિ (d)માં દર્શાવેલ છે.

પ્રશ્ન 13.
આકૃતિ 14.39 (a) બતાવે છે કે k બળ-અચળાંકવાળી એક સ્પ્રિંગના એક છેડાને દઢ રીતે જકડેલ છે અને તેના મુક્ત છેડા સાથે m દ્રવ્યમાન જોડેલ છે. મુક્ત છેડા પર લગાડવામાં આવતું બળ F એ સ્પ્રિંગને ખેંચે છે. આકૃતિ 14.39 (b)માં આ જ સ્પ્રિંગ બંને છેડાથી મુક્ત છે અને દ્રવ્યમાન m બંને છેડા પર જોડેલ છે. આકૃતિ 14.39 (b)માંની સ્પ્રિંગના દરેક છેડાને એકસમાન બળ F દ્વારા ખેંચવામાં આવેલ છે.


(a) આ બે કિસ્સાઓમાં સ્પ્રિંગનું મહત્તમ વિસ્તરણ કેટલું છે?
(b) જો આકૃતિ (a)માંનું દ્રવ્યમાન અને આકૃતિ (b)નાં બે દ્રવ્યમાનોને જો મુક્ત કરવામાં આવે, તો દરેક કિસ્સામાં દોલનોનો આવર્તકાળ કેટલો થશે?
ઉત્તર :
(a) આકૃતિ (a)માં દર્શાવ્યા અનુસાર સ્પ્રિંગના એક છેડાને ડિત આધાર સાથે બાંધેલ છે. અહીં, સ્પ્રિંગનું મહત્તમ વિસ્તરણ એટલે દળ mનું મહત્તમ સ્થાનાંતર. પદાર્થ પર બળ F લાગતાં મહત્તમ સ્થાનાંતર x હોય, તો
F = kx
∴ સ્પ્રિંગનું મહત્તમ વિસ્તરણ x = \(\frac{F}{k}\)
જ્યાં, k એ સ્પ્રિંગ-અચળાંક છે.
આકૃતિ (b)માં m દળ પર બળ F લગાડતાં, બીજું દળ m સ્થિર છે તે રીતે વર્તે છે. આથી આ કિસ્સામાં સ્પ્રિંગનું મહત્તમ વિસ્તરણ x = \(\frac{F}{k}\)

(b) આકૃતિ (a)માં પદાર્થ પર બળ લગાડતાં સ્પ્રિંગમાં પુનઃસ્થાપક બળ, F = – kx ઉત્પન્ન થાય છે.
અહીં, F ∝ – x હોવાથી પદાર્થ સરળ આવર્તગતિ કરશે.
આ ગતિનો આવર્તકાળ,
T = 2π\(\sqrt{\frac{m}{k}}\)
આકૃતિ (b)માં દર્શાવેલ સ્પ્રિંગને બે સ્પ્રિંગના તંત્ર તરીકે લઈ શકાય. દરેક સ્પ્રિંગની લંબાઈ \(\frac{l}{2}\) છે અને બંનેને મધ્યબિંદુ O પાસે જોડેલ છે. આ દરેક સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ-અચળાંક k’ = 2k થશે. (કારણ કે સ્પ્રિંગ માટે kl = અચળ છે.)
આથી આ તંત્રના દોલનનો આવર્તકાળ,
T = 2π\(\sqrt{\frac{m}{k^{\prime}}}\) = 2π\(\sqrt{\frac{m}{2 k}}\)

પ્રશ્ન 14.
એક એન્જિનના સિલિન્ડર હેડમાં પિસ્ટન 1.0 mનો સ્ટ્રોક કંપવિસ્તાર કરતાં બમણી) ધરાવે છે. જો પિસ્ટન 200 rad/minની ોણીય આવૃત્તિ સાથે સરળ આવર્તગતિ કરે છે, તો તેની મહત્તમ ડપ કેટલી છે?
ઉકેલ:
A = \(\frac{1}{2}\) m, ω = 200 rad/min
∴ પિસ્ટનની મહત્તમ ઝડપ υ_max = ωA
= (200)(\(\frac{1}{2}\))
= 100 m/min
અથવા υ_max = 100 × \(\frac{1}{60}\) = 1.67 m/s

