GSEB Solutions Class 11 Physics Chapter 11 દ્રવ્યના ઉષ્મીય ગુણધર્મો

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 11 દ્રવ્યના ઉષ્મીય ગુણધર્મો Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 11 દ્રવ્યના ઉષ્મીય ગુણધર્મો

GSEB Class 11 Physics દ્રવ્યના ઉષ્મીય ગુણધર્મો Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
નીયૉન અને કાર્બન ડાયૉક્સાઇડનાં ત્રિબિંદુ અનુક્રમે 24.57 K અને 216.55 K છે. આ તાપમાન મૂલ્યોને સેલ્સિયસ અને ફેરનહીટ માપક્રમમાં દર્શાવો.
ઉકેલ:
કેલ્વિન (K) એકમમાં તાપમાન, T = t_C + 273.15
\(\frac{t_{\mathrm{F}}-32}{180}=\frac{t_{\mathrm{C}}}{100}\) સૂત્ર પરથી ફેરનહીટ એકમમાં તાપમાન,
t_F = 32 + \(\frac{9}{5}\)t_C

પ્રશ્ન 2.
બે નિરપેક્ષ માપક્રમ A અને B પર પાણીનું ત્રિબિંદુ 200 A અને 350 B દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરેલ છે, તો T_A અને T_B વચ્ચે શું સંબંધ હોઈ શકે? પાણીનું ત્રિબિંદુ આગળનું તાપમાન 273.16 K છે.
ઉકેલ:
અહીં, નિરપેક્ષ માપક્રમ A પર પાણીનું ત્રિબિંદુ આગળનું તાપમાન = 200 A છે. (જ્યાં, A એકમ) નિરપેક્ષ માપક્રમ B પર પાણીનું ત્રિબિંદુ આગળનું તાપમાન = 350 B છે. (જ્યાં, B = એકમ)
કેલ્વિન માપક્રમ પર પાણીનું ત્રિબિંદુ આગળનું તાપમાન = 273.16 K (જ્યાં, K = એકમ)
હવે, નિરપેક્ષ માપક્રમ A પર પાણીનું ત્રિબિંદુ આગળનું તાપમાન 200 A, નિરપેક્ષ માપક્રમ B પર પાણીનું ત્રિબિંદુ આગળનું તાપમાન 350 B અને કેલ્વિન માપક્રમ પર પાણીનું ત્રિબિંદુ આગળનું તાપમાન 273.16 K છે. આ ત્રણેય એકસમાન છે, કારણ કે તેઓ પાણીના ત્રિબિંદુ આગળનાં તાપમાન છે, ભલે તેમના એકમ અલગ અલગ હોય.
∴ 200 A = 350 B = 273.16 K લખાય.
∴ 1 A = \(\frac{273.16 \mathrm{~K}}{200}\)
(જે નિરપેક્ષ સ્કેલ A પર 1 K તાપમાનનો વિસ્તાર છે.)
અને 1 B = \(\frac{273.16 \mathrm{~K}}{350}\)
(જે નિરપેક્ષ સ્કેલ B પર 1K તાપમાનનો વિસ્તાર છે.)
તેથી તાપમાન T_Aનું નિરપેક્ષ માપક્રમ A પરનું મૂલ્ય (વિસ્તાર) = \(\frac{273.16 \mathrm{~K}}{200}\) × T_A અને
તાપમાન T_Bનું નિરપેક્ષ માપક્રમ B પરનું મૂલ્ય (વિસ્તાર) \(\frac{273.16 \mathrm{~K}}{350}\) × T_B
પરંતુ જો T_A અને T_B અનુક્રમે A અને B માપક્રમ પરના ત્રિબિંદુ આગળનાં તાપમાનો હોય, તો
\(\frac{273.16}{200}\) × T_A = \(\frac{273.16}{350}\) × T_B
∴ T_A = \(\frac{200}{350}\) T_B
∴ T_A = \(\frac{4}{7}\) T_B

પ્રશ્ન 3.
કેટલાક થરમૉમિટરનો વિદ્યુતીય અવરોધ ઓહ્મમાં તાપમાન સાથે નીચે દર્શાવેલ અંદાજિત નિયમ અનુસાર બદલાય છે :
R = R₀ [1 + α(T – T₀)]
પાણીના ત્રિબિંદુ(273.16 K)એ થરમૉમિટરનો અવરોધ 101,6 Ω અને સીસાના સામાન્ય ગલનબિંદુ (600.5 K) પર અવરોધ 165.5 Ω છે, તો થરમૉમિટરનો અવરોધ 123.4 Ω હોય ત્યારે તેનું તાપમાન કેટલું હશે?
ઉકેલ:
અહીં, R₀ = 101.6 Ω અને T₀ = 273.16 K
કિસ્સો 1 : R₁ = 165.5 Ω અને T₁ = 600.5 K
કિસ્સો 2 : R₂ = 123.4 Ω અને T₂ = ?

કિસ્સા 1 માટે આપેલ સૂત્ર R = R₀[1 + α (T – T₀)] વાપરતાં,
165.5 = 101.6 [1 + α (600.5 – 273.16)]
= 101.6 + 101.6 α × (327.34)
∴ α = \(\frac{165.5-101.6}{101.6 \times(327.34)}\)
= \(\frac{63.9}{33257.74}\)
= 0.001921
= 1.921 × 10^-3K^-1

કિસ્સા 2 માટે R = R₀ [1 + α (T – T₀)] સૂત્ર વાપરતાં,
123.4 = 101.6[1 + 1.921 × 10^-3 (T₂ – 273.16)]
123.4 = 101.6 + 101.6 × 1.921 × 10^-3 (T₂ – 273.16)
∴ 195.17 × 10_-3 (T₂ – 273.16) = 21.8
∴ T₂ – 273.16 = \(\frac{21.8}{195.17 \times 10^{-3}}\)
= 0.1117 × 10³
= 111.7
∴ T₂ = 111.7273.16
∴ T₂ = 384.86 K

પ્રશ્ન 4.
નીચેનાના જવાબ આપો :
(a) આધુનિક થરમૉમેટ્રીમાં પાણીનું ત્રિબિંદુ પ્રમાણિત નિયત- બિંદુ છે. શા માટે? બરફનું ગલનબિંદુ અને પાણીના ઉત્કલનબિંદુને પ્રમાણભૂત નિયતબિંદુ સ્વીકારવામાં (જેમ મૂળ સેલ્સિયસ માપક્રમમાં સ્વીકારેલ) ખોટું શું છે?
(b) ઉપર દર્શાવ્યા મુજબ મૂળ સેલ્સિયસ માપક્રમમાં બે નિયતબિંદુઓને અનુરૂપ નક્કી કરેલ સંખ્યાઓ અનુક્રમે 0°C અને 100°C છે. નિરપેક્ષ માપક્રમ પર બેમાંથી એક નિયતબિંદુ પાણી માટેનું ત્રિબિંદુ લેવામાં આવે છે. જેમાં કેલ્વિન પ્રમાણભૂત માપક્રમ પર તેને અનુરૂપ સંખ્યા 273.16K નક્કી કરેલ છે. આ માપક્રમ પર (કેલ્વિન) બીજું નિયતબિંદુ શું હશે?
(c ) નિરપેક્ષ તાપમાન (કેલ્વિન માપક્રમ) Tનો સેલ્સિયસ માપક્રમ તાપમાન t_C સાથેનો સંબંધ નીચે મુજબ છેઃ
t_C = T – 273.15
શા માટે આપણે આ સંબંધમાં 273.16ને બદલે 273.15 લીધા છે?
(d) નિરપેક્ષ માપક્રમ પર પાણીના ત્રિબિંદુ માટે એવું કયું તાપમાન છે કે જેના માટે એકમ ગાળાનું પરિમાણ, ફેરનહીટ માપક્રમ પરના એકમ ગાળાના પરિમાણ જેટલું જ હશે?
ઉત્તર:
(a) પાણીનું ત્રિબિંદુ એ પ્રમાણિત નિયતબિંદુ છે, કારણ કે તે એક નિશ્ચિત તાપમાને અને નિશ્ચિત દબાણે જ મળે છે અને તેનું મૂલ્ય અનન્ય (Unique) છે.

જ્યારે પાણીનું ઉત્કલનબિંદુ અને ગલનબિંદુ દબાણ પર આધારિત છે. તેથી જો દબાણ બદલાય, તો તેમનાં મૂલ્યો બદલાય છે. સાથે સાથે તેઓ પાણીમાં અશુદ્ધિ ઉમેરાય, તોપણ બદલાઈ જાય છે.
તેથી આધુનિક થરમૉમેટ્રીમાં પાણીના ત્રિબિંદુને પ્રમાણિત નિયતબિંદુ તરીકે લેવામાં આવે છે.

(b) કેલ્વિન પ્રમાણભૂત માપક્રમ પર, સેલ્સિયસ માપક્રમની જેમ જ બે નિશ્ચિત (નિયત) બિંદુઓ છે.
બીજું નિશ્ચિત (નિયત) બિંદુ એ નિરપેક્ષ શૂન્ય છે, કારણ કે આ તાપમાને વાયુનું દબાણ અને કદ બંને શૂન્ય થાય છે.

(c) પાણીનું ત્રિબિંદુ આગળનું કેલ્વિન માપક્રમ પરનું તાપમાન 273.16 Kછે અને સેલ્સિયસ માપક્રમ પરનું તાપમાન 0.01 °C છે, પણ 0°C નથી.

t_C = T – 273.15 (જ્યાં, t_C સેલ્સિયસ તાપમાન અને T કેલ્વિન તાપમાન છે.) સંબંધમાં 273.15 K એ નિરપેક્ષ શૂન્ય છે, કારણ કે આ સંબંધમાં T = 273.15 K લેતાં t_C = 0°C મળે છે. અર્થાત્ 0°C = 273.15 K છે. જો t_C = T – 273.15 સંબંધમાં 273.15ની જગ્યાએ 273.16 લેવામાં આવે, તો સેલ્સિયસ માપક્રમ પર પાણીનું ત્રિબિંદુ આગળનું તાપમાન t_C = 273.16 – 273.16 = 0°C થાય, જે પ્રાયોગિક હકીકતથી વિપરીત છે.

∴ t_C = T (કેલ્વિનમાં) – 273.15 સંબંધ (સૂત્ર) પરથી, સેલ્સિયસ માપક્રમ પર પાણીનું ત્રિબિંદુ આગળનું તાપમાન = 273.16 – 273.15 = 0.01 °C મળે, જે પ્રાયોગિક હકીકતને અનુરૂપ છે.

આમ, સાબિત થાય છે કે, નિરપેક્ષ તાપમાન (કેલ્વિન માપક્રમ) Tનો સેલ્સિયસ માપક્રમ તાપમાન t_C સાથેનો સાચો સંબંધ t_C = T – 273.15 છે.

(d) \(\frac{t_{\mathrm{F}}-32}{180}=\frac{t_{\mathrm{c}}}{100}\) અને t_C = T_K – 273.15 સૂત્રો પરથી ફેરનહીટ માપક્રમ અને નિરપેક્ષ (કેલ્વિન) માપક્રમ પર તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે :
\(\frac{t_{\mathrm{F}}-32}{180}=\frac{T_{\mathrm{K}}-273.15}{100}\) ………… (1)
કોઈ બીજા તાપમાન માટે,
\(\frac{t_{\mathrm{F}}^{\prime}-32}{180}=\frac{T_{\mathrm{K}}^{\prime}-273.15}{100}\) …………. (2)
સમીકરણ (2)માંથી સમીકરણ (1) બાદ કરતાં,
\(\frac{t_{\mathrm{F}}^{\prime}-t_{\mathrm{F}}}{180}=\frac{T_{\mathrm{K}}^{\prime}-T_{\mathrm{K}}}{100}\)
∴ t’_F – t_F = \(\frac{180}{100}\) (T’_K – T_K)
નિરપેક્ષ (કેલ્વિન) માપક્રમ પર એકમ ગાળાની લંબાઈ (પરિમાણ) માટે એટલે કે,
T’_K – T_K = 1 K માટે
t’_F – t_F = \(\frac{180}{100}\) × 1
= \(\frac{9}{5}\)
∴ નવા નિરપેક્ષ માપક્રમ પર પાણીના ત્રિબિંદુ આગળનું તાપમાન
= 273.16 × \(\frac{9}{5}\) = 491.69

પ્રશ્ન 5.
બે આદર્શ વાયુ, થરમૉમિટર A અને Bમાં અનુક્રમે ઑક્સિજન અને હાઇડ્રોજનનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. મળતાં અવલોકનો નીચે મુજબ છે :

તાપમાન	દબાણ થરમૉમિટર A	દબાણ થરમૉમિટર B
પાણીનું ત્રિબિંદુ	1.250 × 105 Pa	0.200 × 105 Pa
સલ્ફરનું સામાન્ય ગલનબિંદુ	1.797 × 105 Pa	0.287 × 105 Pa

(a) સલ્ફરનું સામાન્ય ગલનબિંદુનું નિરપેક્ષ તાપમાન, થરમૉમિટર A અને Bના વાંચન મુજબ શું હશે?
(b) થરમૉમિટર A અને Bના જવાબમાં થોડો તફાવત હોવાનું કારણ તમારા મંતવ્ય મુજબ શું હોઈ શકે? (બંને થરમૉમિટર
ક્ષતિ રહિત છે.) બંને વાંચનાંકો વચ્ચેની વિસંગતતા ઘટાડવા માટે આ પ્રયોગમાં કઈ પદ્ધતિ (કાર્યપ્રણાલી) જરૂરી છે?
ઉત્તર:
(a) ‘અચળા કદ વાયુ થરમૉમિટર’ વડે દર્શાવેલ આપેલ પદાર્થનું (દા. ત., પ્રવાહીનું) તાપમાન નીચેના સૂત્ર પરથી મળે છે :
T = T_tr × \(\frac{P}{P_{\mathrm{tr}}}\) જ્યાં, P = વાયુ ભરેલા બલ્બની અંદરનું દબાણ
[‘અચળ કદ વાયુ થરમૉમિટર’ના કિસ્સામાં ગૅલ્યુસેકનો નિયમ એટલે કે દબાણ અને તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ P ∝ T પળાય છે.]
પાણીનું ત્રિબિંદુ આગળનું તાપમાન T_tr = 273.16 K છે.
ધારો કે, સલ્ફરનું સામાન્ય ગલનબિંદુ T છે.
તેથી
થરમૉમિટર Aનું વાંચન :
T_A = 273.16 × \(\frac{P_{\mathrm{A}}}{P_{\mathrm{tr}}}\)
= 273.16 × \(\frac{1.797 \times 10^5}{1.250 \times 10^5}\)
= 392.69 K

થરમૉમિટર Bનું વાંચન :
T_B = 273.16 × \(\frac{P_{\mathrm{B}}}{P_{\mathrm{tr}}}\)
= 273.16 × \(\frac{0.287 \times 10^5}{0.200 \times 10^5}\)
= 391.98 K

(b) અહીં, થરમૉમિટર A અને થરમૉમિટર B વડે માપેલ T_A અને T_B નાં મૂલ્યો વચ્ચે વિસંગતતા ઉદ્ભવવાનું કારણ એ છે કે ઑક્સિજન અને હાઇડ્રોજન બંને આદર્શ વાયુઓ નથી.
આ વિસંગતતા ઘટાડવા માટે થરમૉમિટર A અને Bનાં અવલોકનો ખૂબ નીચા દબાણે લેવાં જોઈએ, જેથી બંને વાયુઓ આદર્શ વાયુની માફક વર્તે.
નોંધ : અહીં, A અને B થરમૉમિટરો એ ખરેખર આદર્શ વાયુ થરમૉમિટરો નથી.
‘આદર્શ વાયુ થરમૉમિટર’ એ ‘અચળ કદ વાયુ થરમૉમિટર’ જ છે, માત્ર તેમાંનો વાયુ નીચા દબાણે હોય છે અને તેનું તાપમાન તેના પ્રવાહીકરણના તાપમાન કરતાં વધુ હોય છે.