પ્રશ્ન 15.
ચંદ્રની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ 1.7 m s^-2 છે. એક સાદા લોલકનો પૃથ્વીની સપાટી પરનો આવર્તકાળ 3.5 s હોય, તો ચંદ્રની સપાટી પર આવર્તકાળ કેટલો હશે? (પૃથ્વીની સપાટી પરg = 9.8 m s^-2 છે.)
ઉકેલ:
ચંદ્ર ૫૨ ગુરુત્વપ્રવેગ g_m = 1.7 m s^-2
પૃથ્વી પર ગુરુત્વપ્રવેગ g = 9.8 m s^-2
પૃથ્વી પર લોલકનો આવર્તકાળT = 3.5 s
ચંદ્ર પર લોલકનો આવર્તકાળ T_m = ?
હવે, T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g}}\) અને T_m = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g_m}}\)
∴ \(\frac{T_{\mathrm{m}}}{T}=\sqrt{\frac{g}{g_{\mathrm{m}}}}\)
∴ ચંદ્ર પર આવર્તકાળ T_m = \(\sqrt{\frac{g}{g_{\mathrm{m}}}}\) × T
= \(\sqrt{\frac{9.8}{1.7}}\) × 3.5
∴ T_m = 8.4 s

પ્રશ્ન 16.
નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો :
(a) SHMમાં કણનો આવર્તકાળT = 2π \(\sqrt{\frac{m}{k}}\) એ બળ- અચળાંક k અને કણના દ્રવ્યમાન m પર આધાર રાખે છે.
એક સાદું લોલક લગભગ સ.આ.ગ.માં હોય છે. તેમ છતાં શા માટે લોલકનો આવર્તકાળ એ લોલકના દ્રવ્યમાનથી સ્વતંત્ર છે?
(b) નાના કોણનાં દોલનો માટે સાદા લોલકની ગતિ લગભગ સરળ આવર્ત છે. કંપનના મોટા ખૂણા માટે વધુ સંલગ્ન વિશ્લેષણ બતાવે છે કે T એ 2π \(\sqrt{\frac{l}{g}}\) થી મોટો છે. આ પરિણામને સમજવા માટે કોઈ ગુણાત્મક દલીલ વિચારો.
(c) હાથ પર કાંડા ઘડિયાળ પહેરેલ માણસ એક ટાવરની ટોચ પરથી નીચે પડે છે. શું આ ઘડિયાળ મુક્તપતન દરમિયાન સાચો સમય બતાવશે?
(d) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્તપતન કરતાં કૅબિનમાં જિડત કરેલ સાદા લોલકના દોલનની આવૃત્તિ કેટલી હશે?
ઉત્તર:
(a) સાદા લોલક માટે બળ-અચળાંક,
k = \(\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}\) એટલે કે, k ∝ m
∴ T = 2π \(\sqrt{\frac{m}{k}}\) = 2π \(\)
∴ T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g}}\)
આમ, T ના સમીકરણમાં kનું મૂલ્ય મૂકતા દળ mનો છેદ ઊડી જાય છે. આથી સાદા લોલકનો આવર્તકાળ, દળ mથી સ્વતંત્ર છે.

(b) સાદા લોલકમાં લોલકનો પ્રવેગ,
a = – g sin θ
જો θ નાનો હોય, તો sin θ ≈ θ અને a = – gθ.
પરંતુ જો θ મોટો હોય, તો sin θ < θ, જેને લીધે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય ઘટે છે. આથી આવર્તકાળ T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g}}\) અનુસાર વધે છે.

(c) હા,મુક્તપતન દરમિયાન કાંડા ઘડિયાળ સાચો સમય દર્શાવશે. આ પ્રકારની ઘડિયાળ સ્પ્રિંગના સિદ્ધાંત પર કાર્યરત હોય છે. જેને ગુરુત્વપ્રવેગ સાથે કોઈ સંબંધ નથી. પરંતુ જો લોલક પ્રકારની ઘડિયાળ હોય, તો તે ખોટો સમય દર્શાવશે.

(d) જ્યારે કૅબિન a જેટલા પ્રવેગથી નીચે ઊતરે ત્યારે લોલક પર આભાસી બળ ઉપરની તરફ લાગે છે. આથી લોલકનો અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ,
g_ff = g – a
∴ લોલકનો આવર્તકાળT = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g-a}}\)
આ કિસ્સામાં લોલકનાં દોલનો ધીમાં પડે છે.
હવે, જો કૅબિન મુક્તપતન કરતી હોય, તો a = g થાય.
∴ T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g-g}}\) = 2π \(\sqrt{\frac{l}{0}}\) = ∞
આથી લોલકની આવૃત્તિ υ = \(\frac{1}{T}=\frac{1}{\infty}\) = 0
એટલે કે લોલક દોલન કરશે નહિ.