પ્રશ્ન 6.
1 m લાંબી સ્ટીલની માપપટ્ટીનું 27.0°C તાપમાને ચોકસાઈપૂર્વક અંકન કરેલ છે. ગરમ દિવસે જ્યારે તાપમાન 45°C હોય ત્યારે સ્ટીલના એક સળિયાની લંબાઈ આ માપપટ્ટી વડે માપતાં તે 63.0 cm મળે છે, તો આ દિવસે સળિયાની વાસ્તવિક લંબાઈ શું હશે? આ જ સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈ 27.0°C તાપમાનવાળા દિવસે કેટલી હશે? સ્ટીલ માટે રેખીય પ્રસરણાંક = 1.20 × 10^-5K^-1
ઉકેલ:
27 °C તાપમાને 1 m (= 100 cm) લંબાઈની સ્ટીલની માપપટ્ટીનું અંકન (Calibration) ચોક્કસ છે, તે વખતે ધારો કે આ સ્ટીલની પટ્ટી પર 1 cm લંબાઈનું પરિમાણ (Size) (એટલે કે પાસપાસેના બે કાપાઓ વચ્ચેનું અંતર) u છે, અને

જ્યારે સ્ટીલની માપપટ્ટીનું તાપમાન વધીને 45 °C થાય છે ત્યારે ધારો કે, આ 1 cm લંબાઈનું પરિમાણ (size) પટ્ટીના રેખીય પ્રસરણના કારણે u’ થાય છે, તો
u’ = u (1 + α ΔT)
= 1 (1 + 1.20 × 10^-5 × (45 – 20))
(જ્યાં, α = 1.20 × 10^-5 K^-1 = 1.20 × 10^-5 °C^-1
અને ΔT = T₂ – T₁ = (45 – 27) °C છે.)
1 + 1.20 × 10^-5 × 18
= 1.000216 cm

આમ, સ્ટીલની માપપટ્ટી પર 1 cm લંબાઈનું પરિમાણ 45 °C તાપમાને 1.000216 cm થાય છે. (વધે છે.)

હવે, આ અચોક્કસ અંકનવાળી સ્ટીલની માપપટ્ટી વડે સ્ટીલના એક સળિયાની લંબાઈ 45 °C તાપમાને માપતાં 63.0 cm મળે છે અને તે પણ અવાસ્તવિક (અચોક્કસ) જ હશે.

∴ 45 °C તાપમાને (ગરમ દિવસે) સળિયાની સાચી (વાસ્તવિક) લંબાઈ = 63 × 1.000216
= 63.0136 cm

હવે, જે દિવસે તાપમાન 27°C હોય તે દિવસે સ્ટીલની માપપટ્ટીનું અંકન સાચું (ચોક્કસ) છે, અર્થાત્ ત્રુટિ રહિત છે. તેથી આ દિવસે માપપટ્ટી પર 1 cm લંબાઈનું પરિમાણ (પાસપાસેના બે કાપાઓ વચ્ચેનું અંતર) બદલાતું નથી.
તેથી
27 °C તાપમાને સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈ = 63 × 1
= 63 cm
નોંધ : ઉપરોક્ત રીતમાં સાર્થક સંખ્યાની ગણિતીય પ્રક્રિયા માટેના નિયમો ધ્યાનમાં લીધેલ નથી.

બીજી રીત :
T₁ °C તાપમાને સ્ટીલની લાંબી માપપટ્ટી આપેલ સ્ટીલના સળિયાની સાચી (ચોક્કસ) લંબાઈ દર્શાવે છે.
પણ T₂°C (> T₁ °C) તાપમાને માપપટ્ટીના રેખીય પ્રસરણના લીધે, માપપટ્ટી પરના બે ક્રમિક કાપાઓ વચ્ચેનું અંતર વધે છે. તેથી તેના વડે માપેલું મૂલ્ય (MV = Measured Value), સાચાં મૂલ્ય (TV = True Value) કરતાં ઓછું હશે. (જુઓ આકૃતિ 11.41 (b)).

તેથી
સાચું મૂલ્ય (TV) = માપેલું મૂલ્ય (1 + α(T₂ – T₁))
∴ (સ્ટીલના સળિયાનું 45 °C તાપમાને સાચું મૂલ્ય) = 63 (1 + 1.2 × 10^-5 (45 – 27))
= 63 (1 + 21.6 × 10^-5)
= 63 (1.000216)
= 63.013608
= 63.0136 cm

જો T₂ < T₁ હોય, તો સ્ટીલની લાંબી માપપટ્ટીનું સંકોચન થવાને લીધે, માપપટ્ટી વડે માપેલું મૂલ્ય (MV), સાચા મૂલ્ય (TV) કરતાં વધુ હશે. (જુઓ આકૃતિ 11.41 (c)).
તેથી
આ પરિસ્થિતિમાં સાચું મૂલ્ય = માપેલું મૂલ્ય (1 + α(T₂ – T₁))
∴ (સ્ટીલના સળિયાનું 27 °C તાપમાને સાચું મૂલ્ય) = 63 (1 + 1.2 × 10^-5 × (27 – 45))
= 63 (1 – 1.2 × 10^-5 × 18)
= 63 (1 – 21.6 × 10^-5)
= 63 (0.999784)
= 62.986392 cm

પણ, બે કે તેથી વધુ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કે ભાગાકાર કરવાથી મળતા અંતિમ પરિમાણમાં, એટલા જ સાર્થક અંક હોવા જોઈએ કે જેટલા મૂળ સંખ્યાઓ પૈકીની જે સંખ્યામાં લઘુતમ સાર્થક અંક હોય.

આ નિયમનો ઉપયોગ કરતાં અહીં મળેલ બે સંખ્યાઓ 63 અને 0.999784 પૈકી, સંખ્યા 63 માં લઘુતમ સાર્થક અંકો બે છે. (0.999784 સંખ્યામાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા છ છે.)

તેથી અહીં, મળેલ પરિણામ 62.986392 cmને બે સાર્થક અંકો ધરાવતી સંખ્યામાં ફેરવવી પડે.
∴ 27°C તાપમાને સ્ટીલના સળિયાની સાચી લંબાઈ = 63 cm હશે.
નોંધ : જો માપેલ મૂલ્ય 63.0136 cm લેવામાં આવે, તો
∴ (સ્ટીલના સળિયાનું 27 °C તાપમાને સાચું મૂલ્ય) = 63.0136 (1 + 1.2 × 10^-5 (27 – 45))
= 63.0136 (1 – 21.6 × 10^-5)
= 63.0136 (0.999784)
= 62.999989 cm
≈ 63 cm મળે.

પ્રશ્ન 7.
એક મોટા સ્ટીલના પૈડાને તે જ દ્રવ્યની બનેલી મોટી ધરી ઉપર બંધબેસતું કરવું છે. 27°C તાપમાને ધરીનો બહારનો વ્યાસ 8.70 cm અને પૈડાના કેન્દ્રમાં રહેલ છિદ્ર(હોલ)નો વ્યાસ 8.69 cm છે. સૂકા બરફ વડે ધરીને ઠંડી કરેલ છે. ધરીના કયા તાપમાને પૈડું તેના પર સરકવા લાગશે. જરૂરી તાપમાનના વિસ્તાર માટે સ્ટીલનો રેખીય પ્રસરણાંક અચળ રહે છે તેમ સ્વીકારો.α_{સ્ટીલ} 1.20 × 10^-5 K^-1
ઉકેલ:
અહીં,
α_{સ્ટીલ} = 1.20 × 10^-5 K^-1 = 1.20 × 10^-5 °C^-1
T₁ = 27 °C, L_T1 = 8.70 cm, L_T2 = 8.69 cm,
T₂ = ?
ΔL = α₁L_T1 ΔT સૂત્ર પરથી,
L_T2 – L_T1 = α₁L_T1 (T₂ – T₁)
∴ T₂ – T₁ = \(\frac{L_{\mathrm{T}_2}-L_{\mathrm{T}_1}}{\alpha_1 L_{\mathrm{T}_1}}\)
∴ T₂ – 27 = \(\frac{8.69-8.70}{1.2 \times 10^{-5} \times 8.70}\)
= \(\frac{-0.01}{10.44 \times 10^{-5}}\)
= – 0.0009578 × 10⁵
= – 95.78
∴ T₂ = 27 – 95.78
= – 68.78 °C
આમ, ધરીને – 68.78 °C તાપમાન સુધી ઠંડી કરવામાં આવે, તો પૈડું ધરી પર સરકી શકશે.

પ્રશ્ન 8.
તાંબાની એક તકતીમાં છિદ્ર પાડેલ છે. જેનો 27.0°C તાપમાને વ્યાસ 4.24 cm છે. આ તાંબાની તકતીને 227°C સુધી ગરમ કરવામાં આવે, તો છિદ્રના વ્યાસમાં થતો ફેરફાર કેટલો હશે? તાંબાનો રેખીય પ્રસરણાંક = 1.70 × 10^-5K^-1
ઉકેલ:
T₁ = 27.0°C, T₂ = 227 °C, L_T1 = 4.24 cm
α₁ = 1.70 × 10^-5K^-1 = 1.70 × 10^-5 °C^-1
ΔL = α₁ L_T1Δ_T
= α₁ L_T1(T₂ – T₁ )
= 1.70 × 10^-5 × 4.24 × (227 – 27)
= 1441.6 × 10^-5 cm
= 1.44 × 10^-2 cm
અહીં, ΔLનું મૂલ્ય ધન છે. તેથી તકતીના છિદ્રના વ્યાસમાં થતો વધારો 1.44 × 10^-2 cm છે.

પ્રશ્ન 9.
27 °C તાપમાને 1.8 m લાંબા પિત્તળના તારને બે દૃઢ આધારો વચ્ચે અલ્પ તણાવ સાથે જડિત કરેલ છે. જો તારને – 39 °C તાપમાન સુધી ઠંડો પાડવામાં આવે, તો તારમાં ઉદ્ભવતો તણાવ કેટલો હશે? તારનો વ્યાસ 2.0 mm છે. પિત્તળ માટે રેખીય પ્રસરણાંક 2.0 × 10^-5K^-1 અને યંગ મૉડ્યુલસ = 0.91 × 10¹¹ Pa.
ઉકેલ:
l = 1.8 m, T₁ = 27 °C, T₂ = – 39 °C, તારની ત્રિજ્યા r = 1.0 mm = 10^-3m, A = πr² = π × (10^-3)²m²
α_{1(પિત્તળ)} = 2.0 × 10^-5K^-1 = 2.0 × 10^-5°C^-1
Y_{(પિત્તળ)} = 0.91 × 10¹¹Pa
Δl = α_{1(પિત્તળ)} l Δ T પરથી, \(\frac{\Delta l}{l}\) = α_{1(પિત્તળ)} ΔT …………. (1)
પણ પિત્તળ માટે યંગ મૉડ્યુલસ Y_{(પિત્તળ)} = \(\frac{(F / A)}{\left(\frac{\Delta l}{l}\right)}=\frac{F l}{A \Delta l}\)
∴ તણાવ F = Y_{(પિત્તળ)} A (\(\frac{\Delta l}{l}\))
= Y_{(પિત્તળ)} A α_{1(પિત્તળ)} ΔT (∵ સમીકરણ (1) વાપરતાં)
= 0.91 × 10¹¹ × π × (10^-3)² × 2.0 × 10^-5 × (- 39 – 27)
= -0.91 × 3.14 × 2 × 66 × 10^{11 – 6 – 5}
= – 377.2 N
≈ -3.8 × 10² N
અહીં, તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ F ઋણ મળે છે, જે સૂચવે છે કે તારનું સંકોચન થાય છે.

પ્રશ્ન 10.
50 cm લંબાઈ અને 3.0 mm વ્યાસવાળા પિત્તળના સળિયાને તેટલી જ લંબાઈ અને તેટલા જ વ્યાસ ધરાવતા સ્ટીલના સળિયા સાથે જોડવામાં આવે છે. સંયુક્ત સળિયાની મૂળ લંબાઈ 40°C તાપમાને છે. જો તાપમાન 250°C કરવામાં આવે, તો આ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર કેટલો હશે? શું જંક્શન પર ઉષ્મીય પ્રતિબળ ઉદ્ભવશે? સળિયાના છેડાઓ પ્રસરણ પામવા માટે મુક્ત છે. (પિત્તળ માટે રેખીય પ્રસરણાંક = 2.0 × 10^-5 K^-1, સ્ટીલ માટે રેખીય પ્રસરણાંક = 1.2 × 10^-5K^-1)
ઉકેલ:
l_b = l_s = 50 cm
T₁ = 40 °C, T₂ = 250 °C,
α_b = 2.0 × 10^-5 K^-1 = 2.0 × 10^-5°C^-1
α_s = 1.2 × 10^-5 K^-1= 1.2 × 10^-5 °C^-1
સંયુક્ત સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર Δl = Δl_b + Δl_s = ?
પિત્તળ(Brass)ના સળિયા માટે :
Δl_b = α_bl_bΔT = 2.0 × 10^-5 × 50 × (250 – 40)
= 0.21 cm
સ્ટીલ(Steel)ના સળિયા માટે :
Δl_s = α_sl_sΔT = 1.2 × 10^-5 × 50 × (250 – 40)
= 0.13 cm
∴ સંયુક્ત સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર,
Δl = Δl_b + Δl_s
= 0.21 0.13
= 0.34 cm
જંક્શન આગળ ઉષ્મીય પ્રતિબળ ઉત્પન્ન થતું નથી, કારણ કે બંને સળિયાઓના છેડાઓ પ્રસરણ પામવા માટે મુક્ત છે.

પ્રશ્ન 11.
ગ્લિસરીન માટે કદ-પ્રસરણાંક 49 × 10^-5K^-1 છે. જો તેના તાપમાનમાં 30°Cનો વધારો કરવામાં આવે, તો તેની ઘનતામાં થતો આંશિક ફેરફાર કેટલો હશે?
ઉકેલ:
અહીં‚ α_v = 49 × 10^-5K^-1 = 49 × 10^-5°C^-1
ΔT = 30°C
ΔV = α_v V ΔT સૂત્ર પરથી,
V₂ – V₁ = α_v V₁ ΔT
∴ V₂ = V₁ + α_v V₁ ΔT
= V₁ (1 + α_vΔT)
= V₁ (1 + 49 × 10^-5 × 30)
= 1.0147V₁
ધારો કે, ગ્લિસરીનનું દળ m છે અને પ્રારંભમાં T₁ તાપમાને તેનું કદ V₁ છે તથા તેના તાપમાનમાં ΔT = 30 °C જેટલો વધારો થયા બાદ તેનું કદ V₂ છે.
ગ્લિસરીનની પ્રારંભિક ઘનતા ρ₁ = \(\frac{M}{V_1}\) અને
અંતિમ ઘનતા ρ₂ = \(\frac{M}{V_2}\)
= \(\frac{M}{1.0147 V_1}\)
= (\(\frac{1}{1.0147}\)) (\(\frac{M}{V_1}\))
= (0.9855) ρ₁
હવે,
ગ્લિસરીનની ઘનતામાં થતો આંશિક ફેરફાર = \(\frac{\rho_2-\rho_1}{\rho_1}\)
= \(\frac{0.9855 \rho_1-\rho_1}{\rho_1}\)
= – 0.0145
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે, તાપમાન વધતાં ગ્લિસરીનની ઘનતામાં ઘટાડો થાય છે.