પ્રશ્ન 17.
l લંબાઈનાં અને M દ્રવ્યમાનનો બૉબ (ગોળો) ધરાવતાં એક સાદા લોલકને કારમાં લટકાવવામાં આવે છે. આ કાર નિયમિત ગતિ સાથે R ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરી રહી છે. જો લોલક તેની સંતુલન સ્થાનને અનુલક્ષીને ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં નાનાં દોલનો કરે, તો તેનો આવર્તકાળ શું હશે?
ઉકેલ:
જ્યારે કાર વર્તુળાકાર પથ ૫૨ ગતિ કરે છે ત્યારે કારમાં રહેલા લોલકનો ગોળો બે પ્રકારના પ્રવેગ હેઠળ દોલન કરે છે.
(i) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ a_c = \(\frac{v^2}{R}\), જે સમક્ષિતિજ દિશામાં હોય છે.
(ii) ગુરુત્વાકર્ષણને લીધે પ્રવેગ = g, જે અધોદિશામાં છે.
આથી ગોળાનો અસરકારક પ્રવેગ,
g’ = \(\sqrt{g^2+a_{\mathrm{c}}^2}\)
= \(\sqrt{g^2+\frac{v^4}{R^2}}\)
∴ લોલકનો આવર્તકાળ,
T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g^{\prime}}}\)
= 2π \(\sqrt{\frac{l}{\left(g^2+\frac{v^4}{R^2}\right)^{\frac{1}{2}}}}\)

પ્રશ્ન 18.
A પાયાનું ક્ષેત્રફળ અને h ઊંચાઈનો કૉર્કનો એક નળાકાર ટુકડો ρ₁ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં તરે છે. આ કૉર્કને સહેજ ડુબાડીને પછી મુક્ત કરવામાં આવે છે. બતાવો કે આ કૉર્ક ઉપર-નીચે સરળ આવર્તદોલનો કરશે જેનો આવર્તકાળ હશે,
T = 2π\(\sqrt{\frac{h \rho}{\rho_1 g}}\)
જ્યાં ρ એ કૉર્કની ઘનતા છે. (પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતાને કારણે થતાં અવમંદનો અવગણો.)
ઉકેલ:
નળાકારની ઊંચાઈ = h
નળાકારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ = A
પ્રવાહીની ઘનતા = ρ₁
કૉર્કની ઘનતા = ρ

ધારો કે, નળાકારને y જેટલો દબાવતાં તે yA કદનું વધારે પ્રવાહી વિસ્થાપિત કરશે. આ વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું દળ,
m = Vρ₁ = yAρ₁

• વિસ્થાપિત થતા પ્રવાહી દ્વારા નળાકાર ઉપરનું ઉલ્લ્લાવક બળ = વિસ્થાપિત થતા પ્રવાહીનું વજન
  ∴ F = mg
  = (yAρ₁) g
  ∴ F = ky ………… (1)
  જ્યાં, k = Aρ₁g = અચળ ………….. (2)
  આમ, નળાકાર પરનું બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં અને સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં (ઊર્ધ્વદિશામાં) હોવાથી નળાકાર
  સ.આ.ગ. કરે છે.
• આ સ.આ.ગ.નો આવર્તકાળ,
  T = 2π\(\sqrt{\frac{M}{k}}\) ……… (3)
  જ્યાં, M = નળાકારનું દળ = કદ × ઘનતા
  ∴ M = (Ah) (ρ) = Ahρ …………. (4)
  સમીકરણ (2), (3) અને (4) પરથી,
  T = 2π\(\sqrt{\frac{A h \rho}{A \rho_1 g}}\) = 2π\(\sqrt{\frac{h \rho}{\rho_1 g}}\)

પ્રશ્ન 19.
પારો ધરાવતી એક U-ટ્યૂબનો એક છેડો એક શોષક (સક્શન) પંપ અને બીજો છેડો વાતાવરણમાં છે. બે કૉલમ વચ્ચે નાનો દબાણ તફાવત જાળવવામાં આવે છે. બતાવો કે, જ્યારે સક્શન પંપ દૂર કરવામાં આવે છે, તો U-ટ્યૂબમાં પારાનો સ્તંભ સરળ આવર્તગતિ કરે છે.