પ્રશ્ન 12.
8.0 kg દળના ઍલ્યુમિનિયમના એક બ્લૉકમાં છિદ્ર પાડવા માટે 10kWના ડ્રિલમશીનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. 2.5 મિનિટમાં બ્લૉકના તાપમાનમાં કેટલો વધારો થશે? 50 % પાવર ડ્રિલમશીનને ગરમ થવામાં અથવા પરિસરમાં વ્યય થાય છે તેમ ધારો. ઍલ્યુમિનિયમની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા = 0.91 Jg^-1 K^-1.
ઉકેલ:
ડ્રિલમશીનનો પાવ૨ P = 10 kW = 10 × 10³W
= 10⁴ W (J s^-1)
2.5 minમાં ડ્રિલમશીન મારફતે મેળવાતી ઊર્જા
= 10⁴ × (2.5 × 60)
= 15 × 10⁵ J
ઍલ્યુમિનિયમના બ્લૉકને ફળવાતી ઊર્જા,
ΔQ = 50 % (15 × 10⁵)
= \(\frac{50}{100}\) × 15 × 10⁵
= 7.5 × 10⁵ J
જો ઍલ્યુમિનિયમના બ્લૉકનું દળ m અને તેને ΔQ ઊર્જા મળવાના કારણે તેના તાપમાનમાં ΔT જેટલો વધારો થતો હોય, તો
ΔQ = ms ΔT
અહીં, ΔQ = 7.5 × 10⁵J, m = 8.0 kg = 8 × 10³g,
s = 0.91 J g^-1 K^-1
∴ ΔT = \(\frac{\Delta Q}{m s}\)
= \(\frac{7.5 \times 10^5}{8 \times 10^3 \times 0.91}\)
= 103.02°C
≈ 103°C

પ્રશ્ન 13.
2.5 kg દળના તાંબાના એક બ્લૉકને ભઠ્ઠીમાં 500°C તાપમાન સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે. ત્યારબાદ તેને મોટા બરફના બ્લૉક ઉપર મૂકવામાં આવે છે. કેટલા મહત્તમ જથ્થાનો બરફ ઓગળશે? (તાંબાની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા = 0.39 J g^-1 K^-1, પાણી માટે ગલન-ગુપ્ત ઉષ્મા = 335 J g^-1)
ઉકેલ:

• ગરમ તાંબાના બ્લૉકને મોટા બરફના બ્લૉક ઉપર મૂકવામાં આવે ત્યારે, તેનું તાપમાન ધીમે ધીમે 500°Cથી 0°C જેટલું ઘટશે.

= (2.5 × 10³) × (0.39) × (500 – 0)
= 487500 J

• ધારો કે, ઉપરોક્ત પ્રક્રિયાના કારણે m દળનો બરફ ઓગળે છે અને પરિણામ સ્વરૂપે 0°C તાપમાનવાળું પાણી બને છે.
  તેથી
  (બરફના બ્લૉક દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા) = (બરફનું ઓગળતું દ્રવ્યમાન) × (પાણીની ગલન-ગુપ્ત ઉષ્મા)
  = (m × 335) J (જ્યાં, દળ m ગ્રામમાં છે.)
• કૅલોરિમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,
  (બરફના બ્લૉક દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા) = (ગરમ તાંબાના બ્લૉક દ્વારા ગુમાવાતી ઉષ્મા)
  ∴ (m × 335) = 487500
  ∴ m = \(\frac{487500}{335}\)
  = 1455.2 g
  = 1.455 kg
  ≈ 1.5 kg

પ્રશ્ન 14.
ધાતુની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા શોધવાના પ્રયોગમાં 150°C તાપમાને રહેલા 0.20 kg દળવાળા ધાતુના બ્લૉકને તાંબાના કૅલોરિમિટરમાં મૂકવામાં આવે છે. (પાણીનો જળતુલ્યાંક 0.025 kg) જેમાં 150 cmૐ પાણી 27 °C તાપમાને આવેલું છે. અંતિમ તાપમાન 40°C થાય છે. ધાતુની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતાની ગણતરી કરો.
જો પરિસરમાં વ્યય થતી ઉષ્માને અવગણવામાં ન આવે, તો કરેલ ગણતરી દ્વારા મળતો આપનો જવાબ ધાતુની વાસ્તવિક ઉષ્માધારિતાના મૂલ્યથી વધુ હશે કે ઓછો?
ઉકેલ:
અહીં, ધાતુના બ્લૉકનું દળ
m₂ = 0.20 kg = 0.20 × 10³ g = 200 g
ધાતુના બ્લૉકનું પ્રારંભિક તાપમાન T₂ = 150°C
પાણીનું દળ m₁ = પાણીનું કદ × પાણીની ઘનતા
= 150 cm³ × 1 g cm^-3
= 150 g
અહીં પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા S₁ = 1 cal gl^-1C^{0 – 1}
અને પાણીનો જળતુલ્યાંક = ω = m’s’
(જ્યાં, m’ = કૅલોરિમિટરનું દળ અને s’ = કૅલોરિમિટરના દ્રવ્યની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા)
કૅલોરિમિટરનું પાણીને સમતુલ્ય દળ (અર્થાત્ પાણીનો જળતુલ્યાંક)
ω = m’s’ = 0.025 kg = 0.025 × 10³ g = 25 g
પાણી અને કૅલોરિમિટરનું પ્રારંભિક તાપમાન T₁ = 27°C
મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન T = 40°C
ધારો કે, ધાતુની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા = s Jg^-1 °C^-1 હવે,
ધાતુના બ્લૉકે ગુમાવેલ ઉષ્મા = m₂ s (T₂ – T)
= (200) × (s) × (150 – 40)
= 22000 s ………… (1)
પાણી અને કૅલોરિમિટર દ્વારા મેળવેલ ઉષ્મા
= (પાણીએ મેળવેલ ઉષ્મા) + (કૅલોરિમિટરે મેળવેલ ઉષ્મા)
= m₁s₁ (T – T₁) + ω (T – T₁)
= 150 × 1 × (40 – 27) + 25 × (40 – 27)
= 150 × 13 + 25 × 13
= 1950 + 325
= 2275 cal ………….. (2)
કૅલોરિમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,
(ધાતુના બ્લૉકે ગુમાવેલ ઉષ્મા) = (પાણી અને કૅલોરિમિટર દ્વારા મેળવેલ ઉષ્મા)
∴ 22000 s = 2275
∴ S = \(\frac{2275}{22000}\)
= 0.1034 cal g^-1 °C^-1
પણ, ઉષ્માનો યાંત્રિક તુલ્યાંક (જૂલનો અચળાંક)
J = 4.2 J cal^-1
∴ ધાતુની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા
s = 0.1034 cal g^-1 °C^-1 × 4.2 J cal^-1
= 0.4343 J g^-1 °C^-1
હવે, જો પરિસરમાં વ્યય પામતી ઉષ્માને ગણતરીમાં લઈએ (એટલે કે અવગણવામાં ન આવે), તો મળતો જવાબ ધાતુની વાસ્તવિક ઉષ્માધારિતાના મૂલ્યથી ઓછો હશે.

પ્રશ્ન 15.
ઓરડાના તાપમાને કેટલાક સામાન્ય વાયુઓ માટે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતાનાં અવલોકનો નીચે આપેલાં છે :

ગૅસ	મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા (Cv) (cal mol-1K-1)
હાઇડ્રોજન	4.87
નાઇટ્રોજન	4.97
ઑક્સિજન	5.02
નાઇટ્રિક ઑક્સાઇડ	4.99
કાર્બન મોનૉક્સાઇડ	5.01
ક્લોરિન	6.17

આ વાયુઓ માટે આપેલ મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતાઓ એક-પરમાણ્વિક વાયુની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતાથી સ્પષ્ટ રીતે જુદી છે. પ્રતિકાત્મક રીતે એક-પરમાણ્વિક વાયુની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા 2.92 cal/mol K છે. આ તફાવતનું સ્પષ્ટીકરણ કરો. ક્લોરિન માટે આ મૂલ્ય વધુ (બાકીના કરતાં) છે. તે માટે તમે શું નિષ્કર્ષ તારવશો?
ઉકેલ:
કોષ્ટકમાં આપેલ વાયુઓની યાદી / સૂચીમાંના બધા વાયુ દ્વિ-પરમાણ્વિક (Diatomic) છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુના અણુઓ સુરેખીય ગતિ ઉપરાંત ચાકગતિ અને દોલન ગતિ પણ કરી શકે છે, જ્યારે એક-પરમાણ્વિક (Monoatomic) વાયુઓના અણુઓ માત્ર સુરેખીય ગતિ જ કરી શકે છે.

તેથી 1 mol દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુઓના તાપમાનમાં 1 K જેટલો વધારો કરવા માટે જરૂરી ઉષ્માનું મૂલ્ય એ 1 mol એક- પરમાણ્વિક વાયુઓના તાપમાનમાં 1 K જેટલો વધારો કરવા માટેના જરૂરી ઉષ્માના મૂલ્ય કરતાં વધુ હોય છે.

∴ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુઓ(આપેલ વાયુઓ)ની મોલ૨ વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા એક-પરમાણ્વિક વાયુઓ કરતાં વધારે હોય છે.

અચળ કદે દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા
C_v = \(\frac{5}{2}\) = \(\frac{5}{2}\) × 1.985 calmol^-1 K^-1
= 4.9625 calmol^-1 K^-1
≈ 5 cal mol^-1 K^-1
(એક-પરમાણ્વિક વાયુની અચળ કઠે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા C_v = \(\frac{3}{2}\)R છે.)

આમ, આપેલ કોષ્ટકમાંના ક્લોરિન સિવાયના બધા વાયુઓની અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા C_v લગભગ 5 cal mol^-1 K^-1 જેટલી છે.

ક્લોરિન વાયુ(Cl₂)નો કોઈ અણુ ઓરડાના તાપમાને પણ, સુરેખીય અને ચાકતિ ઉપરાંતની દોલન ગતિ ધરાવતો હોય છે,
જેના કારણે ક્લોરિન માટે C_v = \(\frac{7}{2}\)R મુજબ C_v નું મૂલ્ય બાકીના વાયુઓ કરતાં વધુ છે.

પ્રશ્ન 16.
101 °F તાપમાન ધરાવતા એક બાળકને ઍન્ટિપાઇરિન (તાવ ઘટાડવા માટેની દવા) આપવામાં આવે છે. જેને કારણે તેના શરીરમાં પરસેવાનો બાષ્પાયનનો સરેરાશ દર વધે છે. જો 20 મિનિટમાં તાવ 98°F સુધી નીચે આવી જાય છે, તો દવા દ્વારા થતાં વધારાના બાષ્પાયનનો દર કેટલો હશે? એમ સ્વીકારો કે ઉષ્માવ્યયનો એકમાત્ર રસ્તો બાષ્પાયન છે. બાળકનું દ્રવ્યમાન 30 kg છે. માનવશરીરની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા આશરે પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા જેટલી જ છે. આ તાપમાને પાણીની બાષ્પાયન-ગુપ્ત.ઉષ્મા 580 cal g^-1 છે.
ઉકેલ:
બાળકનું દ્રવ્યમાન m = 30 kg
બાળકના તાપમાનમાં થતો ઘટાડો
ΔT = 101 – 98 = 3°F
= 3 × \(\frac{5}{9}\) °C
= \(\frac{5}{3}\) °C
માનવ(અહીં બાળક)ના શરીરની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા = પાણીની
વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા = s = 1 \(\frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}}\)
= 1 \(\frac{\mathrm{cal}}{10^{-3} \mathrm{~kg}{ }^{\circ} \mathrm{C}}\)
= 10³cal kg^-1 °C^-1
20 minમાં બાળકે ગુમાવેલ ઉષ્મા ΔQ
= msΔT
= 30 kg × 10³ cal kg^-1 °C^-1 × \(\frac{5}{3}\) °C
= 5000 cal
બાળકના શરીરમાંથી 20 minમાં બાષ્પીભવન પામેલ પાણીનું દળ જો m’ હોય, તો ΔQ = m’L_V સૂત્ર પરથી,
m’ = \(\frac{\Delta Q}{L_{\mathrm{V}}}=\frac{5000 \mathrm{cal}}{580 \mathrm{cal} \mathrm{g}^{-1}}\)
= 86.2 g
∴ વધારાનો બાષ્પીભવનનો દર = \(\frac{m^{\prime}}{t}\)
= \(\frac{86.2 \mathrm{~g}}{20 \mathrm{~min}}\)
= 4.31 gmin^-1

પ્રશ્ન 17.
થરમોકોલના આઇસબૉક્સમાં ઉનાળાની ઋતુમાં ઓછી માત્રામાં રાંધેલા ખોરાકને સાચવવાની રીત સસ્તી અને કાર્યક્ષમ છે. 30 cm બાજુવાળા સમઘન આઇસબૉક્સની જાડાઈ 5.0 cm છે. જો 4.0 kg બરફને તેમાં મૂકવામાં આવે, તો 6 કલાક બાદ તેમાં બાકી રહેલા બરફના જથ્થાનો અંદાજ મેળવો. બહારનું તાપમાન 45 °C છે. થરમોકોલની ઉષ્માવાહકતા 0.01 J s^-1 m^-1 K^-1 છે. (પાણીની ગલન-ગુપ્ત ઉષ્મા = 335 × 10³ J kg^-1)
ઉકેલ:
સમઘન આઇસબૉક્સની દરેક બાજુની લંબાઈ,
l = 30 cm = 0.3 m
∴ આઇસબૉક્સનું કુલ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ A = 6l²
= 6 × (0.3)²
= 0.54 m²

• આઇસબૉક્સની દરેક બાજુ / સપાટીની જાડાઈ,
  Δx = 5 cm = 0.05 m
  તાપમાનનો તફાવત ΔT = 45 – 0 = 45 °C = 45 K
  થરમોકોલ દ્રવ્યની ઉષ્માવાહકતા K = 0.01 J s^-1 m^-1 K^-1
  સમય t = 6 hr = 6 × 3600 s
  પાણીની ગલન-ગુપ્ત ઉષ્મા L_f = 335 × 10³J kg^-1
• આપેલા ‘t’ સમયમાં ઓગળેલા બરફનું દ્રવ્યમાન જો m હોય, તો
  Q = mL_f
  પણ Q = KA(\(\frac{\Delta T}{\Delta x}\))t છે.
  ∴ mL_f = KA(/\(\frac{\Delta T}{\Delta x}\))t થાય.
  ∴ m = (\(\frac{K A}{L_{\mathrm{f}}}\left(\frac{\Delta T}{\Delta x}\right)\))t
  = \(\frac{0.01 \times 0.54}{335 \times 10^3}\) × (\(\frac{45}{0.05}\)) × (6 × 3600)
  = 0.313 kg
  ∴ 6 hr બાદ આઇસબૉક્સમાં ઓગળ્યા વગર બાકી રહેલો બરફનો જથ્થો (દળ) = 4 – 0.313
  = 3.687 kg

પ્રશ્ન 18.
0.15 m² તળિયા(પાયા)નું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા પિત્તળના બૉઇલરના તળિયા(પાયા)ની જાડાઈ 1.0 cm છે. તેને ગૅસ-સ્ટવ પર મૂકતાં તેમાં 6.0 kg/minના દરથી પાણી ઉકાળે છે. બૉઇલરના સંપર્કમાં રહેલી જ્યોતના તાપમાનનું અનુમાન કરો. પિત્તળની ઉષ્માવાહકતા 109 J s^-1 m^-1 K^-1, પાણીની બાષ્પાયન-ગુપ્ત ઉષ્મા 2256 × 10³ J kg^-1.
ઉકેલ:
ધારો કે, બૉઇલરના તળિયાના સંપર્કમાં રહેલ જ્યોતનું તાપમાન T₁ છે અને બૉઇલરની અંદરના પાણીનું તાપમાન T₂ = 100°C છે. જ્યોત દ્વારા મળતી ઉષ્મા પાણીમાં દાખલ થાય છે. તેથી તે ઉષ્મા માત્ર પાણીને ઉકાળવા માટે જ વપરાય છે. અર્થાત્ બૉઇલરની અંદર પાણી ઊકળે છે. તેથી તેમાંનું 100°C તાપમાનવાળું પાણી 100°C તાપમાનવાળી વરાળમાં ફેરવાય છે.