ઉકેલ:
જ્યારે સક્શન પંપ દૂર કરવામાં આવે ત્યારે U-ટ્યૂબના એક ભુજામાં પ્રવાહી y જેટલું સ્થાનાંતર નીચે તરફ થશે. બીજી ભુજામાં પ્રવાહીનું પુ જેટલું સ્થાનાંતર ઉ૫૨ તરફ થશે.
∴ આકૃતિ 14.42માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે બંને ભુજાઓમાં પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીઓ વચ્ચે ઊંચાઈનો તફાવત = 2y
∴ 2y ઊંચાઈના પ્રવાહીના સ્તંભથી ઉદ્ભવતું દબાણ P =2uρg
જ્યાં, ρ = પ્રવાહીની ઘનતા, g = ગુરુત્વપ્રવેગ
આ દબાણને કારણે ઉદ્ભવતું બળ F = PA
∴ F = 2yρgA = (2ρgA)y
∴ F ∝ y (∵ ρ, g અને A અચળ છે.)
વળી, આ બળ સ્થાનાંતર yની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું હોવાથી
F∝-y.
∴ દોલનો સરળ આવર્ત પ્રકારનાં છે.
દોલનનો આવર્તકાળ :
F = (2ρ g A) y = ky
અહીં, k = 2 ρgA
સરળ આવર્તદોલકનો આવર્તકાળ,
T = 2π\(\sqrt{\frac{m}{k}}\) = 2π\(\sqrt{\frac{\rho \times(A \times 2 L)}{2 \rho g A}}\) [∵ m = 2L ઊંચાઈના પ્રવાહીના સ્તંભનું દળ ∴ m = ρV = ρ (A × 2L)]
∴ T = 2π\(\sqrt{\frac{L}{g}}\)

પ્રશ્ન 20.
V કદની એક ચૅમ્બરની ગ્રીવાના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ A છે. જેમાં m દ્રવ્યમાનનો એક બૉલ ફિટ (ચુસ્ત) થઈ જાય છે અને કોઈ પણ ઘર્ષણ વિના ઉપર-નીચે ગતિ કરી શકે છે. (આકૃતિ 14.43) એમ બતાવો કે બૉલને થોડોક નીચે દબાવીને મુક્ત કરતાં તે સ.આ.ગ. કરે છે. હવાના દબાણ-કદ બદલાવને સમતાપી (Isothermal) ગણીને દોલનોના આવર્તકાળ માટેનું સૂત્ર મેળવો.

ઉકેલ:

V = ચૅમ્બરમાં રહેલી હવાનું કદ
A = ચૅમ્બરની neckના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ
m = બૉલનું દળ
પ્રારંભમાં બૉલ એ C સ્થાને સંતુલિત સ્થિતિમાં છે. બૉલ પર સામાન્ય દબાણ આપતાં તે D સ્થાને જાય છે અને ત્યારબાદ ઉપર-નીચે તરફ દોલન કરે છે.

• બૉલ પર દબાણ લગાડતાં તે y જેટલું સ્થાનાંતર નીચેની તરફ કરે છે. આથી ચૅમ્બરમાંની હવાના કદમાં ફેરફાર ΔV = Ay જેટલો થાય છે. જો હવાના દબાણમાં થતો ફેરફાર ΔP હોય, તો હવાનો બલ્ક મૉડ્યુલસ,
  B = – \(\frac{\Delta P}{\Delta V / V}\) = – \(\frac{\Delta P}{A y / V}\)
  ∴ ΔP = – \(\frac{B A}{V}\) y
  ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે દબાણ વધતા હવાના કદમાં ઘટાડો થાય છે.
  બૉલ પરનું પુનઃસ્થાપક બળ,
  F = દબાણ × ક્ષેત્રફળ = ΔP × A
  = – \(\frac{B A^2}{V}\) . y
  અહીં, F ∝ y અને તે વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. આથી બૉલ સ.આ.ગ. કરશે.
  F = – k y = – \(\frac{B A^2}{V}\) . y
  ∴ k = \(\frac{B A^2}{V}\)
  દોલનનો આવર્તકાળ,
  T = 2π\(\sqrt{\frac{m}{k}}\) = 2π\(\sqrt{\frac{m}{B A^2 / V}}\)
  ∴ T = 2π\(\sqrt{\frac{m V}{B A^2}}\).
• હવામાં ફેરફાર સમતાપી હોય, તો B = P
  ∴ T = 2π\(\sqrt{\frac{m V}{P A^2}}\) (સમતાપી ફેરફાર માટે)
• હવામાં ફેરફાર સમોષ્મી હોય, તો B = γ · P
  ∴ T = 2π\(\sqrt{\frac{m V}{\gamma P A^2}}\) (સમોષ્મી ફેરફાર માટે)