• બૉઇલરના તળિયાનું ક્ષેત્રફળ A = 0.15 m², તળિયાની જાડાઈ Δ x = 1.0 cm = 10^-2m, બૉઇલરની અંદર ઊકળતા પાણીનો
  દર = \(\frac{m}{t}=\frac{6 \mathrm{~kg}}{\mathrm{~min}}=\frac{6 \mathrm{~kg}}{60 \mathrm{~s}}\) = 0.1 kg s^-1
• અહીં, જ્યોત દ્વારા પૂરી પડાતી ઉષ્મા માત્ર પાણીને ઉકાળવા માટે જ વપરાતી હોવાથી,
  Q = mL_V

= 137.98°C
∴ T₁ = T₂ + 137.98
= 100+ 137.98
= 237.98°C

પ્રશ્ન 19.
સ્પષ્ટતા કરો શા માટેઃ
(a) વધુ પરાવર્તકતા ધરાવતો પદાર્થ ઓછો ઉત્સર્જક હોય છે.
(b) ખૂબ ઠંડીના દિવસોમાં પિત્તળનું ટમ્બલર લાકડાની ટ્રે કરતાં વધુ ઠંડું લાગે છે.
(c) આદર્શ કાળા પદાર્થના વિકિરણ માટે જેનું અંકન કરવામાં આવ્યું છે, તેવું ઑપ્ટિકલ પાયરોમિટર (ઊંચા તાપમાન માપવા માટે) ખુલ્લામાં રાખેલ ગરમ લાલચોળ લોખંડના ટુકડાનું તાપમાન નીચું દર્શાવે છે. પરંતુ તે જ લોખંડના ટુકડાને ભઠ્ઠીમાં મૂકેલ હોય ત્યારે તાપમાનનું સાચું મૂલ્ય માપે છે.
(d) પૃથ્વી તેના વાતાવરણ વગર પ્રતિકૂળ રીતે ઠંડી થઈ જાય છે.
(e) બિલ્ડિંગને હૂંફાળું રાખવા માટેનાં ગરમ પાણીના ભ્રમણ પર આધારિત તાપમંત્રો કરતાં, વરાળ પરિભ્રમણ પર આધારિત તાપમંત્રો વધુ કાર્યક્ષમ હોય છે.
ઉકેલ:
(a) જે પદાર્થની સપાટીની પરાવર્તકતા વધુ હોય અર્થાત્ સપાટી સારી પરાવર્તક અટલે કે ઓછી શોષક હોય છે, તે સપાટી ઓછી ઉત્સર્જક પણ હોય છે. (કિર્ચીફનો નિયમ)
આથી વધુ પરાવર્તકતા ધરાવતો પદાર્થ ઓછો ઉત્સર્જક હોય છે.

(b) પિત્તળની ઉષ્માવાહકતા ખૂબ વધુ છે. તેથી ખૂબ ઠંડીના દિવસોમાં, જ્યારે તેને અડકવામાં આવે ત્યારે વ્યક્તિના શરીરમાંથી ઉષ્મા ઝડપથી પિત્તળના ટમ્બલર તરફ વહન પામે છે. તેથી ટમ્બલર વધુ ઠંડું લાગે છે.
જ્યારે લાકડું ઉષ્માનું અવાહક છે. તેથી ખૂબ ઠંડીના દિવસોમાં લાકડાની ટ્રેને અડકતાં, વ્યક્તિના શરીરમાંથી ઉષ્માનું વહન થતું નથી. તેથી ટમ્બલરની સાપેક્ષે ટ્રે (સહેજ) ગરમ લાગે છે, એટલે કે ટમ્બલર ટ્રે કરતાં વધુ ઠંડું લાગે છે.

(c) લાલચોળ ગરમ લોખંડનો ટુકડો જ્યારે (ગરમ) ભઠ્ઠીમાં રાખેલ હોય ત્યારે ધારો કે તેનું નિરપેક્ષ તાપમાન T છે. તેથી સ્ટિફન- બોલ્ટ્સમૅનના નિયમ અનુસાર એકમ સમયમાં ટુકડાની સમગ્ર સપાટી પરથી ઉત્સર્જિત વિકિરણ ઊર્જા,
H = Ae σ T⁴
પણ, જ્યારે આ જ લાલચોળ ગરમ લોખંડનો ટુકડો ખુલ્લામાં (વાતાવરણમાં) રાખેલ હોય ત્યારે જો વાતાવરણનું (પરિસરનું) નિરપેક્ષ તાપમાન T_s હોય, તો એકમ સમયમાં ટુકડાની સમગ્ર સપાટી પરથી ઉત્સર્જિત વિકિરણ ઊર્જા,
H’ = Ae σ (T⁴ – T_s⁴) હશે.
H અને H’નાં સૂત્રો પરથી સ્પષ્ટ છે કે, H’ < H.
∴ ઑપ્ટિકલ પાયરોમિટર ખુલ્લામાં રાખેલ લાલચોળ ગરમ લોખંડના ટુકડાનું તાપમાન નીચું દર્શાવે છે, પરંતુ તે જ લોખંડના ટુકડાને (ગરમ) ભઠ્ઠીમાં મૂકેલ હોય ત્યારે તેના તાપમાનનું સાચું મૂલ્ય માપે છે.

(d) દિવસ દરમિયાન સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણ ઊર્જાનું પૃથ્વી વડે શોષણ થાય છે. આ શોષાયેલી ઊર્જા પૃથ્વી દ્વા૨ા ઉત્સર્જિત થાય છે.
પણ પૃથ્વીના વાતાવરણમાં રહેલ ગ્રીનહાઉસ વાયુઓ દ્વારા આ ઊર્જા શોષાય છે અને ફરીથી આ વાયુઓ ઊર્જાનું ઉત્સર્જન કરે છે. તેથી ફરીથી ઊર્જા પૃથ્વીને પાછી મળે છે.
જો પૃથ્વી પર વાતાવરણ ન હોય, તો વાતાવરણની ગેરહાજરીમાં આ પૃથ્વી વડે ઉત્સર્જિત ઊર્જા પૃથ્વીની સપાટીમાંથી છટકી જશે. પરિણામે પૃથ્વી ઠંડી પડતી જશે.

(e) 100°C તાપમાનવાળા પાણી કરતાં 100°C તાપમાનવાળી વરાળ વધુ ઉષ્મા ધરાવે છે.
100°C તાપમાનવાળા 1g પાણી કરતાં 100°C તાપમાનવાળી 1 g વરાળ 540 cal ઉષ્મા વધુ ધરાવે છે (જે પાણીની બાષ્પયન- ગુપ્ત ઉષ્મા છે.)
તેથી બિલ્ડિંગને હૂંફાળું રાખવા માટે ગરમ પાણીના ભ્રમણ આધારિત તાપમંત્રો કરતાં વરાળ પરિભ્રમણ આધારિત તાપમંત્રો વધુ કાર્યક્ષમ હોય છે.

પ્રશ્ન 20.
એક પદાર્થ 5 minમાં 80°Cથી 50°C સુધી ઠંડો થાય છે. તેને 60°Cથી 30°C સુધી ઠંડો પાડવા માટે લાગતો સમય શોધો. પરિસરનું તાપમાન 20 °C છે.
ઉકેલ:
રીત 1 (અંદાજિત રીત → સાદી રીત) :
ન્યૂટનના શીતનના નિયમનું અંદાજિત સૂત્ર
\(\frac{d T}{d t}\) – K (T_av – T_s) જ્યાં T_av = \(\frac{T_1+T_2}{2}\) વાપરતાં,
પ્રથમ પરિસ્થિતિ :
5 minમાં પદાર્થ 80°Cથી 50°C સુધી ઠંડો પડે છે.
∴ \(\frac{50-80}{5}\) = -K (\(\frac{80+50}{2}\) – 20)
∴ – \(\frac{30}{5}\) = – K(65 – 20)
∴ 6 = 45 K
∴ K = \(\frac{6}{45}\)
= \(\frac{2}{15}\)

બીજી પરિસ્થિતિ :
t min માં પદાર્થ 60°Cથી 30°C સુધી ઠંડો પડે છે.
∴ \(\frac{30-60}{t}\) = – K(\(\frac{60+30}{2}\) – 20)
∴ – \(\frac{30}{t}\) = – \(\frac{2}{15}\) (45 – 20) (∵ K = \(\frac{2}{15}\) છે.)
∴ t = \(\frac{30 \times 15}{2 \times 25}\)
= 9 min

રીત 2 (સચોટ રીત) :
ન્યૂટનના શીતનના નિયમનું સચોટ સૂત્ર
t = \(\frac{1}{K}\) log \(\frac{\left(T_1-T_{\mathrm{s}}\right)}{\left(T_2-T_s\right)}\) સત્ર વાપરતાં.

પ્રથમ પરિસ્થિતિમાં :
T₁ = 80°C, T₂ = 50°C, T_s = 20°C,
સમય t = 5 min
∴ 5 = \(\frac{1}{K}\) log_e \(\frac{(80-20)}{(50-20)}\)
∴ 5 = \(\frac{1}{K}\) log_e (2) ………… (1)

બીજી પરિસ્થિતિમાં :
T₁ = 60 °C, T₂ = 30 °C, T_s = 20 °C, સમય t’ = ?
∴ t’ = \(\frac{1}{K}\) log_e \(\frac{(60-20)}{(30-20)}\)
t’ = \(\frac{1}{K}\) log_e(4) ………….. (2)
સમીકરણ (2)ને સમીકરણ (1) વડે ભાગતાં,

= 2
∴ t’ = 2 × 5
= 10 min

પ્રશ્ન 21.
કાર્બન ડાયૉક્સાઇડ માટેનો P – T ડાયાગ્રામ અથવા ફેઝ ડાયાગ્રામ નીચે મુજબ છે, તો તેના પર આધારિત નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો :

(a) કયા તાપમાને અને દબાણે CO₂ની ઘન, પ્રવાહી અને વાયુ અવસ્થાઓ સંતુલિત સ્થિતિમાં સહઅસ્તિત્વમાં હશે?
(b) દબાણના ઘટાડા સાથે CO₂નાં ગલનબિંદુ અને ઉત્કલનબિંદુ પર શું અસર થશે?
(c) CO₂ માટે ક્રાંતિક તાપમાન અને દબાણ શું છે? તેનું મહત્ત્વ શું છે?
(d) (i) – 70°C તાપમાને અને 1 વાતાવરણ દબાણે
(ii) – 60 °C તાપમાને અને 10 વાતાવરણ દબાણે
(iii) 15 °C તાપમાને અને 56 વાતાવરણ દબાણે
CO, ઘન, પ્રવાહી અને વાયુ પૈકી કઈ અવસ્થામાં હશે?
ઉકેલ:
(a) તાપમાન = – 56.6 °C અને દબાણ = 5.11 atm

(b) ફ્યુઝન વક્ર અને બાષ્પીકરણ વક્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે, CO₂ના ગલનબિંદુ અને ઉત્કલનબિંદુ દબાણના ઘટાડા સાથે ઘટશે.

(c) CO₂ માટે ક્રાંતિ દબાણ P_C = 73.0 atm અને ક્રાંતિ તાપમાન T_C = 31.1 °C છે.
આ ક્રાંતિ તાપમાન T_Cથી ઊંચા તાપમાને, CO₂ પરનું દબાણ ખૂબ વધારવામાં આવે, તોપણ તેનું પ્રવાહીકરણ થતું નથી.

(d) (i) વાયુ
(ii) ઘન
(iii) પ્રવાહી

પ્રશ્ન 22.
નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ CO₂ના P – T ડાયાગ્રામને અથવા ફેઝ ડાયાગ્રામને આધારે નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો :

(a) 1 વાતાવરણ દબાણે અને – 60°C તાપમાને CO₂નું સમતાપી સંકોચન કરવામાં આવે છે. શું તે પ્રવાહી અવસ્થામાં જશે?
(b) CO₂નું દબાણ 4 વાતાવરણ જેટલું અચળ રાખીને તેનું ઓરડાના તાપમાન સુધી ઠારણ કરાવવામાં આવે તો શું થાય?
(c) 10 વાતાવરણ દબાણે અને – 65 °C તાપમાને આપેલ જથ્થાના ઘન CO₂નું દબાણ અચળ રાખી ઓરડાના તાપમાને તેને ગરમ કરતાં થતાં ગુણાત્મક ફેરફારોનું વર્ણન કરો.
(d) CO₂ને 70°C સુધી ગરમ કરી ત્યારબાદ તેનું સમતાપી સંકોચન કરવામાં આવે છે. અવલોકન માટે તમે તેના કયા ગુણધર્મોમાં ફેરફારની અપેક્ષા રાખશો?
ઉકેલ:
(a) ના
1 atm દબાણે અને – 60 °C તાપમાને CO₂ વાયુ અવસ્થામાં છે. જો તેનું સમતાપી સંકોચન કરવામાં આવે એટલે કે તેનું તાપમાન અચળ રાખી દબાણ વધારવામાં આવે, તો તે પ્રવાહી અવસ્થામાં ફેરવાયા વગર સીધો ઘન અવસ્થામાં રૂપાંતરણ પામે છે.

(b) 4 atm દબાણે અને ઓરડાના તાપમાન કરતાં ઊંચા તાપમાને CO₂ વાયુ સ્વરૂપે હશે.
જો તેનું દબાણ (4 atm) અચળ રાખી તેનું તાપમાન ઘટાડીને ઓરડાના તાપમાન સુધી તેને ઠંડો પાડવામાં આવે, તો તે પ્રવાહી અવસ્થામાં ફેરવાયા વગર સીધો ઘન અવસ્થામાં રૂપાંતરણ પામશે.

(c) 10 atm દબાણે અને – 65 °C તાપમાને આપેલ જથ્થાનો CO, ઘન અવસ્થામાં છે.
જો અચળ દબાણે તેનું તાપમાન વધારીને, ઓરડાના તાપમાન સુધી તેને લઈ જવામાં આવે, તો તે પહેલાં પ્રવાહી સ્વરૂપમાં ફેરવાશે અને ત્યારબાદ વાયુ અવસ્થામાં રૂપાંતરણ પામશે.
10 atm દબાણે CO₂નું ઠારણબિંદુ અને ઉત્કલનબિંદુ નીચે મુજબ શોધી શકાય છે :
10 atm દબાણે તાપમાન-અક્ષને સમાંતર એક સુરેખા દોરો. ત્યારબાદ આ સુરેખાના ફ્યુઝન (ઠારણ) અને બાષ્પયન (વેપરાઇઝેશન) વક્રનાં છેદનબિંદુઓ અનુક્રમે CO₂ના 10 atm દબાણે ઠારણબિંદુ અને ઉત્કલનબિંદુ આપશે.

(d) CO₂નું 70 °C તાપમાન, તેના ક્રાંતિ તાપમાન 31.1 °C કરતાં ખૂબ વધુ છે.
જો તેનું સમતાપી સંકોચન કરવામાં આવે એટલે કે તેનું તાપમાન અચળ રાખી દબાણ વધારવામાં આવે, તો તે ચોક્કસ અવસ્થા-રૂપાંતરણ પામીને પ્રવાહી અવસ્થામાં ફેરવાતો નથી.
આમ છતાં, જેમ જેમ તેનું દબાણ વધારવામાં આવે તેમ તેમ, તે (CO₂) આદર્શ વાયુ વર્તણૂકથી દૂર ને દૂર જવા લાગે છે.