પ્રશ્ન 21.
3000 kgના વાહનમાં તમે સવારી કરી રહ્યાં છો. એમ ધારીને કે તમે તેની સસ્પેન્શન સિસ્ટમનાં દોલનોની લાક્ષણિકતાની તપાસ કરી રહ્યાં છો. આ સસ્પેન્શન 15 cm દબાય છે, જ્યારે સમગ્ર વાહન તેના પર મૂકવામાં આવે છે. ઉપરાંત એક સંપૂર્ણ દોલન દરમિયાન કંપવિસ્તારમાં 50 % જેટલો ઘટાડો થાય છે. (a) સ્પ્રિંગ-અચળાંક અને (b) દરેક પૈડું 750 kgને આધાર આપે છે, એમ ધારીને સ્પ્રિંગ અને એક પૈડાના આંચકા શોષક તંત્ર માટે અવમંદન અચળાંક b શોધો.
ઉકેલ:
વાહનનું દળ M = 3000 kg, x = 15 cm = 0.15m.
(a) ધારો કે, કોઈ એક પૈડા પરની સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ-અચળાંક છે. જ્યારે સ્પ્રિંગ x જેટલી દબાય છે ત્યારે તેમાં ઉત્પન્ન
થતું પુન:સ્થાપક બળ,
F = – kx
દરેક પૈડું m = 750 kgનો આધાર આપે છે.
∴ F = – mg
∴ – kx = – mg
∴ k = \(\frac{m g}{x}\)
∴ k = \(\frac{750 \times 9.8}{0.15}\) = 4.9 × 10⁴ ≈ 5 × 10⁴Nm^-1

(b) સ્પ્રિંગ અને આંચકા શોષક તંત્રનો અવમંદન ગુણાંક b હોય, તો અવમંદિત દોલનોનો કંપવિસ્તાર,
A (t) = Ae^{– bt/2m}
દોલનના એક આવર્તકાળ (T) દરમિયાન કંપવિસ્તાર અડધો
થાય છે. A (t) = \(\frac{A}{2}\)

સમીકરણ (1)માં Tનું મૂલ્ય મૂકતાં,
b = \(\frac{\log _e 2 \times 2 \times 750}{0.77}\)
∴ b = 1350.4 kg s^-1

પ્રશ્ન 22.
બતાવો કે, રેખીય સ.આ.ગ.માં કણના દોલનની કોઈ પણ અવિધ માટે સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા એ તે જ અવિધ માટેની સરેરાશ સ્થિતિ-ઊર્જાને સમાન હોય છે.
ઉકેલ:
ધારો કે, m દળનો કણ સ.આ.ગ. કરે છે. આ ગતિનો કંપવિસ્તાર A અને કોણીય આવૃત્તિ ω છે. t સમયે આ કણનું સ્થાનાંતર,
y = A sin ωt
કણનો વેગ, υ = \(\frac{d y}{d t}\) = Aω cos ωt
કણની ગતિ-ઊર્જા K = \(\frac{1}{2}\) m υ²
= \(\frac{1}{2}\) m(Aω cos ωt)²
∴ K = \(\frac{1}{2}\) mA²ω²cos²ωt
કણની સ્થિતિ-ઊર્જા U = \(\frac{1}{2}\)ky²
= \(\frac{1}{2}\) K (A sin ωt)²
= \(\frac{1}{2}\) KA² sin² ωt
∴ U = \(\frac{1}{2}\) mω²A² sin² ωt (∵ k = mω²)
એક આવર્તકાળ દરમિયાન કણની સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા :

એક આવર્તકાળ દરમિયાન કણની સરેરાશ સ્થિતિ-ઊર્જા :

સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
K_av = U_av

પ્રશ્ન 23.
10 kg દ્રવ્યમાનની એક વર્તુળાકાર તકતી તેના કેન્દ્રથી જોડેલ તાર દ્વારા લટકાવવામાં આવેલ છે. આ તકતીને ઘુમાવીને તારમાં વળ ચડાવી તેને મુક્ત કરવામાં આવે છે. આ વળ (ટૉર્શનલ) દોલનોનો આવર્તકાળ 1.5s છે. આ તકતીની ત્રિજ્યા 15 cm છે. આ તારનો ટૉર્શનલ સ્પ્રિંગ-અચળાંક નક્કી કરો. (α એ ટૉર્શનલ સ્પ્રિંગ-અચળાંક છે, જે સંબંધ J = – αθ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. જ્યાં, J પુનઃસ્થાપક બળ-યુગ્મ અને θ એ વળ-કોણ છે.)
ઉકેલ:
m = 10 kg, R = 15 cm = 0.15 m,
T = 1.5 s, α = ?
તકતીની જડત્વીય ચાકમાત્રા I = \(\frac{1}{2}\)mR²
= \(\frac{1}{2}\) × 10 × (0.15)²
= 0.1125 kg m²
વળ લોલકનો આવર્તકાળ T = 2π\(\sqrt{\frac{I}{\alpha}}\)
∴ T² = 4π² . \(\frac{I}{\alpha}\)
∴ α = \(\frac{4 \pi^2}{T^2}\) × I = \(\frac{4 \pi^2 \times 0.1125}{(1.5)^2}\)
∴ α = 1.97 N m rad^-1
≈ 2 N m rad^-1

પ્રશ્ન 24.
એક પદાર્થ 5 cmના કંપવિસ્તાર અને 0.2 sના આવર્તકાળ સાથે સરળ આવર્તગતિ કરે છે. જ્યારે સ્થાનાંતર (a) 5 cm (b) 3 cm (c ) 0 cm હોય, ત્યારે પદાર્થના પ્રવેગ અને વેગ શોધો.
ઉકેલ:
A = 5 cm = 0.05 m, T = 0.2 s
ω = \(\frac{2 \pi}{T}=\frac{2 \pi}{0.2}\) 10π rads^-1
દોલન કરતા કણનો પ્રવેગ a = – ω²y
દોલન કરતા કણનો વેગ υ = ω\(\sqrt{A^2-y^2}\)

(a) y = 5 cm = 0.05 m માટે,
પ્રવેગ a = – ω²y
= – (10π)² × 0.05
= – 5π² ms^-2
વેગ υ = ω\(\sqrt{A^2-y^2}\)
= 10π\(\sqrt{(0.05)^2-(0.05)^2}\)
= 0

(b) y = 3 cm = 0.03 m માટે,
પ્રવેગ a = – ω²y
= – (10π)² × 0.03
= – 3π²m s^-2
વેગ υ = ω\(\sqrt{A^2-y^2}\)
= 10π\(\sqrt{(0.05)^2-(0.03)^2}\)
= 0.4π ms^-1

(c) y = 0 cm = 0 m માટે,
પ્રવેગ a = – ω²y
= – (10π)² × 0
= 0
વેગ υ = ω\(\sqrt{A^2-y^2}\)
= 10π\(\sqrt{(0.05)^2-(0)^2}\)
= 0.5π m s^-1

પ્રશ્ન 25.
કોઈ એક સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ દ્રવ્યમાન સમક્ષિતિજ સમતલમાં કોણીય વેગ ω સાથે ઘર્ષણ કે અવમંદન રહિત દોલનો માટે મુક્ત છે. તેને t = 0 એ, x₀ અંતર સુધી ખેંચવામાં આવે છે અને કેન્દ્ર તરફ υ₀ વેગથી ધક્કો મારવામાં આવે છે. પ્રાચલો ω, x₀ અને υ₀ના પદમાં પરિણામી દોલનોના કંપવિસ્તાર નક્કી કરો.
(સૂચન : સમીકરણ x = a cos (ωt + Φ) સાથે શરૂઆત કરો અને નોંધ કરો કે, પ્રારંભિક વેગ ઋણ છે.)
ઉકેલઃ
સ.આ.ગ.નું સૂત્ર,
x = A cos (ωt + Φ)
t = 0 સમયે, x = x₀ છે.
∴ x₀ = A cos (ω(0) + Φ)
∴ x₀ = A cos Φ ………… (1)
વેગ, υ = \(\frac{d x}{d t}=\frac{d}{d t}\) (A cos (ωt + Φ))
∴ υ = – Aω · sin (ωt + Φ)
t = 0 સમયે, υ = – υ₀
∴ – υ₀ = – Aω sin(ω(0) + Φ)
∴ \(\frac{v_0}{\omega}\) = a sin Φ ……….. (2)
સમીકરણ (1) અને (2)નો વર્ગ કરી સરવાળો કરતાં,